Applications of microlocal analysis to inverse problems
Mikko Salo
这些是关于微局部分析在反问题中的应用的微型课程的讲义，于2019年6月在赫尔辛基和上海给出。
These are lecture notes for a minicourse on applications of microlocal analysis in inverse problems, given in Helsinki and Shanghai in June 2019.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Application of Microlocal Analysis to an Inverse Problem Arising from Financial Markets
在将Black-Scholes模型应用于金融衍生品时发现的最有趣的问题之一是协调预期值和观测值之间的偏差。在我们最近的工作中，我们推导出一个新的模型的基础上，布莱克-斯科尔斯模型和制定了一个新的数学方法来解决金融市场中的反问题。在本文中，我们应用微局部分析来证明我们的反问题的解的唯一性。虽然微观局部分析用于物理和工程中的各种模型，但这是首次尝试将其应用于金融市场模型。首先，我们解释我们的模型，这是一种套利模型。接下来，我们说明了我们的新的数学方法，然后空间相关的实漂移，我们得到稳定的线性化和积分方程。最后，通过对积分方程的微局部分析，证明了新的金融市场数学模型解的唯一性。
Microlocally accurate solution of the inverse source problem of thermoacoustic tomography
我们考虑热声和光声层析成像的逆源问题，在部分围绕声波源的开放表面上登记数据。在恒定声速的假设下，我们开发了一个明确的非迭代重建过程，恢复所寻求的源的Radon变换，直到一个无限平滑的附加误差项。然后可以通过反转Radon变换来找到源。我们的分析是微局部的性质，并没有提供一个正常的估计，因此获得的图像中的错误。然而，数值模拟表明，这种误差在实际中是相当小的。我们还提出了一个渐进的快速实现这个过程的情况下，当数据是在一个圆弧在2D。
On geometric inverse problems and microlocal analysis
本文综述微局部分析在测地线X射线变换反问题、黎曼流形上波动方程Gelfand问题、拉普拉斯方程Calderón问题这三类几何反问题中的应用。
Inverse random potential scattering for elastic waves
本文研究三维随机势场的弹性散射反问题。作为一个分布，潜在的假设是一个微局部各向同性高斯随机场的协方差算子是一个经典的伪微分算子。通过研究等价的Lippmann-Schwinger积分方程，证明了在给定势的情况下，直接散射问题在分布意义下是适定的。对于逆散射问题，我们证明了随机势的微局部强度可以唯一地确定概率1由一个单一的实现的平均压缩或剪切背散射的散射波的远场图案的高频限制。分析采用积分算子理论，玻恩近似在高频区，微局部分析的傅里叶积分算子，和遍历的波场。
Inverse Elastic Scattering for a Random Source
考虑具有非均匀各向异性质量密度的二维时谐弹性波方程的随机源散射反问题。源被建模为微观局部各向同性广义高斯随机函数，其协方差算子是经典的伪微分算子。我们的目标是恢复主符号的协方差算子从位移测量域远离源。对于这样的分布源，我们通过引入一个等价的Lippmann-Schwinger积分方程证明了正问题的唯一解。对于逆问题，我们证明了，概率为1，主符号的协方差算子可以唯一地确定的振幅的位移平均的频带上，由一个单一实现的随机源产生。分析采用玻恩近似，渐近展开的格林张量，和微局部分析的傅里叶积分算子。
An inverse random source problem for the fractional Helmholtz equation
本文提出了一种利用高波数近似和微局部分析，从远场模式唯一确定分数亥姆霍兹方程随机源协方差和关系算子主符号的方法。
Inverse random potential scattering for the polyharmonic wave equation using far-field patterns
本文研究多调和波方程的随机势逆散射问题，通过分析Lippmann--Schwinger积分方程建立直接问题的适定性，并利用高频频带平均的后向散射远场模式单次实现，唯一恢复随机势协方差与关系算子的微局部强度。
Inverse random source problems for time-harmonic acoustic and elastic waves
本文研究二维和三维时谐声波和弹性波方程的随机源问题。其目的是从远离源区域的辐射波场中确定压缩支撑外力。假设源是一个微局部各向同性的广义高斯随机函数，使得其协方差算子是一个经典的伪微分算子。给定这样一个分布源，直接问题被证明有一个唯一的解决方案，通过使用积分方程的方法和Sobolev嵌入定理。对于逆问题，我们证明了在频带上平均的散射场的振幅，从一个单一的实现的随机源，确定唯一的协方差算子的主符号。分析采用渐近展开的格林函数和微局部分析的傅里叶积分算子与亥姆霍兹和Navier方程。
Inverse Elastic Scattering for a Random Potential
研究了具有随机势的时谐弹性波方程的逆散射问题。作为一种分布，潜在的假设是一个微局部各向同性的广义高斯随机场的协方差算子被描述为一个经典的伪微分算子。其目的是确定的主象征的协方差算子从散射波测量在一个有界的域，有一个积极的距离域的潜力。对于这样一个粗糙势，通过研究等价的Lippmann-Schwinger积分方程，建立了分布意义下的直接散射问题的适定性.对于逆散射问题，它示出的协方差算子的主象征，可以唯一地确定由散射波的振幅平均在频带上从一个单一的实现的随机潜在的概率1。分析采用玻恩近似在高频，渐近的弹性波方程的格林张量，和微局部分析的傅里叶积分算子。
Stability for a multi-frequency inverse random source problem
本文研究了二维和三维随机Helmholtz方程的反源问题，利用微局部分析和解析延拓原理，通过近场或远场数据推导出包含Lipschitz型数据差异和对数稳定性的稳定性估计，并揭示了随频率上限增加稳定性递增的现象。
Uniqueness for a seismic inverse source problem modeling a subsonic rupture
我们考虑一个具有离散时间源的非齐次波动方程的反问题，模拟一个地震破裂。我们假设源沿着亚音速的路径发生，并且数据随时间在一些检测表面上收集。我们探讨这些问题的唯一性的问题，展示了如何恢复的时间和位置的源microlocally，然后重建的平滑部分的源，假设它是相同的，在每个源位置。
Inverse problem for connections in semi-linear wave equations on Lorentzian manifolds
针对任意全局双曲洛伦兹流形上带三次非线性的半线性波动方程，本文利用非线性波相互作用的微局部分析及断裂光线变换反演，恢复其 Hermitian 联络。
On the Stability of Inverse Conductivity Problem for Polyhedral Inclusions under a Single Measurement
本文研究了通过单次边界测量确定嵌入均匀各向同性介质中的凸多面体包含物的反导率问题的稳定性，主要方法包括椭圆方程在非光滑域中的奇异性分解、小性传播和微局分析，建立了包含物Hausdorff距离与测量误差之间的对数稳定性估计。
Sampling linear inverse problems with noise
我们研究了加性噪声对FIOs反演的影响。我们利用微局域缺陷测度测量了噪声的功率谱，并分析了该功率谱在反演下的变化。特别地，我们计算添加到反演的噪声的标准差作为添加到数据的噪声的标准差的函数。作为一个例子，我们研究了平面内的Radon变换在平行坐标系和扇束坐标系中的应用，并给出了数值例子。
Microlocal Methods for The Elastic Travel Time Tomography Problem for Transversely Isotropic Media
利用X射线层析成像中的人工边界方法和边界刚度问题，研究了横观各向同性介质的走时层析成像问题。所涉及的分析需要修改的散射pseudodifferential微积分，以提供parametrices运营商是退化椭圆形，这样的演算构建在本文中，并用于解决感兴趣的层析成像问题。
An Inverse Source Problem in Radiative Transfer with Partial Data
本文考虑了辐射传输方程的源反问题，并给出了部分数据。在这里，它表明，在一定的平滑条件下的散射和吸收系数，可以恢复源支持的域的某个子集，我们称之为可见集。此外，它示出了一个开放的密集集的$C^{\infty}$的吸收和散射系数，可以恢复的一部分的波前集的源，支持在microlocalized可见的设置，模函数在索伯列夫空间$H^{k}$为$k$任意大。这是对\cite{inversesource}中考虑的完整数据病例的扩展。
Microlocal decoupling inequalities and the distance problem on Riemannian manifolds
我们研究的推广Falconer距离问题的黎曼设置。特别地，我们将Guth-Iosevich-Ou-Wang关于平面中距离集的结果推广到一般的黎曼曲面。关键的新成分包括一个家庭的精致microlocal解耦不等式，这是有关的工作贝特朗-希克曼-索格沃尔夫型不等式，和模拟的Orponen的径向投影引理已被证明是非常有用的，在最近的工作距离集。
Stability estimates of inverse random source problems for the wave equations by using correlation-based data
该研究针对多调和、电磁、弹性三类波动方程的逆随机源问题，利用单频远场模式相关数据确定主象征强度函数，首次在统一框架下证明可获得最优Lipschitz型稳定性。
An inverse random source problem for the biharmonic wave equation
研究了随机双调和算子波动方程的源反问题。驱动源假设为微局部各向同性高斯随机场，其协方差算子为经典的伪微分算子。在分布意义下考察了正问题的适定性，并对给定的粗糙源讨论了解的正则性。对于反问题，随机源的强度，参与其协方差算子的主象征，示出唯一确定的一个单一的实现的波场的幅度平均在频带上的概率为1。数值实验表明，当随机源为白噪声时，该方法是有效的。
Inverse scattering for the biharmonic wave equation with a random potential
本文研究了有耗介质中二维和三维双调和波动方程的随机势散射逆问题。假定势为微局部各向同性高斯粗糙场。这项工作的主要贡献是双重的。首先，证明了具有粗糙势的四阶双调和波动方程的唯一延拓原理，并在分布意义下建立了直接散射问题的适定性。其次，随机势的相关强度被证明是唯一确定的频率范围内平均的散射场的二阶矩的高频率限制。此外，我们证明了在数据中的期望可以被删除，并且当介质是无损的时，单个实现的数据足以满足概率为1的反问题的唯一性。
Determining Lorentzian manifold from non-linear wave observation at a single point
本文研究非线性双曲方程的反问题，证明通过单条类时曲线上的源到解映射可确定洛伦兹流形的共形结构，方法为非线性波相互作用的微局部分析。
Second microlocalization and Fredholm theory for the three-body problem
本文在现代微局化框架下研究量子三体散射，通过构造共轭三锥代数，证明了三体Helmholtz算子在正能量下的Fredholm映射结构，并利用微局化吹胀技术建立新的微局化代数。
Inverse spectral problem for analytic $(Z/2Z)^n$-symmetric domains in $R^n$
在本文中，我们表明，有界的解析域在$\R^n$与镜像对称的所有坐标轴上的其他此类域的谱确定。我们的方法建立在找到具体的公式在弹跳球轨道的波不变量。波的不变量计算从一个固定的相位扩展适用于一个良好的构造microlocal parameterian的轨迹的预解。
On a novel UCP result and its application to inverse conductive scattering
本文推导了适用于二阶椭圆型偏微分方程组的新唯一延拓原理，结合复几何光学与傅里叶展开方法微局部分析角点奇异性，利用单个远场模式建立了广义导电散射体确定的唯一可识别性结果。
Unique determination by a single far-field measurement for an inverse elastic problem
本文针对具有广义传输边界条件的逆弹性散射问题，证明了对多边形嵌套或多边形胞腔结构散射体，单次远场测量可唯一确定其形状及分片常数的密度和边界阻抗参数。
Inverse source problems for the stochastic wave equations: far-field patterns
本文在统一的框架下讨论了随机声波、双谐波、电磁波和弹性波方程的正源问题和逆源问题。假定驱动源为中心广义微局部各向同性高斯随机场，其协方差和关系算子为经典的伪微分算子。在给定随机源的情况下，证明了正问题在分布意义下的适定性，并给出了解的正则性。对于逆问题，我们证明了遍历的协方差和关系算子的主象征可以唯一地确定由一个单一的实现的远场模式平均在频带上的概率为1。
Inverse problem for a random Schrödinger equation with unknown source and potential
研究时间调和随机薛定谔方程中未知源与势的逆散射问题，利用单次被动测量唯一恢复随机源强度，且对支撑集无几何限制。
Stability for an inverse random source problem of the biharmonic Schrodinger equation
本文研究双调和 Schrodinger 方程的随机源反散射问题，利用多频相关远场数据确定随机源微相关强度，并给出定量稳定性估计。
On instability mechanisms for inverse problems
本文提出三种基于压缩性质的反问题不稳定性机制，应用于唯一延拓、向后热方程及Calderón型问题，并估计可控性成本。
$L^2$ well posed Cauchy Problems and Symmetrizability of First Order Systems
一阶系统$L(t, x, \D_t, \D_x)$的Cauchy问题在$L^2$中是适定的，当它允许一个微局部对称化子$S(t,x, ξ)$，该微局部对称化子在$ξ$中是光滑的，在$(t, x)$中是Lipschitz连续的.本文包含三个主要结果。首先，我们证明了在$(t,x, ξ)$中全局Lipsshitz光滑性是充分的。其次，我们证明了具有给定光滑性的对称化子的存在性等价于具有相同光滑性的\emph{full symmetrizers}的存在性。这个概念最早是在\cite{FriLa1}中引入的。这是证明第三个结果的关键点，即如果改变时间的方向，微局部对称化子的存在性保持不变，这意味着局部唯一性和有限的传播速度。
A microlocal Cauchy problem through a crossing point of Hamiltonian flows
本文研究 $2\ imes 2$ 矩阵值伪微分方程在特征集有限接触阶相交下的微局部 Cauchy 问题，证明解在交叉点前后渐近行为的剧烈变化并给出精确公式，推广了 Schrödinger 算子与 Landau-Zener 模型的相关结果。
Local rigidity of manifolds with hyperbolic cusps I. Linear theory and microlocal tools
本文是第一次在一系列的两篇文章，其目的是延长最近的结果Guillarmou-Lefeuvre的局部刚性的标记长度谱的情况下，紧凑的负弯曲的黎曼流形的情况下，双曲尖流形。在这第一篇论文中，我们处理的线性（或无穷小）版本的问题，并证明了这样的流形是谱刚性的紧支撑变形。更精确地说，我们证明了对称螺线管2-张量上的X射线变换是内射的。为了做到这一点，我们扩展了Bonthonneau和Bonthonneau-Weich开发的微局部演算，使其能够在Sobolev和Hölder-Zygmund空间上反演伪微分算子。这个理论本身就很有趣，在第二篇论文[arXiv：1910.02154]中被广泛使用，以处理非线性问题。
Mathematics of internal waves in a 2D aquarium
本文通过微局部分析谱Poincaré问题，精确描述了二维水族箱内波长时间演化的奇异剖面，并将其与经典吸引子关联，提出了极限吸收原理。
Stability estimates for the Holonomy Inverse Problem
本文针对完整逆问题证明了 Hölder 型稳定性估计，涵盖局部一般联络及整体线丛和低秩向量丛情形，方法结合微局部分析与新的非阿贝尔近似 Livsic 定理。
Microlocal analysis of asymptotically hyperbolic spaces and high energy resolvent estimates
本文给出了作者最近提出的一种分析渐近双曲空间上拉普拉斯算子的新方法。这种新方法特别构造了偶度量（在Guillarmou意义下）预解式的解析延拓，并给出了高能量的条估计。关键的想法是一个扩展的边界上的一个问题，从拉普拉斯变换的频谱参数。扩展的问题是非椭圆的-事实上，在另一方面，它与渐近de Sitter空间上的Klein-Gordon方程有关-但尽管如此，它可以通过Fredholm理论的方法进行分析。这种方法是分析偏微分方程的更一般方法的一个特例，其中包括例如Kerr-de Sitter和Minkowski型空间。本文件是独立的，并处理渐近双曲空间没有负担的读者只需要的材料分析的洛伦兹问题考虑在作者的原始工作。
The Calderón problem and normal forms
我们概述了卡尔德龙的反问题，突出的作用，microlocal正常形式和奇性传播的奇异性，并延长了一些早期的结果也在各向异性的情况下的方法。主要结果指出，从边界测量，它是可能的，以恢复积分的未知系数在某些二维流形称为良好的bicharacteristicleaves。这将卡尔德龙问题简化为求解线性积分几何问题（双特征叶变换的逆）。
On generalized Holmgren's principle to the Lamé operator with applications to inverse elastic problems
考虑线性弹性理论中出现的拉梅算子$\mathcal{L}(\mathbf{ u} ) :=μΔ\mathbf{u}+(λ+μ) \nabla(\nabla \cdot \mathbf{ u} )$。本文研究了（广义）Lamé本征函数$\mathbf{u}$，即具有$κ\in\mathbb{R}_+$和$\mathbf{ u}\in L^2(Ω)^2$，$Ω\subset\mathbb{R}^2$的$-\mathcal{L}(\mathbf{ u} )=κ\mathbf{ u}$的几何性质.我们在$Ω$中引入了所谓的$\mathbf{u}$的均匀线段，在该均匀线段上，$\mathbf{u}$、其牵引或它们的组合通过阻抗参数消失。我们给出了一个全面的研究表征存在一个或两个这样的线段和它的含义的唯一性的$\mathbf{u}$。这些结果在两个方面推广了经典的Lamé算子的Holmgren唯一性原理.我们建立的结果，通过分析的$\mathbf{u}$与上述线段的存在下，分析微局部奇点的发展。最后，我们将所得结果应用于弹性反问题，建立了两个新的唯一可识别性结果。它示出了一个广义阻抗障碍物，以及它的边界阻抗可以确定通过使用最多四个远场图案。用最少数目的远场方向图唯一确定是逆弹性散射理论中一个长期存在的问题。
Determining evolutionary equations from a single passive boundary observation
针对演化型偏微分方程，提出基于积分恒等式、调和/微局部分析及低高频渐近的统一框架，利用单个被动边界观测同时恢复未知源和系数，克服信息稀缺与未知耦合难题。
Stably Determining a generalised Impedance Obstacle from a Single Far-Field Pattern
本文提出了一种新的Artificial Test Domain框架，用于单测量逆散射问题，通过微局分析揭示了广义阻抗超平面排除机制和定性-定量原则，实现了对多面体障碍物的稳定性估计，并统一了现有单测量唯一性结果。
Lipschitz stability in inverse source and inverse coefficient problems for a first- and half-order time-fractional diffusion equation
考虑一阶和半阶时间分数阶方程的反问题。本文利用Carleman估计建立了反源问题和反系数问题的Lipschitz型稳定性估计。
A numerical method for an inverse source problem for parabolic equations and its application to a coefficient inverse problem
本文提出两阶段数值方法求解抛物方程反源问题，先建立解的时间导数方程再用拟可逆方法求解，并将该反源问题作为非线性系数反问题的线性化形式迭代求解，给出了两类问题的数值结果。
Stability for an inverse flux and an inverse boundary coefficient problems
本文针对通量反问题建立Lipschitz和对数稳定性估计并应用于边界系数反问题，进一步利用其稳定性不等式解决腐蚀反问题，实现通过可访问边界测量确定不可访问边界的未知腐蚀系数。
Corrigendum : An inverse problem in corrosion detection:stability estimates, J. Inv. Ill-posed Problems 12 (4) (2004), 349-367
勘误表：腐蚀检测中的逆问题：稳定性估计，J. Inv.不适定问题12（4）（2004），349-367。
Inverse problems for q-analogue of the heat equation
本文研究了热传导方程的一类含时反源问题和$q$反初值问题的弱解。作为超定条件，我们使用了空间变量的积分型条件（在反源问题的情况下）和最终时间条件（在反初始问题的情况下）。所考虑的问题已通过谱展开的方法获得了级数形式。
Inverse boundary value problems for the magnetic Schroedinger equation
综述了磁薛定谔方程边值问题逆问题的最新研究成果。
Instability in the Gel'fand inverse problem at high energies
给出了高能下Gel'fand逆边值问题的不稳定性估计.我们的不稳定估计显示了这样一种类型的反问题的几个重要的前稳定性结果的最优性。
Examples of exponential instability for elliptic inverse problems
在最近的一篇论文中，N。Mandache（Inverse Problems 17（2001），pp. 1435-1444），我们建立了确定反问题的不稳定性的一般程序。我们将此过程应用于许多关于通过不同类型的边界测量确定各种类型缺陷的椭圆反问题，并证明这些问题是指数不适定的。
On the complex moment problem as a dynamic inverse problem for a discrete system
该研究将复矩问题与复Jacobi矩阵关联离散系统的动态逆问题建立联系，通过动态逆数据的特征刻画给出复矩问题可解的充分条件。
Remarks on the paper: Ikehata, M., Extraction formulae for an inverse boundary value problem for the equation $\nabla\cdot(σ-iωε)\nabla u=0$, Inverse Problems, 18(2002), 1281-1290
本文针对Ikehata关于逆边界值问题提取公式的论文，给出了其中定理1.1与1.2跳跃条件的评论及其推论。
An inverse problem for parabolic equations
这篇论文被撤回。
Multidimensional inverse Cauchy problems for evolution equations
本文讨论了高维严格双曲型方程和多调和热方程Cauchy问题的含时系数反问题。我们也将我们的技巧推广到一般的发展方程的柯西逆问题。
Some stability inequalities for hybrid inverse problems
研究了Schr dinger和Helmholtz型方程边值问题的混合反问题。我们考虑的反问题包括从内部能量的知识系数的确定。建立了局部Lipschitz稳定性不等式和条件Hölder稳定性不等式.
On an inverse dynamic problem for the wave equation with a potential on a real line
本文研究实直线上带势波动方程的反动力学问题，利用边界三元组建立正演问题，以动态 Dirichlet-to-Neumann 映射为反演数据，推导反问题方程并揭示其与矩阵值测度谱反问题的联系。
On inverse problems arising in fractional elasticity
首先，我们制定了一个反问题的线性分数Lamé系统。我们从Dirichlet-to-Neumann映射的外部部分测量确定Lamé参数。我们进一步研究了一个障碍物反问题和一个非线性分数阶Lamé系统的反问题。我们的论点是基于分数运算符的唯一连续属性以及相关的龙格近似属性。
Inverse source problems in transport equations with external forces
本文研究了带外力迁移方程的源反问题。我们表明，无论是直接和逆问题是唯一可解的一般吸收和散射系数。特别是，对于反问题，一般的注入性和稳定性估计的来源。分析采用Fredholm定理和Santalo公式。
Linearizing non-linear inverse problems and an application to inverse backscattering
我们提出了一个抽象的方法来证明局部唯一性和条件Hölder稳定的非线性反问题的线性化。主要条件是，除了线性化$A$的内射性之外，我们还需要$A$的稳定性估计。特别地，如果$A^*A$是椭圆伪微分算子，则满足该条件。我们应用这个计划显示的唯一性和Hölder稳定性的声学方程的逆后向散射问题附近的恒定声速。
Inverse Indefinite Spectral Problem for Second Order Differential Operator with Complex Periodoc Coefficients
研究了具有复周期位势和轴上间断系数的Sturm-Liouville算子的反问题。研究了该算子的基本解的主要特征，研究了该算子的谱.我们给出了反问题的公式，证明了一个唯一性定理，并提供了一个建设性的反问题的解决方案。
Stability of solutions to inverse scattering problems with fixed-energy data
作者的结果进行了审查。得到了三维定能量逆散射问题解的反演公式和稳定性估计。研究了精确数据和噪声数据的反演问题。详细讨论了势散射反问题，导出了反演公式，并给出了误差估计。研究了具有固定频率数据的障碍物散射反问题。得到了唯一性定理和稳定性估计。讨论了地球物理逆散射问题。给出了由散射振幅计算Dirichlet-to-Neumann映射和由散射振幅计算Dirichlet-to-Neumann映射的算法。构造了一个三维地球物理反问题解的非唯一性分析实例。讨论了一类抛物型方程的反问题。
Uniqueness of the inverse conductivity problem once-differentiable complex conductivities in three dimensions
证明了在$W^{1,\infty}$中三维复电导率反问题的唯一性。我们应用四元数分析反问题转化为逆狄拉克散射问题，建立在二维布朗和乌尔曼。这是一种新的方法，允许扩展的唯一性结果从一次可微的真实电导率复杂的。
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