On certain quaternary quadratic forms
本文确定了所有的正整数$a, b$和$c$，使得每个非负整数都可以表示为$$ f^{a,b}_c(x,y,z,w)=ax^2+by^2+c(z^2+zw+w^2) \,\, \textrm{with} \,\,x,y,z,w\in\mathbb{Z}. $$，并证明了$f^{a,b}_c$可以表示所有的非负整数，如果它表示$n=1,2,3,5,6,10.$
2014-11-14 math.NT
The equation $|p^x \pm q^y| = c$ in nonnegative $x$, $y$
通过允许$x$和$y$为零以及正值，我们改进了标题方程（其中$p$和$q$是素数，$c$是正整数）的早期工作。早期的工作的标题方程表明，除了列出的例外，有最多两个解决方案，在正整数$x$和$y$，使用初等方法。在这里，我们表明，与列出的例外情况下，有最多两个解决方案的非负整数$x$和$y$，但证明是依赖于非初等工作的Mittette，贝内特，卢卡，和Szalay。为了提供一些我们的结果与纯粹的初等证明，我们给简短的初等证明的结果卢卡，使可能的一个初等引理，也有一个应用程序熟悉的方程$x^2 + C = y^n$。我们也给Szalay的结果更短更简单的证明。最后给出了广义Pillai方程$(-1)^u r a^x + (-1)^v s b^y = c$解的个数的结果。
2011-12-20 math.NT
Almost all sets of nonnegative integers and their small perturbations are not sumsets
修复$α\in (0,1/3)$。我们表明，从拓扑的角度来看，几乎所有的集合$A\subseteq \mathbb{N}$的属性，如果$A^\prime=A$的所有，但$o(n^α)$元素，那么$A^\prime$不是一个非平凡的和集$B+C$。特别是，几乎所有的$A$都是完全不可约的。此外，我们还证明了测度模拟与$α=1$的相似性.
2022-12-28 math.GN math.NT math.PR
Every Nonnegative Integer Is a Sum of a Triangular, a Pentagonal, and a Heptagonal Number
State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, and University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院，中国科学院大学）
本文证明任何非负整数可表示为三个特定多边形数之和，解决了OEIS A287616猜想，并通过Lean 4形式化验证。
2026-06-25 cs.SC math.NT
Sums of four polygonal numbers with coefficients
令$m\ge3$为整数。$m+2$阶的多边形数由$p_{m+2}(n)=m\binom n2+n$ $(n=0,1,2,\ldots)$给出。柯西证明了费马的一个著名的主张，即每个非负整数都是$m+2$阶的$m+2$多边形数之和。对于$(a,b)=(1,1),(2,2),(1,3),(2,4)$，我们研究了是否任何足够大的整数可以表示为$$p_{m+2}(x_1) + p_{m+2}(x_2) + ap_{m+2}(x_3) + bp_{m+2}(x_4)$$与$x_1,x_2,x_3,x_4$非负整数。我们表明，如果$(a,b)\in\{(1,3),(2,4)\}$，或$(a,b)=(1,1)\ \&\ 4\mid m$，或$(a,b)=(2,2)\ \&\ m\not\equiv 2\pmod 4$，答案是肯定的。特别地，我们证实了Z. W. Sun，它指出任何自然数都可以写为$p_6(x_1) + p_6(x_2) + 2p_6(x_3) + 4p_6(x_4)$，其中包含$x_1,x_2,x_3,x_4$非负整数。
2017-10-05 math.NT
Characterization of order structures avoiding three-term arithmetic progressions
本文完全刻画了非负整数、整数及有理数集合上避免单调三项等差数列的混沌全序的序结构。
2024-04-21 math.CO math.NT
On the integer sets with the same representation functions
设$\mathbb{N}$是所有非负整数的集合。对于$S\subseteq \mathbb{N}$和$n\in \mathbb{N}$，令$R_S(n)$表示方程$n=s_1+s_2$、$s_1,s_2\in S$和$s_1<s_2$的解的个数。令$A$是所有非负整数的集合，这些整数在其二进制表示中包含偶数个数字$1$和$B=\mathbb{N}\setminus A$。放入$A_l=A\cap [0,2^l-1]$和$B_l=B\cap [0,2^l-1]$。在2017年，Kiss和Sándor证明了，如果$C\cup D=[0,m]$，$0\in C$和$C\cap D=\{r\}$，则$R_C(n)=R_D(n)$对于每个正整数$n$当且仅当存在一个整数$l\ge 1$使得$r=2^{2l}-1$，$m=2^{2l+1}-2$，$C=A_{2l}\cup (2^{2l}-1+B_{2l})$和$D=B_{2l}\cup (2^{2l}-1+A_{2l})$。这解决了陈和列夫的一个问题。本文证明了，若$C \cup D=[0, m]\setminus \{r\}$有$0<r<m$，$C \cap D=\emptyset$和$0 \in C$，则$R_{C}(n)=R_{D}(n)$对任意非负整数$n$当且仅当存在一个整数$l \geq 2$使得$m=2^{l}$，$r=2^{l…
2021-11-15 math.NT
On a problem of Chen and Fang related to infinite additive complements
两个非负整数的无限集合$A$和$B$称为加补，如果它们的和集包含每个非负整数.在1964年，Danzer构造了无限加法补$A$和$B$，其中$A(x)B(x) = (1 + o(1))x$为$x \rightarrow \infty$，其中$A(x)$和$B(x)$分别表示集合$A$和$B$的计数函数。本文通过推广Danzer的构造，解决了Chen和Fang的一个问题。
2020-12-17 math.NT
Additive systems and a theorem of de Bruijn
本文给出了de Bruijn的一个定理的完整证明，该定理对非负整数的加法系统进行了分类，即非负整数集合的族$\mca = (A_i)_{i\in I}$，每个集合包含0，使得每个非负整数都可以唯一地写成$\sum_{i\in I} a_i$的形式，其中对所有的$i$都有$a_i \in A_i$，而对只有100个$i$有$a_i \neq 0$.确定了所有不可分解的加法系。
2013-04-12 math.CO math.NT
Generalized additive bases, Konig's lemma, and the Erdos-Turan conjecture
设A是一组非负整数。对于每个非负整数n和正整数h，设r_{A}（n，h）表示n的表示形式n = a_1 + a_2 +. + a_h，其中a_1，a_2，.，a_h是A的元素，a_1 \leq a_2 \leq. \leq a_h.无限集A称为h阶基，如果对每个非负整数n，有r_{A}（n，h）\geq 1. Erdos和Turan证明了对每个2阶基A，limsup_{n\to\infty} r_A（n，2）= \infty.本文引入了一类新的可加基和一般的可加问题，其特例是Erdos-Turan猜想。利用Konig关于某些图中存在无限路的引理，证明了这个一般问题等价于一个有关的非负整数的有限集问题.
2003-02-22 math.CO math.NT
On function $SX$ of additive complements
两个非负整数集合$A,B$称为\emph{additive complements}，如果所有足够大的整数都可以表示为$A$和$B$中两个元素的和。如果每个非负整数都可以唯一地表示为来自$A$和$B$的两个元素之和，则我们进一步称之为$A,B$ \emph{perfect additive complements}。令$A(x)$为$A$的计数函数。在本文中，我们专注于功能$SX$，其中$SX=\limsup_{x\rightarrow\infty}\frac{\max\{A(x),B(x)\}}{\sqrt{x}}$是由埃尔德斯和弗洛伊德在1984年提出的。作为主要结果，我们确定了完全可加补的$SX$的值，并进一步确定了下确界。我们也给出了加法补数的$SX$的绝对下界。
2022-10-18 math.NT
On generalized Stanley sequences
令$\mathbb{N}$表示所有非负整数的集合。设$k\ge 3$是一个整数，$A_{0} = \{a_{1}, \dots{}, a_{t}\}$ $(a_{1} < \ldots< a_{t})$是一个不包含长度为$k$的等差数列的非负集合。我们表示由以下贪婪算法定义的$A = \{a_{1}, a_{2}, \dots{}\}$：如果$l \ge t$和$a_{1}, \dots{}, a_{l}$已经被定义，则$a_{l+1}$是最小整数$a > a_{l}$，使得$\{a_{1}, \dots{}, a_{l}\} \cup \{a\}$也不包含$k$项算术级数。这个序列$A$被称为$A_{0}$生成的$k$阶斯坦利序列。本文证明了关于Stanley序列的各种推广的一些结果。
2017-10-05 math.NT
Limits and decomposition of de Bruijn's additive systems
非负整数的加法系是一族（A_i）_{i \in I}，其中对于所有i个\in I，\in A_i为0，使得每个非负整数都可以唯一地写成\sum_{i\in I} a_i的形式，其中对于所有i，a_i \in A_i为a_i，并且对于只有100个i，a_i \neq为0。1956年，de Bruijn证明了每个加法系都是由一个无穷序列（g_i）_{i \in \N }构造的，其中g_i对所有i都是\geq 2，或者是这样一个系统的收缩。本文给出了“不可压缩”或“不可分解”可加系统的完整分类，并讨论了可加系统的极限和稳定性。
2017-08-04 math.CO math.NT
Two analogs of Thue-Morse sequence
我们介绍并研究了数学中最著名的数列之一Thue-Morse数列的两个类似物。第一个类比涉及非负整数的二进制表示中1的游程数的奇偶性。第二个序列与负二进制（或基$-2).$）非负整数表示中1的个数的奇偶性有关。我们给出了它们的一些递归公式和结构公式，并证明了第二个$(0,1)$ -序列是无立方的，而第一个序列是无五次方的。最后，我们考虑几个有趣的未解决的问题。
2017-05-23 math.NT
On additive complement of a finite set
我们说非负整数A和B的集合是加法补的，如果它们的和包含所有足够大的整数。本文证明了Chen和Fang关于有限集的可加补的一个猜想。
2013-04-25 math.NT
On $x(ax+1)+y(by+1)+z(cz+1)$ and $x(ax+b)+y(ay+c)+z(az+d)$
本文首先研究了对于什么正整数$a,b,c$，每个非负整数$a,b,c$都可以用$x,y,z$整数表示为$x(ax+1)+y(by+1)+z(cz+1)$.我们发现，$(a,b,c)$可以是以下七个三元组之一：$$(1,2,3),\ (1,2,4),\ (1,2,5),\ (2,2,4),\ (2,2,5),\ (2,3,3),\ (2,3,4),$$和猜想，任何三元组$(a,b,c)$之间的$$(2,2,6),\ (2,3,5),\ (2,3,7),\ (2,3,8),\ (2,3,9),\ (2,3,10)$$也有所需的属性。对于整数$0\le b\le c\le d\le a$ with $a>2$，我们证明了任意非负整数都可以表示为$x(ax+b)+y(ay+c)+z(az+d)$ with $x,y,z$整数，当且仅当四重数$(a,b,c,d)$在$$(3,0,1,2),\ (3,1,1,2),\ (3,1,2,2),\ (3,1,2,3),\ (4,1,2,3).$$之内
2016-10-01 math.NT
An Extension of the Prouhet-Tarry-Escott Problem to Nonnegative, Noninteger Powers
本文推广了Prouhet-Tarry-Escott问题，证明连续整数的非整数幂的有符号和可任意接近零。
2025-03-10 math.HO math.NT
Dilated floor functions having nonnegative commutator I. Positive and mixed sign dilations
在本文及其续集中，我们对所有实参数对$(α,β)$的集合$S$进行分类，使得扩张的地板函数$f_α(x) = \lfloor{αx}\rfloor$和$f_β(x) = \lfloor{βx}\rfloor$具有非负交换子，即对所有实$x$都有$ [ f_α, f_β](x) = \lfloor{α\lfloor{βx}\rfloor}\rfloor - \lfloor{β\lfloor{αx}\rfloor}\rfloor \geq 0$.关系式$[f_α,f_β]\geq 0$在非零伸缩因子集$α, β$上导出了一个预序，它推广了正整数上的整除偏序.本文讨论了膨胀参数$α$或$β$中至少有一个是非负的情况。正膨胀情况的分析与Beatty序列理论和两个生成元中的Diophantine Frobenius问题有关。
2018-06-19 math.NT
Numbers represented by restricted sums of four squares
本文利用Lipschitz整数环上的四元数算术证明了四元数限制平方和的一些结果。例如，我们证明了每个非负整数$n$都可以写成$x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}$，其中$x,y,z,t$是整数，$x+y+2z+2t$是正方形或立方体。
2021-05-28 math.NT
On the structure of sets which have coinciding representation functions
对于一组非负整数$A$，用$R_{A}(n)$表示整数$n$作为来自$A$的两个不同项之和的无序表示的数目。在本文中，我们部分地描述了结构的集合，它具有重合的表示函数。
2020-01-06 math.NT
Quadratic Residues and Non-residues in Arithmetic Progression
设S是非负整数的有限非空子集的无限集。如果p是奇素数，令c（p）表示集合{T { \in } S：T { \subseteq } {1，.，p-1}，T是p}的一组二次剩余（分别为非剩余）。当S由所有非负整数的等差数列的集合以各种方式构造时，我们确定c（p）的尖锐渐近行为为p { \to } +{ \infty }.本文还建立了这一结果的推广和变化，并讨论了与这些结果有关的一些值得进一步研究的问题。
2012-04-17 math.NT
Factors of sums and alternating sums involving binomial coefficients and powers of integers
本文研究了某些涉及二项式系数和整数幂的和与交错和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1,..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，存在{align*} \sum_{k=0}^{n_1} ε^k（2k+1）^{2 r +1} \prod_{i=1}^{m} {n_i+ n_{i+1} +1 \choose n_i-k} \equiv 0 \mod（n_1+n_m+1）{n_1+n_PDMATHABMS}，{align*}并猜想对任意非负整数$r$和正整数$s$，使得$r+s$是奇数，有$$ \sum_{k=0}^{n}ε^k (2k+1)^{r}({2n\choose n-k}-{2n\choose n-k-1})^{s} \equiv 0 \mod{2n\choose n}, $$其中$ε=\pm 1$ .
2011-04-05 math.CO math.NT
Numbers and the Heights of their Happiness
广义快乐函数$S_{e,b}$将一个正整数映射为其基数$b$数字的$e^\text{th}$幂和。我们说$x$是一个基$b$，$e$的幂，高$h$，$u$吸引数，如果$h$是使$S^{h}_{e,b}(x)=u$的最小正整数。快乐的数字是基数为10，2的幂，1吸引任何高度的数字。令$σ_{h,e,b}(u)$表示最小高度$h$，$u$表示固定基$b$和指数$e$的吸引数，并令$g(e)$表示最小数，使得对于某些非负整数$x_{1},x_{2},...,x_{g(e)}$，每个整数都可以写为$x_{1}^{e}+x_{2}^{e}+...+x_{g(e)}^{e}$。本文证明了：若$p_{e,b}$是最小非负整数，使得$b^{p_{e,b}}>g(e)$，$\displaystyle d=\left\lceil \frac{g(e)+1}{1-(\frac{b-2}{b-1})^{e}}+e+p_{e,b}\right\rceil$，$σ_{h,e,b}(u)\geq b^{d}$，则有$S_{e,b}(σ_{h+1,e,b}(u))=σ_{h,e,b}(u)$ .
2017-05-10 math.NT
On partitions of integers with restrictions involving squares
本文研究了正整数的带平方限制的分拆问题。我们主要建立了以下两个结果（Sun在2013年提出）：（i）每个正整数$n$都可以写为$n=x+y+z$ with $x,y,z$正整数使得$x^2+y^2+z^2$是正方形，除非$n$具有形式$n=2^{a}3^{b}$或$2^{a}7$ with $a$和$b$非负整数. (ii)具有$n\not=11,14,17$的每个整数$n>7$可以被写为具有$x,y,z$正整数的$n=x+y+2z$，使得$x^2+y^2+2z^2$是正方形。
2021-05-26 math.NT
The Arithmetic Partial Derivative
算术偏导数（相对于素数$p$）是整数集合中的一个函数，它使$p$变为1，并满足莱布尼茨规则。本文证明了高阶偏导数序列的$p$ -adic赋值最终是周期的。我们还证明了一个准则，以确定当一个整数有积分反偏导数。作为应用，我们证明了对于任意非负整数$n$，存在无穷多个整数恰好具有$n$整反偏导数.
2022-06-01 math.NT
On representations of positive integers by $(a+c)^{1/3}x + (b+d)y$, $(a+c)x + \bigl(k(b+d) \bigr)^{1/3} y$, and $\bigl(k(a+c) \bigr)^{1/3} x + l(b+d) y$
我们使用刘维尔类型的和来计算在一定的相对素性条件下，对于非负整数$a,b,c,d,k,l,x,y$，正整数可以由形式$(a+c)^{1/3}x + (b+d)y$、$(a+c)x + \bigl(k(b+d) \bigr)^{1/3} y$和$\bigl(k(a+c) \bigr)^{1/3} x + l(b+d) y$表示的方式的数量。
2014-03-10 math.NT
On Sárközy-Sós Theorem related to representation functions
Nanjing Normal University（南京师范大学）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与创新网络阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）
本文研究了表示函数的密度分布，证明了对于任意非负数α₀,…,αₘ，存在无限多个集合A⊆ℕ₀，使得r₂(A,n)=i的n的密度为αᵢ。
2026-07-07 math.NT
Tight universal triangular forms
对于非负整数的子集$S$和正整数的向量$\mathbf{a}=(a_1,\dots,a_k)$，令$V'_S(\mathbf{a})=\{ a_1s_1+\cdots+a_ks_k : s_i\in S\} \setminus \{0\}$。对于正整数$n$，令$\mathcal T(n)$为大于或等于$n$的整数集合。本文考虑了当$S$是（广义）$m$ -整数的集合且$n$是正整数时，求出所有满足$V'_S(\mathbf{a})=\mathcal T(n)$的向量$\mathbf{a}$的问题.特别是，我们完全解决的情况下，当$S$是三角数的集合。
2021-06-22 math.NT
The generalized Frobenius problem via restricted partition functions
本文利用受限分拆函数的水平集与拟多项式渐近结构，研究广义 Frobenius 数及可表示整数计数，给出大 $k$ 时的公式、完整渐近性并恢复若干特例结果。
2023-08-17 math.CO math.NT
Shatrovskii's construction of thin bases
称非负整数集合A为h阶基，如果每个非负整数都可以表示为A中恰好h个不一定相异的元素之和。一个h阶加法基A称为薄基，如果存在c > 0使得A中不超过x的元素个数对所有x > 0都小于cx^{1/h}。本文给出了h阶薄基的Shatrovskii构造。
2009-06-06 math.CO math.NT
The $p$-Frobenius and $p$-Sylvester numbers for Fibonacci and Lucas triplets
本文研究了一类广义线性丢番图的Frobenius问题。设$a_1,a_2,\dots,a_l$是正整数，使得它们的最大公因数为1。对于非负整数$p$，用$g_p(a_1,a_2,\dots,a_l)$表示$p$ -Frobenius数，它是最大的整数，可以用$a_1,a_2,\dots,a_l$的非负整数系数的线性组合来表示。当$p=0$时，$0$ -Frobenius数是经典Frobenius数.当$l=2$，$p$ -Frobenius数显式给出时.然而，当$l=3$甚至更大时，即使在特殊情况下，也不容易明确地给出Frobenius数，当$p>0$时就更困难了，并且还没有已知的具体例子。然而，最近，我们已经成功地给出明确的公式的情况下，序列是三角形数或代表的情况下，$l=3$。本文给出了当$p>0$ .此外，我们还给出了$p$ -Sylvester数的一个显式公式，即能用至多$p$方式表示的非负整数的总数。此外，给出了关于卢卡斯三元组的显式公式.
2022-12-04 math.CO math.NT
Infinite sumsets with many representations
设$A$是非负整数的无限集。对于$h \geq 2$，令$hA$是$h$的所有和的集合，而不一定是$A$的不同元素。如果和集$hA$中的每个足够大的整数至少有两个表示，则为$A(x) \geq (\log x)/\log h)-w_0$，其中$A(x)$计算整数$a \in A$的个数，使得$1 \leq a \leq x$。
2014-07-05 math.NT
New results similar to Lagrange's four-square theorem
本文证明了若干类似拉格朗日四平方定理的整数表示结果，包括五边形数恒等式以及在关于 $a,b$ 的两类奇偶条件下，充分大整数均可由四个相应二次型项表示。
2024-12-05 math.NT
Short intervals containing a prescribed number of primes
证明了对每个非负整数$m$，存在一个$\varepsilon>0$，使得如果$λ\in (0,\varepsilon]$和$x$就$m$而言足够大，则区间$[n,n+λ\log n]$中恰好包含$m$素数的正整数$n\leq x$的个数至少是一个常数乘以$x/\log x.$. Freiberg，当$λ$很小时。
2018-02-28 math.NT
On Unique Additive Representations of Positive Integers and Some Close Problems
设（m_r（n）），n>=0，是Moser序列，使得每个非负整数都是唯一的s_k+rs_l的和.本文给出了这种形式的一个显式分解公式和一个出乎意料的简单的Moser数的递归关系。我们还研究了序列（rm_r（n-1）+1），n>=1的一些有趣的性质，以及它与一些重要问题的联系。特别是，在r=2的情况下，这个序列令人惊讶地与解决组合约瑟夫斯-格罗尔问题的数字有关。我们还提出了一些悬而未决的问题。
2008-12-02 math.NT
The distribution of the Carlitz binomial coefficients modulo a prime
对于一个非负整数$n$，和一个总理$\wp$在$\mathbb{F}_q[T]$，我们证明了一个结果，提供了一种方法，用于计算整数$m$与$0 \le m \le n$的Carlitz二项式系数$\binom{n}{m}_C$落入每个剩余类模$\wp$。我们的主要结果可以被看作是一个功能领域的模拟Garfield-Wilf定理。
2017-07-24 math.NT
On monotone increasing representation functions
令$k\ge 2$为整数，令$A$为非负整数的集合。集合$A$的表示函数$R_{A,k}(n)$是作为来自$A$的$k$项之和的非负整数$n$的表示的数目。设$A(n)$表示$A$的计数函数，Bell和Shallit最近给出了Dombi猜想的一个反例，证明了如果$A(n)=o(n^{\frac{k-2}{k}-ε})$对某个$ε>0$，则$R_{\mathbb{N}\setminus A,k}(n)$最终严格递增.本文将这一结果推广到$A(n)=O(n^{\frac{k-2}{k-1}})$。我们还给出了一个例子来说明这个界是最好的。
2023-03-02 math.CO math.NT
Approaching Cusick's conjecture on the sum-of-digits function
Cusick猜想的二进制数字和$s(n)$的一个非负整数$n$国家如下：对于所有非负整数$t$我们有\[ c_t=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac 1N\left\lvert\{n<N:s(n+t)\geq s(n)\}\right\rvert>1/2. \]我们证明，对于给定的$\varepsilon>0$我们有\[ c_t+c_{t'}>1-\varepsilon \]如果二进制扩展$t$包含足够的块连续$\mathtt 1$ s（取决于$\varepsilon$），其中$t'=3\cdot 2^λ-t$和$λ$的选择，使$2^λ\leq t<2^{λ+1}$。
2019-04-18 math.CO math.NT
Multiple reciprocal sums and multiple reciprocal star sums of polynomials are almost never integers
令$n$和$k$是整数，使得$1\le k\le n$和$f(x)$是整数系数的非零多项式，使得对于任何正整数$m$，$f(m)\ne 0$。对于任何正整数的$k$元组$\vec{s}=(s_1, ..., s_k)$，我们定义$$H_{k,f}(\vec{s}, n):=\sum\limits_{1\leq i_{1}<\cdots<i_{k}\le n} \prod\limits_{j=1}^{k}\frac{1}{f(i_{j})^{s_j}}$$和$$H_{k,f}^*(\vec{s}, n):=\sum\limits_{1\leq i_{1}\leq \cdots\leq i_{k}\leq n} \prod\limits_{j=1}^{k}\frac{1}{f(i_{j})^{s_j}}.$$如果所有$s_j$都是1，那么令$H_{k,f}(\vec{s}, n):=H_{k,f}(n)$和$H_{k,f}^*(\vec{s}, n):=H_{k,f}^*(n)$ . Hong和Wang改进了Erdös和Niven以及Chen和Tang的结果，证明了如果$n\geq 4$和$f(x)=ax+b$与$a$和$b$是正整数，则$H_{k,f}(n)$不是整数。同时，当$f(x)$为非负整数系数且次数不小于2时，Luo，Hong，Qian和Wang也建立了类似的结果.对于任何…
2018-07-02 math.NT
Weighted Sylvester sums on the Frobenius set
设$a$和$b$是互素正整数。本文给出了加权和$\sum_{n\in{\rm NR}(a,b)}λ^{n-1}n^m$的显式表达式或用Apostol-Bernoulli数表示的表达式，其中$m$非负整数，${\rm NR}(a,b)$表示不能用$a$和$b$表示的正整数集合.
2021-05-18 math.CO math.NT
On a Conjecture about the Number of Solutions to Linear Diophantine Equations with a Positive Integer Parameter
设A（n）是一个$k\times s$矩阵，$m(n)$是一个$k$维向量，其中A（n）和$m(n)$的所有元素都是$n$中的整数值多项式。假设对于每个$n\in \mathbb{N}$，$$t(m(n)|A(n))=#\{x\in\mathbb{Z}_{+}^{s}\mid A(n)x=m(n)\}$$是有限的，其中$Z_+$是非负整数的集合。本文证明了当$n$充分大时，$t(m(n)|A(n))$是$n$中的整值拟多项式，并在几种情况下证明了这一猜想.
2007-09-30 math.CO math.NT
Reciprocals of Binary Power Series
如果A是包含0的非负整数集合，则存在唯一的非负整数非空集合B，使得每个正整数都可以写成a+b的形式，其中a \in A和b \in B以偶数种方式表示。我们计算了B对几个特定集合A的自然密度，包括Prouhet-Thue-Morse序列，{0} \cup {2 ^n：n \geq 0}，以及随机集合，并研究了B对有限集合A的密度分布.这个问题的动机是欧拉的观察，如果A是有奇数个分区的n的集合，那么B是五边形数的集合{n（3 n +1）/2：n \in Z}。我们还阐述了这个问题与德布鲁因序列和线性移位寄存器理论之间的联系。
2005-06-24 math.CO math.NT
On a problem of Nathanson
非负整数的集合$A$是阶$h$的渐近基，如果每个足够大的整数都可以表示为$A$的$h$整数（不一定是相异的）之和。若没有$A$的真子集是$h$阶的渐近基，则称$h$阶的渐近基$A$是极小的.本文解决了关于$h$阶极小渐近基的Nathanson问题.
2017-11-01 math.CO math.NT
On universal sums of polygonal numbers
对于$m=3,4,\ldots$，$m$阶的多边形数由$p_m(n)=(m-2)\binom n2+n\ (n=0,1,2,\ldots)$给出。对于正整数$a,b,c$和具有$\max\{i,j,k\}\ge5$的$i,j,k\ge3$，我们称三元组$(ap_i,bp_j,cp_k)$是泛的，如果对于任何$n=0,1,2,\ldots$都存在非负整数$x,y,z$使得$n=ap_i(x)+bp_j(y)+cp_k(z)$。我们发现，只有95个候选人的通用三元组（其中两个是$(p_4,p_5,p_6)$和$(p_3,p_4,p_{27})$），并推测，他们确实是通用三元组。对于许多三元组$(ap_i,bp_j,cp_k)$（包括$(p_3,4p_4,p_5),(p_4,p_5,p_6)$和$(p_4,p_4,p_5)$），我们证明了任何非负整数都可以写成$ap_i(x)+bp_j(y)+cp_k(z)$ with $x,y,z\in\mathbb Z$的形式.我们也给出了一些有关三元二次型的新结果，其中之一是任何非负整数$n\equiv 1\pmod{6}$都可以写成$x^2+3y^2+24z^2$ with $x,y,z\in\mathbb Z$的形式。此外，我们提出了几个相关的结构，其中之一的状态，任何$m=3,4,\ldots$的每个自然数可以表示为$p_{m+1}(x_1)…
2015-05-14 math.CO math.NT
The $p$-numerical semigroup of the triple of arithmetic progressions
本文研究算术数列三元组的 $p$-Frobenius 数，通过确定 $p$-Apéry 集的元素，给出了此前未知的 $p>0$ 情形下显式公式及相关值。
2023-06-27 math.CO math.NT
Sums of binomial coefficients evaluated at $α\in \overline{\mathbb Q},$ and applications
加法幺半群$R_+(x)$定义为$n \in \mathbb Z_+$的所有二项式系数$\binom{x}{n}$的非负整数线性组合的集合。本文研究了复数$α.$的$R_+(α)$的结构，特别是非负整数的代数$α$。这个问题是由Deligne范畴$\textrm{Rep}(S_t)$（以及$\textrm{Rep}(\textrm{GL}_t)$）对于$t \in \mathbb C\backslash \mathbb Z_+$的函子的研究所激发的。我们证明了这个对象是一个环当且仅当PDMATHAMR是一个代数数，不是一个非负整数。进一步证明了由$α,$生成的所有代数整数，即$\mathcal O_{\mathbb Q(α)},$的所有元素也包含在这个环中.给出了$R_+(α)$的两种显式表示，一种是关于某些素理想的赋值不等式，另一种是显式构造的生成元.我们展示了这些结果是如何工作的背景下，研究对称monoidal函子之间的Deligne范畴的积极特征。此外，这导致一个特别简单的描述$R_+(α)$的二次代数数和根的单位。
2020-12-10 math.NT math.RT
The polynomial part of a restricted partition function related to the Frobenius problem
给定一组正整数A = {a_1，.，a_n}，研究了方程组的非负整数解（m_1，.，m_n）到m_1a_1 + ... m_n a_n = t.我们导出了p_A的多项式部分的一个显式公式。
2003-06-02 math.CO math.NT
Lucas-type congruences for cyclotomic $ψ$-coefficients
设p是任意素数，a是正整数。对于非负整数l、n和整数r，已知归一化分圆$ψ$系数$${n,r}_{l,p^a}:=p^{-[(n-p^{a-1}-lp^a)/(p^{a-1}(p-1))]} \sum_{k=r(mod p^a)}(-1)^k{n \choose k}{{(k-r)/p^a} \choose l}$$是整数.在本文中，我们表明，这个系数的行为类似于二项式系数，并满足一些卢卡斯型同余。这意味着Wan的一个同余往往是最优的，Sun和Davis的两个同余是真的。
2008-04-17 math.CO math.NT
A lower bound for Cusick's conjecture on the digits of n+t
令$s$为基$2$中的数字和函数，该函数返回非负整数的基2展开式中的$\mathtt 1$数。对于非负整数$t$，定义渐近密度\[ c_t=\lim_{N\rightarrow \infty} \frac 1N\bigl\lvert\{0\leq n<N:s(n+t)\geq s(n)\}\bigr\rvert.\] T。~ W.~库西克证实了$c_t>1/2$。我们有基本的界限$0<c_t<1$;然而，没有形式为$0<α\leq c_t$或$c_t\leq β<1$，对所有$t$有效的界限是已知的。本文证明了只要$t$在它的二进制展开式中包含足够多的$\mathtt 1$块，则$c_t>1/2-\varepsilon$就成立.在证明中，我们提供了相关概率分布的矩的估计;这扩展了Emme和Prikhod 'ko（2017）发起的研究，并由Emme和Hubert（2018）进行。
2019-11-15 math.CO math.NT
Total nonnegativity of GCD matrices and kernels
设$X = (x_1,\dots,x_n)$是不同正整数的向量。$n \times n$矩阵$S = S(X) := (\gcd(x_i,x_j))_{i,j=1}^n$，其中$\gcd(x_i,x_j)$表示$x_i$和$x_j$的最大公约数，被称为$X$上的最大公约数（GCD）矩阵。根据Beslin和Ligh [ Linear Algebra and Appl.118]的一个令人惊讶的结果，所有的GCD矩阵都是正定的。本文完全刻画了满足全非负（TN）或全正（TP）这一较强性质的GCD矩阵。如我们所示，当$n \geq 3$时，GCD矩阵永远不是TP，当且仅当它是$\textrm{TN}_2$时，它是TN，即，其所有$2 \times 2$子项均为非阴性。接下来我们证明了GCD矩阵是$\textrm{TN}_2$当且仅当$x_i$的素因子分解中的每个素因子的指数形成单调序列。在内核的语言重新表述，我们的结果表征的整数子集的内核$K(x,y) = \gcd(x,y)$是完全非负的。我们的特征的证明依赖于Rehmanmacher和Krein的格林矩阵的概念。我们的结论是，一个GCD矩阵是TN当且仅当它是一个格林矩阵。因此，我们得到了所有的未成年人和完全非负的GCD矩阵的逆的明确的公式。
2019-01-07 math.CA math.NT math.RA
Growth of sumsets in abelian semigroups
设S是可加的阿贝尔半群。设A是S的有限子集。我们用|A|表示A的基数。对于任何正整数h，和集hA是h的所有和的集合，不一定是A的不同元素。我们定义0A = {0}。如果A_1，...，A_r，B是A和h_1，.的有限和集，h_r是非负整数，和集h_1A +. + h_rA_r + B是S中所有可以用u_1 +. + u_r + b，其中u_i \in h_iA_i和b \in B。这个和集的增长函数是γ（h_1，...，h_r）=| h_1A + ... + h_rA_r + B|.本文应用分次代数上分次模的Hilbert函数，证明了存在一个多项式p（t_1，…，t_r）使得γ（h_1，.，h_r）= p（t_1，.，t_r）如果min（h_1，...，h_r）是极大的。
2000-02-12 math.AC math.AG math.NT
