关于Sárközy-Sós定理的相关表示函数
On Sárközy-Sós Theorem related to representation functions
AI总结：
本文研究了表示函数的密度分布，证明了对于任意非负数α₀,…,αₘ，存在无限多个集合A⊆ℕ₀，使得r₂(A,n)=i的n的密度为αᵢ。
摘要：
令ℕ₀为所有非负整数的集合。对于非空集合A⊆ℕ₀和整数n,h≥2，令r_h(A,n)为n表示为a₁+⋯+a_h的方式数，其中a₁≤⋯≤a_h且a_i∈A（i=1,…,h）。2016年，陈和唐证明了，对于任意给定的不同的正整数u₁,…,u_k和正有理数α₁,…,α_k，其中α₁+⋯+α_k=1，存在无限多个集合A⊆ℕ₀，使得对于所有非负整数n，r_h(A,n)≥1，并且对于所有整数i=1,…,k，具有r_h(A,n)=u_i的n的密度为α_i。本文考虑了无理数α_i的情况。主要结果是，对于任意非负数α₀,…,α_m，其中α₀+⋯+α_m=1，存在无限多个集合A⊆ℕ₀，使得对于所有整数i=0,…,m，具有r₂(A,n)=i的n的密度为α_i。还包含其他相关结果。
英文摘要：
Let $\mathbb{N}_0$ be the set of all nonnegative integers. For a nonempty set $\mathcal{A}\subseteq \mathbb{N}_0$ and integers $n,h\ge 2$, let $r_{h}(\mathcal{A},n)$ be the number of representations of $n$ as $a_1+\cdots+a_h$, where $a_1\le \cdots\le a_h$ and $a_i\in \mathcal{A}$ for $i=1,\cdots,h$. In 2016, Chen and Tang showed that, for any given distinct positive integers $u_1,\cdots,u_k$ and positive rational numbers $α_1,\cdots,α_k$ with $α_1+\cdots+α_k=1$, there are infinitely many sets $\mathcal{A}\subseteq \mathbb{N}_0$ such that $r_{h}(\mathcal{A},n)\ge 1$ for all nonnegative integers $n$ and the set of $n$ with $r_{h}(\mathcal{A},n)=u_i$ has density $α_i$ for all integer $i=1,\cdots,k$. In this paper, we consider the irrational numbers $α_i$ as well. As a main result, we prove that, for any nonnegative numbers $α_0,\cdots,α_m$ with $α_0+\cdots+α_m=1$, there are infinitely many sets $\mathcal{A}\subseteq \mathbb{N}_0$ such that the set of $n$ with $r_{2}(\mathcal{A},n)=i$ has density $α_i$ for all integer $i=0,\cdots,m$. Other related results are also contained.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
