Directed weak fibrations
在文献[21]中，作者研究了有向空间范畴dTop在M意义下的同伦提升性质。Grandis [12]，[13]，[14].本文是上述文章的继续，引入并研究了有向弱同伦性质（dWCHP）和有向弱纤维化，将著名的Dold（或弱）-纤维化推广到dTop范畴[6]。dWCHP以几种方式表征。然后研究了有向弱纤维化之间的有向纤维同伦等价（dFHE）的概念。给出了一些例子和反例。
2016-12-13 math.AT
Cubical approximation for directed topology I
本文研究有向拓扑中的立方逼近理论，证明了立方集和有向空间的几何实现诱导等价，并探讨了有向映射同伦关系的相等条件。
2026-01-30 math.AT
A notion of homotopy for directed graphs and their flag complexes
本文为有向图及其旗复形引入同伦等价关系，证明其诱导同调同构，并据此建立过滤有向图持续同调的稳定性定理，同时指出与路径同调的差异。
2024-11-07 math.AT
Strict n-categories and augmented directed complexes model homotopy types
本文证明了严格$n$ -范畴的同伦范畴$1\leqslant n \leqslant \infty$和Steiner增广有向复形的同伦范畴都等价于同伦类型范畴。为了做到这一点，我们首先证明了一个抽象的结果，基于Fritsch和Latch的策略，给出了一个神经函子的充分条件，其值在单纯集上，在同伦范畴的水平上诱导等价。然后我们将这个结果应用到严格$n$ -范畴和增广有向复形上，我们定理的假设是由Ara和Maltsiniotis建立的.
2018-02-15 math.AT math.CT
The homotopy types of directed path and trace spaces
Université Paris Cité, CNRS, IRIF（巴黎西岱大学、法国国家科学研究中心、IRIF研究所）
构造饱和有向空间，使两点间迹空间同胚于正方形而有向路径空间有非平凡基本群，证明典范商映射非弱同伦等价，结论对正则路径亦成立。
2026-09-11 math.AT math.GN
Directed homotopy theory, I. The fundamental category
有向代数拓扑开始在各种应用中出现。我们将用于这种理论的基本结构，即“d-空间”，是一个配备有一族“有向路”的拓扑空间，在某些运算下是封闭的。这允许“有向同伦”，通常是不可逆的，由柱面和上柱面函子表示。存在的“pastings”（colimits）产生几何实现的立方集的d-空间，连同同伦结构，将在续集中开发。在这里，'基本范畴'的d-空间的介绍和'塞弗特-范坎彭'定理证明，其同伦不变性依赖于'定向同伦'的类别。在这个过程中，新的形状出现了，对于d-空间，也对于小范畴，它们的初等代数模型。这些工具的应用程序被简要地考虑或建议，对象模型的直接图像，或时空的一部分，或并发过程。
2001-11-14 math.AT math.CT
Configuration spaces and directed paths on the final precubical set
本文的主要目的是证明最终预三次集上的有向环空间同伦等价于平面上的点的“全”构形空间;“全”是指在一个构形中允许任何有限数目的点。我们还提供了几个应用：我们定义了新的预三次集的不变量，证明了任何预三次复形上的有向道路空间具有CW-复形的同伦类型，并构造了作为范畴神经的平面上的点的位形空间的某些表示。
2021-03-09 math.AT
Paths of the directed suspension
证明了定向空间的定向悬挂的闭路空间同伦等价于James构造。特别地，它不依赖于给定有向空间的有向结构。
2016-07-02 math.AT
The discrete homotopy hypothesis for directed graphs
Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications (BIMSA)（北京数学与应用高等研究所）；University of Southampton（南安普顿大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文基于立方同伦群发展有向图的同伦理论，通过局部化得到无穷范畴并证明其与空间范畴等价，建立有向版本的离散同伦假设。
2026-09-11 math.AT math.CO math.CT
The homotopy type of the moment-angle complex associated to the complex of injective words
本文研究利用多面体积 functor 构造有向图的拓扑空间，并探讨其同调类型，揭示了同调与组合学的紧密联系，通过计算注入词复合体的同调类型，展示了其由 h-向量决定。
2026-07-03 math.AT
Spaces of directed paths on pre-cubical sets II
对于给定的具有两个不同顶点$\bO$，$\bI$的预立方集（$\square$ --set）$K$，证明了具有源$\bO$和目标$\bI$的$K$的几何实现上的d-路的空间$\vP(K)_\bO^\bI$同伦等价于它的驯服d-路的子空间$\vP^t(K)_\bO^\bI$.当$K$是底层的$\square$ -高维自动机$A$的集合时，$K$上的驯服d-路径表示$A$的步骤执行。然后，我们定义了$K$的立方链范畴，证明了它的神经与$\vP(K)_\bO^\bI$是弱同伦等价的。
2019-01-16 math.AT
On directed homotopy equivalences and a notion of directed topological complexity
LIX, Ecole Polytechnique, CNRS, Université Paris-Saclay（LIX实验室，巴黎综合理工学院，法国国家科学研究中心，巴黎萨克雷大学）
本文提出有向同伦等价与有向拓扑复杂度的概念，探讨其联合性质，指出有向同伦等价与双相似自然同调的关系，并讨论有向拓扑复杂度作为有向同伦等价不变量的特性。
2017-10-09 cs.LO cs.SY eess.SY
Transition from local to global of dFHE and dWCHP
在文献[22]中，作者研究了M意义下有向空间范畴dTop中的有向弱覆叠同伦性质和有向弱纤维化。Grandis [12]，[13]，[14].这种类型的映射扩展到dTop类著名的Dold（或弱）纤维化[6]。本文研究了dFHE（有向纤维同伦等价）和dWCHP从局部到全局的转变，分别证明了两个Dold型定理和一个Tom Dieck-Kamps-Puppe型定理[3].定义了有向拓扑的一些新概念：d-晕，d-SEP，d-可收缩覆盖，d-可收缩。给出了一些例子和反例。
2016-12-13 math.AT
Cubical Approximation for Directed Topology II
本文通过立方逼近方法，建立了定向拓扑与立方集之间的等价关系，并探讨了其在同调单形和分类空间中的应用。
2026-01-29 math.AT math.CT
Path homology of directed hypergraphs
我们描述了各种道路同调论构造的有向超图。我们引入了有向超图的范畴和同伦的概念。此外，我们还研究了引入的路同调群的函子性和同伦不变性。我们提供了计算这些同调群的例子。
2021-09-20 math.AT math.CO
On the homotopy type of multipath complexes
有向图中的多路径是路径的不相交并集。有向图${\tt G}$的多路径复形是其面是${\tt G}$的多路径的单纯复形。我们计算了一些图族的多路径复形的欧拉示性数和相关的生成函数，包括传递竞赛图和完全二部图。然后，我们计算了线性图、多边形、小网格和传递竞赛图的多路径复形的同伦类型。我们表明，他们都是可收缩或楔形的领域。我们引入了一种新的技术分解有向图到动态区域，这使我们能够简化同伦计算。
2022-08-09 math.AT math.CO
The topology of critical processes, III (Computing homotopy)
本文在有向代数拓扑框架下研究临界过程，基于前文引入的受控空间，探讨其基本范畴的计算方法，为后续同伦结构研究奠定基础。
2024-09-04 math.AT
Six model categories for directed homotopy
我们在多点$d$ -空间和流上构造了一个q-模型结构、一个h-模型结构和一个m-模型结构。这两个q模型结构是组合的，并且与这些类别上已知的组合模型结构一致。其他四个模型结构（两个m模型结构和两个h模型结构）是可访问的。我们给出了一个例子，多点的$d$ -空间和流动，这是不相干的任何模型结构。我们解释了为什么m模型结构，Quillen等价于同一范畴的q模型结构，比q模型结构表现得更好。
2020-06-02 math.AT math.CT
Homotopy equivalence of isospectral graphs
本文研究了由Bisson和Tsemo在有向图Gph范畴中定义的Quillen模型结构。特别是，我们给出了一个精确的描述与此模型结构的同伦类图。我们赋予N-集和Z-集范畴相关的模型结构，并证明它们的同伦范畴与同伦范畴Ho（Gph）是Quillen等价的.这使我们能够证明Ho（Gph）等价于周期Z-集的范畴cZSet，并证明两个有限有向图几乎等谱当且仅当它们在我们的意义下同伦等价。
2009-06-25 math.AT math.CT
Homomorphism complexes, reconfiguration, and homotopy for directed graphs
本文系统建立有向图 Hom 复形理论，研究其拓扑性质、图运算、邻域复形、同调消没及同态重配置，并定义相关有向同伦。
2023-08-14 math.AT math.CO
Directed path spaces via discrete vector fields
设$K$是一个可以嵌入到标准立方体中的任意半立方体集合。利用离散莫尔斯理论，我们构造了一个CW-复形，它同伦等价于$K$的两个给定顶点$v,w$之间的有向路空间$\vec{P}(K)_v^w$.在许多情况下，这种构建是最小的：所构建的CW-复合物的细胞与$\vec{P}(K)_v^w$同源性的发生子1- 1对应。
2017-08-07 math.AT
Stable components of directed spaces
在本文中，我们引入了无环有向空间上的稳定未来、过去和全分量系统的概念。然后，我们将稳定成分类别与稳定（未来、过去或总体）成分系统相关联。稳定组分类别在某些幺半范畴类中富集，如：同伦范畴的空间，并携带信息的空间之间的有向路径的特定点。证明了无环的有限预立方集的几何实现存在唯一的极小稳定（未来/过去/总体）分量系统。这些构造为有向空间提供了一个新的不变量族。
2018-09-08 math.AT
Directed Homotopy, Sectional Invariants, and Functorial Databases
Universidade de Santiago de Compostela（圣地亚哥德孔波斯特拉大学）
研究小范畴上的函子数据库，将自然变换视为有向同伦，引入有向纤维化等概念，定义有向Lusternik - Schnirelmann范畴和截面范畴，通过Grothendieck opfibration模型计算有向截面范畴，研究其在多种操作下的性质及刻画有限连通无环模式初始对象。
2026-07-28 cs.DB math.AT math.CT
Comparing cubical and globular directed paths
本文构造了一个不依赖于余纤维替代选择的新实现函子，将预立方集映射为流，并证明其执行路径空间与几何实现中的非恒定 d-路径空间同伦等价。
2023-03-08 math.AT math.CT
A McCord-type theorem for pseudotopological spaces and directed graphs
The University of Texas at El Paso（德克萨斯大学埃尔帕索分校）；Ursinus College（厄辛学院）
本文为伪拓扑空间及有向图建立McCord型定理，构造有向Vietoris-Rips复形与底层有向图间的弱同伦等价，从而通过有限组合结构高效计算有限有向图的奇异同调群，并推广经典同伦与同调结果。
2026-09-29 math.AT math.CT math.GN
Directed univalence in simplicial homotopy type theory
Aarhus University（奥胡斯大学）；Chapman University（查普曼大学）；University of Nottingham（诺丁汉大学）
本文提出了一种基于simplicial type theory的定向univalence构造，构建了离散类型的宇宙S，并证明了其与普通类型函数的对应关系，为范畴论和编程语言中的结构同构原理提供了理论基础。
2026-01-15 cs.LO math.AT math.CT
Directed Homotopy in Non-Positively Curved Spaces
本文研究仅用互斥锁的并发程序，通过预立方集引入非正曲率概念，证明有向与非有向同伦一致，并借助广义度量空间实现几何化，为并发程序语义提供新视角。
2020-07-10 cs.DC cs.LO math.AT
Natural homotopy of multipointed d-spaces
本文研究了多重点d空间的自然同伦构造，通过反射将有向空间的自然系统扩展至多重点d空间，并探讨了其在同伦下的不变性及与q模型结构的不兼容性。
2025-04-18 math.AT math.CT
Spaces of directed paths on pre-cubical sets
预立方集的几何实现上的有向路空间，也称为$\square$ -集，可以解释为高维自动机的可能执行空间，高维自动机是并行计算的模型。本文对充分好的预立方集$K$，构造了一个CW-复形$W(K)_v^w$，它同伦等价于$K$的给定顶点间有向路空间$v$，$w$.这个构造是关于$K$的函子构造，并且是所有函子构造中最小的。此外，还给出了$W(K)_v^w$胞元关联数的显式表达式。
2016-05-26 math.AT
Comparing the non-unital and unital settings for directed homotopy
本文比较流的 q-模型结构与拓扑富集小范畴的 Ilias 模型结构，证明二者间的提升性质及恒等函子非 Quillen 伴随，并给出极小模型结构的同伦范畴。
2023-01-25 math.AT math.CT
Time-reversal homotopical properties of concurrent systems
本研究探讨了有向拓扑中代数不变量在时间反转下的性质，证明自然同伦与同调可配备代数结构产生对偶对象，并通过引入相对有向同伦进一步精细化自然同伦。
2018-12-12 cs.DC cs.LO math.AT
Directed trees in a string, real polynomials with triple roots, and chain mails
本文首先观察到两个单纯复形的无穷级数具有相同的同伦型，这两个无穷级数先验地看起来彼此没有任何关系。一个系列由双定向弦上的定向森林复形组成，而另一个系列由具有三重根的双曲多项式空间的Shapiro-Welker模型组成。我们解释这种巧合在更一般的情况下，通过找到一个明确的同伦等价复合物的有向森林双有向树，双断开复合物的树。
2002-10-03 math.AT math.CO math.GN
Towards Directed Collapsibility
在有向环境中，固定的起始点和终点之间的有向路空间是区分不同有向空间的定义特征。最简单的情况是当有向路空间同伦等价于一条路的同伦时，我们称之为平凡有向路空间。拓扑平凡的有向空间可能有非平凡的有向路径空间，这意味着当这些拓扑空间的方向被忽略时，信息会丢失。在有向欧氏三次复形的背景下，我们定义了一个有向可达性的概念，它是利用基本的有向拓扑空间相对于初始或最终顶点的有向路的空间.此外，我们还给出了有向欧氏三次复形从一个固定的初始顶点有向路的可缩空间或连通空间的充分条件。给出了欧氏三次复形中两点间的道路空间不连通的充分条件。我们的结果有应用程序，以加快验证过程中的并发程序和理解部分执行并发程序。
2019-07-17 math.AT
The path-missing and path-free complexes of a directed graph
Drexel University（德雷塞尔大学）；Goethe-University Frankfurt（法兰克福歌德大学）；George Washington University（乔治华盛顿大学）
研究有向图中两个单纯复形：路径自由复形及其Alexander对偶路径缺失复形，利用离散Morse理论证明它们要么可缩，要么同伦等价于球面。
2026-06-23 math.AT math.CO
The fundamental weighted category of a weighted space (From directed to weighted algebraic topology)
我们要调查的“空间”的路径有一个“重量”，或“成本”，表示长度，持续时间，价格，能源等的权函数不被假定为不变的路径逆转。因此，“加权代数拓扑”可以发展为有向代数拓扑的丰富版本，其中非法路径以无限的成本受到惩罚，而合法路径则被测量。它的代数对应物将是“加权代数结构”，配备了一种有向代数。在这里介绍的广义度量空间的基本加权范畴中，每一个同伦类的路都有一个权（或称权），它相对于合成是次加性的。我们还研究了一个更一般的设置，空间的加权路，它有更好的平行和强联系与非交换几何。加权三次集的加权同调已经在以前的工作中得到了类似的结果。
2006-04-24 math.AT
Brown representability for directed graphs
该研究证明满足可加性与Mayer-Vietoris公理的、从有限有向图同伦范畴到阿贝尔群的反变函子具有可表示性。
2025-03-20 math.AT math.CO math.CT
T-homotopy and refinement of observation (II) : Adding new T-homotopy equivalences
本文是关于流的T-同伦的一个新概念的系列论文的第二部分。证明了T-同伦等价的旧定义不允许用三维立方体来识别有向段。这与双同伦理论的范式相矛盾。根据观测值加细的直观性，给出了T-同伦等价的一个新定义。证明了在弱S-同伦下，一个旧的T-同伦等价是一个新的T-同伦等价。第二部分还建立了流的弱S-同伦模型范畴的左适当性。后一个事实在本系列的下一篇文章中多次使用。
2007-03-26 math.AT math.CT
The homology digraph of a preordered space
本文提出预序空间的有向同调概念——同调有向图，证明其是有向同伦不变量，并建立Künneth公式以从分量同调有向图计算乘积空间的同调有向图。
2023-12-05 math.AT
Context for models of concurrency
许多类别已被用于对并发进行建模。使用任何这些，挑战是减少一个给定的模型到一个更小的表示，但保留相关的计算机科学信息。也就是说，人们希望用具有相同有向同伦类型的更简单的模型来替换给定的模型。不幸的是，有向同伦等价的明显定义太粗糙了。本文引入语境的概念来细化这一定义。
2006-08-29 cs.DC math.AT
Directed degeneracy maps for precubical sets
本文通过引入q-实现函子和自然实现函子，证明了对称横截集上的定向同伦，并利用c-Reedy范畴性质证明二者同伦等价，将预立方集的结果推广至对称横截集。
2024-03-05 math.AT math.CT
A Hurewicz Model Structure for Directed Topology
本文构造了流图、局部预序空间的h-模型结构。在此基础上，本文推广了Hurewicz纤维化和闭Hurewicz上纤维化的一些经典刻画。经典闭Hurewicz上纤维化通常的特征是邻域形变收缩核的包含扩张。古典Hurewicz纤维代数的一个特征也延伸到一个点的摩尔cocylinder endofunctor。一个直接的后果是一个长的精确序列的有向同伦幺半群，与应用程序的安全验证数据库协议。
2021-02-02 math.AT math.CT
Regular clock maps and trace spaces
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（IRIF研究所）
本文研究正则时钟映射，证明其构成时钟映射范畴的小正交类，从而局部可表现，并证明正则时钟映射下从有向路径到迹的典范商映射是同伦等价。
2026-06-16 math.AT math.CT
Homotopical interpretation of globular complex by multipointed d-space
球状复合物是由E. Goubault和作者在arXiv：math/0107060中对高维自动机进行了建模。球复形是具有球分解的拓扑空间，球分解是CW-复形的胞腔分解的有向模拟。我们证明了存在一个组合模型范畴，使得细胞对象恰好是球状复合物，并且使得同伦范畴等价于arXiv：math/0308054中引入的流的同伦范畴。这个模型范畴的基础范畴是M的一个变体。Grandis关于单形生成的拓扑空间上极限上的d-空间的概念。这一结果使我们能够理解的框架之间的关系流和其他作品在有向代数拓扑使用d-空间。它还使我们能够证明，在arXiv：math/0308063中构造的流的底层同伦类型函子可以被解释为左Quillen伴随的总左导出函子，直到等价的范畴。
2009-12-01 math.AT math.CT
Nested homotopy models of finite metric spaces and their spectral homology
该研究定义拟度量空间的r-同伦等价与r-极小模型，将有向图的幅度-路径谱序列分解为谱序列直和，并构造推广多种同调不变量的r-同伦不变量谱同调。
2024-05-21 math.AT math.KT
Combinatorial Conditions for Directed Collapsing
本文的目的是研究有向欧氏三次复形的有向可扩性。这一点的一个应用是在验证并发程序执行的重要任务中。可分解性的经典定义涉及复形的一对立方体上的某些条件。空间的方向可以通过要求顶点的过去链接在折叠后保持同伦等价来考虑。我们称这种类型的崩溃为链接保持定向崩溃。在本文中，我们给出组合等价条件保持拓扑结构的链接，允许实施的算法崩溃的有向欧几里德立方复杂。此外，我们给出了条件时，保链定向塌陷保持的可收缩性和连通性的有向道路空间，以及例子时，保链定向塌陷不保持的最小值和给定的顶点之间的道路空间的连通分支的数量。
2022-05-25 cs.CG math.AT
Simplicial $q$-connectivity of directed graphs with applications to network analysis
有向图是一种普遍存在的网络模型，它所产生的拓扑空间，如有向旗复合体，已成为应用拓扑学中的有用对象。单形由有向团构成。我们将Atkin的$q$ -连通性理论推广到有向单形的情形。这导致了一个前序，其中单形由共享$q$ -面的单形序列相关，所述面相对于由所选面映射指定的方向。我们利用Alexandroff等价的前序和拓扑空间引入一类新的拓扑空间的有向图，使分配新的同伦类型不同的有向旗复合体所看到的单纯同调。我们进一步介绍了简单路径分析，使连接前序。作为一个应用程序，我们通过计算它们的最长单纯路径来识别各种大脑网络之间的结构差异。
2022-02-15 math.AT math.CO q-bio.QM
Homotopy, homology, and persistent homology using closure spaces
本文在 Čech 闭包空间滤过上构建多种同伦与奇异同调理论以生成持续模，并推广 Gromov-Hausdorff 距离证明其稳定性。
2024-03-22 math.AT math.CO math.GN
Homotopy theory of stricter $n$-categories
本研究基于正则有向复形理论定义更严格$n$-范畴，推导其Gray积与纬垂稳定性等性质，构建folk模型结构并证明其与图解集模型结构的右转移关系，丰富了高维范畴同伦理论工具。
2025-09-30 math.AT math.CT
Branching space of precubical set
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（IRIF研究所）
本文提出前立方集的分支空间概念，并证明其在同伦等价下的不变性，同时推导出分支同调的不变性。
2026-02-04 math.AT math.CT
Saturated directed spaces and generalized clocks
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（IRIF研究所）
本文针对有向空间，引入广义时钟概念，构造包含立方时钟的球状时钟，证明定时空间商映射为平凡纤维化，并给出执行路径商定理的新证明。
2026-10-16 math.AT math.GN
Homotopy theories via the magnitude-path spectral sequence
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；Sorbonne Université（索邦大学）；CNRS, IMJ-PRG（法国国家科学研究中心，IMJ-PRG）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）；University of Sheffield（谢菲尔德大学）
引入基于量级-路径谱序列的广义度量空间同伦理论族，定义r-拟同构并证明每页满足Eilenberg-Steenrod公理的度量类比，建立Brown范畴结构以计算同伦余极限。
2026-06-08 math.AT math.CT
Directed topological complexity
Ecole Polytechnique（巴黎综合理工学院）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；Queen Mary University of London（伦敦玛丽女王大学）
本文研究了有向拓扑空间中的拓扑复杂性，探讨了其性质、计算方法以及在有向同伦等价中的应用。
2018-12-21 cs.SY eess.SY math.AT
Homotopy theory of Moore flows (III)
本系列的前一篇文章证明了$\mathcal{G}$ -多点$d$ -空间和$\mathcal{G}$ -流的q-模型范畴是Quillen等价的。本文用重参数化范畴$\mathcal{M}$代替重参数化范畴$\mathcal{G}$得到了同样的结果。与$\mathcal{G}$的情况不同，蜂窝$\mathcal{M}$ -多点$d$ -空间的执行路径可以具有停止间隔。克服这一障碍的技术工具是全球归化的概念。它是在一个准三次集的几何实现中，Raussen的有向路径自然化的球状类似物。球形自然化的概念对$\mathcal{G}$和$\mathcal{M}$都有效，我们得到的Quillen等价性的证明对这两个重参数化范畴都有效。结合本系列第一篇文章的结果，我们推出了$\mathcal{G}$ -多点$d$ -空间和$\mathcal{M}$ -多点$d$ -空间具有Quillen等价的q-模型结构.最后，我们证明了饱和假设可以不加任何修改地加入到本文的主要定理中。
2024-11-12 math.AT math.CT
Steenrod Lengths and a Problem of Vakil
本文通过组合方法研究实射影空间的 Steenrod 长度，推导出 $f(n)$ 的显式公式，并解决 Vakil 提出的问题。
2026-01-15 math.AT math.CO math.RT
