Topological and metric properties of spaces of generalized persistence diagrams
本文研究带指定子集的度量空间上广义持续图在 Wasserstein 距离下的拓扑与度量性质，刻画紧性、可分完备性、连通测地性、曲率维数及 Hilbert 可嵌入性，并证明最优匹配存在的充要条件。
2023-09-12 math.AT
Reeb complexes and topological persistence
我们引入Reeb复合物，以捕捉如何发电机的同调流沿一个实值连续函数的部分。这种直觉表明，Reeb复合物与拓扑数据分析中的既定方法（如水平集标记和持久同源性）有密切关系。我们使这种关系精确，特别是解释如何Reeb复合物和levelset标签可以从各自的谱序列的第一页中提取具有相同的终止。
2022-01-29 math.AT
Optimising the topological information of the $A_\infty$-persistence groups
University of Southampton（南安普顿大学）
持久同调通常研究同调群$H_p(X)$（系数在域中）沿着拓扑空间的过滤的演化。$A_\infty$ -持久性通过分析子空间如$V := \text{Ker}\, {Δ_n}_{| H_p(X)} \subseteq H_p(X)$的演化扩展了这个理论，其中$\{Δ_m\}_{m\geq1}$表示$H_*(X)$上的$A_\infty$ -余代数的结构。本文通过讨论$A_\infty$ -持久群的最基本形式$V$的拓扑意义，说明了$A_\infty$-持久群在持久同调之外的作用.此外，我们还探讨了如何沿着滤子选择$A_\infty$ -余代数，以使$A_\infty$ -持久群携带更多的忠实信息。
2017-06-19 cs.CG cs.CV math.AT
PersLay: A Neural Network Layer for Persistence Diagrams and New Graph Topological Signatures
持久性图是拓扑数据分析中最常用的描述符，它对数据的拓扑属性进行了编码，并在数据科学的许多不同应用中发挥了关键作用。然而，由于持久性图的（度量）空间不是希尔伯特，它们最终成为大多数机器学习技术的困难输入。为了解决这个问题，已经提出了几种向量化方法，将持久性图嵌入到有限维欧几里得空间或（隐式）无限维希尔伯特空间中。在这项工作中，我们专注于建立在图形之上的持久性图。依靠扩展的持久性理论和所谓的热核签名，我们展示了如何图可以编码（扩展）持久性图在一个可证明的稳定的方式。然后，我们提出了一个通用的和通用的框架，学习持久性图的矢量化，其中包括文献中使用的矢量化技术。最后，我们通过在现实生活中的图数据集上实现分类任务的竞争性得分，展示了我们设置的实验实力。
2020-03-09 cs.CG cs.LG math.AT
Quasi Zigzag Persistence: A Topological Framework for Analyzing Time-Varying Data
Purdue University（普渡大学）
本文提出了一种结合多参数持久性和锯齿持久性的方法，用于分析时间变化数据，通过捕捉静态和动态特征提升机器学习模型性能。
2026-01-17 cs.LG math.AT
On the Bootstrap for Persistence Diagrams and Landscapes
持续同源探测点云和函数的拓扑性质。通过同时查看多个尺度，可以记录拓扑特征随尺度变化的出生和死亡。本文利用一种统计方法--经验自举法来分离拓扑信号和拓扑噪声。特别是，我们得到的持久性图和持久性景观的置信带的置信集。
2014-01-22 cs.CG math.AT stat.AP
Sliding Windows and Persistence: An Application of Topological Methods to Signal Analysis
本文提出了一个时间序列数据拓扑研究的理论框架。从广义上讲，我们描述的几何和拓扑性质的滑动窗口（或时间延迟）嵌入，通过持久的同源性的镜头。特别是，我们表明，在点云水平的最大持久性可以用来量化周期性的信号水平，证明结构和收敛定理所产生的持久性图，并获得估计其依赖于窗口大小和嵌入维数。我们应用这种方法来量化合成数据集的周期性，并将结果与使用最先进的方法在基因表达分析中获得的结果进行比较。我们称这种新方法为SW1PerS，它代表滑动窗口和一维持久性评分。
2013-11-25 math.AT math.ST stat.TH
Topological Regularization via Persistence-Sensitive Optimization
Computational Research Division, Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室计算研究部）
优化是机器学习和统计学中的关键工具，它依赖于正则化来减少过拟合。传统的正则化方法控制解的范数以保证其光滑性。最近，拓扑方法已经成为一种提供更精确和更有表现力的控制解决方案的方式，依赖于持久的同源性来量化和减少其粗糙度。所有这些现有的技术都通过持久性图反向传播梯度，持久性图是函数拓扑特征的总结。它们的缺点是只在函数的关键点提供信息。我们提出了一种方法，而不是建立在持久性敏感的简化和持久性图的变化转化为大型子集的域，包括关键点和常规点。这种方法可以实现更快，更精确的拓扑正则化，我们用实验证据说明了它的好处。
2020-11-10 cs.LG math.AT
D-GRIL: End-to-End Topological Learning with 2-parameter Persistence
Purdue University（普渡大学）；Rutgers University（罗格斯大学）；Inria（法国国家信息与自动化研究所）；École polytechnique（巴黎综合理工学院）
本研究引入2参数持久化向量化技术GRIL并建立其可微化理论得到D-GRIL，验证了其在标准图数据集上学习双滤过函数及药物发现生物活性预测的应用价值。
2025-02-22 cs.AI cs.LG math.AT
Topological Machine Learning with Persistence Indicator Functions
Heidelberg University（海德堡大学）；TU Kaiserslautern（凯泽斯劳滕工业大学）
计算拓扑学的技术，特别是持久同源性，正变得越来越相关的数据分析。他们的稳定指标允许使用许多基于距离的数据分析方法，如多维缩放，同时提供了坚实的理论基础。然而，许多现代机器学习算法都是基于内核的。本文提出了持久性指示函数（PIF），它概括了持久性图，即，拓扑数据分析中的特征描述符。PIF可以在线性时间内计算和比较，并且具有许多有益的属性，例如基于内核的相似性度量的可用性。我们展示了它们在常见数据分析场景中的使用，例如复杂结构化数据的置信集估计和分类。
2019-07-31 cs.LG math.AT
Persistence modules with operators in Morse and Floer theory
我们引入了一个新的概念，持久化模块赋予运营商。它封装了Floer类型持久化模块上的额外结构，这些结构来自与环境（量子）同源性中的类的交集积，以及一些其他几何情况。我们提供了示例应用程序的$C^0$ -几何的莫尔斯函数和哈塞尔的几何的哈密顿量的同形，超越了谱不变量和传统的持久同源。
2017-03-04 math.AT math.DS math.SG
On the Expectation of a Persistence Diagram by the Persistence Weighted Kernel
在拓扑数据分析中，持久同调描述了数据中健壮的拓扑特征，它有一个概要表示，称为持久图。持久性图的统计研究已经得到了积极的发展，持久性加权核显示了一些优于其他持久性图的统计方法。如果数据是从某种概率分布中提取的，那么相应的持久性图就具有随机性。然后，定义了持久性加权核对持久性图的期望。本文从（1）强大数律和中心极限定理，（2）用数值方法估计持久加权核的期望值的置信区间，（3）保证从概率分布到期望值的映射连续性的稳定性定理的观点，研究了概率分布与持久加权核之间的关系.在数值实验中，我们证明了我们的方法给出了一个有趣的反例，在拓扑数据分析的一个共同的看法。
2018-10-26 math.AT math.ST stat.TH
Algebraic and Topological Persistence
本论文探讨了拓扑空间与持久性理论的基础，利用代数拓扑工具证明切除定理及单纯与奇异同调的等价性，并规范发展了可三角剖分拓扑空间的持久同调与上同调理论。
2024-10-10 math.AT
Learning Simplicial Complexes from Persistence Diagrams
拓扑数据分析（TDA）研究数据的形状。一个常见的拓扑描述符是持久性图，它以不同的尺度编码拓扑空间中的拓扑特征。特纳、慕克吉和博耶证明，可以利用从所有可能的高度过滤（不可数的无限个方向）生成的持久性图来重建嵌入R^3中的单纯复形。本文提出了一个在R^2中重构平面图K=（V，E）的算法，即一个平面图的顶点在一般位置和直线嵌入，从二次数高度过滤和它们各自的持久性图。
2018-07-31 cs.CG math.AT
Topological Correlation
本文提出拓扑差异与拓扑相关性两个新概念，从新视角阐释多参数持续同调的判别优势，并量化过滤函数间的相互依赖性，为相关应用提供基础。
2025-06-20 cs.CG math.AT
Equivariant persistence topological complexity
Indian Institute of Technology Madras（印度理工学院马德拉斯分校）；Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）
本文为带群作用的持久空间引入等变持久拓扑不变量并证明其稳定性，建立了侵蚀距离与等变Gromov-Hausdorff距离的联系。
2026-09-25 math.AT
Gaussian Persistence Curves
拓扑数据分析（TDA）是数学、统计学和计算机科学/数据科学交叉的新兴领域。TDA的基石是持久同源性，它产生一个拓扑信息的摘要，称为持久图。为了在持久性图上利用机器和深度学习方法，通过将这些图转换为函数来进一步总结这些图。在本文中，我们研究了一类光滑的，一维的功能总结称为高斯持久曲线的稳定性和内射性。
2022-05-23 cs.CG math.AT
Multiparameter Persistence Landscapes
拓扑数据分析领域的一个重要问题是定义拓扑摘要，它可以与传统的数据分析工具相结合。在最近的工作中，Bubenik介绍了持久性景观，持久性图的稳定表示服从统计分析和机器学习工具。在本文中，我们概括的持久性景观多参数持久性模块提供了一个稳定的表示的秩不变。我们表明，多参数景观是稳定的交织距离和持久性加权Wasserstein距离，多参数景观的集合忠实地代表了秩不变。最后，我们提供了示例计算和统计测试，以展示一系列潜在的应用程序，以及如何解释与多参数模块相关的景观。
2018-12-24 math.AT
Kernel method for persistence diagrams via kernel embedding and weight factor
拓扑数据分析是一种新兴的数学概念，用于表征多尺度数据中的形状。在该领域中，持久性图被广泛用作输入数据的描述符，并且可以区分鲁棒和噪声拓扑属性。目前，迫切需要在持久性图上开发一个统计框架来处理实际数据。提出了一种持久图的核方法。我们的方法的一个理论贡献是，建议的内核允许一个控制持久性的效果，如果必要的话，嘈杂的拓扑属性可以在数据分析中打折。此外，该方法提供了一种快速近似技术。将该方法应用于包括物理实际数据在内的几个问题，结果表明，该方法在持久性图上优于现有的核方法。
2017-06-12 math.AT physics.data-an stat.ML
Explainable topological data analysis using persistence heatmaps
University of Florida（佛罗里达大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）
研究利用代数拓扑工具的拓扑数据分析，针对其部分构造不稳定问题，通过使用代表性循环生成稳定可视化如热图来辅助解释，像在含数据图像上生成热图，像素值求和可得回归函数值。
2026-07-22 math.AT
Persistence and Topological Complexity
Rutgers University（罗格斯大学）；University of Oklahoma（俄克拉荷马大学）
本文将拓扑复杂度及其上同调下界推广到持久拓扑空间，建立稳定性，并证明其能比持久同调更有效地区分某些空间。
2026-10-15 math.AT
MaxTDA: Robust Statistical Inference for Maximal Persistence in Topological Data Analysis
针对拓扑数据分析中稳健方法易削弱真实拓扑信号的问题，提出MaxTDA统计框架，结合核密度估计与拒绝采样生成最大持久性特征的一致估计量，在保持抗噪性的同时实现统计推断。
2025-04-04 math.AT stat.CO stat.ME
Persistence Codebooks for Topological Data Analysis
Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Swansea University（斯旺西大学）
持久同源性（PH）是一种严格的数学理论，它以持久性图（PD）的形式提供了一个强大的数据描述符，这些持久性图是2D多点集。然而，它们的可变大小使得它们难以与典型的机器学习工作流程相结合。在本文中，我们介绍持久码本，一种新的表达和歧视性的固定大小的矢量表示PD。为此，我们适应袋字（BoW），矢量的局部聚集的描述符（VLAD）和费舍尔矢量（FV）的量化PD。持久码本以便于机器学习和统计分析的方式表示PD，并且具有许多有利的实际和理论属性，包括1-Wasserstein稳定性。我们评估了几个异构数据集的表示，并显示其（高）的区分能力。我们的方法比其他方法在更短的时间内实现了最先进的性能。
2019-06-13 cs.LG math.AT stat.ML
Persistence Bag-of-Words for Topological Data Analysis
The Institute of Computer Science and Computer Mathematics（计算机科学与计算机数学研究所）；Institute of Creative Media Technologies（创意媒体技术研究所）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）；St. Pölten University of Applied Sciences（圣珀尔滕应用科学大学）；Swansea University（斯旺西大学）
持久同源性（PH）是一个严格的数学理论，它以持久性图（PD）的形式提供了一个强大的数据描述符。然而，PD表现出复杂的结构，并且难以集成到当今的机器学习工作流中。本文介绍了持久性词袋：一种新的和稳定的矢量化表示的PD，使无缝集成与机器学习。综合实验表明，新的表示达到国家的最先进的性能和超越在更短的时间比其他方法。
2019-06-04 cs.LG math.AT stat.ML
Persistence Terrace for Topological Inference of Point Cloud Data
拓扑数据分析（TDA）是一种快速发展的用于研究点云形状和其他数据类型的方法。一种流行的方法，旨在对噪声和离群值具有鲁棒性，是首先使用平滑函数将点云转换为流形，然后将持久同源性应用于Morse过滤。一个重大的挑战是，这个平滑过程涉及到一个参数的选择和持久的同源性是高度敏感的选择，此外，重要的尺度信息丢失。我们提出了一种新的拓扑摘要图，称为持久性平台，它采用了广泛的平滑参数，是强大的，多尺度的，无参数。该图允许人们隔离不同的拓扑信号，这些信号可能已经合并为平滑参数的任何固定值，并且它还允许人们推断拓扑特征的大小和点密度。我们在一些简单的设置中说明了我们的方法，其中噪声是现有框架的一个严重问题，然后我们通过计算横截面图像中的肌纤维将其应用于真实数据集。
2017-12-23 math.AT stat.ME
Distributions of Matching Distances in Topological Data Analysis
在拓扑数据分析中，我们希望辨别数据的拓扑和几何结构，并了解数据的某些特征是否重要，而不是简单的随机噪声。虽然在单参数持久性的统计技术方面取得了进展，但对实际应用非常需要的双参数持久性的情况研究较少。本文提供了一个方便的介绍，两个参数持久的同源性，并提出了结果之间的匹配距离的2-D持久模块从家庭的点云。结果包括观察点云几何结构的差异如何影响持久性模块之间的匹配距离。我们将这些结果作为研究更复杂数据的起点。
2020-01-09 cs.CG math.AT
Statistical topological data analysis using persistence landscapes
我们为数据定义了一个新的拓扑摘要，我们称之为持久性景观。由于该摘要位于向量空间中，因此与标准拓扑摘要相比，它很容易与统计和机器学习工具相结合。把它看作是取值于巴拿赫空间的随机变量，它服从强大数律和中心极限定理。我们展示了如何使用一些标准的统计检验来进行统计推断。我们还证明了这个总结是稳定的，它可以用来提供瓶颈和Wasserstein距离的下界。
2015-01-23 cs.CG math.AT math.MG
Rank-based persistence
持久性已被证明是一个有价值的工具来分析真实世界的数据健壮。随着时间的推移，人们尝试了几种持久性方法，一些是基于向量空间值同调函子的拓扑方法，另一些是基于任意集值函子的组合方法。为了统一研究的拓扑和组合持久性在一个共同的范畴框架，我们给出了公理的广义秩函数的对象在一个目标类别，使函子，该类别诱导持久性功能。我们端口的交织和瓶颈距离，这个新的框架和推广经典的等式和不等式。与集合和向量空间不同，在许多类别中，对象的秩并不确定它的同构：为了保留持久性模块的结构信息，我们定义了着色秩，持久性图，并证明了半简单阿贝尔范畴中多色瓶颈距离和交织距离之间的相等性。为了说明我们的框架在实践中，我们给出了过滤拓扑空间与群作用和标记的点云数据的多色持久同调的例子。
2019-05-22 cs.CG math.AT math.CT
From Persistence to Survival: Hypothesis Testing, Effect Sizes and Vectorisation for Topological Features
Department of Machine Learning and Systems Biology, Max Planck Institute of Biochemistry, Martinsried, Germany（机器学习与系统生物学部门，马克斯·普朗克生物化学研究所，马尔廷斯里德，德国）
提出STRAND方法，将持久性图视为生存数据，利用持久性生存函数统一实现假设检验、效应大小计算和向量化，在合成数据和真实基准上验证了有效性。
2026-06-11 cs.LG math.AT stat.ML
Hypothesis Testing for Shapes using Vectorized Persistence Diagrams
拓扑数据分析涉及数据形状的统计特征。持久同源性是拓扑数据分析的主要工具，可以用来分析拓扑特征和进行统计推断。在本文中，我们提出了一个两阶段的假设检验向量持久性图。第一阶段过滤向量化持久性图中的向量元素以增强测试的能力。第二阶段由多个假设检验组成，假阳性由错误发现率控制。我们证明了我们的方法的灵活性，通过将其应用到各种模拟和现实世界的数据类型。我们的研究结果表明，建议的假设检验，使准确和翔实的推断数据的形状相比，现有的持久同源性的假设检验方法。
2023-02-28 math.AT stat.ME
Multidimensional Interleavings and Applications to Topological Inference
本文研究了基于持久性的拓扑数据分析的理论基础。我们发展理论的拓扑推理的多维持久性设置，并直接在（拓扑）水平的过滤，而不是只在（代数）水平的持久性同调模。我们主要的数学研究对象是交错。这些工具用于量化两个多维过滤或持久化模块之间的相似性。它们是由Chazal、Cohen-Steiner、Glisse、Guibas和Oudot为1-D过滤和持久性模块引入的。我们介绍了Chazal等人给出的交错定义的推广。并使用这些定义伪度量，称为交错距离，多维过滤和多维持久性模块。我们提出了一个深入的研究交织和交织距离。然后，我们用它们来制定和证明几个多维类似物的拓扑推理定理的Chazal，Guibas，Oudot，和Skraba。这些结果直接在过滤水平上成立;它们在模块水平上产生相应的结果作为推论。
2012-06-06 cs.CG math.AT math.ST
Bipath Persistence
本文提出双路径持续同调，用末端相连的一对滤流比较拓扑特征的持续性，证明其区间可分解性，并给出持续图计算算法与解释。
2024-04-03 math.AT math.RT
Topological Quality of Subsets via Persistence Matching Diagrams
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）；Universidad Loyola Andalucia（安达卢西亚洛约拉大学）
本文提出持久匹配图这一拓扑不变量，结合嵌入与持久同调，通过最小生成树算法衡量子集对数据集的代表质量，并用于估计 Hausdorff 距离界和解释监督学习性能不佳的原因。
2024-09-29 cs.AI cs.LG math.AT
Stability of topological descriptors for neuronal morphology
神经元的拓扑形态描述符是与表示为树的神经元的形状相关联的间隔的多集合。在实践中，拓扑形态描述符使用持久性图像矢量化，这可以帮助分类和表征广泛的神经元组的形态。我们研究了神经元形态的微小变化下的拓扑形态描述符的稳定性。我们表明，持久性图所产生的神经元的拓扑形态描述符是稳定的1-Wasserstein距离对一系列的扰动树。这些结果保证了拓扑形态描述符的持久性图像对相同的扰动集是稳定的和可靠的。
2022-11-16 math.AT q-bio.NC
Coarse nodal count and topological persistence
柯朗定理意味着拉普拉斯本征函数的节点域的数目由相应的本征值控制。多年来，人们一直试图从不同的方向找到对这一说法的适当概括。我们提出了一个新的考虑这个问题，从拓扑数据分析的想法。我们表明，如果一个计数的节点域在一个粗糙的方式，基本上忽略小的振荡，柯朗定理延伸到线性组合的本征函数，其产品，其他运营商，和更高的拓扑不变量的节点集。我们也得到了一个粗略的版本的Bézout估计的公共零点的线性组合的特征函数。我们表明，我们的结果基本上是尖锐的，粗计数是必要的，因为这些扩展失败的标准计数。我们的方法结合了多尺度多项式逼近在索伯列夫空间的持久性模块和条形码理论的新成果。
2022-08-19 math.AP math.AT math.SP
Bipath Persistence as Zigzag Persistence
本文通过将双路径持久模与无限之字形持久模建立覆盖关系，把之字形持久性的高效计算技术、交错距离与瓶颈距离及代数稳定性迁移到双路径持久性上。
2024-12-31 math.AT math.RT
Zigzag Persistence of Neural Responses to Time-Varying Stimuli
Area Science Park（地区科学园）；Department of Mathematics, Informatics and Geosciences University of Trieste（的里雅斯特大学数学、信息学和地球科学系）；SISSA（的里雅斯特高级研究学院）
该研究利用拓扑数据分析，通过锯齿形持续同调捕捉神经响应随时间变化的拓扑结构，验证了拓扑描述符在区分不同刺激神经响应中的可靠性。
2026-03-03 math.AT q-bio.NC
Line Graph Vietoris-Rips Persistence Diagram for Topological Graph Representation Learning
Samsung SDS（三星SDS）；Center for Mathematical Machine Learning and its Applications(CM2LA)（数学机器学习及其应用中心）；POSTECH（浦项科技大学）
针对节点过滤丢失节点嵌入信息的问题，提出基于边过滤的持久图TED及神经网络算法LGVR，通过线图提取边信息，构建严格强于Weisfeiler-Lehman着色的模型框架，在图分类和回归基准上表现优越。
2024-12-23 cs.AI cs.LG math.AT
Medians of populations of persistence diagrams
持久性图是拓扑数据分析领域的常见对象。它们是拓扑摘要，用于捕获数据中的拓扑和几何结构。最近，人们对开发统计分析持久性图群体的工具产生了浓厚的兴趣，这一过程受到持久性图空间复杂几何形状的阻碍。在本文中，我们研究了一组图的中位数，定义为一个适当的费用函数类似于用于实数样本的距离之和的最小值。然后，我们的特点，这个费用函数的局部极小值，并在这样做的特点的中位数。并对中位数和均值的性质进行了比较分析。
2019-02-06 cs.CG math.AT math.MG
Persistence-based topological optimization: a survey
DataShape, Centre Inria d’Université Côte d’Azur（Inria 蔚蓝海岸中心 DataShape）；Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo（东京大学大学院数理科学研究科）；Laboratoire d’Informatique Gaspard Monge, Université Gustave Eiffel, CNRS（加斯帕尔·蒙日计算机科学实验室，巴黎-布拉尼亚克国立应用科学学院，法国国家科学研究中心）；Graduate School of Information Science and Technology, The University of Tokyo（东京大学大学院信息理工学研究科）；RIKEN AIP（理化学研究所人工智能研究中心）
本文综述了利用持久性理论进行拓扑优化的研究进展，涵盖理论基础、算法方法及实际应用，提供开源库帮助研究者深入理解该领域。
2026-03-24 cs.CG math.AT math.OC
Discrete transforms of quantized persistence diagrams
本文提出 Qupid 方法，通过对数尺度网格分箱和离散变换将持久图高效向量化，在保持竞争力的同时显著降低计算成本，并对网格分辨率降低具有鲁棒性。
2024-10-21 cs.CG math.AT stat.ML
Computing Topological Persistence for Simplicial Maps
对于同态由包含映射诱导的持久模，持久同调和锯齿形持久同调的算法得到了很好的研究。在本文中，我们提出了一个实用的算法计算持久性下的$\mathbb{Z}_2$系数的一般单纯形映射序列，并显示这些地图自然出现在拓扑数据分析的一些应用。首先，我们观察到用包含映射来模拟单纯映射并不难，但不一定是单调的。这与已知的锯齿形持久性算法相结合，提供了一种算法，用于计算由单纯映射引起的持久性。我们的主要结果是，上述头脑简单的方法可以改进的序列的单纯形映射在单调方向。一个单纯映射可以分解成一组基本包含和顶点折叠-两个原子操作，可以有效地支持与单纯形注释的概念计算持久的同源性。通过这些原子操作的一致性注释意味着保持一致的上同调基，因此通过对偶保持同调基。虽然通过包含保持上同调基的想法并不新鲜，但通过顶点折叠保持它们是新的，这构成了模拟单纯映射的重要原子操作。注释除了支持通常的包含之外，还非常自然地支持顶点折叠。最后，我们展示了这个新工具的应用程序中，我们近似的持久性图的过滤的裂缝复杂的顶点崩溃是用来驯服的大小爆破。
2014-03-25 cs.CG math.AT
Vectorization of Persistence Diagrams for Topological Data Analysis in R and Python Using TDAvec Package
Bowling Green State University（博伊尔格林州立大学）
针对持久性图空间非希尔伯特特性难以直接用于机器学习的问题，本文推出TDAvec软件包，可在R和Python中实现持久性图向量化，提供直观工作流与高级功能，助力应用拓扑数据分析。
2025-10-22 cs.CV math.AT
Persistence B-Spline Grids: Stable Vector Representation of Persistence Diagrams Based on Data Fitting
Zhejiang University（浙江大学）
近几十年来，已经进行了许多尝试来集成机器学习（ML）和拓扑数据分析。将持久同源性应用于ML任务的一个突出问题是找到持久性图（PD）的矢量表示，持久性图是表示拓扑特征的汇总图。从数据拟合的角度出发，基于最小二乘B样条函数拟合的渐进迭代逼近技术，提出了一种稳定的矢量表示方法--持久性B样条网格（PBSG）。我们从理论上证明了PBSG方法对于定义在PD空间上的1-Wasserstein距离度量是稳定的。在合成数据集、随机生成的PD数据集、动力系统数据集和三维CAD模型上进行了测试，验证了该方法的有效性和高效性
2022-04-22 cs.CG cs.LG math.AT
Topological Data Analysis of Task-Based fMRI Data from Experiments on Schizophrenia
我们使用计算代数拓扑学的方法来研究功能性脑网络，其中节点代表脑区域，加权边缘编码来自每个区域的fMRI时间序列的相似性。有了这些工具，它允许人们描述拓扑不变量，如高维数据中的循环，我们能够以一种补充基于成对相互作用的传统方法的方式来理解网络中的低维结构。在本文中，我们使用持续同源性分析网络，我们构建基于任务的功能磁共振成像数据从精神分裂症患者，健康对照组，精神分裂症患者的健康兄弟姐妹。因此，我们探索的持久性拓扑结构，如在这些网络中的不同尺度的循环。我们使用持久性景观和持久性图像创建输出摘要，从我们的持久性同源性计算，我们研究的持久性景观和图像使用$k$ -均值聚类和社区检测。基于我们对持久性景观的分析，我们发现兄弟队列的成员具有与其他两个队列不同的拓扑特征（特别是它们的一维循环）。从持久性图像中，我们能够区分所有三个受试者组，并确定环路中的大脑区域（具有四个或更多个边缘），使我们能够进行这些区分。
2020-08-25 cond-mat.dis-nn math.AT nlin.AO
PI-Net: A Deep Learning Approach to Extract Topological Persistence Images
Arizona State University（亚利桑那州立大学）；IBM Research（IBM研究院）
拓扑特征，如持久性图和它们的函数近似，如持久性图像（PI），已经显示出机器学习和计算机视觉应用的实质性前景。这在很大程度上归因于拓扑表示提供的鲁棒性，以对抗现实世界数据中看到的不同类型的物理干扰变量，例如视点，照明等。然而，它们大规模采用的关键瓶颈是计算支出和难以将它们纳入可区分的架构中。在本文中，我们采取了重要的一步，以减轻这些瓶颈，提出了一种新的一步的方法来生成PI直接从输入数据。我们设计了两个独立的卷积神经网络架构，一个设计为接受多变量时间序列信号作为输入，另一个接受多通道图像作为输入。我们分别将这些网络称为信号PI网络和图像PI网络。据我们所知，我们是第一个提出使用深度学习直接从数据中计算拓扑特征的人。我们探讨了两个应用程序中使用的建议PI-网络架构：人类活动识别使用三轴加速度传感器数据和图像分类。我们展示了在监督式深度学习架构中PI融合的容易性，并从数据中提取PI的速度提高了几个数量级。我们的代码可在https://github.com/anirudhsom/PI-Net上获得。
2020-05-23 cs.CV cs.LG math.AT
A Persistence-Driven Edit Distance for Trees with Abstract Weights
本文面向带抽象边权的树，提出一种受持久性与拓扑数据分析启发的新型编辑距离，给出持久集示例，并说明其可用动态二元线性规划计算。
2025-07-24 math.AT math.CO
An Introduction to Multiparameter Persistence
在拓扑数据分析（TDA）中，人们通常通过构造过滤拓扑空间来研究数据的形状，然后利用持久同调来检验其结构。然而，一个单一的过滤空间往往不能充分捕捉数据中的结构感兴趣，并导致考虑多参数持久性，这与数据的空间配备了多参数过滤。多参数持续性已成为TDA中最活跃的研究领域之一，在几个方面取得了令人兴奋的进展。在这篇文章中，我们介绍了多参数持久性和调查的一些最近的进展，重点是可能导致在不久的将来的实际应用的想法。
2023-03-13 cs.CG math.AT math.RT
Online High-Dimensional Change-Point Detection using Topological Data Analysis
拓扑数据分析（TDA）是一个快速发展的领域，它研究学习复杂数据表示中的底层拓扑结构的方法。TDA方法最近在提取有用的几何结构方面取得了成功，用于广泛的应用，包括蛋白质分类、神经科学和时间序列分析。然而，在许多这样的应用中，人们也对顺序地检测该拓扑结构中的变化感兴趣。我们提出了一种新的方法，称为持久性图的变化点（PD-CP），它解决了这个问题，通过整合广泛使用的持久性图在TDA与非参数变化点检测的最新发展。PD-CP的关键新颖之处在于它利用持久性图上的点的分布来在线检测拓扑变化。我们证明了PD-CP在太阳耀斑监测应用中的有效性。
2021-03-07 math.AT stat.ME stat.OT
A Class of Topological Pseudodistances for Fast Comparison of Persistence Diagrams
Universidad de Chile（智利大学）；UC Chile（智利大学）；Department of Electrical Engineering（电气工程系）
本文提出扩展拓扑伪距离（ETD），通过可调复杂度在持久性统计与Wasserstein距离之间插值，兼顾精度与计算效率，并实验验证其优势。
2024-02-22 cs.CG cs.CV cs.LG
Stochastic Convergence of Persistence Landscapes and Silhouettes
持久同源性是拓扑数据分析中广泛使用的工具，它将多尺度拓扑信息编码为平面上的多点集，称为持久性图。将统计理论直接应用于图表的随机样本是困难的。相反，我们可以用Bubenik引入的持久性景观来总结持久性同源性，它将图转换为行为良好的实值函数。我们研究了景观的统计性质，如平均景观的弱收敛性和自助法的收敛性。此外，我们介绍了一个替代功能的持续同源性，我们称之为剪影总结，并得出一个类似的统计理论。
2013-12-02 cs.CG math.AT math.ST
Unreduced Persistence Diagrams for Topological Machine Learning
Department of Mathematics and Statistics, Florida Atlantic University, Boca Raton, FL（数学与统计学系，佛罗里达国际大学， Boca Raton, FL）
研究未约简边界矩阵生成的拓扑特征向量在机器学习中的性能，发现其与完全约简持久图性能相当甚至更优，且计算内存需求低一个数量级。
2026-06-18 cs.CG cs.LG math.AT
Persistent Homology and Applied Homotopy Theory
本文是一个调查的持续同源性，主要是因为它是用于拓扑数据分析。它包括持久性模块理论，以及持久性条形码的稳定性定理、广义持久性、持久性条形码的矢量化以及一些应用。
2020-04-01 math.AT
Topological analysis of U.S. city demographics
本文运用拓扑数据分析中的持续同调方法，分析美国100个最大城市的人口统计数据，以识别聚类、异常值及人口模式变化，并展示了该方法的优缺点。
2023-10-12 math.AT
