Kernel method for persistence diagrams via kernel embedding and weight factor
拓扑数据分析是一种新兴的数学概念，用于表征多尺度数据中的形状。在该领域中，持久性图被广泛用作输入数据的描述符，并且可以区分鲁棒和噪声拓扑属性。目前，迫切需要在持久性图上开发一个统计框架来处理实际数据。提出了一种持久图的核方法。我们的方法的一个理论贡献是，建议的内核允许一个控制持久性的效果，如果必要的话，嘈杂的拓扑属性可以在数据分析中打折。此外，该方法提供了一种快速近似技术。将该方法应用于包括物理实际数据在内的几个问题，结果表明，该方法在持久性图上优于现有的核方法。
2017-06-12 math.AT physics.data-an stat.ML
Cluster-Persistence for Weighted Graphs
本文针对加权图簇分析提出一种新的持续同调滤流，通过延迟接纳小簇节点获得非平凡诞生时间并增强抗异常值能力，同时验证其效率、有效性及随机图性质。
2023-09-30 math.AT
Variably Scaled Persistence Kernels (VSPKs) for persistent homology applications
近年来，在持续同源性的背景下，已经提出了各种核来处理监督学习方法中的持续图。在本文中，我们考虑的想法，缩放内核，逼近函数和数据，我们解释它的持久同源性的框架。我们称之为可变尺度持久性内核（VSPK）。然后在不同的分类实验中测试这些新的内核。实验结果表明，它们可以提高现有标准核的性能和效率。
2022-02-20 cs.NA math.AT math.NA
Persistence Fisher Kernel: A Riemannian Manifold Kernel for Persistence Diagrams
RIKEN Center for Advanced Intelligence Project（理化学研究所高级智能项目中心）；Kyoto University（京都大学）
代数拓扑方法近年来在复杂几何结构数据（如形状、链接扭曲图和材料数据）的统计分析中发挥了重要作用。其中，\textit{persistent homology}是一个众所周知的工具，以提取鲁棒的拓扑特征，并输出为\textit{persistence diagrams}（PD）。然而，PD是点多集，不能用于矢量数据的机器学习算法。一种新兴的方法是使用核方法，而合适的几何形状是衡量PD相似性的重要因素。PD的常用几何形状是\textit{Wasserstein metric}。然而，瓦瑟斯坦距离不是\textit{negative definite}。因此，在瓦瑟斯坦距离\textit{without approximation}上构建正定核是有限的。在这项工作中，我们依赖于替代\textit{Fisher information geometry}提出一个正定核PD \textit{without approximation}，即持久性Fisher（PF）内核。然后，我们分析了核机器的积分算子的特征系统。在此基础上，我们通过覆盖数和Rademacher平均值推导出具有PF核的核机器的泛化误差界。此外，我们展示了一些很好的性质，如稳定性和无限整除建议的内核。此外，我们还提出了一个线性的时间复杂度在PD的点的数量近似我们提出的内核有界误差。在各种基准数据集上进行的许多不同任务的实验中，我…
2018-10-27 cs.LG math.AT stat.ML
The persistence landscape and some of its properties
持久性景观将持久性图映射到一个函数空间中，这个空间通常可以被认为是一个巴拿赫空间，甚至是一个希尔伯特空间。在后一种情况下，它是一个特征图，并且有一个相关的内核。这个总结的主要优点是它允许人们应用统计和机器学习的工具。此外，从持久性图到持久性景观的映射是稳定和可逆的。我们引入了一个加权版本的持久性景观，并定义了一个单参数家庭的泊松加权持久性景观内核，可能是有用的学习。我们还展示了持久性景观的一些其他属性。首先，持久性景观可以被看作是一个热带有理函数。第二，在许多情况下，可以从一个平均的持久性景观中精确地重建所有的组件持久性图。因此，持久性景观内核是某些通用的经验措施的特点。最后，与交织距离相比，持久性景观距离可以任意小。
2019-01-26 math.AT stat.ML
Robust Persistence Diagrams using Reproducing Kernels
The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；The Institute of Statistical Mathematics（统计数学研究所）
持久同调是从数据中提取几何和拓扑特征的重要工具，其多尺度特征可以用持久图来概括。然而，从统计的角度来看，持久性图对输入空间的扰动非常敏感。在这项工作中，我们开发了一个框架，用于构建强大的持久性图从上层过滤的强大的密度估计使用再生核。使用持久性图空间上的影响函数的模拟，我们建立了对离群值不太敏感的建议框架。鲁棒持久性图被证明是瓶颈距离的一致估计，其收敛速度由核的光滑性控制。这反过来又使我们能够在持久性图的空间中构建统一的置信带。最后，我们证明了所提出的方法在基准数据集上的优越性。
2022-06-03 cs.CG cs.LG math.AT
Weighted persistence intensity regression
Università della Svizzera italiana（瑞士意大利大学）；University of Milano-Bicocca（米兰比可卡大学）
本文提出非参数加权持续强度回归方法，建立其理论与估计性质，经模拟验证后用于分析脑动脉树径向几何随年龄的变化。
2026-09-02 math.AT math.ST stat.TH
On the Spectral Synthesis of Lipschitz Vectorizations of Persistence Diagrams
Kennesaw State University（肯尼索州立大学）
研究持久图矢量化，证明其Lipschitz扩展与特定上循环的等距同构，给出相关条件下上循环生成可合成簇的结论，还将谱合成扩展到可分度量对，探讨文献中例子是否有带谱合成的Lipschitz扩展。
2026-10-14 math.AT math.FA
Multiparameter Persistence Landscapes
拓扑数据分析领域的一个重要问题是定义拓扑摘要，它可以与传统的数据分析工具相结合。在最近的工作中，Bubenik介绍了持久性景观，持久性图的稳定表示服从统计分析和机器学习工具。在本文中，我们概括的持久性景观多参数持久性模块提供了一个稳定的表示的秩不变。我们表明，多参数景观是稳定的交织距离和持久性加权Wasserstein距离，多参数景观的集合忠实地代表了秩不变。最后，我们提供了示例计算和统计测试，以展示一系列潜在的应用程序，以及如何解释与多参数模块相关的景观。
2018-12-24 math.AT
Properties and Stability of Persistence Matching Diagrams
本文提出由度量空间集合映射诱导的持续匹配图，给出几何定义并证明其包含持续态射像、核与余核信息，主要贡献是建立嵌入及集合单射情形下的稳定性定理。
2024-09-25 math.AT
Sliced Wasserstein Kernel for Persistence Diagrams
持久性图在拓扑数据分析中起着重要的作用，常用于描述复杂形状的拓扑性质。PD具有很强的稳定性，并已证明其在各种学习环境中的实用性。然而，它们并不生活在一个自然具有希尔伯特结构的空间中，通常与特定的距离进行比较，例如瓶颈距离。为了将PD合并到学习流水线中，已经针对PD提出了几种内核，其中强烈强调RKHS距离w.r.t. PD的干扰。在这篇文章中，我们使用Wasserstein距离的切片Wasserstein近似SW来定义PD的新内核，它不仅是可证明稳定的，而且是可证明判别的（取决于PD中的点数）。PD之间的Wasserstein距离$d_1$。我们还证明了它的实用性，通过开发一种近似技术，以减少内核的计算时间，并表明我们的建议相比，有利的PD在几个基准现有的内核。
2017-11-09 cs.CG math.AT stat.ML
Persistence Spheres: Bi-continuous Representations of Persistence Diagrams
Department of Mathematics, KTH（数学系，皇家理工学院）
本研究提出持久球面这一持久图的新型双连续函数表示，兼具理论最优的稳定性与几何保真性，可高效并行计算，在多类任务基准测试中性能达到当前最优或具竞争力水平。
2025-09-21 cs.LG math.AT
Random Walks on Virtual Persistence Diagrams
Kennesaw State University（肯尼索州立大学）
本文构建了虚拟持续图群K(X,A)中的平移不变热半群，通过可数子群H的核函数确定对称跳跃过程，并利用其生成再生核希尔伯特空间及关联半度量。
2026-03-26 math.AT math.FA math.PR
Topological Machine Learning with Persistence Indicator Functions
Heidelberg University（海德堡大学）；TU Kaiserslautern（凯泽斯劳滕工业大学）
计算拓扑学的技术，特别是持久同源性，正变得越来越相关的数据分析。他们的稳定指标允许使用许多基于距离的数据分析方法，如多维缩放，同时提供了坚实的理论基础。然而，许多现代机器学习算法都是基于内核的。本文提出了持久性指示函数（PIF），它概括了持久性图，即，拓扑数据分析中的特征描述符。PIF可以在线性时间内计算和比较，并且具有许多有益的属性，例如基于内核的相似性度量的可用性。我们展示了它们在常见数据分析场景中的使用，例如复杂结构化数据的置信集估计和分类。
2019-07-31 cs.LG math.AT
Filtered Topology and Persistence in Stable Homotopy
本文构建滤过拓扑空间范畴，定义滤过欧拉示性数并证明其为滤过同伦不变量，进而研究滤过CW复形的持续性Spanier-Whitehead范畴，证明其K-群同构于Novikov多项式环，并推广到滤过稳定同伦范畴。
2025-05-05 math.AT math.SG
Vietoris-Rips Persistent Homology
持久性图是有用的显示，它给出了关于某些现象的拓扑特征的摘要信息。通常，只有一个持久性关系图可用，并且需要复制持久性关系图以进行统计推断。生成这些复制的一个选项是在持久性图上拟合点的分布。相关分布的类型取决于持久性图的构建方式。有两种方法来建立持久性图，一种是基于Vietoris-Rips复形，第二种是基于一些拟合函数，如核密度估计。这两种方法产生一个二维持久性图，其中每个点的坐标是“出生”和“死亡”的时间。然而，对于第一种方法，对于呈现现象的连通分量的所有点，“出生”时间都是零。在本文中，我们研究的连通组件的分布时，持久性图是基于Vietoris-Rips复杂。此外，我们研究的连接组件的行为时，测量噪声的现象。
2019-05-15 math.AT
Nonembeddability of Persistence Diagrams with $p>2$ Wasserstein Metric
University of Florida（佛罗里达大学）
持久性图不允许与任何Wasserstein度量相容的内积结构。因此，当将内核方法应用于持久性图时，底层的特征映射必然会导致失真。我们证明了当p > 2时，具有p-Wasserstein度量的持久图不允许粗嵌入到希尔伯特空间中。
2019-10-30 cs.LG math.AT math.FA
Reproducing Kernel Hilbert Spaces on Banach Completions of Virtual Persistence Diagram Groups
Kennesaw State University（肯尼索州立大学）
本文研究了虚拟持续图群的再生核希尔伯特空间理论，证明了在特定条件下该群的局部紧性，并发展了非局部紧情况下的翻译不变核理论。
2026-02-20 math.AT math.FA
PersLay: A Neural Network Layer for Persistence Diagrams and New Graph Topological Signatures
持久性图是拓扑数据分析中最常用的描述符，它对数据的拓扑属性进行了编码，并在数据科学的许多不同应用中发挥了关键作用。然而，由于持久性图的（度量）空间不是希尔伯特，它们最终成为大多数机器学习技术的困难输入。为了解决这个问题，已经提出了几种向量化方法，将持久性图嵌入到有限维欧几里得空间或（隐式）无限维希尔伯特空间中。在这项工作中，我们专注于建立在图形之上的持久性图。依靠扩展的持久性理论和所谓的热核签名，我们展示了如何图可以编码（扩展）持久性图在一个可证明的稳定的方式。然后，我们提出了一个通用的和通用的框架，学习持久性图的矢量化，其中包括文献中使用的矢量化技术。最后，我们通过在现实生活中的图数据集上实现分类任务的竞争性得分，展示了我们设置的实验实力。
2020-03-09 cs.CG cs.LG math.AT
Asymmetrically Weighted Dowker Persistence and Applications in Dynamical Systems
University of Vermont（佛蒙特大学）；Warren Wilson College（沃伦威尔逊学院）；Michigan State University（密歇根州立大学）；California State University, Fullerton（加州州立大学富勒顿分校）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
本文提出非对称加权Dowker持续性框架，用于区分高维动力系统中的周期与非周期循环，通过构建加权有向网络并分析持续性，增强对动态结构的敏感性。
2026-04-13 math.AT math.CO math.DS
Persistent homology method to detect block structures in weighted networks
解开网络的块结构对于研究宏观特征和社区层面的动态至关重要。加权随机块模型（WSBM）是传统随机块模型的一种变体，它是为加权网络设计的，但它并不总是最优的。本文介绍了一种新的拓扑方法，通过比较加权网络的持久图来研究加权网络的块结构。我们发现不同块结构的网络的持久性图显示出不同的特征，足以区分。此外，即使使用更多随机示例或修改的超参数，也可以保留整体特征。最后，当测试潜块结构未知的随机图时，持久性图分析的结果与其加权随机块模型一致。虽然由于某些原因，这种拓扑方法不能完全取代原来的WSBM方法，但值得进一步研究。
2021-08-03 math.AT math.CO math.DS
On the Metric Distortion of Embedding Persistence Diagrams into separable Hilbert spaces
持久性图是拓扑数据分析中的重要描述符。由于配备有其{ \em图距离}的持久性图的空间的非线性，最近在机器学习中使用持久性图的大多数尝试已经通过内核方法完成，即，将持久性图嵌入到再生核希尔伯特空间中，所有计算都可以很容易地执行。由于持久性图享有图距离的理论稳定性保证，因此特征图的{ \em度量属性}，即，希尔伯特距离和图距离之间的关系，对于理解持久性图是否保证延续到嵌入是重要的。在这篇文章中，我们研究的可能性嵌入持久性图到可分希尔伯特空间，双Lipschitz映射。特别是，我们表明，几个稳定的嵌入到文献中定义的无限维希尔伯特空间，任何下界必须依赖于基数的持久性图，当希尔伯特空间是有限维的，找到一个双Lipschitz嵌入是不可能的，即使限制持久性图有界基数。
2019-08-07 cs.CG cs.LG math.AT
A Stable Multi-Scale Kernel for Topological Machine Learning
IST Austria（奥地利科学技术研究所）；TU München（慕尼黑工业大学）；University of Salzburg（萨尔茨堡大学）
拓扑数据分析为研究视觉问题提供了丰富的有价值的信息来源。然而，到目前为止，我们缺乏一个理论上健全的连接到流行的基于内核的学习技术，如内核SVM或内核PCA。在这项工作中，我们建立了这样的连接，通过设计一个多尺度的持久性图，一个稳定的概括表示数据中的拓扑特征的内核。我们证明了这个内核是正定的，并证明了它的稳定性，相对于1-瓦瑟斯坦距离。两个基准数据集的3D形状分类/检索和纹理识别的实验表明，所提出的方法相比，另一种方法，是基于最近推出的持久性景观相当大的性能增益。
2014-12-21 cs.CV cs.LG math.AT
Higher-order Persistence Diagrams
Kennesaw State University（肯尼索州立大学）
本文提出高阶持续图，通过递归构造保留持续区间间的包含关系，利用谐波分析将聚合图的频域评估转化为zeta变换，实现高效的比较与聚合，实验显示在随机网络模型中速度显著提升。
2026-10-27 cs.CG math.AT math.FA
Signatures, Lipschitz-free spaces, and paths of persistence diagrams
本文通过将持久性图嵌入Lipschitz-free空间，利用路径签名和矩映射构建可计算特征，用于动态拓扑数据分析，并在群体行为参数估计中验证有效性。
2023-11-16 math.AT math.FA stat.OT
Embeddings of Persistence Diagrams into Hilbert Spaces
University of Florida（佛罗里达大学）
由于持久性图不允许内积结构，因此需要一个到希尔伯特空间的映射才能使用核方法。人们自然会问这样的映射是否必然会扭曲持久性图上的度量。我们表明，持久性图的瓶颈距离甚至不承认一个粗糙的嵌入到希尔伯特空间。作为我们的证明的一部分，我们表明，任何可分离的，有界的度量空间等距嵌入到空间的持久性图的瓶颈距离。作为推论，我们得到了这个空间的广义圆性、负型和渐近维数。
2020-03-22 cs.LG math.AT math.MG
Neural Persistence: A Complexity Measure for Deep Neural Networks Using Algebraic Topology
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；SIB Swiss Institute of Bioinformatics（瑞士生物信息学研究所）
虽然已经提出了许多使神经网络更可扩展的方法，但它们仅限于用输入数据询问网络。然而，表征和监测结构特性的措施尚未开发。在这项工作中，我们提出了神经持久性，基于加权分层图的拓扑数据分析的神经网络架构的复杂性度量。为了证明我们的方法的有用性，我们展示了神经持久性反映了深度学习社区中开发的最佳实践，例如dropout和批量归一化。此外，我们推导出一个基于神经持久性的停止标准，它缩短了训练过程，同时实现了与基于验证损失的早期停止相当的准确性。
2019-09-27 cs.LG math.AT stat.ML
Topological Clustering via Sliced Wasserstien Kernels
Institute of Chemical Technology, Mumbai（孟买化学技术学院）；Bhavan’s Hazarimal Somani College, Mumbai（孟买巴万哈扎里马尔索马尼学院）
该研究针对TDA中聚类问题，提出基于各同调SW核凸组合的核k均值算法，在基准及合成数据集上表现优于基线且计算高效，权重可识别具判别性的同调。
2026-08-06 math.AT math.ST stat.TH
Categorification of persistent homology
我们从范畴的角度重新开发持久同源性（拓扑持久性）。主要研究对象是在某个目标范畴内由实数偏序集索引的图。这组图有一个交织距离，我们发现，概括了以前研究的瓶颈距离。为了说明这种方法的实用性，我们大大推广了以前的稳定性结果的持久性，扩展持久性，内核，图像和cokernel持久性。我们给出了一个自然的结构，这些图的一个类别的交织，并表明，如果目标类别是阿贝尔，所以是这个类别的交织。
2014-01-08 cs.CG math.AT math.CT
Topological Detection of Phenomenological Bifurcations with Unreliable Kernel Densities
本文针对仅能获得单一系统实现时难以可靠估计核密度的问题，提出利用拓扑数据分析中的持久图并结合子采样等方法检测P型分岔，并证明子采样在预测分岔上优于Gibbs点过程和成对交互点建模。
2024-01-29 math.AT math.DS stat.ME
A Kernel for Multi-Parameter Persistent Homology
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；University of Modena and Reggio Emilia（摩德纳-雷焦艾米利亚大学）；University of Utah（犹他大学）
拓扑数据分析及其主要方法--持久同调，为计算高维噪声数据集的拓扑信息提供了工具。已经建立了用于单参数持久同源性的核以将持久同源性与机器学习技术相连接。我们贡献了一个核结构的多参数持久性通过整合一个单参数核沿直线加权。我们证明了我们的核是稳定的和有效的可计算的，这建立了拓扑数据分析和多元数据分析的机器学习之间的理论联系。
2019-06-05 cs.CG cs.LG math.AT
