A Fast and Robust Method for Global Topological Functional Optimization
Duke University（杜克大学）；Geometric Data Analytics（几何数据分析公司）
拓扑统计，以持久性图的形式，是一类形状描述符，捕获数据中的全局结构信息。从数据结构到持久性图的映射几乎处处都是可微的，允许拓扑梯度反向传播到普通梯度。然而，作为一种优化拓扑泛函的方法，这种反向传播方法是昂贵的，不稳定的，并且产生非常脆弱的最优解。我们的贡献是引入一种新的反向传播方案，该方案显着更快，更稳定，并产生更强大的最优解。此外，该方案还可以用于产生持久性图中的点的稳定可视化，作为数据结构中的临界和近临界单形的分布。
2021-02-22 cs.LG math.AT stat.ML
Persistence B-Spline Grids: Stable Vector Representation of Persistence Diagrams Based on Data Fitting
Zhejiang University（浙江大学）
近几十年来，已经进行了许多尝试来集成机器学习（ML）和拓扑数据分析。将持久同源性应用于ML任务的一个突出问题是找到持久性图（PD）的矢量表示，持久性图是表示拓扑特征的汇总图。从数据拟合的角度出发，基于最小二乘B样条函数拟合的渐进迭代逼近技术，提出了一种稳定的矢量表示方法--持久性B样条网格（PBSG）。我们从理论上证明了PBSG方法对于定义在PD空间上的1-Wasserstein距离度量是稳定的。在合成数据集、随机生成的PD数据集、动力系统数据集和三维CAD模型上进行了测试，验证了该方法的有效性和高效性
2022-04-22 cs.CG cs.LG math.AT
Kernel method for persistence diagrams via kernel embedding and weight factor
拓扑数据分析是一种新兴的数学概念，用于表征多尺度数据中的形状。在该领域中，持久性图被广泛用作输入数据的描述符，并且可以区分鲁棒和噪声拓扑属性。目前，迫切需要在持久性图上开发一个统计框架来处理实际数据。提出了一种持久图的核方法。我们的方法的一个理论贡献是，建议的内核允许一个控制持久性的效果，如果必要的话，嘈杂的拓扑属性可以在数据分析中打折。此外，该方法提供了一种快速近似技术。将该方法应用于包括物理实际数据在内的几个问题，结果表明，该方法在持久性图上优于现有的核方法。
2017-06-12 math.AT physics.data-an stat.ML
A Stable Cardinality Distance for Topological Classification
University of Tennessee（田纳西大学）
这项工作结合了拓扑特征，通过持久性图分类点云数据产生的材料科学。持久性图是总结给定数据的连通性和漏洞的多集。持久性图空间上的新距离为材料科学数据的分类算法生成相关输入特征。该距离使用匹配点的成本和对应于图之间基数差异的正则化项来度量持久性图的相似性。建立这个距离的稳定性属性提供了理论上的理由使用的距离比较这样的图。分类方案成功地确定材料的晶体结构的噪声和稀疏的数据从合成原子探针层析成像实验。
2019-11-08 cs.LG stat.ML
Unreduced Persistence Diagrams for Topological Machine Learning
Department of Mathematics and Statistics, Florida Atlantic University, Boca Raton, FL（数学与统计学系，佛罗里达国际大学， Boca Raton, FL）
研究未约简边界矩阵生成的拓扑特征向量在机器学习中的性能，发现其与完全约简持久图性能相当甚至更优，且计算内存需求低一个数量级。
2026-06-18 cs.CG cs.LG math.AT
Metrics for Learning in Topological Persistence
Tampere University（坦佩雷大学）；University of Cologne（科隆大学）
持久同源性分析提供了在各个维度上捕获数据集的连接结构的手段。在数学层面上，通过定义持久性附加到数据集的对象之间的度量，我们可以稳定表征这些对象的不变量。我们概述了如何所谓的轮廓函数诱导相关指标稳定的秩不变。在实践层面上，稳定秩被用作数据的指纹。不同的轮廓选择导致不同的稳定秩和拓扑学习的问题，然后找到最佳的轮廓。我们概述了我们的分析管道，并展示了它如何增强身体活动数据的分类。作为我们的主要应用程序，我们研究如何稳定的行列和轮廓提供强大的描述符的大气云场的空间格局。
2019-06-11 cs.LG physics.data-an stat.ML
Fuzzy c-Means Clustering for Persistence Diagrams
University of Southampton（南安普顿大学）；University of Oxford（牛津大学）；Harvard University（哈佛大学）；University of Warwick（华威大学）
持久性图简洁地表示了点云的拓扑结构，同时具有强大的理论保证，但如何将这些信息最好地集成到机器学习工作流程中的问题仍然是开放的。在本文中，我们扩展了无处不在的模糊c均值（FCM）聚类算法的持久性图的空间，使无监督学习，自动捕获的拓扑结构的数据，而无需拓扑先验知识或额外的处理持久性图，许多其他技术需要。我们给出了理论上的收敛保证，对应于欧几里德的情况下，并实证证明我们的算法捕捉拓扑信息，通过模糊RAND指数的能力。最后，我们在两个数据集上进行了实验，这些数据集利用了我们算法的拓扑和模糊性质：机器学习中的预训练模型选择和材料科学中的晶格结构。由于预先训练的模型可以在多个任务上表现良好，因此选择最佳模型是一个自然模糊的问题;我们证明了模糊聚类持久性图允许使用决策边界的拓扑结构进行模型选择。在材料科学中，我们首次对转换后的晶格结构数据集进行分类，而概率隶属度值使我们能够在进一步研究需要昂贵的实验室时间和专业知识的情况下对候选晶格进行排名。
2021-02-15 cs.LG stat.ML
PLLay: Efficient Topological Layer based on Persistence Landscapes
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Inria（法国国家信息与自动化研究所）；Google Research（谷歌研究院）
我们提出了PLLay，这是一种基于持久性景观的通用深度学习模型的新型拓扑层，可以有效地利用输入数据结构的底层拓扑特征。在这项工作中，我们证明了可微性相对于层的输入，一般持久的同源任意过滤。因此，我们提出的层可以放置在网络中的任何地方，并将输入数据的拓扑特征的关键信息馈送到后续层中，以提高网络对给定任务的可学习性。PLLay的任务优化结构在训练过程中通过反向传播学习，而不需要任何输入特征化或数据预处理。我们提供了一种新的适应DTM功能为基础的过滤，并表明，所提出的层是强大的噪声和离群值，通过稳定性分析。我们证明了我们的方法的有效性，在各种数据集上的分类实验。
2021-01-18 cs.CG cs.LG stat.ML
Discrete transforms of quantized persistence diagrams
本文提出 Qupid 方法，通过对数尺度网格分箱和离散变换将持久图高效向量化，在保持竞争力的同时显著降低计算成本，并对网格分辨率降低具有鲁棒性。
2024-10-21 cs.CG math.AT stat.ML
Cycle Registration in Persistent Homology with Applications in Topological Bootstrap
Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
在这篇文章中，我们提出了一种新的方法比较持久的同源表示的两个空间（过滤）。常用的方法是基于数值总结，如持久性图和持久性景观，以及适当的度量（例如Wasserstein）。这些总结对于计算目的是有用的，但它们仅仅是持久同源性所能提供的实际拓扑信息的边缘。相反，我们的方法直接在数据空间中比较两个拓扑表示。我们这样做是通过定义两个不同空间的各个持久循环之间的对应关系，并设计一种方法来计算这种对应关系。我们的匹配周期是基于持久性间隔和空间放置的每个功能。我们展示了我们的新框架的拓扑推理的背景下，我们使用统计引导方法，以区分点云数据中的真实特征和噪声。
2021-01-03 cs.CG cs.LG math.AT
Bayesian Topological Learning for Classifying the Structure of Biological Networks
University of Tennessee（田纳西大学）；University of Hawaii at Manoa（夏威夷大学马诺阿分校）
肌动蛋白细胞骨架网络产生局部拓扑签名，由于在网络的孔的数量，大小和形状的自然变化。持久同源性是一种探索数据的这些拓扑属性并将其总结为持久性图的方法。在这项工作中，我们分析和分类这些细丝网络转换成持久性图，其可变性是量化的，通过贝叶斯框架上的持久性图的空间。建议的广义贝叶斯框架采用了独立和同分布的集群点过程的持久性图表征，并依赖于替代似然参数。这个框架提供了灵活性，以估计后验基数分布的点在持久性图和后验空间分布的同时。我们提出了一个封闭的形式下的高斯混合假设和二项式先验强度和基数分别后验。使用这种后验计算，我们实现了贝叶斯因子算法分类肌动蛋白丝网络和基准它对几个国家的最先进的分类方法。
2020-09-24 cs.LG q-bio.QM stat.ML
Differentially Private Topological Data Analysis
Purdue University（普渡大学）
本文研究差分隐私拓扑数据分析，分析持续图敏感度，提出基于 L1-DTM 与指数机制的私有化方法，并证明其误差近乎最优。
2023-11-03 cs.CG cs.CR cs.LG
Persistence-based topological optimization: a survey
DataShape, Centre Inria d’Université Côte d’Azur（Inria 蔚蓝海岸中心 DataShape）；Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo（东京大学大学院数理科学研究科）；Laboratoire d’Informatique Gaspard Monge, Université Gustave Eiffel, CNRS（加斯帕尔·蒙日计算机科学实验室，巴黎-布拉尼亚克国立应用科学学院，法国国家科学研究中心）；Graduate School of Information Science and Technology, The University of Tokyo（东京大学大学院信息理工学研究科）；RIKEN AIP（理化学研究所人工智能研究中心）
本文综述了利用持久性理论进行拓扑优化的研究进展，涵盖理论基础、算法方法及实际应用，提供开源库帮助研究者深入理解该领域。
2026-03-24 cs.CG math.AT math.OC
Statistical Analysis of Persistence Intensity Functions
持久性图是一种概括函数拓扑特征的二维图，是拓扑数据分析的重要组成部分。如何处理持久化图集是一个备受关注的问题。我们如何总结它们，平均它们或聚类它们？一种方法-持久强度函数-由Edelsbrunner，Ivanov和Karasev（2012）非正式地引入。在这里，我们提供了一个修改和形式化的这种方法。使用持久强度函数，我们可以可视化多个图表，执行聚类和进行双样本测试。
2015-10-08 stat.ME stat.ML
Persistence paths and signature features in topological data analysis
University of Oxford（牛津大学）；Institute for Advanced Study（高等研究院）
我们引入了一个新的特征图的条形码，出现在持久的同源性计算。其主要思想是首先将每个条形码实现为方便的向量空间中的路径，然后计算其路径签名，该路径签名在该向量空间的张量代数中取值。这两个操作的组合-条形码到路径，路径到张量序列-产生具有统计学习的几个期望属性的特征图，例如普遍性和特征性，并在常见的分类基准上实现最先进的结果。
2018-12-12 cs.LG math.PR math.ST
The Topological Stability Index: A Variance-Based Measure for Persistence Barcodes
Maastricht University（马斯特里赫特大学）
提出拓扑稳定性指数（TSI），一种基于方差的持久性条形码标量度量，量化持久性寿命的离散程度，并建立其基本性质及与Rényi熵的联系。
2026-05-28 cs.IT math.IT math.ST
Uncovering the Topology of Time-Varying fMRI Data using Cubical Persistence
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；Yale University（耶鲁大学）；Mila（米拉研究所）
功能性磁共振成像（fMRI）是一种重要的技术，用于深入了解人类的认知过程。从fMRI测量中积累的数据导致随时间变化的体积数据集。然而，分析这些数据是一个挑战，因为大脑中信息的表现方式存在很大程度的噪音和人与人之间的差异。为了解决这一挑战，我们提出了一种新的拓扑方法，编码每个时间点的功能磁共振成像数据集作为一个持久性图的拓扑特征，即高维空间存在于数据中。这种表示自然不依赖于逐体素对应，并且对噪声是鲁棒的。我们发现，这些随时间变化的持久性图可以聚类，以找到有意义的分组之间的参与者，他们也是有用的研究对象内的大脑状态轨迹的主题执行特定的任务。在这里，我们将聚类和轨迹分析技术应用于一组观看电影“部分多云”的参与者。我们观察到在观看同一部电影的成人和儿童之间的大脑状态轨迹和整体拓扑活动存在显着差异。
2020-10-22 cs.LG eess.IV math.AT
Persistence Flamelets: multiscale Persistent Homology for kernel density exploration
近年来，人们对“数据形态”的研究产生了明显的兴趣。在定义“形状”的许多方法中，拓扑是最通用的一种，因为它根据对象的连接结构（连接组件）来描述对象（尺寸0的拓扑特征），循环存在越来越多的技术，通常被表示为拓扑数据分析，旨在估计固定对象的拓扑不变量;然而，当我们允许这个物体发生变化时，很少有人研究它的拓扑结构的演变。在这项工作中，我们定义的持久性flamestor，一个多尺度版本的TDA中最流行的工具之一，持久性景观。我们研究了它的理论特性，并展示了如何使用它来获得对KDE带宽参数的见解。
2017-09-20 math.ST stat.ML stat.TH
Topological Uncertainty: Monitoring trained neural networks through persistence of activation graphs
DataShape - Inria（数据形态 - 法国国家信息与自动化研究所）；Fujitsu Laboratories Ltd.（富士通研究所）
虽然神经网络能够在各种各样的环境中达到惊人的性能，但在复杂任务上正确训练网络需要专业知识，并且从计算的角度来看可能是昂贵的。在工业应用中，来自开放世界环境的数据可能与训练网络的基准数据集有很大不同。能够在不重新训练网络的情况下监测这种变化的存在至关重要。在这篇文章中，我们开发了一种方法来监测训练的神经网络的激活图的拓扑性质的基础上。对于每一个新的观察结果，我们都分配了一个拓扑不确定性，这个分数旨在通过调查整个网络而不是像从业者通常做的那样只调查最后一层来评估预测的可靠性。我们的方法完全在训练后水平上工作，不需要对网络架构、优化方案进行任何假设，也不需要使用数据增强或辅助数据集;并且可以忠实地应用于大范围的网络架构和数据类型。我们通过实验展示了拓扑不确定性在训练网络选择，分布外检测和移位检测的背景下的潜力，无论是在合成的还是真实的图像和图形数据集上。
2021-05-07 cs.AI cs.LG stat.ML
Improved Modeling of Persistence Diagram
Hebrew University（希伯来大学）
高维约简方法是描述大数据中主要模式的有力工具。拓扑数据分析（TDA）就是其中之一，它根据数据的拓扑特性对数据的形状进行建模。该方法专门将原始数据转换为二维系统，并通过“持久化”图形化表示。此图上的离群点表示数据模式，而其他点则表现为随机噪声。为了确定哪些点是显著的离群值，需要对原始数据集进行复制。一旦只有一个原始数据可用，就可以通过为持久性图上的点拟合模型，然后使用MCMC方法来创建副本。其中一个模型是复制统计拓扑（Replicating Statistical Topology）。在本文中，我们提出了一个修改的模型。使用模拟研究，我们表明，修改后的ESTA提高了性能的ESTA的拟合优度。我们使用MCMC梅特罗波利斯-黑斯廷斯算法根据拟合模型进行抽样。
2022-05-22 cs.LG stat.ME stat.ML
$k$-Means Clustering for Persistent Homology
本文证明了$k$-均值聚类算法在持续同调图空间上的收敛性，并在Karush--Kuhn--Tucker框架下建立了优化问题的理论性质，实验表明直接在持续同调图和测度上聚类的性能优于向量化表示。
2023-11-25 math.OC stat.AP stat.ML
