Generalized divisor functions in arithmetic progressions: II
本文给出广义三重除数函数的修正移位卷积二阶矩的新上界，并证明该修正版本足以满足应用需求。
2023-08-13 math.NT
On Sums of Powers of Arithmetic Progressions, and Generalized Stirling, Eulerian and Bernoulli numbers
对于等差数列的非负幂的有限和，计算了给定幂的母函数（普通母函数和指数母函数）。这导致两个参数的推广斯特林和欧拉数。伯努利数及其多项式的直接推广如下。在用广义伯努利多项式求这些幂和的Faulhaber公式的过程中，得到了伯努利数及其多项式的单参数推广。广义Lah数也被考虑。
2017-07-14 math.NT
Burgess-type character sum estimates over generalized arithmetic progressions of rank $2$
本文提出了一种在素数域上二阶广义算术进展上改进Burgess估计的方法，通过建立乘法能量的上界和Bohr集大小的上界，实现了特征和的更精确估计。
2026-01-05 math.NT
A lower bound for the variance of generalized divisor functions in arithmetic progressions
我们证明了，对于一个大类的乘性函数，被称为广义除数函数，它是可能的找到一个下界相应的方差在等差数列。作为一个主要的推论，我们推导出这样的结果，任何$α$倍因子函数，任何复数$α\not\in \{1\}\cup-\mathbb{N}$，即使考虑一系列的参数$α$接近以适当的方式$1$。我们的工作建立在Harper和Soundararajan的基础上，他们用$k\in\mathbb{N}_{\geq 2}$处理了$k$ -折叠除数函数$d_k(n)$的特殊情况。
2020-04-15 math.NT
Ramsey Theory Problems over the Integers: Avoiding Generalized Progressions
两个研究得很好的拉姆齐理论问题考虑的子集的自然数，其中要么不包含三个元素的等差数列，或在几何级数。我们研究这个问题的推广，通过不同种类的进展，以避免和度量用于评估所得到的子集的密度。可以将3项等差数列看作序列$x, f_n(x), f_n(f_n(x))$，其中$f_n(x) = x + n$、$n$是非零整数。因此，避免三项等差数列等价于不包含具有$f_n \in\mathcal{F}_{\rm t}$的$x, f_n(x), f_n(f_n(x))$形式的三个元素，即整数平移的集合。人们可以类似地使用不同的函数族来构造相关的级数。我们调查了几个这样的家庭，包括几何级数（$f_n(x) = nx$与$n > 1$自然数）和指数级数（$f_n(x) = x^n$）。无级数集合通常被构造为“greenhouse”，包括每个数字，只要它不与前面的任何元素进行级数。Rankin用贪婪算术集刻画了贪婪几何级数自由集。我们刻画了贪婪指数集，证明了它的渐近密度为1，然后讨论了贪婪指数集的最优性如何依赖于用于定义级数的函数族。传统上，无进展集的大小是使用（上）渐近密度来测量的，但是我们考虑了几种不同的密度概念，包括均匀密度和指数密度。
2015-08-12 math.NT
Multiplicative Subgroups of $\mathbb{Z}_p^*$ that are Generalized Arithmetic Progressions
Kansas State University（堪萨斯州立大学）
本文证明了$\mathbb{Z}_p^*$中乘法子群为广义算术进展的充要条件，并推广了Hanson和Petridis的结果。
2026-10-01 math.NT
A conditional bound for the least prime in an arithmetic progression
University of Toronto（多伦多大学）
在假设狄利克雷L函数广义 Lindelöf 假设下，研究了算术等差数列中最小素数的界，其结果接近广义黎曼假设所暗示的经典估计。
2026-03-26 math.NT
Generalized divisor functions in arithmetic progressions: I
本文研究$k$重除数函数在模数超过$\sqrt{X}$的算术级数中的分布，结合张益唐方法并在广义黎曼假设下获得与$k$无关的一致幂次节省误差项，同时避免依赖Siegel定理。
2023-08-13 math.NT
On the second moment for primes in an arithmetic progression
在广义黎曼假设下，得到了在短区间内单个等差数列中素数的二阶矩的渐近解的一个常数因子内的下界.先前的结果在给定模量的所有进展上进行平均。该方法使用一个短的约数和近似的冯Mangoldt函数，连同一些新的结果，这种约数和近似的二进制相关的等差数列。
2000-04-24 math.NT
Partial sums of the Möbius function in arithmetic progressions assuming GRH
考虑等差数列中的Mertens函数M（x，q，a），在广义黎曼假设（GRH）的假设下，证明了M（x，q，a）的一个上界，它对所有不太大的模都是一致的.为了证明这一点，本文采用了K. Soundararajan扩展到L系列。
2011-11-14 math.NT
Polynomials and Primes in Generalized Arithmetic Progressions (Revised Version)
我们提供了一个对称的广义等差数列的密度上界缺乏非零元素的形式h（n）的自然数n，或h（p）与p素数，适当的多项式h与整数系数。这个素数变体可以解释为林尼克定理的多维多项式扩展。此版本是已发布版本的修订版。最值得注意的是，适当性假设已从定理2和3中删除，并且定理2中的数字学已得到改进。
2015-07-09 math.CA math.NT
A mean value of the representation function for the sum of two primes in arithmetic progressions
在本文中，我们假设广义黎曼假设的一个变形，它不排除实零点的存在，证明了等差数列中两个素数和的表示函数的均值的一个渐近公式。这是F. Rüppel在2009年提出的，并推广了A. Chaimasco和A. Zaccagnini在2012年关于普通的哥德巴赫问题。
2015-04-08 math.NT
On the density of primes in arithmetic progression having a prescribed primitive root
设a，f，g为整数，a与f互质.在广义黎曼假设下，从Hooley和Lenstra的工作可以得出，素数p的集合使得p=a（mod f）且g是原根mod p，具有自然密度。在本文中，我们明确地评估这个密度，并给出这个结果的一些应用。
1999-12-07 math.NT
Some identities on generalized harmonic numbers and generalized harmonic functions
调和数和广义调和数在组合问题、解析数论中涉及特殊函数的表达式以及算法分析等领域中经常出现。本文的目的是从Beta函数F（x）= B（x +1，n +1），（n = 0，1，2，.）使用基本方法。
2022-12-30 math.NT
Integrals of polylogarithms and infinite series involving generalized harmonic numbers
本文给出了某些含广义（交错）调和数的无穷级数的显式求值。此外，还将推导出广义（交替）调和数的一些公式。
2021-03-19 math.NT
On primes in arithmetic progression having a prescribed primitive root. II
设a和f是互素的正整数。设g为整数。在广义黎曼假设（GRH）下，H. W. Lenstra证明了素数p的集合使得p=a（mod f）且g是模p的原根，有自然密度.在这篇笔记中，这个密度是明确评估与欧拉产品的结果。
2007-07-20 math.NT
On the Congruence of Finite Generalized Harmonic Numbers Sums Modulo $p^2$
本文研究了特殊有限广义调和数和的同余关系。我们建议更透明和更简单的方法来分析这些和，并提出了一些额外的结果，某些特殊情况下。
2020-11-30 math.NT
Sumsets and generalized arithmetic progressions in multiplicative subgroups
Kansas State University（堪萨斯州立大学）
针对有限域乘法子群，研究其与广义算术级数、和集分解的关系，得出真子群为广义算术级数的充要条件，及加法不可约、和差表示数的相关结论。
2026-07-31 math.CO math.NT
Polynomial progressions in the generalized twin primes
本文基于Maynard定理及Polymath项目改进，利用Tao和Ziegler的转移论证，证明在广义双子素数中存在多项式结构，扩展了Pintz在等差数列中的研究成果。
2026-03-22 math.CO math.NT
Generalized harmonic numbers via poly-Bernoulli polynomials
从调和数与Bernoulli数的关系出发，给出了广义超调和数与多伯努利多项式的关系.这种关系产生了许多身份的超和和几个同余。
2021-05-09 math.NT
On generalized Stanley sequences
令$\mathbb{N}$表示所有非负整数的集合。设$k\ge 3$是一个整数，$A_{0} = \{a_{1}, \dots{}, a_{t}\}$ $(a_{1} < \ldots< a_{t})$是一个不包含长度为$k$的等差数列的非负集合。我们表示由以下贪婪算法定义的$A = \{a_{1}, a_{2}, \dots{}\}$：如果$l \ge t$和$a_{1}, \dots{}, a_{l}$已经被定义，则$a_{l+1}$是最小整数$a > a_{l}$，使得$\{a_{1}, \dots{}, a_{l}\} \cup \{a\}$也不包含$k$项算术级数。这个序列$A$被称为$A_{0}$生成的$k$阶斯坦利序列。本文证明了关于Stanley序列的各种推广的一些结果。
2017-10-05 math.NT
On the generalized Sierpiński and Riesel numbers
Institute of Mathematics, Faculty of Mathematics and Informatics, Vilnius University（维尔纽斯大学数学与信息学院数学研究所）
本文证明对任意底数b≥2，存在无限等差数列k，使k同时为广义Sierpiński和Riesel数，即k·b^n±1均至少有两个不同素因子，方法结合覆盖系统与Zsigmondy定理。
2026-10-06 math.NT
New Finite and Infinite Summation Identities Involving the Generalized Harmonic Numbers
我们陈述并证明了一个一般的求和恒等式。然后应用该恒等式推导出涉及广义调和数及相关量的各种求和公式。有趣的结果，大多是新的，得到有限和无限的总和。本文的亮点可能是发现了几个以前未知的涉及{ \em非线性}广义调和数项的无穷求和结果，并导出了涉及这些数的有趣的交替求和公式
2015-08-28 math.NT
Linear Incongruences for Generalized Eta-Quotients
对于一个给定的广义η-商，我们证明了线性级数的剩余满足一定的二次方程不会产生一个一次同余方程模任何素数。这恢复了经典η-同余的已知结果，特别是分拆函数，但也产生了更一般的弱全纯模形式，如Rogers-Ramanujan函数的线性不等式。
2018-04-17 math.NT
Euler sums of generalized harmonic numbers and connected extensions
利用著名的广义调和数的欧拉和，给出了广义超调和数的欧拉和$H_{n}^{\left( p,q\right) }$ \[ ζ_{H^{\left( p,q\right) }}\left( r\right) =\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{H_{n}^{\left( p,q\right) }}{n^{r}}% \]的计算方法.此外，还计算了几个无穷级数的Riemann zeta值，这些级数的项由某些调和数和二项式系数的倒数组成。
2021-03-17 math.NT
The dichotomy between structure and randomness, arithmetic progressions, and the primes
一个著名的定理Szemerédi断言，所有子集的整数正上密度将包含任意长的等差数列。这个深刻的定理有许多不同的证明，但它们都基于结构和随机性之间的基本二分法，这反过来又导致（粗略地说）任何对象分解为结构化（低复杂性）组件和随机（不相关）组件。这些类型的分解的重要例子包括Furstenberg结构定理和Szemerédi正则性引理。这种二分法的一个最近的应用是格林和陶的结果，他们建立了素数包含任意长的等差数列（尽管整数的密度为零）。这种二分法的力量可以从以下事实中得到证明：格林-陶定理几乎不需要解析数论的技术，而是几乎完全依赖于这种二分法的表现形式，如塞梅雷迪定理。在本文中，我们调查的二分法在组合学，调和分析，遍历论，和数论的各种表现。正如我们希望在此强调的那样，这些论点的基本主题非常相似，尽管背景截然不同。
2005-12-31 math.NT
On the properties of generalized harmonic and oscillatory numbers. Simple proof of the Prime Number Theorem
我们导出了广义调和数和相应的振动数的和恒等式，并对这些和恒等式应用了筛法。所得结果使我们能够更好地理解这些数的性质及其渐近行为。在这些恒等式的基础上，给出了素数定理的一个简单证明。
2007-09-24 math.NT
On connection between values of Riemann zeta function at integers and generalized harmonic numbers
利用级数的欧拉变换，将Hurwitz zeta函数在整数和有理数上的值与某些出现广义调和数的快速收敛级数联系起来.这些广义调和数的形式携带了关于Hurwitz函数的自变量值的信息。特别是，我们证明：$\forall k\in \mathbb{N}:$ $ζ(k,1)\allowbreak =\allowbreak \frac{2^{k-1}}{2^{k-1}-1}% \sum_{n=1}^{\infty }\frac{H_{n}^{(k-1)}}{n2^{n}},$其中$H_{n}^{(k)}$定义以下广义调和数。进一步我们找到了数$\hatζ(k)=\sum_{j=1}^{\infty }(-1)^{j-1}/j^{k}. $的生成函数
2015-01-12 math.NT
On generalized harmonic numbers, Tornheim double series and linear Euler sums
广义调和数，线性欧拉和和Tornheim二重级数之间的直接联系建立在一个更清晰的方式比现有文献中发现的。我们证明了每个线性欧拉和都可以分解为相同权的Tornheim二重级数的线性组合。新的封闭形式评估各种欧拉和。最后，某些组合的线性欧拉和可约化的黎曼zeta值被发现。
2016-03-14 math.NT
Summation rules for the values of the Riemann zeta-function and generalized harmonic numbers obtained using Laurent developments of polygamma functions and their products
根据arXiv：1606.02150（NT）中提出的Mellin变换和逆Mellin变换技巧，我们建立了双和三Γ函数乘积的洛朗级数展开式的封闭形式/psi（z）*/psi（-z）和/psi_（1）（z）*/psi_（1）（-z）.这些级数被用来寻找求和规则，其中包括一次、二次和三次幂的广义调和数以及整数/伯努利数处的黎曼ζ函数的值，例如2*Sum_（k-1）^（infinity）（H_（k）^（（2））/k^3）=6*/zeta（2）*/zeta（3）-9*/zeta（5）。其中一些规则进行了数值测试。
2021-12-06 math.NT
Subsets of $\mathbb{F}_q[x]$ free of 3-term geometric progressions
最近的几篇论文都考虑了拉姆齐理论的问题，即在不包含任何3项等比数列的情况下，整数的子集可以有多大。这个问题最近也被推广到数域，确定避免等比数列的理想的最大可能密度的界限。本文研究了$\mathbb{F}_q[x]$上的类似问题，首先构造一个避免这些级数的集合集并计算其密度，然后考虑$\mathbb{F}_q[x]$中避免三项等比数列的子集的上密度的界.这个新的设置给了我们一个参数$q$来改变和研究我们的界限如何收敛到1，因为它的变化，有限的特征引入了一些额外的组合结构，增加了在这方面的常见问题的可追溯性。
2016-01-21 math.CO math.NT
Summation formulas involving generalized harmonic numbers
利用导数算子和三个超几何级数恒等式，建立了几个有趣的广义调和数求和公式。
2016-06-27 math.CO math.NT
Saalschütz's theorem and summation formulae involving generalized harmonic numbers
利用微分算子、积分算子和Saalschütz定理，建立了两类含广义调和数的求和公式.
2016-06-29 math.CO math.NT
A family of summation formulas involving generalized harmonic numbers
将导数算子与伸缩法中的二项式和相结合，建立了一族包含广义调和数的求和公式。
2012-03-13 math.CO math.NT
Avoiding 3-Term Geometric Progressions in Hurwitz Quaternions
本文将不含三项等比数列的最大密度问题推广到非交换的 Hurwitz 四元数序，给出贪心集合密度的精确公式，并推导最优上密度的上下界。
2024-01-20 math.CO math.NT
Some Generalized Harmonic Number Identities
分部求和用于求包含特定多项式或有理函数的广义调和数的有限级数的和。利用Euler-Maclaurin的幂和公式求出了某些涉及非负整数幂的广义调和数的有限级数的和，并利用该公式求出了涉及多项式的广义调和数的有限级数的和.提供了许多例子和计算机程序。
2012-02-08 math.CO math.NT
Watson-type 3F2-series and summation formulae involving generalized harmonic numbers
利用导数算子和Watson型$_3F_2$ -级数恒等式，建立了三类含广义调和数的求和公式.
2016-07-03 math.CO math.NT
Primes in arithmetic progressions and semidefinite programming
假设广义黎曼假设，我们使用Carneiro、Milinovich和Soundararajan开发的方法给出包含给定等差数列中的素数的区间大小的渐进界[评论]。数学。海弗。94，no. 3（2019）]。为此，我们扩展的Guinand-Weil明确的公式在所有的Dirichlet字符模$q \geq 3$，我们减少了相关的极值问题的凸优化问题，可以通过半定规划数值求解。
2021-01-10 cs.NA math.CA math.NA
A class of summation formulas on generalized harmonic numbers
将导数算子与Chu-Vandermonde卷积相结合，建立了一类关于广义调和数的求和公式.
2012-12-26 math.CO math.NT
Whipple-type $_3F_2$-series and summation formulae involving generalized harmonic numbers
利用导数算子和Whipple型$_3F_2$ -级数恒等式，建立了两类含广义调和数的求和公式.
2017-08-31 math.CO math.NT
Supercongruences of multiple harmonic $q$-sums and generalized finite/symmetric multiple zeta values
Kaneko-Zagier猜想描述了有限多重zeta值和对称多重zeta值之间的对应关系。它的改进版本已经由Jarossay，Rosen和Ono-Seki-Yamamoto建立。本文通过对多重调和$q$ -和的研究，给出了这些结果.我们表明，（广义）有限/对称的多重zeta值，通过采取多重谐波$q$ -总和的代数/解析极限。作为应用，给出了广义有限/对称多重zeta值的反转、对偶和循环和公式的新证明.
2022-02-17 math.NT math.QA
Sets of integers that do not contain long arithmetic progressions
本研究结合埃林克和拉金的方法，改进了不包含长等差数列的整数集合的构造，并优化了界条件。
2010-06-21 math.CO math.NT
Large Sets of Integers with No Harmonic Triples
研究不含特定等式关系的整数集最大规模\(f(N)\)，核心方法是用素域中无三项等差数列集合的随机仿射像筛选奇数并删除受控坍缩三元组，证明了\(f(N)\)的一个下界。
2026-07-08 math.CO math.NT
