arXiv 0811.30572008-11math.NTmath.CO

不包含长等差数列的整数集合

Sets of integers that do not contain long arithmetic progressions

Kevin O'Bryant

备注：: 14 pages; v2 now captures long APs; v3 typos, formatting, and updated intro
发表信息：: Electron. J. Combin. 18 (2011), no. 1, Paper 59, 15 pp

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AI总结：

本研究结合埃林克和拉金的方法，改进了不包含长等差数列的整数集合的构造，并优化了界条件。

摘要：

1946年，贝赫伦给出了不包含3项等差数列的密集有限整数集合的构造方法。1961年，拉金将贝赫伦的构造方法推广到避免k项等差数列的集合。2008年，埃林克对贝赫伦的3项构造方法进行了改进。在本工作中，我们结合了埃林克的改进方法和拉金的推广方法。等差数列被视为多项式数列的特殊情况。1946年，贝赫伦给出了不包含3项等差数列的密集有限整数集合的构造方法。1961年，拉金将贝赫伦的构造方法推广到避免k项等差数列的集合。2008年，埃林克对贝赫伦的3项构造方法进行了改进，后来在2008年，格林与沃尔夫找到了一种不同的方法（尽管在原则上相似），但技术上更加简洁。本工作在格林与沃尔夫的框架内结合了埃林克的改进方法和拉金的推广方法。该构造的一个有趣之处是，我们通过不包含长多项式数列的集合来构造不包含长等差数列的集合。对于r_k(N)，即不包含k项等差数列的{1,2,…,N}子集的最大大小，其界为（其中log=log_2，对于足够大的N，n=ceil(log k)）：r_3(N) > N (sqrt(360)/(e π^{3/2})-ε) * 4^{-sqrt(2 log N)} * sqrt[4]{2 log N}, r_k(N) > CN * 2^{-n 2^{(n-1)/2} * sqrt[n]{log N} + 1/(2n) log log N}。改进之处在于构造的简化，r_3的界明确性，以及一般k的log log项。

英文摘要：

In 1946, Behrend gave a construction of dense finite sets of integers that do not contain 3-term arithmetic progressions. In 1961, Rankin generalized Behrend's construction to sets avoiding k-term arithmetic progressions, and in 2008 Elkin refined Behrend's 3-term construction. In this work, we combine Elkin's refinement and Rankin's generalization. Arithmetic progressions are handled as a special case of polynomial progressions. In 1946, Behrend gave a construction of dense finite sets of integers that do not contain a 3-term arithmetic progression (AP). In 1961, Rankin generalized Behrend's construction to sets avoiding k-term APs. In 2008, Elkin refined Behrend's 3-term construction, and later in 2008, Green & Wolf found a distinct approach (albeit morally similar) that is technically more straightforward. This work combines Elkin's refinement and Rankin's generalization in the Green & Wolf framework. A curious aspect of the construction is that we induct through sets that do not contain a long polynomial progression in order to construct a set without a long AP. The bounds for r_k(N), the largest size of a subset of {1,2,...,N} that does not contain a k element AP, are (where \log=\log_2, for sufficiently large N, with n=\ceiling{\log k}): r_3(N) > N (\sqrt{360}/(e π^{3/2})-ε) \sqrt[4]{2\log N} * 4^{-\sqrt{2 \log N}}, r_k(N) > CN 2^{-n 2^{(n-1)/2} \sqrt[n]{\log N}+\frac{1}{2n}\log\log N}. The improvement over earlier work is in the simplification of the construction, the explicitness of the bound for r_3, and in the \log\log term for general k.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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