发表机构
Institute of Mathematics, Faculty of Mathematics and Informatics, Vilnius University（维尔纽斯大学数学与信息学院数学研究所）
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本文证明对任意底数b≥2，存在无限等差数列k，使k同时为广义Sierpiński和Riesel数，即k·b^n±1均至少有两个不同素因子，方法结合覆盖系统与Zsigmondy定理。
AI 中文摘要
本文证明，对于任意固定的底数 $b \ge 2$，存在一个由正整数 $k$ 组成的无限等差数列，使得这些 $k$ 同时是底数 $b$ 下的广义Sierpiński数和广义Riesel数。更确切地说，我们构造这样的等差数列，使得对于每个正整数 $n$，$k\cdot b^n + 1$ 和 $k\cdot b^n - 1$ 都至少有两个不同的素因子。我们的方法使用覆盖系统，遵循Erdős的思想以及Harrington后来的构造。论证最后利用Zsigmondy定理关于本原素因子以及乘法阶的性质来完成。
英文摘要
In this paper, we prove that for any fixed base $b \ge 2$, there exists an infinite arithmetic progression of positive integers $k$ that are simultaneously generalized Sierpiński and generalized Riesel numbers in base $b$. More precisely, we construct such an arithmetic progression so that both $k\cdot b^n + 1$ and $k\cdot b^n - 1$ have at least two distinct prime factors for every positive integer $n$. Our approach uses covering systems, following the ideas of Erdős and later constructions of Harrington. The argument is then completed using Zsigmondy's theorem on primitive divisors together with properties of multiplicative orders.
CommentsPublished in Boletín de Matemáticas
