A Superconvergent Hybridizable Discontinuous Galerkin Method for Dirichlet Boundary Control of Elliptic PDEs
Oklahoma State University（俄克拉荷马州立大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）；Missouri University of Science and Technology（密苏里科技大学）；Sichuan University（四川大学）
本文提出了一种用于椭圆PDE Dirichlet边界控制问题的混合不连续Galerkin方法，获得了最优先验误差估计，并在二维和三维数值实验中验证了理论结果。
2017-12-08 cs.NA math.NA
A Superconvergent HDG Method for Distributed Control of Convection Diffusion PDEs
Oklahoma State University（俄克拉荷马州立大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）；Missouri University of Science and Technology（密苏里科技大学）；Sichuan University（四川大学）
本文提出了一种用于对流扩散PDE分布式最优控制问题的超收敛HDG方法，通过使用高阶多项式逼近状态、共轭状态及其通量，并证明了当k>0时所有变量的最优先验误差估计，同时当k≥1时，该方法在全局耦合未知数的自由度数量上实现了状态、共轭状态和控制的超收敛。
2017-12-04 cs.NA math.NA
DeepMartNet -- A Martingale Based Deep Neural Network Learning Method for Dirichlet BVPs and Eigenvalue Problems of Elliptic PDEs in R^d
本文提出DeepMartNet，一种基于鞅的深度神经网络方法，用于求解高维或复杂几何域上椭圆型PDE的Dirichlet边值问题和特征值问题，通过鞅损失函数和随机过程采样实现高效优化，并在多个高维数值实验中验证了其有效性。
2023-12-20 cs.NA math.NA
A Superconvergent Ensemble HDG Method for Parameterized Convection Diffusion Equations
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Missouri University of Science and Technology（密苏里科技大学）；University of Delaware（特拉华大学）
本文提出了一种集合混合不可压缩伽辽金方法，用于高效模拟一组参数化对流扩散偏微分方程，该方法在一般多边形域上实现了最优的L²收敛率，并通过元素级后处理获得了超收敛率。
2019-03-10 cs.NA math.NA
Physics-aware registration based auto-encoder for convection dominated PDEs
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
我们设计了一个物理感知的自动编码器，专门减少对流主导的非线性物理系统的解决方案的维数。虽然现有的非线性流形学习方法似乎是降低以大Kolmogorov n宽度为特征的数据的维数的令人信服的工具，但它们通常缺乏从潜在空间到高维物理空间的直接映射。此外，已实现的潜在变量往往很难解释。因此，这些方法中的许多方法在由偏微分方程（PDE）控制的动力系统的降阶建模中经常被忽略。因此，我们提出了一种自动编码器类型的非线性降维算法。无监督学习问题训练一个同构时空网格，该网格将PDE的输出序列记录在非均匀参数/时变网格上，使得学习网格上映射数据的Kolmogorov n宽度最小化。我们证明了我们的方法的有效性和可解释性，以分离对流/平流扩散/缩放各种制造和物理系统。
2020-06-28 cs.LG cs.NA math.DS
Learning local Dirichlet-to-Neumann maps of nonlinear elliptic PDEs with rough coefficients
本文针对高对比度振荡系数非线性椭圆 PDE，提出用机器学习学习局部非线性 DtN 映射以扩展 MsFEM，并在 $p$-Laplacian 与退化扩散模型上验证。
2024-05-07 cs.NA math.NA
A Machine Learning and Finite Element Framework for Inverse Elliptic PDEs via Dirichlet-to-Neumann Mapping
针对需从间接测量推断未知物理性质的椭圆偏微分方程逆问题，提出一种结合Dirichlet-to-Neumann映射、自监督机器学习与有限元方法的框架，仅用边界数据即可重建域内物理性质，能处理部分边界观测和不连续性，为多领域逆问题提供鲁棒准确方案。
2025-11-11 cs.NA math.NA
Dirichlet-Neumann and Neumann-Neumann Waveform Relaxation Methods for PDEs with Time Delay
本文提出并比较了用于并行求解含时滞偏微分方程的 DNWR 和 NNWR 两种区域分解数值方法，通过理论分析与数值实验验证了它们的收敛性、计算效率及适用性。
2024-08-22 cs.NA math.AP math.NA
SPFNO: Spectral operator learning for PDEs with Dirichlet and Neumann boundary conditions
提出 SPFNO 谱算子学习方法，通过精确施加 Dirichlet 与 Neumann 等非周期边界条件求解多类 PDE，并在多基准上验证其效率、分辨率不变性与 1.7–4.7 倍精度提升。
2023-12-12 cs.NA math.NA
$L^\infty$ bounds for numerical solutions of noncoercive convection-diffusion equations
本文利用能量迭代法建立了一类具有混合Dirichlet-Neumann边界条件的非强制对流-扩散方程的数值解的$L^{\infty}$界.
2019-12-11 cs.NA math.NA
Superconvergence of the Strang splitting when using the Crank-Nicolson scheme for parabolic PDEs with Dirichlet and oblique boundary conditions
我们表明，Strang分裂方法适用于非均匀一般斜边界条件的扩散-反应方程是二阶时，扩散方程的Crank-Nicolson方法解决，而订单减少一般发生，如果使用其他Runge-Kutta格式，甚至精确流本身的扩散部分。当源项只依赖于空间变量时，我们证明了这些结果，这使得分裂方案等价于Crank-Nicolson方法本身应用于整个问题。数值实验表明，二阶收敛持续一般非线性。
2021-04-22 cs.NA math.AP math.NA
Dirichlet-Neumann Waveform Relaxation Method for Hyperbolic PDE with Time Delay in Multiple Subdomains
School of Basic Sciences, IIT Bhubaneswar（IIT布巴内斯瓦尔基础科学学院）
本研究将Dirichlet-Neumann波形松弛方法扩展到多子域，用于并行求解带时滞的双曲型偏微分方程，证明了有限步收敛性，并通过数值实验和对比分析验证了其优势。
2026-09-11 cs.NA math.NA
A Discrete Hopf Interpolant and Stability of the Finite Element Method for Natural Convection
University of Pittsburgh（匹兹堡大学）
本文证明了在非均匀狄利克雷边界条件下，有限元法的温度近似在时间上最多以线性增长，通过霍普夫插值算子提升稳定性。
2017-10-06 cs.NA math.NA
Adaptive vertex-centered finite volume methods for general second-order linear elliptic PDEs
TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；TU Wien（维也纳工业大学）
本文研究了自适应顶点中心有限体积法在一般二阶线性椭圆型PDE中的应用，证明了该方法在非对称问题中的最优收敛性，涵盖了对流问题的重要情况。
2017-09-21 cs.NA math.NA
Optimal convergence rate of the explicit Euler method for convection-diffusion equations II: high dimensional cases
本文是对流-扩散方程显式Euler时间离散最优收敛速度研究的第二部分。\textbf{131}（2022）108048]，其专注于Dirichlet或Neumann边界条件下的高维线性/非线性情况。基于时间导数的显式Euler离散和空间导数的中心差分离散，提出了几种新的修正差分格式。利用最大值原理给出了修正格式在常对流系数情况下的先验估计，并证明了当沿各方向的步长比等于$1/6$时的最佳收敛速度为4。与经典的差分格式相比，修正后的差分格式在{ \rm \textbf{CFL} }条件和数值精度上有了本质的改进。数值例子涉及两个/三维的线性/非线性问题Dirichlet/Neumann边界条件下，如Fisher方程，Chafee-Infante方程，Burgers方程和分类，仅举几例证实了良好的性能要求的校正差分格式。
2022-05-12 cs.NA math.NA
Quantitative bounds on Impedance-to-Impedance operators with applications to fast direct solvers for PDEs
我们证明了一个家庭的运营商涉及阻抗边界条件凸，多边形域的定量范数界。一个强大的数值建设亥姆霍兹散射解决方案在可变介质中通过狄利克雷-诺依曼算子涉及到一个域分解成一系列不同尺度的矩形和构造阻抗阻抗边界算子上的每个子域。我们的估计，特别是确保可逆性，在频率的定量界，所需的合并运营商重建原始狄利克雷-诺依曼算子在这些阻抗阻抗运营商的子域。在我们的证明中的一个关键步骤是获得Neumann和Dirichlet边界迹估计的阻抗问题的解决方案，这是独立的利益。除了可变的介质设置，我们还构造边界类似的合并算子的障碍物散射问题。
2021-03-26 cs.NA math.AP math.NA
Hybrid GFD-RBF Method for Convection-Diffusion Problems
本文提出一种无网格混合 GFD-RBF 方法，结合 GFD 处理低阶对流项与 RBF 处理高阶扩散项，有效求解非齐次偏微分方程，并在均匀与非均匀节点分布下验证了其多功能性和有效性。
2024-12-11 cs.NA math.NA
A direct solver with O(N) complexity for variable coefficient elliptic PDEs discretized via a high-order composite spectral collocation method
Dartmouth College（达特茅斯学院）；University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文提出了一种用于求解二维域上变系数椭圆偏微分方程的数值方法，采用高阶复合谱逼近，针对光滑解问题，使用具有O(N)复杂度的直接求解器，展示了在非振荡问题中高效求解的能力。
2013-07-10 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin methods and their adaptivity for the tempered fractional (convection) diffusion equations
Lanzhou University（兰州大学）
本文研究了不连续伽辽金方法在 tempered 分数扩散方程中的自适应性，通过内罚项和数值通量处理扩散和对流项，提供了稳定性与收敛性分析，并通过数值实验验证了自适应方法的有效性。
2017-06-09 cs.NA math.NA
Stability analysis and error estimates of local discontinuous Galerkin method for convection-diffusion equations on overlapping mesh with non-periodic boundary conditions
在\cite{Overlap1}中引入了一种新的局部间断Galerkin（LDG）方法求解具有周期边界条件的重叠网格上的对流扩散方程.该方法将主变量$u$和辅助变量$p=u_x$分别在不同的网格上求解。本文将这一思想推广到具有非周期边界条件的对流扩散方程，即Neumann和Dirichlet边界条件。主要区别是调整边界单元。此外，我们还研究了稳定性和次优误差估计。最后，数值实验验证了理论研究结果。
2021-12-26 cs.NA math.NA
From Mesh to Neural Nets: A Multi-Method Evaluation of Physics-Informed Neural Networks and Galerkin Finite Element Method for Solving Nonlinear Convection-Reaction-Diffusion Equations
本研究通过求解四个一维非线性对流-反应-扩散问题，对比了物理信息神经网络（PINN）与Galerkin有限元法（GFEM）的性能，发现PINN在准确性和效率上总体更优且更稳健。
2024-10-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Solving time-dependent parametric PDEs by multiclass classification-based reduced order model
本文提出了一种求解不定常参数型偏微分方程的网络模型--基于多类分类的降阶模型（MC-ROM）。这项工作的灵感来自于应用基于深度学习的降阶模型（DL-ROM）来解决扩散主导的PPDE的观察。我们发现，DL-ROM对一些特殊的模型参数有很好的近似，但它不能近似解随时间的急剧变化。基于这一事实，我们根据解的大小对数据集进行分类，并根据不同类型的数据构造相应的解集。然后训练一个分类器，将不同的子集集成在一起，得到MC-ROM。当子集具有相同的结构时，我们可以使用迁移学习技术来加速离线训练。数值实验表明，MC-ROM提高了DL-ROM对扩散和对流占优问题的推广能力，并保持了DL-ROM良好逼近能力的优势。我们还比较了不适合对流占优问题的本征正交分解（POD）的近似精度和计算效率。对于扩散占优的问题，MC-ROM在较小的降维空间内具有比POD更好的逼近精度，其计算性能比POD更有效。
2022-10-08 cs.NA math.NA
Constraint Energy Minimizing Generalized Multiscale Finite Element Method for Convection Diffusion Equations with Inhomogeneous Boundary Conditions
该研究提出带边界校正子的 CEM-GMsFEM，以处理高对比系数及非齐次 Dirichlet、Neumann、Robin 条件的对流扩散方程，并证明其能量范数一阶、$L^2$ 范数二阶收敛。
2024-08-01 cs.NA math.NA
Multiscale methods with compactly supported radial basis functions for Galerkin approximation of elliptic PDEs
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
研究使用紧支撑径向基函数的多尺度伽辽金方法求解有界域上的椭圆PDE，分析了收敛性和条件数，并处理了Dirichlet边界条件及边界重叠支持问题。
2012-11-07 cs.NA math.NA
External optimal control of fractional parabolic PDEs
George Mason University（乔治梅森大学）；University of Puerto Rico (Rio Piedras Campus), College of Natural Sciences（波多黎各大学（里奥皮埃拉斯校区）自然科学学院）
本文提出了一种新的最优控制概念，用于解决分数抛物型PDEs作为约束的反问题，允许在PDE所满足的领域外放置源或控制。本文讨论了Dirichlet、Neumann和Robin情况。对于分数椭圆型PDEs，这一概念最近由作者在文献中进行了研究。这些新最优控制概念的必要性源于经典PDE模型只能在边界或PDE所满足的内部放置源或控制，而分数算子的非局部行为现在允许在外部放置控制。本文引入了抛物型Dirichlet问题的弱解和非常弱解的概念，并提出了一种通过抛物型Robin解近似抛物型Dirichlet解的方法（并讨论了收敛速率）。对Dirichlet和Robin最优控制问题进行了完整分析。数值实验验证了我们的理论发现，并进一步展示了非局部模型相对于局部模型的潜在优势。
2019-04-11 cs.NA math.AP math.NA
Stochastic Discontinuous Galerkin Methods for Robust Deterministic Control of Convection Diffusion Equations with Uncertain Coefficients
研究了一类带不确定输入的对流扩散方程鲁棒确定性最优控制问题的数值行为。随机Galerkin方法，把原来的优化问题包含的不确定性成一个大的系统的确定性问题，被应用到离散的随机域，而不连续Galerkin方法是首选的空间离散由于其更好的收敛性行为的最优化问题控制的对流占优偏微分方程。在能量范数下对状态变量和伴随变量进行了误差分析，而在$L^2$ -范数下得到了确定性控制的估计。对于随机Galerkin方法中出现的大型矩阵系统，采用低秩GMRES方法进行求解，该方法利用所得到的线性系的Kronecker-乘积结构，降低了计算复杂性和存储量.有和没有控制约束的基准例子来说明所提出的方法的效率。
2022-10-11 cs.NA math.NA
Deep Learning for Singular PDEs: A Weighted Neural Network Approach
提出一种结合硬边界约束、Softplus正性保持和奇异感知加权残差的深度学习框架，用于数值求解弱奇异半线性椭圆方程，并通过数值实验验证其精度与收敛性。
2026-09-18 cs.NA math.NA
Large time behavior of nonlinear finite volume schemes for convection-diffusion equations
在这篇文章中，我们分析了一族非线性有限体积格式的大时间行为的各向异性对流-扩散方程设置在一个有界的二维区域，并赋予Dirichlet和/或无通量边界条件。我们发现，解决方案的两点通量近似（TPFA）和离散对偶有限体积（DDFV）计划正在考虑指数收敛到其稳定状态。分析依赖于离散熵估计和离散函数不等式。作为我们分析的双积，我们建立了新的离散Poincaré-Wirtinger，Beckner和对数Sobolev不等式。我们的理论结果说明了数值模拟。
2020-06-09 cs.NA math.NA
Tensor Network Space-Time Spectral Collocation Method for Time Dependent Convection-Diffusion-Reaction Equations
针对非定常 CDR 方程，本文提出时空 TT Chebyshev 谱配点法，利用张量列降低四维系统复杂度，实现指数收敛、TB 到 KB 压缩及数万倍加速。
2024-02-28 cs.NA math.NA
An initial-corrected splitting approach for convection-diffusion-reaction problems
针对Dirichlet边界条件下对流-扩散-反应问题分裂方法的阶数降低问题，提出初始修正分裂方法，经分析证明其为二阶收敛，并通过数值实验验证了性能。
2025-02-13 cs.NA math.NA
A Tree-Based Localized Reduced Basis Method for Parametrized Parabolic PDEs
University of Ottawa（渥太华大学）
提出基于层次二叉树参数域划分的局部化降基方法，结合POD-Greedy构造降基空间，推导等价后验误差估计器并用于模态数选择，数值实验验证了收敛性。
2026-09-30 cs.NA math.NA
A novel difference equation approach for the stability and robustness of compact schemes for variable coefficient PDEs
针对变系数对流扩散方程的四阶紧致格式，本文提出基于差分方程的稳定性分析方法，给出全离散问题稳定的充分条件，证明常系数情形的无条件稳定性，并分析放大矩阵条件数。
2024-01-28 cs.NA math.NA q-fin.CP
Convection-adapted BEM-based FEM
Johannes Kepler University Linz（林茨约翰·开普勒大学）；Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院）；Saarland University（萨尔兰大学）
本文提出了一种新的离散方法，用于解决三维均质对流扩散反应边值问题，采用非标准有限元方法，使用偏微分方程谐波形函数在多面体元素上进行计算，通过局部边界元技术构建元素刚度矩阵，提高了对流主导问题的稳定性。
2015-02-20 cs.NA math.NA
First order least squares method with weakly imposed boundary condition for convection dominated diffusion problems
Xiamen University（厦门大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）；South University of Science and Technology of China（南方科技大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）
本文提出了一种一阶最小二乘法，用于对流占优扩散问题，提供了即使在L2空间中给出数据f的鲁棒L2先验误差估计。通过将方法框架改写为不连续Petrov-Galerkin方法，并利用关键方程进行数值稳定性分析，展示了对广泛微分方程的最小二乘法数值分析的新途径。
2014-10-08 cs.NA math.NA
Deep Learning-based Schemes for Singularly Perturbed Convection-Diffusion Problems
基于深度学习的数值方案，如物理信息神经网络（PINN），最近已经成为解决偏微分方程（PDE）的经典数值方案的替代方案。乍一看，它们非常吸引人，因为基于强残差形式实现PINN的普通版本很容易，并且神经网络提供了非常高的近似能力。然而，当PDE解是低正则的时，需要专家的洞察力来构建不会引起变分犯罪的深度学习公式。优化求解器也面临着巨大的挑战，并且由于收敛到糟糕的局部最小值和糟糕的泛化能力，可能会破坏近似解的最终质量。在本文中，我们提出了一个详尽的数值研究，这些计划的优点和局限性时，解决方案表现出低的规律性，并比较性能与更良性的情况下，解决方案是非常顺利的。作为支持我们的研究，我们考虑奇摄动对流-扩散问题的正则性的解决方案通常会降低某些多尺度参数为零。
2022-05-10 cs.NA math.NA
Second order splitting of a class of fourth order PDEs with point constraints
我们制定了一个适定性和逼近论的一类广义鞍点问题的特定形式的约束。利用分裂成耦合二阶方程的思想，得到了一类带点约束的四阶椭圆型偏微分方程的一种求解方法。一种方法是制定使用惩罚方法施加的约束。我们的主要动机是治疗某些四阶方程，涉及双调和算子和点Dirichlet约束，例如在弯曲和平坦表面上的生物膜建模中产生的，但该方法可以更普遍地应用。适定性和近似的理论是在一个抽象的设置。几个例子一起描述了一些数值实验。
2020-04-28 cs.NA math.NA
Pseudospectral roaming contour integral methods for convection-diffusion equations
我们在最近的文献中推广的想法，并开发新的，以提出一个一般类的轮廓积分方法的线性对流扩散偏微分方程，特别是在金融中产生的。这些方法旨在通过计算其拉普拉斯逆变换来提供解的数值逼近。积分等值线的选择是通过计算方程的主导算子的几个适当加权的伪谱水平集来确定的。抛物线和双曲线的配置文件中提出的文献进行了研究，并与最初提出的椭圆形轮廓Guglielmi，López-Fernández和尼诺。总之，这篇文章（i）提供了三种不同的集成配置文件之间的比较;（ii）提出了一种新的快速伪谱漫游方法;（iii）优化了时间窗口的选择，在此时间窗口上，人们可以任意近似解决方案，而无需相对于固定时刻的情况进行额外的计算成本;（iv）广泛关注计算方面，它是MATLAB代码https：//github.com/MattiaManucci/Contour_Integral_Methods.git，这里描述的所有算法都在这里实现。
2021-05-28 cs.NA math.NA
Mathematical foundations of spectral methods for time-dependent PDEs
本文提出时间相关偏微分方程谱方法的核心在于选择希尔伯特空间的正交基，并引入适用于柯西边界条件的T-系统和适用于零狄利克雷边界条件的W-系统，系统分析了它们在稳定性、收敛速度和线性代数效率等方面的特性。
2024-02-26 cs.NA math.NA
Higher-order accurate diffuse-domain methods for partial differential equations with Dirichlet boundary conditions in complex, evolving geometries
扩散域方法是求解复杂几何条件下偏微分方程的一种有吸引力的方法，它具有简单、灵活的特点。在这种方法中，复杂的几何形状被嵌入到一个更大的，规则的域。利用复域的光滑特征函数对原偏微分方程进行了重构，并引入源项来近似边界条件。重新制定的方程，这是独立的尺寸和域的几何形状，可以解决标准的数值方法和相同的求解器可以用于任何域的几何形状。一个挑战是使该方法更高阶准确。对于狄利克雷边界条件，我们在这里集中，目前的实现证明了广泛的范围内，他们的准确性，但一般的方法产生在最好的一阶精度在$ε$，参数，其特征的特征函数被平滑的区域的宽度。通常为$ε\propto h$，即网格大小。在这里，我们使用匹配的渐近展开分析扩散域偏微分方程，并解释所观察到的行为。我们的分析还确定了对扩散域偏微分方程的简单修改，这些修改在$ε$中产生更高阶的精度，例如，$L^2$规范中的$O(ε^2)$和$L^{\infty}$规范中的$O(ε^p)$和$1.5\le p\le 2$。我们的分析结果在固定和移动域中的水平集方法被用来捕捉域边界的动态和构造平滑的特征函数的数值证实。
2019-11-27 cs.NA math.NA
Analysis and approximation of mixed-dimensional PDEs on 3D-1D domains coupled with Lagrange multipliers
定义在不同维数区域上的耦合偏微分方程通常称为混合维偏微分方程。我们解决三维（3D）和一维域上的混合维偏微分方程，从而产生一个3D-1D耦合问题。从解的存在性和数值逼近的角度来看，这样的问题提出了几个挑战。对于跨维耦合条件，我们考虑本质条件和自然条件的组合，基本上是Dirichlet条件和Neumann条件的组合。为了确保一个有意义的制定这样的条件，我们使用拉格朗日乘子法，适当地适应混合维的情况下。分析了所得到的鞍点问题的适定性。然后，我们在有限元法的框架内解决问题的数值逼近。拉格朗日乘子空间的离散化是主要的挑战。提出了几种选择，分析和比较，目的是确定一个良好的平衡之间的数学性质的离散问题和灵活性的数值方案的实施。基于数值实验的证据支持的结果。
2020-04-06 cs.NA math.NA
A rate of convergence of Physics Informed Neural Networks for the linear second order elliptic PDEs
近年来，物理信息神经网络（PINN）已被证明是一个强大的工具，解决偏微分方程的经验。然而，PINN的数值分析仍然缺失。在本文中，我们证明了PINNs的收敛速度为二阶椭圆型方程与Dirichlet边界条件，通过建立上界的训练样本的数量，深度和宽度的深度神经网络，以达到所需的精度。PINN的误差被分解为近似误差和统计误差，其中近似误差在具有$\mathrm{ReLU}^{3}$网络（具有激活函数$\max\{0,x^3\}$的深度网络）的$C^2$范数中给出，并且统计误差由Rademacher复杂度估计。我们得到了梯度范数的非Lipschitz合成与$\mathrm{ReLU}^{3}$网络的Rademacher复杂性的界，这是一个非常有意义的独立结果.
2022-03-16 cs.NA math.NA
Quantum algorithm for anisotropic diffusion and convection equations with vector norm scaling
Sorbonne Université（索邦大学）；Observatoire de Paris, Université PSL, CNRS, LUX（巴黎天文台，巴黎文理研究大学，法国国家科学研究中心，LUX）；Plasma Science and Fusion Center, Massachusetts Institute of Technology（等离子体科学与聚变中心，麻省理工学院）
该研究提出了一种量子算法，用于高效求解各向异性扩散与对流方程，通过向量范数分析实现了指数级的误差缩减。
2026-03-09 cs.NA math-ph math.MP
Render unto Numerics: Orthogonal Polynomial Neural Operator for PDEs with Non-periodic Boundary Conditions
通过使用精心设计的神经网络来学习无限函数空间之间的映射，算子学习方法在解决诸如微分方程之类的复杂问题时表现出比传统方法更高的效率，但面临其准确性和可靠性的问题。为了克服这些局限性，结合谱数值方法的结构，提出了一种通用的神经网络结构谱算子学习（SOL），并提出了一种用于Dirichlet、Neumann和Robin边界条件偏微分方程的正交多项式神经算子（OPNO）.理论上证明了OPNO的严格BC满足性质和普适逼近能力。各种物理背景下的数值实验表明，OPNO优于其他现有的深度学习方法，以及传统的二阶有限差分法（FDM），具有相当精细的网格（相对误差达到1 e-6的数量级），并且比传统方法快近5个数量级。
2023-03-03 cs.NA math.NA
A Domain-Decomposition Model Reduction Method for Linear Convection-Diffusion Equations with Random Coefficients
Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
本文提出一种域分解模型降维方法，用于处理具有随机系数的线性稳态对流-扩散方程，通过分解子域利用局部问题的低维结构，减少高维参数依赖的计算成本。
2018-02-12 cs.NA math.NA
Approximation of Integral Fractional Laplacian and Fractional PDEs via sinc-Basis
在随机过程、成像科学、电子物理学等领域的许多应用的推动下，分数拉普拉斯最近受到了极大的关注。该算子成功背后的关键驱动力是它能够捕获非局部效应，同时对函数施加较少的平滑度。在本文中，我们介绍了一个谱方法来近似该算子采用sinc基。使用我们的计划，评估的运营商和它的应用到一个向量的复杂性为$\mathcal O(N\log(N))$，其中$N$是未知数的数量。因此，使用迭代法，如CG，我们提供了一个有效的策略来解决分数阶偏微分方程的外部Dirichlet条件的任意Lipschitz域。我们的实现在$2d$和$3d$中都可以工作。我们还恢复了有限元基准问题的收敛速度。我们进一步说明了我们的方法的效率，通过将其应用到分数Allen-Cahn和图像去噪问题。
2021-07-13 cs.NA math.NA
Efficient and simple fourth-order compact finite difference methods for convection-diffusion-reaction equations on arbitrary curved domains
King Fahd University of Petroleum and Minerals（国王法赫德国立石油与矿物大学）；University of Alberta（阿尔伯塔大学）
本文提出了一种高效的四阶紧致有限差分方法，用于求解具有变量光滑系数的二维对流-扩散-反应方程及其在复杂、细长和曲域上的Dirichlet边界条件，该方法在任意不规则 stencil 中保持了简单且高阶的精度。
2026-05-20 cs.NA math.NA
Robust numerical schemes for singularly perturbed delay parabolic convection diffusion problems with degenerate coefficient
University of Delhi（德里大学）
本文研究了具有退化系数的奇异 perturbed 时间延迟对流扩散方程的 Dirichlet 边界值问题，通过建立先验的显式界，分析了解及其导数的渐近行为，并提出了一种结合后向欧拉方案和中点迎风与中心差分方案的数值方法，以证明其有效性。
2019-05-08 cs.NA math.NA
Numerical moment stabilization of central difference approximations for linear stationary reaction-convection-diffusion equations with applications to stationary Hamilton-Jacobi equations
本文针对对流占优的线性稳态反应-对流-扩散方程，提出基于中心差分加数值矩稳定化项的有限差分法，推导了常系数情形下的稳定性和收敛阶，并在稳态Hamilton-Jacobi方程上验证了其优于或相当于Lax-Friedrichs方法的收敛性能。
2025-02-06 cs.NA math.NA
An Upwind Finite Difference Method to Singularly Perturbed Convection Diffusion Problems on a Shishkin Mesh
针对带小参数ε的奇异摄动对流扩散Dirichlet边值问题，提出结合Shishkin网格的迎风格式有限差分法，求解器直接高效、时间随网格点线性缩放，数值验证表明其精度高且代码公开。
2023-06-12 cs.NA math.NA
Solving PDEs With Deep Neural Nets under General Boundary Conditions
Department of Electrical and Computer Engineering, University of California, Los Angeles（电气与计算机工程系，加州大学洛杉矶分校）
本文提出了一种扩展的TENG框架，通过整合自然梯度优化与数值时间推进方案，精确解决狄利克雷边界条件的PDEs问题，并展示了其在热方程中的高精度与高效性。
2026-02-10 cs.AI cs.LG cs.NA
Breaking the Curse of Dimensionality in Quantum PDE Solvers via Gevrey Regularity
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Perimeter Institute for Theoretical Physics（理论物理前沿研究所）；Microsoft Quantum（微软量子）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）；National Research Council Canada（加拿大国家研究委员会）
该研究关联实值周期函数光滑度与量子态制备成本，利用Gevrey正则性提出高效量子PDE求解傅里叶方法，可转化为门计数，还构建多体量子模拟流水线获多项式级量子加速。
2026-09-29 cs.NA math.NA quant-ph
NeuFENet: Neural Finite Element Solutions with Theoretical Bounds for Parametric PDEs
Iowa State University（爱荷华州立大学）；New York University（纽约大学）
我们考虑一个基于网格的方法来训练一个神经网络，以产生参数偏微分方程（PDE）的解决方案的现场预测。这种方法对比了当前的“神经PDE求解器”的方法，采用基于搭配的方法来逐点预测PDE的解决方案。这种方法的优点是自然地执行不同的边界条件，以及容易调用发达的PDE理论-包括数值稳定性和收敛性分析-以获得我们提出的神经网络在离散域的能力界限。我们探索我们的网格为基础的战略，称为NeuFENet，使用加权Galerkin损失函数的基础上的有限元法（FEM）的参数椭圆PDE。加权伽辽金损失（FEM损失）类似于能量泛函，其产生改进的解，满足先验网格收敛，并且可以模拟Dirichlet和Neumann边界条件。我们从理论上证明，并说明与实验，收敛结果类似网格收敛分析部署在有限元解偏微分方程。这些结果表明，基于网格的神经网络方法作为一个有前途的方法来解决参数偏微分方程的理论界。
2021-10-13 cs.LG cs.NA math.NA
Fast Iterative Solver for the Optimal Control of Time-Dependent PDEs with Crank-Nicolson Discretization in Time
在这篇文章中，我们得到了一个新的，快速的，和强大的预处理迭代求解策略的所有一次解决最优控制问题的不定常偏微分方程作为约束，包括热方程和非定常对流-扩散方程。在应用优化然后离散化的方法后，人们面临着由偏微分方程的耦合系统组成的连续的一阶最优性条件。相对于大多数工作中预处理的离散化系统，其中（一阶精度）向后欧拉法用于离散化的时间导数，我们采用（二阶精度）曲柄-尼科尔森方法的时间。我们应用一个精心定制的可逆变换对称化的矩阵，然后推导出一个最佳的预条件子的鞍点系统。这个预条件的关键组成部分是一个准确的质量矩阵近似，一个很好的近似Schur补，和一个适当的多重网格过程，以适用于后者的近似-这些都是使用我们的工作在变换矩阵系统。我们证明了最优的近似Schur补通过边界上的特征值，并测试我们的求解器对广泛使用的预条件的线性系所产生的向后欧拉离散。这些都证明了我们的求解器的有效性和鲁棒性的网格大小，正则化参数和扩散系数。
2020-07-16 cs.NA math.NA math.OC
On a finite-volume approximation of a diffusion-convection equation with a multiplicative stochastic force
本文提出了一种避免随机紧性方法的原创收敛性分析方法，用于研究在 $\mathbb{R}^d$ 有界域中带有乘性噪声的随机扩散-对流方程的有限体积逼近格式，该格式时间半隐式且采用迎风和两点通量逼近（TPFA）处理对流与扩散项，并证明了其在 $L^p$ 空间中的强收敛性。
2024-02-19 cs.NA math.AP math.NA
