Analysis and approximation of mixed-dimensional PDEs on 3D-1D domains coupled with Lagrange multipliers
定义在不同维数区域上的耦合偏微分方程通常称为混合维偏微分方程。我们解决三维（3D）和一维域上的混合维偏微分方程，从而产生一个3D-1D耦合问题。从解的存在性和数值逼近的角度来看，这样的问题提出了几个挑战。对于跨维耦合条件，我们考虑本质条件和自然条件的组合，基本上是Dirichlet条件和Neumann条件的组合。为了确保一个有意义的制定这样的条件，我们使用拉格朗日乘子法，适当地适应混合维的情况下。分析了所得到的鞍点问题的适定性。然后，我们在有限元法的框架内解决问题的数值逼近。拉格朗日乘子空间的离散化是主要的挑战。提出了几种选择，分析和比较，目的是确定一个良好的平衡之间的数学性质的离散问题和灵活性的数值方案的实施。基于数值实验的证据支持的结果。
2020-04-06 cs.NA math.NA
Optimally weighted loss functions for solving PDEs with Neural Networks
最近的工作表明，深度神经网络可以用来求解偏微分方程，从而产生了物理学通知神经网络的框架。我们介绍了这些方法，表现为一个缩放参数，平衡的相对重要性的偏微分方程所施加的不同的约束的泛化。给出了这些广义方法的数学依据，证明了对于线性适定的偏微分方程，其泛函形式是凸的。然后，我们推导出一个选择的缩放参数是最佳的相对于相对误差的措施。由于这种最优选择依赖于对解析解的充分了解，我们还提出了一种启发式方法来近似这种最优选择。所提出的方法进行了比较，数值上的各种模型偏微分方程的原始方法，与数据点的数量被更新自适应。对于几个问题，包括高维偏微分方程，所提出的方法显着提高精度。
2021-03-24 cs.NA math.NA
Spectral approximation of fractional PDEs in image processing and phase field modeling
George Mason University（乔治梅森大学）；University of Freiburg（弗赖堡大学）
本文研究了分数阶微分算子在图像处理和相场建模中的应用，通过谱方法分析了相关模型问题的数值解，并通过数值实验展示了其效率和模型特性。
2017-08-23 cs.NA math.AP math.NA
Solving Nonlinear PDEs with Sparse Radial Basis Function Networks
University of California, San Diego（加州大学圣迭戈分校）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
本文提出一种利用稀疏径向基函数网络求解非线性偏微分方程的新框架，通过稀疏正则化防止过参数化并减少冗余特征，结合传统RBF方法和物理信息神经网络的优劣，建立统一的理论基础和高效算法。
2026-04-24 cs.LG cs.NA math.NA
Dirichlet-Neumann and Neumann-Neumann Waveform Relaxation Methods for PDEs with Time Delay
本文提出并比较了用于并行求解含时滞偏微分方程的 DNWR 和 NNWR 两种区域分解数值方法，通过理论分析与数值实验验证了它们的收敛性、计算效率及适用性。
2024-08-22 cs.NA math.AP math.NA
Mathematical foundations of Accelerated Molecular Dynamics methods
CERMICS, École des Ponts, Université Paris-Est, INRIA（法国国立路桥学校，巴黎东大学，国家信息与自动化研究所）
本文综述了加速动力学算法的数学分析，证明了在几何假设下，动能蒙特卡罗模型可通过厄引-克拉默斯公式参数化，为分析算法效率和精度提供基础。
2018-01-16 cs.NA math.NA
The Unum Number Format: Mathematical Foundations, Implementation and Comparison to IEEE 754 Floating-Point Numbers
Universität zu Köln（科隆大学）
本文探讨了基于区间算术的现代机器数字概念'Unums'，并将其与IEEE 754浮点运算进行比较，评估其在浮点数不足时的应用潜力，同时构建了IEEE 754浮点数、区间算术及Unums的理论基础。
2017-01-02 cs.MS cs.NA math.NA
Agentic Symbolic Search: Characterizing PDEs Beyond Hand-crafted Expressions, Meshes, and Neural Networks
National University of Singapore（新加坡国立大学）
提出ASYS框架，通过智能体将PDE理论转化为可微分符号程序，结合进化搜索和梯度优化自动发现解析形式或近似，在多个问题中生成可解释表示。
2026-06-19 cs.LG cs.NA math.NA
Rectified deep neural networks overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of gradient-dependent semilinear heat equations
本文首次严格证明深度神经网络在逼近一类具有梯度依赖非线性项的非线性偏微分方程时，能够克服维度灾难。
2024-09-23 cs.NA math.NA math.PR
A Quantum Spectral Framework for Solving PDEs
Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；Inria（法国国家数字研究院）；Università di Pisa（比萨大学）；Thales Land & Air Systems（泰雷兹陆地与航空系统）
本文提出利用量子块编码和量子可逆算术求解二阶线性偏微分方程，通过傅里叶空间滤波器结构特性，提供一种替代传统量子矩阵求逆的方法，为扩展至量子群傅里叶变换、小波分析和等变量子神经网络奠定基础。
2026-04-28 cs.NA math.NA quant-ph
Preconditioned accelerated gradient descent methods for locally Lipschitz smooth objectives with applications to the solution of nonlinear PDEs
我们开发的Nesterov的加速梯度下降法（AGD）的应用程序的广泛的一类偏微分方程（PDE）的近似解的理论基础。这是通过证明存在的不变集和指数收敛速度时，其预处理版本（PAGD）适用于最小化局部Lipschitz光滑，强凸目标泛函。我们引入了一个二阶常微分方程（ODE）与预条件内置，并表明PAGD是一个显式的时间离散化的常微分方程，这需要一个自然的时间步长限制的能量稳定性。在连续时间水平上，我们使用一个简单的能量参数显示指数收敛的常微分方程的解决方案，其稳定状态。在离散层次上，假设上述步长限制，不变集的存在性被证明和匹配的指数收敛速率的PAGD计划推导出通过模仿的能量参数和连续水平上的收敛。应用的PAGD方法的数值偏微分方程的某些非线性椭圆偏微分方程使用准谱方法的空间离散，并进行了几个数值实验。结果证实了全局几何和网格步长独立收敛的PAGD方法，与预条件梯度下降（PGD）方法相比，提高了加速率。
2021-02-01 cs.NA math.NA math.OC
High order schemes based on operator splitting and deferred corrections for stiff time dependent PDEs
Center for Computational Sciences and Engineering, Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室计算科学与工程中心）；CD-adapco
本文提出基于运算分裂和延迟校正的高阶方案，用于求解刚性时依赖偏微分方程，通过迭代延迟校正提高精度，结合隐式Runge-Kutta方案保证稳定性，数值验证了方法的有效性。
2016-04-01 cs.NA math.AP math.NA
Uniform error estimates for artificial neural network approximations for heat equations
University of St. Gallen（圣加仑大学）；University of Vienna（维也纳大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；University of Münster（明斯特大学）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）
最近，人工神经网络（ANN）结合随机梯度下降优化方法已被用来近似计算可能相当高维的偏微分方程（PDE）的解决方案。最近，科学文献中也出现了许多严格的数学结果，这些结果研究了这种基于深度学习的偏微分方程近似算法的近似能力。这些来自科学文献的数学结果部分证明了基于ANN的算法能够克服高维偏微分方程数值近似中的维数灾难。在这些来自科学文献的数学结果中，PDE的解与近似ANN之间的误差通常是相对于某些$p \in [1,\infty)$和某些概率测度在$L^p$意义上测量的。然而，在许多应用中，在统一的$L^\infty$意义上控制误差也是重要的。本文的主要结果的关键贡献是开发的技术，以获得误差估计的解决方案的偏微分方程和近似的人工神经网络在一致的$L^\infty$意义。特别是，我们证明了一个人工神经网络的参数的数量，以统一近似的经典解决方案的热方程在一个区域$ [a,b]^d $为一个固定的时间点$ T \in (0,\infty) $增长最多项式的尺寸$ d \in \mathbb{N} $和倒数的近似精度$ \varepsilon > 0 $。这表明，人工神经网络可以克服灾难的维数在热方程的数值逼近时，测量的误差在统一的$L^\infty$ -范数。
2020-06-15 cs.LG cs.NA math.NA
Solving PDEs With Deep Neural Nets under General Boundary Conditions
Department of Electrical and Computer Engineering, University of California, Los Angeles（电气与计算机工程系，加州大学洛杉矶分校）
本文提出了一种扩展的TENG框架，通过整合自然梯度优化与数值时间推进方案，精确解决狄利克雷边界条件的PDEs问题，并展示了其在热方程中的高精度与高效性。
2026-02-10 cs.AI cs.LG cs.NA
