Solving periodic semilinear stiff PDEs in 1D, 2D and 3D with exponential integrators
对于刚性偏微分方程如Allen-Cahn方程、Korteweg-de Vries方程和Ginzburg-Landau方程的高精度求解，已经提出了几十种指数积分公式。我们报告的结果，在MATLAB和Chebfun的广泛比较，这些公式在1D，2D和3D，重点是第四次和更高的顺序的方法，和定期半线性刚性偏微分方程的常系数。我们的结论是，很难做得比这些公式中最简单的一个更好，Cox和Matthews的ETDRK 4方案。
2020-05-19 cs.NA math.NA
High order implicit time integration schemes on multiresolution adaptive grids for stiff PDEs
Yale University（耶鲁大学）；CD-adapco
本文提出高阶隐式Runge-Kutta方案用于求解刚性时变PDE，采用多分辨率分析生成自适应网格，以提高计算效率。
2016-04-01 cs.NA math.AP math.NA
Linearly Stabilized Schemes for the Time Integration of Stiff Nonlinear PDEs
在许多应用中，要数值求解的控制偏微分方程包含刚性分量。当该分量是线性的时，通常优选不受稳定性限制的隐式时间步进方法。另一方面，如果刚性部件是非线性的，则使用隐式方法的每一步的复杂性和成本增加，并且显式方法由于其简单性和易于实现而可能是优选的。在这篇文章中，我们分析了新的和现有的线性稳定计划的目的，在时间上集成刚性非线性偏微分方程。这些计划计算的非线性项显式，在解决一个线性系的成本是固定的矩阵，始终是无条件稳定的，从而结合显式和隐式方法的优点。给出了应用程序来说明这些方法的使用。
2021-04-26 cs.NA math.NA
Fourth-order time-stepping for stiff PDEs on the sphere
Oxford University Mathematical Institute（牛津大学数学研究所）
本文提出用于球面上刚性PDEs的算法，结合系数空间中的双傅里叶球方法变体和隐式显式时间步长方案，实现空间谱精度和时间四阶精度，避免坐标奇点并保持极点光滑性。
2017-12-23 cs.NA math.NA
Two-derivative deferred correction time discretization for the discontinuous Galerkin method
在本文中，我们使用隐式二阶导数延迟校正时间离散化途径，并结合它的空间离散的间断Galerkin谱元方法来解决（非）线性偏微分方程。所得到的数值方法在空间和时间上都具有高阶精度。由于新方案处理两个时间导数，因此必须定义两个导数的空间算子。这导致该方案的扩展系统矩阵。我们分析这个矩阵可能的简化和有效的方法来解决所产生的（非）线性系方程。它示出了如何精心设计的预条件和矩阵的方法允许一个有效的实施和应用的新方案。对于这两个，线性平流和可压缩的欧拉方程，高达八阶精度的时间。最后，说明了该方法如何用于可压缩斯托克斯方程的近似解。
2021-09-10 cs.NA math.NA
Certified Seventh-Order Two-Derivative Hermite Deferred Correction via Node-Sweep Co-Design
Henan Polytechnic University（河南理工大学）
本文针对扩散主导半线性问题，通过节点-扫描协同设计提出可证七阶双导数Hermite延迟校正方法，设计的Accuracy-P40方法可降低计算量并满足刚性条件，经测试验证了阶数与性能。
2026-08-03 cs.NA math.NA
High order operator splitting methods based on an integral deferred correction framework
Michigan State University（密歇根州立大学）；Michigan Technological University（密歇根理工大学）
本文提出基于积分延迟修正框架的高阶算子分裂方法，用于求解初始值问题，通过修正分裂和数值误差提升精度，并应用于偏微分方程的求解。
2014-07-03 cs.NA math.NA
Concurrent Implicit Spectral Deferred Correction Scheme for Low-Mach Number Combustion with Detailed Chemistry
Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
本文提出了一种并行隐式-显式时间积分方案，用于解决低马赫数燃烧方程组中出现的对流-扩散-反应系统，通过并行化方法加速了用于耦合对流、扩散和反应过程的串行多隐式频域延迟修正（MISDC）方案，展示了该方案在处理刚性问题时的稳定性及收敛速度的提升。
2018-09-09 cs.NA math.NA
Mitigating Numerical Stiffness in Least-Squares Formulations of Elliptic PDEs for Physics-Informed Neural Networks
Helmholtz-Zentrum Dresden-Rossendorf e.V.（亥姆霍兹德累斯顿-罗斯多夫中心）；University of Wrocław（弗罗茨瓦夫大学）
研究物理驱动神经网络学习偏微分方程解时\(H^{-1}\)残差损失公式，分析椭圆型偏微分方程中\(H^{-1}\)范数离散化，证明其可平衡偏微分方程损失、改善条件并减轻刚性，通过实验验证。
2026-07-07 cs.NA math.NA
Stability in Training PINNs for Stiff PDEs: Why Initial Conditions Matter
Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University of Houston（休斯顿大学）
该研究针对刚性PDE训练PINNs的稳定性问题，通过NTK分析与消融研究，提出将初始条件嵌入网络架构的策略，为开发可靠神经求解器提供了可扩展框架。
2026-08-18 cs.NA math.NA
VS-PINN: A fast and efficient training of physics-informed neural networks using variable-scaling methods for solving PDEs with stiff behavior
Inha University（仁荷大学）
针对具有刚性或高频特性的偏微分方程求解中PINNs训练困难的问题，提出基于可变缩放技术的VS-PINN方法，经实验验证可提升训练效率与性能，并通过NTK分析给出理论支撑。
2024-07-12 cs.LG cs.NA math.NA
Inexact spectral deferred corrections
Jülich Supercomputing Centre, Forschungszentrum Jülich GmbH（于利希超级计算中心，于利希研究中心有限公司）；Institute of Computational Science, Università della Svizzera italiana（意大利瑞士大学计算科学研究所）；Institute for Computational and Mathematical Engineering, Stanford University（斯坦福大学计算与数学工程研究所）；Center for Computational Sciences and Engineering, Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室计算科学与工程中心）
本文提出了一种不精确的谱延迟校正方法，通过使用多网格V循环替代线性系统求解，显著降低每扫掠的计算成本，同时保持了较高的精度。
2014-06-12 cs.NA math.NA
MARS : a Method for the Adaptive Removal of Stiffness in PDEs
E（显式）I（隐式）N（null）方法是近年来发展起来的一种消除偏微分方程数值不稳定性的方法，它通过增减一个具有任意结构的算子$\mathcal{D}$，在一种情况下隐式处理该算子，在另一种情况下显式处理该算子.在这里，我们通过设计一个自适应的过程来扩展这个想法，找到一个最优逼近$\mathcal{D}$。我们提出了一个测量的数值误差，检测所有波长的数值不稳定性，并调整每个傅立叶分量的$\mathcal{D}$的最小值，使数值不稳定性被抑制。我们发现，对于一些非线性和非局部偏微分方程，在一个和两个维度，频谱的$\mathcal{D}$自动和动态地适应边际稳定的理论结果。因此，我们的方法具有相同的稳定性作为一个完全隐式的方法，而只需要一个显式求解器的计算成本。自适应隐式部分在傅立叶空间中是对角的，因此与显式方法相比导致最小的开销。
2022-06-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Spectral deferred corrections with fast-wave slow-wave splitting
本文研究了半隐式谱延迟校正（SISDC）的一种变体，其中刚性，快速动态对应于快速传播的波（“快波慢波问题”）。我们表明，对于标量测试问题的两个虚特征值$i λ_{fast}$，$i λ_{slow}$，有$Δt \left(\left| λ_{fast} \right| + \left| λ_{slow} \right| \right) < 1$是足够的快波慢波SDC（FWSW-SDC）迭代收敛，并在无限快波的限制的收敛速度的非分裂版本被保留。稳定性函数和离散色散关系的推导表明，该方法是稳定的基本上任意快波CFL数，只要慢动力学解决。该方法的数值扩散小，半离散相速度对大波数模式也很精确。性能研究的声学平流问题和线性化Boussinesq方程，描述可压缩，分层流。FWSW-SDC相比，对角隐式龙格-库塔（DIRK）和IMEX龙格-库塔（IMEX）方法，并发现在精度和成本方面具有竞争力。
2016-06-13 cs.NA math.NA
A multi-level spectral deferred correction method
Jülich Supercomputing Centre, Forschungszentrum Jülich（于利希超级计算中心，于利希研究中心）；Institute of Computational Science, Università della Svizzera italiana（瑞士意大利语大学计算科学研究所）；Center for Computational Sciences and Engineering, Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室计算科学与工程中心）；Institute for Computational and Mathematical Engineering, Stanford University（斯坦福大学计算与数学工程研究所）；Department of Mathematics, Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔山岳大学数学系）
本文提出多级频谱延迟校正方法，通过多级结构减少计算成本，提升PDE时间积分效率，尤其在三维问题中显著节省计算时间。
2014-08-25 cs.NA math.NA
New Efficient Implicit-Explicit Deferred Correction methods
North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）；Università di Roma La Sapienza（罗马第一大学）
该研究提出一种高效IMEX DeC改进方案，通过迭代插值匹配精度与离散化阶数，兼具计算优势与p阶自适应特性，经数值实验验证可高效求解刚性ODE与高阶PDE
2026-08-26 cs.NA math.NA
Space-time FLAVORS: finite difference, multisymlectic, and pseudospectral integrators for multiscale PDEs
本文提出一类新的刚性问题偏微分方程积分器，基于流平均方法，在空间和时间上使用介观步长，具有多尺度、通用、非侵入、双尺度收敛和保结构等性质。
2011-04-01 cs.NA math.AP math.DS
Arbitrary high-order unconditionally stable methods for reaction-diffusion equations with inhomogeneous boundary condition via Deferred Correction
本文分析了一类与反应扩散方程有关的初边值问题的全离散化。为了避免可能的降阶，首先通过提升非齐次Dirichlet、Neumann或混合Dirichlet-Neumann边界条件，将IBVP转化为具有齐次边界条件的IBVP（IBVPHBC）. IBVPHBC通过隐式中点规则的延迟校正方法在时间上离散化，并在校正的阶段$p=0,1,2,\cdots $产生精度为$2p+2$阶的时间步进格式。每一个半离散计划的结果在一个非线性椭圆型方程的解的存在性证明使用Schaefer不动点定理。用Galerkin有限元法对修正阶段$p$对应的椭圆型方程进行离散，给出了IBVPHBC的完全离散。这种完全离散格式是无条件稳定的，具有$2p+2$级的时间精度。当所考虑的网格族是形状规则的时，空间精度的阶数等于所用的有限元的阶数，而对于拟一致网格族，证明了一个一阶的增量。数值试验表明，该方法具有无条件收敛性，并对一个具有强刚度比的非线性反应扩散方程和一个线性降阶反应扩散方程进行了数值试验.时间精度达到2、4、6、8和10阶。
2021-11-16 cs.NA math.NA
A structure-preserving implicit-explicit method for a hyperbolic approximation of fourth-order PDEs
University of Stuttgart（斯图加特大学）；Université de Strasbourg（斯特拉斯堡大学）
提出一种用于四阶PDE双曲逼近的保结构IMEX方法，证明其能量一致、保正且渐近稳定，并通过薄膜方程算例验证有效性。
2026-09-09 cs.NA math.NA
DeC and ADER: Similarities, Differences and a Unified Framework
在本文中，我们证明了显式ADER方法，因为它是特别在[1]中使用的，可以被看作是一个特殊的解释延迟校正（DeC）方法介绍了[2]。利用这一事实，我们能够嵌入ADER的理论背景下的时间积分计划，并证明之间的关系的精度顺序和迭代次数，需要达到所需的顺序。接下来，我们扩展我们的调查僵硬常微分方程，对待这些源项隐含。在解释和实现中可以发现一些差异。使用DeC通常产生更简单的实现，而ADER受益于更高的精度，至少对于我们的数值模拟。然后，我们也专注于PDE的情况下，目前常见的时空离散使用DeC和ADER在封闭的形式。最后，在数值部分中，我们研究了ADER方法的A-稳定性-这是我们所知的第一次-对于不同的阶数，使用几个基函数，并将它们与DeC方法进行比较。然后，我们比较了ADER和DeC的刚性和非刚性常微分方程的性能，并验证我们的分析集中在两个基本的双曲问题。[1]O. Zanotti，F.凡布里湾Dumbser和A.伊达尔戈带后验子胞有限体积限制的时空自适应ader间断galerkin有限元格式。Computers & Fluids，118：204-224，2015。[2]A.达特湖Greengard和V. Rokhlin。常微分方程的谱延迟校正方法。BIT Numerical Mathematics，40（2）：241-266，2000.
2021-01-06 cs.NA math.NA
High-order partitioned spectral deferred correction solvers for multiphysics problems
我们提出了一个任意高阶，条件稳定，分区光谱延迟校正（SDC）的方法来解决多物理场问题，使用一系列预先存在的单物理场求解器。该方法扩展了文献[1，2]中使用隐式-显式龙格-库塔法（IMEX）建立高阶分区多物理场求解器的工作。我们认为一个通用的多物理场问题建模为一个系统的耦合常微分方程（ODEs），耦合通过耦合项，可以依赖于每个子系统的状态，因此该方法适用于半离散的偏微分方程组（PDE）的偏微分方程组或自然建模为耦合系统的ODEs的问题。得到了构造任意高阶分块SDC格式的充分条件。在此基础上，设计了各种分块SDC方案。在一个耦合的线性模型问题上，详细分析了一阶分块SDC格式的稳定性。我们证明了该格式是条件稳定的，并且在耦合强度一定的条件下，该格式是无条件稳定的。我们证明了几类多物理场问题，包括一个简单的线性系的常微分方程，对流扩散反应系统，和流体-结构相互作用问题的不可压缩和可压缩流，我们验证的设计顺序的SDC计划和研究各种稳定性的性能建议分区求解器。我们还直接比较了[1，2]中提出的分区SDC求解器与分区IMEX方法在这组测试问题上的精度，稳定性和成本。结果表明，高阶分区SDC求解器比分区IMEX求解器在这项工作中考虑的数值例子更强大，而IMEX方法需要更少的隐式解决方案。
2020-04-03 cs.NA math.NA
Spectrally accurate space-time solution of Hamiltonian PDEs
Università di Firenze（佛罗伦萨大学）；Università di Bari（巴里大学）；Universidad de Zaragoza（萨拉戈萨大学）
本文提出一种谱准确的时空解法，用于求解多频率高振荡哈密顿问题，通过改进方法提高效率。
2018-07-23 cs.NA math.NA
TASE-Stabilized Time-Evolving Natural Gradient Methods for Diffusion-Dominated PDEs
Xiangtan University（湘潭大学）
针对扩散主导PDE的刚性稳定性问题，提出TASE-TENG方法，利用可学习的TASE稳定算子改进显式龙格-库塔投影，提升稳定性和精度，并支持不同分辨率重建。
2026-09-22 cs.NA math.NA
On the Spatial and Temporal Order of Convergence of Hyperbolic PDEs
本文给出了双曲型偏微分方程（PDE）的全局截断误差的完整表达式。特别是，我们使用理论分析和符号代数来找到通用全局截断误差系数的精确表达式。我们的分析是有效的任何双曲型偏微分方程，无论是线性或非线性，并采用有限差分，有限体积，或有限元离散空间，并提前在时间上的预测-校正，多步，或推迟校正方法，属于直线法。此外，我们讨论了这种分析的实际意义。如果我们采用一个稳定的数值方案和整体解误差和整体截断误差的精度的顺序同意，我们作出以下渐近观察：（a）在恒定比率的$Δt$到$Δx$的收敛顺序是由空间和时间离散的顺序的最小值，和（b）收敛甚至不能保证下，只有空间或时间的细化。（a）的含义是，投资于阶数高于空间离散化的时间步进方法是不切实际的。除了（b），我们还证明了在某些情况下，误差甚至可以只在空间或时间上随着细化而单调增加，并解释了为什么会发生这种现象。为了验证我们的理论研究结果，我们进行收敛性研究的线性和非线性平流方程，使用有限差分和有限体积空间离散，预测-校正和多步时间步长方法。最后，我们研究了斜率限制器和单调性保持策略对精度阶的影响。
2022-01-08 cs.NA math.NA
Derivation of sixth-order exponential Runge--Kutta methods for stiff systems
本文首次构造六阶指数龙格-库塔方法，利用指数B级数理论导出并求解36个刚性阶条件，得到两族可高效实现的六阶并行级格式，并通过数值实验验证其精度与效率。
2024-02-27 cs.NA math.NA
Krylov implicit integration factor discontinuous Galerkin methods on sparse grids for high dimensional reaction-diffusion equations
Mississippi State University（密西西比州立大学）；Michigan State University（密歇根州立大学）；Indiana University South Bend（印第安纳大学南本德分校）；University of Notre Dame（圣母大学）
本文提出了一种基于稀疏网格的Krylov隐式积分因子不连续Galerkin方法，用于高效求解高维反应-扩散方程，通过多小波基函数减少自由度并利用指数积分器处理刚性问题，验证了方法的准确性和效率。
2018-10-25 cs.NA math.NA
Convergence analysis of unsupervised Legendre-Galerkin neural networks for linear second-order elliptic PDEs
Sungkyunkwan University（成均馆大学）
在本文中，我们对无监督Legendre-Galerkin神经网络（ULGNet）进行了收敛性分析，ULGNet是一种基于深度学习的数值方法，用于求解偏微分方程（PDE）。与现有的基于深度学习的偏微分方程数值方法不同，ULGNet将解表示为相对于勒让德基的谱展开，并通过求解变分残差最小化问题来预测深度神经网络的系数。由于相应的损失函数是等价的残差诱导的线性代数系统依赖于基函数的选择，我们证明了最小的离散损失函数收敛到弱解的偏微分方程。数值结果也将支持理论结果。关键技术工具包括有界神经网络的通用近似定理的变体，刚度和质量矩阵的分析，以及Rademacher复杂性方面的统一大数定律。
2022-11-16 cs.LG cs.NA math.NA
Spectral analysis of continuous FEM for hyperbolic PDEs: influence of approximation, stabilization, and time-stepping
研究一维双曲型偏微分方程的连续有限元离散。本文的主要贡献是提供了一个完全离散的谱分析，这是用来建议最优值的CFL数和涉及不同类型的稳定运营商的稳定参数。特别地，我们分析了流线迎风Petrov-Galerkin（SUPG）稳定技术，连续内部惩罚（CIP）稳定方法和局部投影稳定（LPS）。比较了连续有限元空间的三种不同选择：伯恩斯坦多项式、等间距节点上的拉格朗日多项式和Gauss-Lobatto立方节点上的拉格朗日多项式。对于最后一种选择，我们只考虑基于与单元的自由度对应的公式的不精确求积，这允许获得完全对角质量矩阵。我们还比较了不同的时间推进策略，即龙格库塔（RK），强稳定性保持RK（SSPRK）和延迟校正时间积分方法。后者允许减轻计算成本，因为质量矩阵求逆由高阶校正迭代代替。为了理解这些选择的效果，执行时间连续和完全离散的傅里叶分析。这些允许在准确性和稳定性方面比较所有不同的组合，以及为所涉及的最优值离散化参数提供建议。在线性和非线性问题上的数值结果得到了彻底的验证，并提供了错误-CPU时间曲线。我们的最终结论表明，容积元件结合SSPRK和CIP或LPS稳定是最有前途的组合。
2021-03-30 cs.NA math.NA
Preferential stiffness and the crack-tip fields of an elastic porous solid based on the density-dependent moduli model
本文研究了弹性多孔固体的优先刚度和裂纹尖端场，其材料性质依赖于密度。这样的描述对于描述在许多多孔体（例如陶瓷、混凝土和人骨）中可能由损坏的孔隙引起的失效是必要的。为此，我们重新审视一类新的隐式本构关系的假设下，小变形。尽管柯西应力和线性应变下的本构关系均为\textit{appears linear}，但线性动量平衡赋予的控制方程导致了一个拟线性偏微分方程（PDE）系统。对于线性化和得到一系列椭圆型偏微分方程，我们提出的解决方案算法包括一个\textit{Newton's method}耦合双线性连续Galerkin型有限元的离散。我们的算法具有最佳的收敛速率的制造解决方案。在数值实验中，我们设置了带边缘裂纹的边值问题（BVP）{在不同的加载模式下（即，纯模式I、II和混合模式）。从数值结果中，我们发现，密度依赖模量模型描述了不同的现象，没有捕获的经典线性弹性的框架内。特别是，数值解清楚地表明，非线性\textit{modeling}参数依赖于其符号和大小，可以控制优先机械刚度随着体积应变的变化;当该参数为正值时，多孔固体的强度在拉伸载荷作用下变弱，而在面内剪切载荷作用下变硬（或压缩）载荷，对于负值，反之亦然。
2022-12-15 cs.NA math.AP math.NA
Spectral analysis of high order continuous FEM for hyperbolic PDEs on triangular meshes: influence of approximation, stabilization, and time-stepping
本研究针对二维双曲型偏微分方程，系统探究不同多项式空间、稳定化技术与时间离散的连续有限元方案的谱特性，经理论与数值验证得出最优组合方案。
2022-06-13 cs.NA math.NA
A class of flexible and efficient partitioned Runge-Kutta-Chebyshev methods for some time-dependent partial differential equations
本文针对空间半离散化后含中等刚性与非刚性项的常微分方程，提出一类二阶分区显式稳定化方法，其RKC级数s和RK级数m均可灵活调整，并通过多个数值算例验证了方法的灵活性与适用性。
2025-09-22 cs.NA math.NA
Applications of Wavelet Bases to The Numerical Solutions of Fractional PDEs
Lanzhou University（兰州大学）
本文研究小波基在求解分数偏微分方程中的应用，探讨其在预条件化、自适应性和保持Toeplitz结构方面的优势，提出高效生成刚度矩阵的方法及多网格方法。
2016-10-09 cs.NA math.NA
Positional Embeddings for Solving PDEs with Evolutional Deep Neural Networks
本文提出基于Laplace-Beltrami算子特征函数的位置嵌入，将演化深度神经网络扩展到复杂几何区域上的参数化时变PDE求解，并通过Krylov求解、主动采样和改进Rosenbrock方法提升性能，数值实验验证了其有效性。
2023-08-07 cs.NA math.NA
Stability-Optimized High Order Methods and Stiffness Detection for Pathwise Stiff Stochastic Differential Equations
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
本文提出四种方法处理路径刚性SDE，包括稳定性优化自适应方法、刚性估计器、L稳定隐式方法和自适应IMEX方法，显著提升求解效率，尤其在刚性化学反应网络中效率提升达8倍。
2018-04-12 cs.NA math.NA math.PR
A Unified Weighted-Loss Physics-Informed Neural Network for Boundary Layer Problems in Singularly Perturbed PDEs
National Central University（中央大学）；National Center for Theoretical Sciences, National Taiwan University（台湾大学理论科学中心）；National Chung Hsing University（中兴大学）；National Yang Ming Chiao Tung University（阳明交通大学）
本文提出一种基于加权损失的统一学习框架，用于解决奇异摄动PDEs中的边界层问题，通过自动识别边界层位置，简化了实现复杂度并提高了计算精度。
2026-03-31 cs.NA math.NA
Boundary treatment for high-order IMEX Runge-Kutta local discontinuous Galerkin schemes for multidimensional nonlinear parabolic PDEs
本文针对多维非线性抛物型偏微分方程，提出适用于IMEX Runge-Kutta时间离散的边界处理算法，以消除时间依赖Dirichlet边界条件引起的阶数降低，并通过局部间断Galerkin空间离散的数值实验验证其恢复设计收敛阶数。
2024-10-03 cs.NA math.NA q-fin.CP
Asymptotic convergence of the parallel full approximation scheme in space and time for linear problems
Universität Kassel（卡塞尔大学）；Jülich Supercomputing Centre, Forschungszentrum Jülich GmbH（于利希超级计算中心，于利希研究中心有限公司）
本文研究了PFASST在非刚性和刚性极限下的收敛性，通过多网格方法证明其作为迭代方法的有效性，并分析了并行时间步数增加时的性能。
2018-06-06 cs.NA math.NA
A review of high order strong stability preserving two-derivative explicit, implicit, and IMEX methods
本文综述了高阶强稳定保持（SSP）二阶导数显式、隐式及IMEX Runge--Kutta和一般线性方法，提出了保持空间离散强稳定性的充分条件，并设计了时间步长限制与刚性项无关的新型方法。
2024-12-19 cs.NA math.NA
Generalised Hermite spectral methods for PDEs involving integral fractional Laplacian and Schrödinger operators
本文引入了两类新的任意维广义Hermite多项式/函数（GHP/GHF），并在$\mathbb R^d.$中发展了求解具有整数分数Laplacian（IFL）和/或Schr dinger算子的偏微分方程的高效精确的广义Hermite谱算法。Szegö的1D家族（1939年），GHP的第一个家族（分别为Szegö和Szegö）。GHF）相对于$|\bx|^{2μ} \e^{-|\bx|^2}$正交（分别$|\bx |^{2μ}$）在$\mathbb R^d$中。我们进一步定义了伴随广义Hermite函数（A-GHF），它通过傅里叶变换与相应的广义Hermite函数有着交织的联系，并且与$s>0$阶IFL的内积$[u,v]_{H^s(\mathbb R^d)}=((-Δ)^{s/ 2}u, (-Δ)^{s/2} v )_{\mathbb R^d}$正交.因此，使用A-GHF作为基函数的谱-伽辽金方法导致IFL的对角刚度矩阵（众所周知，这是非常困难和昂贵的离散化）。新的基础也发现有效和准确地解决偏微分方程的分数薛定谔算子：$(-Δ)^s +|\bs x|^{2μ}$与$s\in (0,1]$和$μ>-1/2.$遵循同样的精神，我们构建了第二个家庭的GHF，被称为Müntz型广义厄米函数（M-GHF），这是正交的相对于一个内积相关的基础薛定谔算子，并定制的奇异性的解决方案在原点。我们证明了…
2020-10-23 cs.NA math.NA
Numerical study in stochastic homogenization for elliptic PDEs: convergence rate in the size of representative volume elements
Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进学会数学研究所）；Max Planck Institute for Dynamics of Complex Technical Systems（马克斯·普朗克复杂技术系统动力学研究所）
本文研究了随机同质化中椭圆偏微分方程的数值方法，提出了一种高效的刚度矩阵生成方案，通过局部Kronecker乘积矩阵组装，解决了大线性方程组，并通过预条件CG迭代法实现收敛率与网格大小和系数跳跃变化无关，验证了RVE方法在随机同质化中的收敛性，并研究了同质化矩阵协方差的四次张量渐进行为。
2019-03-28 cs.NA math.NA
Parallel Semi-Implicit Time Integrators
Michigan State University（密歇根州立大学）；Michigan State University Institute for Cyber Enabled Research（密歇根州立大学网络赋能研究学院）；Michigan State University Department of Mathematics（密歇根州立大学数学系）
本文进一步发展了修订积分延迟校正方法（RIDC）系列并行时间积分器，实现半隐式求解时间相关偏微分方程，并利用多GPU和CUBLAS库加速计算，在四GPU四CPU上达到四阶解与单GPU单CPU一阶解相近的墙钟时间。
2012-09-19 cs.DC cs.NA math.NA
Analysis of a high order Trace Finite Element Method for PDEs on level set surfaces
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；Georg-August-Universität Göttingen（哥廷根大学）
本文提出一种高阶有限元方法，用于在隐式描述为水平集函数零水平的平稳光滑表面上的偏微分方程离散化。方法基于迹有限元技术，利用体积网格的等参数映射提高离散精度，并分析了该方法的误差界和稳定性。
2017-04-13 cs.NA math.NA
A novel and simple spectral method for nonlocal PDEs with the fractional Laplacian
本文提出一种基于半离散傅里叶变换的谱方法离散分数阶拉普拉斯算子，具有与其相同的离散符号，可实现谱精度，并借助多水平Toeplitz结构实现快速计算。
2024-06-15 cs.NA math.NA
Semi-Implicit Neural Solver for Time-dependent Partial Differential Equations
Technical University Munich（慕尼黑工业大学）；École normale supérieure, Paris（巴黎高等师范学院）；deepc GmbH, Munich（慕尼黑deepc有限公司）；Helmholtz Zentrum München（慕尼黑亥姆霍兹研究中心）；University of Zurich（苏黎世大学）
不定常偏微分方程（PDE）的快速精确求解是物理学、工程学和生物学等许多研究领域的重要课题。一般来说，隐式/半隐格式优于显式格式，以提高稳定性和正确性。然而，现有的半隐式方法通常是迭代的，并采用通用的求解器，这可能是次优的一类特定的偏微分方程。在本文中，我们提出了一个神经求解器，学习最佳的迭代方案，在数据驱动的方式为任何类的偏微分方程。具体来说，我们使用深度神经网络修改半隐式求解器的单次迭代。我们提供的神经求解器的正确性和收敛性的理论保证类似于传统的迭代求解器。除了常用的Dirichlet边界条件外，我们还采用扩散域方法来引入不同类型的边界条件，例如，诺依曼我们表明，建议的神经求解器可以超越线性偏微分方程，并适用于一类非线性偏微分方程，其中的非线性组件是非刚性的。我们证明了我们的方法在2D和3D场景的有效性。为此，我们展示了我们的模型如何推广到不同于训练的参数设置，并实现了比半隐格式更快的收敛。
2021-09-03 cs.LG cs.NA math.NA
Parallel implicit-explicit general linear methods
高阶离散的偏微分方程（PDE）需要高阶时间积分计划能够处理刚性和非刚性运营商在一个有效的方式。基于广义线性方法（GLM）的隐式-显式（IMEX）积分提供了一个有吸引力的解决方案，由于其高的阶段和方法的顺序，以及良好的稳定性。IMEX特性允许刚性条款被隐式地对待，而非刚性条款被显式地有效地整合。这项工作开发了两个系统的方法，开发的IMEX GLM的任意阶的阶段，可以并行解决。第一种方法是基于对角隐式多级积分方法（DIMSIM）的类型3和4。第二个是IMEX Euler的并行推广，具有线性稳定性与精度阶无关的有趣特性。数值实验证实了理论上的收敛速度，并表明新格式比串行IMEX GLM和IMEX龙格-库塔法更有效。
2020-04-21 cs.NA math.NA
High-order parallel-in-time method for the monodomain equation in cardiac electrophysiology
针对心脏单域方程传统空间并行模拟的可扩展性限制，提出一种结合半隐式与指数谱延迟校正并基于PFASST框架的高阶时间并行方法，有效应对心脏动力学刚性等计算挑战，显著提升生物医学与临床实时高保真模拟的潜力。
2024-05-30 cs.NA math.NA
Laplacian preconditioning of elliptic PDEs: Localization of the eigenvalues of the discretized operator
Institute of Computer Sciences, Czech Academy of Science（捷克科学院计算机科学研究所）；Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（查理大学数学物理学院）；Department of Mathematics, University of Oslo（奥斯陆大学数学系）；Department of Numerical Analysis and Scientific Computing, Simula Research Laboratory（Simula研究实验室数值分析与科学计算部）；Faculty of Science and Technology, Norwegian University of Life Sciences（挪威生命科技大学理学院）
本文研究了使用拉普拉斯逆作为预处理器的椭圆偏微分方程的特征值局部化问题，证明了在不连续情况下，k(x)的图像与预处理算子的谱范围存在一一对应关系。
2018-09-11 cs.NA math.NA
Krylov-based Adaptive-Rank Implicit Time Integrators for Stiff Problems with Application to Nonlinear Fokker-Planck Kinetic Models
提出基于扩展 Krylov 子空间的高阶自适应秩隐式时间积分器，结合残差与局部截断误差控制秩，并在 LBFP 模型中实现三阶精度、平衡保持及质量、动量和能量守恒。
2024-04-03 cs.NA math-ph math.MP
Multi-Adaptive Time-Integration
Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）
针对多时间尺度系统，提出多自适应Galerkin方法（mcG(q)和mdG(q)），通过为每个分量单独选择时间步长并基于后验误差估计进行自适应，同时引入显式时间积分的自适应稳定策略以处理刚性问题。
2012-05-12 cs.NA math.NA
A quantum-inspired multi-level tensor-train monolithic space-time method for nonlinear PDEs
Khalifa University of Science and Technology（哈利法科学技术大学）；Technology Innovation Institute（技术创新研究所）；Emirates Nuclear Energy Company（阿联酋核能公司）；Emirates Nuclear Technology Center（阿联酋核技术中心）
本文提出了一种受量子启发的多级张量列车方法，用于高效求解非线性偏微分方程，通过多级策略提升收敛性和计算效率。
2026-02-08 cs.NA cs.PF math.NA
Techniques, Tricks and Algorithms for Efficient GPU-Based Processing of Higher Order Hyperbolic PDEs
本文研究了高阶Godunov格式在CFD、MHD和CED三个领域的GPU高效处理技术，通过优化算法与OpenACC实现卓越加速，并发现高阶格式在GPU上比低阶格式具有更好的加速效果。
2023-04-05 cs.NA math.NA
The Montecinos-Balsara ADER-FV Polynomial Basis: Convergence Properties & Extension to Non-Conservative Multidimensional Systems
Cavendish Laboratory（卡文迪许实验室）
本文研究了ADER-FV方法中新的多项式基的收敛性质，并将其扩展到非保守多维系统，证明了伽辽金矩阵的特征值性质。
2017-10-20 cs.NA math.NA physics.comp-ph
On improving the efficiency of ADER methods
本文研究提高ADER方法效率的策略，通过优化弱形式多项式离散提升精度阶，并将其纳入DeC框架以确定最优迭代次数和设计p-自适应修正，验证了改进方法的稳定性、计算效率及在自适应和双曲PDE中的应用。
2023-09-09 cs.NA math.NA
Efficient exponential Runge--Kutta methods of high order: construction and implementation
指数型龙格-库塔法在求解刚性半线性抛物型偏微分方程的时间积分问题上具有很强的竞争力。然而，目前的建设严格准确的指数龙格-库塔法，依赖于一个收敛的结果，需要削弱许多的顺序条件，导致计划的阶段必须以顺序的方式实现。在这项工作中，显示出更强的收敛结果后，我们能够得到两个新的家庭的四阶和五阶指数龙格-库塔法，其中，在现有的方法相比，有多个阶段，是相互独立的，并共享相同的格式，从而使他们能够并行或同时实施，并使方法的行为像使用少得多的阶段。此外，它们的所有阶段只涉及$φ$ -函数（使用相同的参数）与向量的乘积的一个线性组合。总的来说，这些特征使得这些新方法与相同阶数的现有方法相比实现起来更加有效。通过一维半线性抛物问题、非线性薛定谔方程和二维Gray-Scott模型的数值实验，验证了这两种新方法的精度和效率.
2020-09-27 cs.NA math.NA
