Are implicit schemes needed in adaptive time stepping for PDEs?
Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院凯尔迪什应用数学研究所）
本文针对自适应时间步长求解偏微分方程的场景，通过数值测试探究是否需用隐式格式，以及切换至稳定显式格式的时间步长损失，为大规模并行计算的格式选择提供依据。
2026-10-14 cs.CE cs.NA math.NA
Energy-corrected FEM and explicit time-stepping for parabolic problems
Institute for Numerical Mathematics, Technische Universität München（慕尼黑工业大学数值数学研究所）
本文提出了一种能量校正的有限元方法，用于解决抛物问题，该方法在近似网格上工作，并基于此创建了快速显式时间离散化方法，通过数值实验验证了该方法的理论结果和灵活性，适用于多重奇点角和三维设置。
2019-03-15 cs.NA math.NA
Model order reduction in contour integral methods for parametric PDEs
本文讨论了一类参数线性发展偏微分方程的投影模型降阶方法，该方法基于拉普拉斯变换的应用。这种方法的主要优点在于，与时间步进方法（如龙格-库塔积分器）不同，拉普拉斯变换允许在给定时刻直接计算解，这可以通过用合适的求积公式近似与拉普拉斯逆变换相关联的轮廓积分来完成。在一些经典的MOR方法方面，这决定了简化阶段的显著改进-如基于经典的固有正交分解（POD）的简化阶段-因为分解应用的向量的数量急剧减少，因为它不包含通过时间步进方法沿着积分网格生成的所有中间解。我们展示了一些说明性的抛物型偏微分方程所产生的金融方法的有效性，也提供了一些证据，我们提出的方法，当应用到一个线性对流方程，不遭受的奇异值的缓慢衰减的问题，而不是影响时间步长方法的数值逼近的柯西问题所产生的空间离散化。
2022-09-01 cs.NA math.NA
Error Profile for Discontinuous Galerkin Time Stepping of Parabolic PDEs
考虑线性抛物问题的时间离散的间断Galerkin（DG）方法使用分段多项式的次数至多$r-1$在$t$，$r\ge1$和最大步长~ $k$。众所周知，DG误差的空间$L_2$ -范数在时间上具有全局最优阶$k^r$，并且对于$r\ge2$，在节点处具有阶$k^{2r-1}$的超收敛。我们发现，在$n$次子区间$(t_{n-1},t_n)$，在DG误差的主导项是成比例的本地右Radau多项式的程度$r$。该误差分布意味着DG误差在每个间隔中的右手Gauss-Radau正交点处为$k^{r+1}$阶。我们表明，在DG的解决方案在左端点$t_{n-1}$跳跃的规范提供了一个准确的\emph{a posteriori}估计的最大误差的子区间$(t_{n-1},t_n)$。此外，一个简单的后处理步骤产生一个\emph{continuous}分段多项式的次数$r$与最佳的全局收敛速度的顺序$k^{r+1}$。我们用一些数值实验来说明这些结果。
2022-09-22 cs.NA math.NA
Optimal complexity of adaptive FEM for second-order linear elliptic PDEs driven by non-residual estimators, Part I: Symmetric PDEs
TU Wien（维也纳工业大学）；University of Twente（特温特大学）
研究对称二阶线性椭圆型偏微分方程的自适应有限元方法，在特定假设下证明算法能无条件全R线性收敛，对足够小参数保证最优复杂度，重点分析如基于平均的非残差估计器。
2026-07-17 cs.NA math.NA
A New Ensemble HDG Method for Parameterized Convection Diffusion PDEs
我们在文献[3]中设计了一种一阶时间步系综杂交间断Galerkin（HDG）方法，用于求解一组具有不同初始条件、体积力、边界条件和系数的参数化对流扩散偏微分方程。我们得到了$L^\infty(0,T;L^2(Ω))$中的整体解在单纯形网格上的最优收敛速度;如果多项式次数$k\ge 1$和偏微分方程的系数与时间无关，经过逐元后处理，我们得到了$L^2(0,T;L^2(Ω))$中的整体解的超收敛速度.在这项工作中，我们提出了一个新的二阶时间步进集成HDG方法重新审视的问题。我们得到了一个超收敛率的系综解决方案在$L^\infty(0,T;L^2(Ω))$没有一个元素的元素后处理的所有多项式次数$k\ge 0$。此外，我们的网格可以是任何多面体，不需要是单纯形;和偏微分方程的系数可以依赖于时间。最后，我们提出了数值实验来证实我们的理论结果。
2019-10-23 cs.NA math.NA
Convergence analysis of energy conserving explicit local time-stepping methods for the wave equation
University of Basel（巴塞尔大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；University of Zurich（苏黎世大学）
本文提出一种结合标准符合有限元法的显式局部时间步进方法，用于高效模拟异质介质或复杂几何中的波现象，克服了局部细化网格导致的时间步长限制问题。
2017-03-23 cs.NA math.NA
Cost-optimal adaptive FEM with linearization and algebraic solver for semilinear elliptic PDEs
针对半线性椭圆型偏微分方程，提出自适应迭代线性化有限元方法AILFEM，通过阻尼Zarantonello迭代与收缩代数求解器均衡网格、线性化和代数误差，证明其以最优计算成本收敛。
2024-11-13 cs.NA math.NA
φ-FD : A well-conditioned finite difference method inspired by φ-FEM for general geometries on elliptic PDEs
本文提出一种基于笛卡尔网格和水平集函数的φ-FD有限差分方法，用于一般几何上的椭圆PDE，具有良态矩阵和拟最优收敛性，并通过多重网格加速及2D/3D实验验证其优于标准有限元和Shortley-Weller方法。
2025-05-27 cs.NA math.NA
A posteriori error estimation and adaptivity in stochastic Galerkin FEM for parametric elliptic PDEs: beyond the affine case
考虑一类参数系数一致有界的线性椭圆型偏微分方程。这个偏微分方程问题的解决方案是近似的框架内的随机伽辽金有限元法。我们进行后验误差分析的Galerkin近似，并得出一个可靠的和有效估计的能量误差在这些近似。这个误差估计的实际版本进行了讨论和测试数值模型的问题与非仿射参数表示的系数。此外，我们使用来自空间和参数误差估计的误差减少指标来指导给定参数PDE问题的自适应求解算法。自适应算法的性能进行了测试，数值模型的问题，两个不同的非仿射参数表示的系数。
2020-06-04 cs.NA math.NA
Adaptive FEM with explicit time integration for the wave equation
University of Basel（巴塞尔大学）；University of Sussex（萨塞克斯大学）
本文提出了一种自适应有限元方法，结合显式时间积分和局部时间步进，以提高波动方程求解的效率和精度。
2025-12-18 cs.NA math.NA
A space-time FEM for PDEs on evolving surfaces
RWTH-Aachen University（亚琛工业大学）；University of Houston（休斯顿大学）
本文提出一种用于计算演化的表面上输运和扩散的有限元方法，无需表面参数化或扩展PDE到外部域，支持拓扑变化和局部几何奇点，方法具有二阶精度。
2014-03-02 cs.NA math.NA
$hp$-robust multigrid solver on locally refined meshes for FEM discretizations of symmetric elliptic PDEs
本文针对对称二阶线性椭圆扩散问题的有限元离散，提出并分析了一种几何多重网格方法，证明其对多项式次数$p$和网格尺寸$h$具有鲁棒收敛性，并给出$hp$-鲁棒的代数误差估计子及自适应有限元应用。
2023-07-19 cs.NA math.NA
On the convergence of adaptive Galerkin FEM for parametric PDEs with lognormal coefficients
本文研究了具有对数正态系数的稳态扩散方程的基于残差自适应Galerkin有限元方法，通过提供准误差下降结果推进了无界系数情形的理论收敛性，并将一致有界系数的收敛性作为推论。
2024-07-26 cs.NA math.NA
Cost-optimal adaptive iterative linearized FEM for semilinear elliptic PDEs
针对具有强单调但仅局部Lipschitz连续非线性项的半线性椭圆PDE，提出一种基于阻尼Zarantonello迭代的自适应线性化有限元方法，通过同步控制网格细化与非线性迭代，在每步仅求解线性Poisson型方程，并证明了该策略在整体计算复杂度下能保证收敛且达到最优速率。
2023-05-23 cs.NA math.NA
Spectral analysis of high order continuous FEM for hyperbolic PDEs on triangular meshes: influence of approximation, stabilization, and time-stepping
本研究针对二维双曲型偏微分方程，系统探究不同多项式空间、稳定化技术与时间离散的连续有限元方案的谱特性，经理论与数值验证得出最优组合方案。
2022-06-13 cs.NA math.NA
A Strong Stability Preserving Analysis for Multistage Two-Derivative Time-Stepping Schemes Based on Taylor Series Conditions
Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）；University of Massachusetts, Dartmouth（麻省大学达特茅斯分校）；U.S. Naval Academy（美国海军学院）
本文研究了基于泰勒级数条件的多阶段二导数时间推进方案的强稳定性保持性质，提出了SSP-TS方法，并证明其最大阶数为6，同时展示了该方法在求解偏微分方程中的有效性。
2018-10-18 cs.NA math.NA
MooAFEM: An object oriented Matlab code for higher-order adaptive FEM for (nonlinear) elliptic PDEs
本文提出完全用 Matlab 编写的面向对象 2D 自适应有限元仿真代码 MooAFEM，支持任意阶多项式与三角网格细化，可处理非线性 PDE 迭代线性化问题，数值实验验证了其灵活性与高效性。
2022-11-04 cs.MS cs.NA math.NA
Explicit Monotone Stable Super-Time-Stepping Methods for Finite Time Singularities
本文提出用显式RKL和RKG超时间步进方法解析非线性抛物型偏微分方程有限时间奇点的标度行为，证明其数值单调性，并在保持精度同时显著缩短运行时间。
2025-09-23 cs.NA math.NA
On the instabilities of naive FEM discretizations for PDEs with sign-changing coefficients
本文构造明确例子证明变号系数扩散方程的朴素有限元离散在广泛网格族上不稳定，同时给出另一类非对称网格族上离散稳定的证明，从而解释了数值实验中的矛盾现象。
2025-04-10 cs.NA math.NA
Adaptive FEM with quasi-optimal overall cost for nonsymmetric linear elliptic PDEs
针对非对称二阶线性椭圆型PDE，提出非精确自适应迭代对称化有限元方法（AISFEM），结合Zarantonello外循环与一致收缩代数内循环求解器，证明了其完全线性收敛性及关于整体计算成本的拟最优收敛率。
2023-11-21 cs.NA math.NA
Tensor B-Spline Numerical Methods for PDEs: a High-Performance Alternative to FEM
University Hospital of Basel（巴塞尔大学医院）；HighDim GmbH（HighDim有限公司）；University of Basel（巴塞尔大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出了一种基于张量B-样条的高效数值方法，用于求解偏微分方程，展示了其在大规模热方程问题中的高性能表现，相比有限元法具有更高的计算效率和更低的内存消耗。
2019-04-05 cs.NA math.NA
MINRES for second-order PDEs with singular data
最小残差方法，例如最小二乘有限元法（FEM）或具有最佳检验函数（DPG）的不连续Petrov-Galerkin方法，通常排除奇异数据，例如，非平方可积载荷我们考虑泊松问题的DPG方法和最小二乘有限元。对于这两种方法，我们分析正则化方法，允许使用$H^{-1}$负载，并研究点负载的情况。对于所有的情况下，我们证明适当的收敛顺序。我们提出了各种数值实验，证实了我们的理论结果。我们的方法扩展到一般适定的二阶问题。
2021-10-29 cs.NA math.NA
Unconditional full linear convergence and optimal complexity of adaptive iteratively linearized FEM for nonlinear PDEs
针对强单调非线性 PDE，提出结合自适应细化、能量收缩线性化与范数收缩代数求解的 AILFEM，并以无参数停止准则实现任意参数下完整 R-线性收敛及小参数时最优复杂度。
2025-03-17 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo FEM for Elliptic PDEs with Besov Random Tree Priors
本文提出了一种求解多面体区域上线性椭圆扩散问题的多层Monte Carlo（MLMC）-FEM算法，该算法具有Besov树随机系数，求解区域为$\mathcal D\subset \mathbb R^d$.也就是说，扩散系数的矩阵是从所谓的Besov树先验中采样的，Besov树先验最近被提出来对科学和工程中的分形现象的数据进行建模。椭圆型偏微分方程的全离散有限元的数值分析包括求积近似，并且必须考虑a）非均匀路径上和下系数边界，以及b）Besov树系数的低路径正则性。容许的非参数随机系数对应于随机函数在分形维数可调的随机分形上表现出奇异性，但不涉及样本路径奇异支撑的分形几何的先验规范。最佳的复杂性和收敛速度估计的兴趣量和他们的二阶矩的证明。MLMC-FEM的收敛性分析，产生的算法转向参数的选择，有效的实施。提供了MLMC-FEM近似的复杂性（"误差与工作“）分析。
2023-02-01 cs.NA math.NA math.PR
Inf-sup stability of the trace P2-P1 Taylor-Hood elements for surface PDEs
本文研究了一种求解闭光滑曲面上Stokes方程组的数值解的几何非拟合有限元法，即迹有限元法或割有限元法。提出了一种基于标准Taylor-Hood（连续P2-P1）体单元的迹有限元法。一个所谓的体积法向导数稳定，已知从文献中的跟踪有限元，是这种方法的一个重要组成部分。证明了迹P2-P1有限元对的inf-sup稳定性，其稳定常数关于离散参数和曲面在体网格中的位置一致有界。从这个新的稳定性结果和迹有限元的插值性质，得到了有限元法的一致变形的最优阶收敛性。数值例子说明了该方法的性质。
2020-04-10 cs.NA math.AP math.NA
MDFEM: Multivariate decomposition finite element method for elliptic PDEs with uniform random diffusion coefficients using higher-order QMC and FEM
介绍了求解均匀随机扩散系数椭圆型偏微分方程的多元分解有限元法。我们表明，MDFEM可以用来减少估计的期望值的一个线性泛函的解决方案的偏微分方程的计算复杂性。该算法结合了多元分解法（MDM），计算无穷维积分，与有限元法（FEM），以解决不同的情况下的偏微分方程。MDFEM的策略是将无限维问题分解为多个有限维问题，这比解决单个大维问题更容易并行化。我们的第一个结果调整了多元分解方法的分析，以纳入通常出现在多元正交误差界中的对数因子，即，cubature，方法;并且我们注意到$n$需要的点数，例如，在2的幂次上进行高阶近似。为了进一步的分析，我们将体积法具体化为两种类型的拟蒙特卡罗方法（QMC）规则，即数字移位多项式格规则和交错多项式格规则。第二和主要贡献，然后提出了一个边界的MDFEM的错误，并显示高阶收敛w.r.t.在交错多项式格点规则与高阶有限元法相结合的情况下的总计算成本。
2021-07-08 cs.NA math.NA
A Large-Scale Comparison of Tetrahedral and Hexahedral Elements for Solving Elliptic PDEs with the Finite Element Method
University of Victoria（维多利亚大学）；New York University（纽约大学）；Lightspeed & Quantum Studio, Tencent America（腾讯美国光速与量子工作室）；Adobe Research（Adobe研究）
本文通过大规模基准测试，比较了四面体和六面体元素在求解椭圆型PDE中的性能，探讨了不同因素对整体系统性能的影响。
2022-03-09 cs.NA math.NA
A high-order, conservative integrator with local time-stepping
我们提出了一族基于Adams-Bashforth方法的多步积分器。这些格式可以构造为任意收敛阶和任意步长变化。系统的不同子域之间的步长可以不同。它也可以在给定子域内随时间变化。该方法是线性保守的，保持了广泛的一类解析常数的数值循环，即使当数值截断误差显着较高。这些方法用于求解不连续Galerkin公式中的保守偏微分方程或具有紧拉伸的有限差分法。数值试验证明了这些属性，并表明，显着的速度提高了标准的亚当斯-Bashforth计划可以得到。
2020-06-18 cs.NA math.NA
Stability of mixed FEMs for non-selfadjoint indefinite second-order linear elliptic PDEs
对于一类适定的非自伴不定二阶线性椭圆型偏微分方程，其一般系数$\mathbf A, \mathbf b,γ$在$L^\infty$中，系数矩阵$\mathbf A$为对称一致正定，证明了只要其形状正则三角剖分足够细，混合有限元问题唯一可解，离散解一致有界.这适用于Raviart-Thomas（RT）和Brezzi-Douglas-Marini（BDM）有限元族的任何顺序和在任何空间维度，并导致最佳逼近估计在$H(div)\times L^2$以及在$L^2\times L^2$的振荡。这将分段Lipschitz连续系数的早期贡献推广到$L^\infty$系数。Schatz和Wang关于位移定向问题的紧性论证并不直接适用于$H(div)\times L^2$中的混合公式。但它允许一致逼近的一些$L^2$的贡献，并可以结合最近的$L^2$最佳近似结果从medius分析。这种技术避免了任何正则性假设和Fortin插值算子的应用。
2022-03-09 cs.NA math.NA
An asymptotic parallel-in-time method for highly oscillatory PDEs
针对时间尺度分离的非线性PDE，提出一种结合渐近技术（低成本但精度不足）与并行时间方法（单独处理快速振荡效率低）的新时间步进算法，通过串行低精度渐近解与并行精细求解迭代改进，在旋转浅水方程上实现显著并行加速和高精度。
2014-02-20 cs.NA math.NA
Isoparametric unfitted BDF -- Finite element method for PDEs on evolving domains
本文提出了一种新的非拟合有限元法下的运动区域偏微分方程的离散化方法，该方法在空间和时间上都具有较高的精度。在所考虑的设置中，通过时间无关的计算背景域基本上任意地演变的物理域由水平集函数表示。对于时间离散化，基于时间导数的有限差分近似的标准时间步进方案的应用是不直接可能的，因为自由度可以在时间上跨这样的有限差分模板变得有效或无效。In [Leenfeld，Olshanskii.含时区域偏微分方程的欧拉有限元法。ESAIM：M2 AN，53：585- 614，2019]通过将每个时间步长处的离散解扩展到足够大的邻域，使得在下一个时间步长处相关的所有自由度保持有效，来克服该问题。但这篇论文关注的是低阶方法。我们推进这些结果与介绍和分析可实现的技术扩展到高阶。为了获得空间和时间上的高阶收敛，我们将BDF时间推进与等参非拟合有限元相结合。后者已被使用和分析了几个平稳的问题之前。然而，对于移动域的方法中的关键成分，底层网格的变换，变得依赖于时间，这引起了一些技术问题。我们对待这些特别照顾，进行先验误差分析和两个数值实验。
2022-02-16 cs.NA math.NA
Reduced Order Modeling for Parameterized Time-Dependent PDEs using Spatially and Memory Aware Deep Learning
提出了一种基于现代学习的参数化不定常偏微分方程降阶模型方法。ROM是适合于多查询问题，是非侵入性的。它分为两个不同的阶段：非线性降维阶段，基于卷积自编码器处理空间分布的自由度，以及基于记忆感知神经网络（NN）的参数化时间步进阶段，特别是因果卷积和长短期记忆NN。策略，以确保泛化和稳定性进行了讨论。热方程，对流方程，和不可压缩的Navier-斯托克斯方程的方法进行了测试，以显示ROM可以处理的各种问题。
2020-11-23 cs.NA math.NA
A Heterogeneous Stochastic FEM Framework for Elliptic PDEs
Computing and Mathematical Sciences, CalTech（计算与数理科学，加州理工学院）
本文提出了一种新的随机稀疏性概念，用于随机椭圆算子，以捕捉其逆算子在随机方向上的紧致性，从而构建了异质随机有限元方法（HSFEM）框架，通过异质耦合的空间基与局部随机基来利用解空间的局部随机结构。
2014-09-12 cs.NA math.NA
Newton's method in adaptive iteratively linearized FEM
TU Wien（维也纳工业大学）
本文提出了一种自适应迭代线性化有限元方法，通过自适应阻尼参数实现非线性PDEs的高效求解，并首次在能量最小化问题之外实现了最优收敛率的理论分析。
2025-12-22 cs.NA math.NA
Automated Runge-Kutta-Nyström time stepping for finite element methods in Irksome
本文介绍 Irksome 库新增的 Runge-Kutta-Nyström 自动化时间步进功能，可直接离散 PDE 的二阶时间导数，避免引入辅助变量，从而减小代数系统规模并提升效率，数值实验表明其在波动方程和孔隙弹性问题中具有竞争力。
2025-08-27 cs.NA math.NA
Hybrid FEM-NN models: Combining artificial neural networks with the finite element method
Simula Research Laboratory（Simula研究实验室）
我们提出了一种方法，结合神经网络的物理原理约束的形式偏微分方程（PDE）。该方法允许训练神经网络，同时将PDE作为优化中的强约束，以使它们成为损失函数的一部分。通过有限元法（FEM）在空间中离散所得到的模型。该方法适用于静态和瞬态以及线性/非线性偏微分方程。我们描述的方法作为现有的有限元框架FEniCS及其算法微分工具dolfin伴随的扩展实施。通过一系列的例子，我们证明了该方法的能力，以恢复系数和丢失的PDE运营商从观察。此外，所提出的方法进行比较与替代方法，即物理通知神经网络和标准的PDE约束优化。最后，我们使用深度神经网络在复杂的心脏细胞模型问题上演示了该方法。
2021-09-03 cs.LG cs.NA math.NA
Optimal complexity of goal-oriented adaptive FEM for nonsymmetric linear elliptic PDEs
本文针对非对称线性椭圆型PDE提出GOAISFEM算法，通过嵌套收缩对称化与代数求解实现完全线性收敛与最优复杂度。
2024-07-08 cs.NA math.NA
Analysis of Flux Corrected Transport Schemes for Evolutionary Convection-Diffusion-Reaction Equations
本文分析了应用于含时对流扩散反应问题的线性和非线性通量修正输运（FEM-FCT）格式与后向Euler时间推进格式的结合。给出了线性和非线性FEM-FCT格式的稳定性和误差估计。数值结果证实了理论预测。
2021-03-16 cs.NA math.NA
Matrix-oriented FEM formulation for stationary and time-dependent PDEs on x-normal domains
本文提出面向矩阵的有限元方法（MO-FEM），将离散问题转化为Sylvester方程，并用MO-PCG高效求解，在法向域上相比经典向量方法节省计算时间和内存，并成功应用于电池建模中Turing图案的高分辨率模拟。
2021-09-02 cs.NA math.NA
Towards Efficient Time Stepping for Numerical Shape Correspondence
Brandenburg Technical University（勃兰登堡工业大学）
本文研究形状对应问题，提出统一模型降阶框架，评估多种时间步进格式，发现特定$l_0$稳定格式有利，并在TOSCA数据集上验证。
2023-12-21 cs.CV cs.NA math.NA
Goal-oriented adaptivity for multilevel stochastic Galerkin FEM with nonlinear goal functionals
本文提出一种目标导向自适应算法，结合多层随机Galerkin有限元方法，用于高效逼近参数化椭圆PDEs解的非线性目标泛函，并证明误差估计收敛到零。
2025-10-07 cs.NA math.NA
Linearly Stabilized Schemes for the Time Integration of Stiff Nonlinear PDEs
在许多应用中，要数值求解的控制偏微分方程包含刚性分量。当该分量是线性的时，通常优选不受稳定性限制的隐式时间步进方法。另一方面，如果刚性部件是非线性的，则使用隐式方法的每一步的复杂性和成本增加，并且显式方法由于其简单性和易于实现而可能是优选的。在这篇文章中，我们分析了新的和现有的线性稳定计划的目的，在时间上集成刚性非线性偏微分方程。这些计划计算的非线性项显式，在解决一个线性系的成本是固定的矩阵，始终是无条件稳定的，从而结合显式和隐式方法的优点。给出了应用程序来说明这些方法的使用。
2021-04-26 cs.NA math.NA
MDFEM: Multivariate decomposition finite element method for elliptic PDEs with lognormal diffusion coefficients using higher-order QMC and FEM
本文介绍了扩散系数为对数正态分布的椭圆型偏微分方程的多元分解有限元法，其中$Z$是由无穷级数展开式$Z(\boldsymbol{y}) = \sum_{j\ge1} y_j\,ϕ_j$定义的高斯随机场，展开式中含有$y_j\sim\mathcal{N}(0,1)$和给定的函数序列$\{ϕ_j\}_{j\ge1}$ .我们使用MDFEM来近似PDE的解的线性泛函的期望值，PDE是参数空间上的无限维积分。该算法使用多元分解方法（MDM）计算的无限维积分分解成有限维积分，我们解决使用准蒙特卡罗（QMC）方法，我们使用有限元法（FEM）来解决不同的情况下的PDE。我们开发了高阶拟蒙特卡罗规则的积分在有限维欧几里德空间相对于高斯分布通过使用截断策略。通过线性变换的交错多项式格规则从单位立方体的欧氏空间的多变量盒，我们实现高阶收敛速度属于一类锚定高斯Sobolev空间的功能，考虑到截断误差。在适当的条件下，MDFEM在误差与成本的关系方面实现了高阶收敛率，即，为了实现$O(ε)$的精确度，计算成本是$O(ε^{-1/λ-d'/λ}) = O(ε^{-(p^*+d'/τ)/(1-p^*)})$，其中$ε^{-1/λ}$和$ε^{-d'/λ}$分别是准蒙特卡罗体积和有限元近似的成本，对于某些$δ' \ge 0$和$d$，$d' = d \, (1+δ')$是物理尺寸，而$0 < p^* \le (…
2021-09-27 cs.NA math.NA
On the Spatial and Temporal Order of Convergence of Hyperbolic PDEs
本文给出了双曲型偏微分方程（PDE）的全局截断误差的完整表达式。特别是，我们使用理论分析和符号代数来找到通用全局截断误差系数的精确表达式。我们的分析是有效的任何双曲型偏微分方程，无论是线性或非线性，并采用有限差分，有限体积，或有限元离散空间，并提前在时间上的预测-校正，多步，或推迟校正方法，属于直线法。此外，我们讨论了这种分析的实际意义。如果我们采用一个稳定的数值方案和整体解误差和整体截断误差的精度的顺序同意，我们作出以下渐近观察：（a）在恒定比率的$Δt$到$Δx$的收敛顺序是由空间和时间离散的顺序的最小值，和（b）收敛甚至不能保证下，只有空间或时间的细化。（a）的含义是，投资于阶数高于空间离散化的时间步进方法是不切实际的。除了（b），我们还证明了在某些情况下，误差甚至可以只在空间或时间上随着细化而单调增加，并解释了为什么会发生这种现象。为了验证我们的理论研究结果，我们进行收敛性研究的线性和非线性平流方程，使用有限差分和有限体积空间离散，预测-校正和多步时间步长方法。最后，我们研究了斜率限制器和单调性保持策略对精度阶的影响。
2022-01-08 cs.NA math.NA
Implicit/explicit, BEM/FEM coupled scheme for acoustic waves with the wave equation in the second order formulation
研究了无界均匀区域中有界不均匀体对声波的散射问题。本文描述了一个对称耦合的时域边界积分方程和二阶波动方程的系统。一个完全离散系统包括空间离散的边界和有限元法（BEM/FEM），在内部的蛙跳时间步进，和卷积求积的边界积分方程。卷积求积基于BDF 2、梯形法则或新引入的截断梯形规则，该截断梯形规则对于近似解的实现和质量都具有一些有利的性质。在CFL条件下，给出了全离散系统的稳定性和收敛性分析.通过二维数值实验验证了理论结果。
2022-03-02 cs.NA math.NA
Unconditional convergence and optimal error estimates of a Galerkin-mixed FEM for incompressible miscible flow in porous media
Nanjing University（南京大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）
针对不可压缩混溶流体在多孔介质中流动的方程，采用线性化半隐式Euler时间离散格式的Galerkin-混合有限元方法，证明了无需时间步长条件的无条件最优L²误差估计。
2013-05-03 cs.NA math.NA
A unified framework for multiscale spectral generalized FEMs and low-rank approximations to multiscale PDEs
本文提出一个统一抽象框架，用于分析和改进多尺度谱广义有限元方法（MS-GFEM），证明其指数收敛并建立多尺度PDE低秩逼近理论，推广了已有结果。
2024-12-17 cs.NA math.NA
Runge-Kutta convolution quadrature and FEM-BEM coupling for the time dependent linear Schrödinger equation
Technische Universität Wien（维也纳工业大学）
本文提出一种数值方案求解时间依赖的线性薛定谔方程，结合Runge-Kutta时间步进方案与空间有限元离散化，并采用卷积求解法与边界元法耦合处理整个空间域，分析了该完全离散方案的稳定性与收敛速度。
2017-03-06 cs.NA math.NA
ALE-type FEM formulation for PDEs on time-dependent domains with vanishing discrete SCL
National Taiwan University（国立台湾大学）；National Health Research Institutes, Institute of Biomedical Engineering and Nanomedicine（国家卫生研究院，生物医学工程与纳米医学研究所）
本文提出一种基于任意拉格朗日-欧拉框架的有限元格式，通过消失的离散空间守恒律（SCL）来保持高阶精度和时间积分的稳定性，通过时间映射避免移动网格问题，进行数值验证并对比基准问题。
2018-09-18 cs.NA math.NA
A Machine Learning and Finite Element Framework for Inverse Elliptic PDEs via Dirichlet-to-Neumann Mapping
School of Mathematics, Kyungpook National University（庆北国立大学数学学院）；Department of Mathematics, Florida State University（佛罗里达州立大学数学系）；Department of Mathematics, Kyungpook National University（庆北国立大学数学系）
针对需从间接测量推断未知物理性质的椭圆偏微分方程逆问题，提出一种结合Dirichlet-to-Neumann映射、自监督机器学习与有限元方法的框架，仅用边界数据即可重建域内物理性质，能处理部分边界观测和不连续性，为多领域逆问题提供鲁棒准确方案。
2025-11-11 cs.NA math.NA
Silent error detection in numerical time-stepping schemes
Stanford University（斯坦福大学）；HP Labs（惠普实验室）
本文提出在应用层面检测静默错误的新方法，通过频繁比较计算值与廉价检查计算结果的差异，利用数值分析为常微分方程和偏微分方程提供检查计算方法，通过热方程和纳维-斯托克斯方程验证了该方法的有效性。
2013-12-10 cs.MS cs.NA math.NA
Linearized Continuous Galerkin hp-FEM Applied to Nonlinear Initial Value Problems
本文考虑任意阶连续Galerkin时间步进方法作为非线性初值问题的一种可能的离散格式。此外，我们发展和推广了一个众所周知的现有结果的离散解决方案，通过应用一般的线性化程序的非线性离散计划，包括简化的牛顿解的过程。特别是，所提出的存在性结果是通过选择足够小的时间步长局部隐含。此外，所建立的存在性结果与局部逼近阶无关。此外，我们将看到，所提出的解决方案能够显着减少迭代次数。最后，基于现有的和众所周知的离散解的先验误差估计，我们提出了一些数值实验，突出本说明的建议结果。
2020-09-05 cs.NA math.NA
Mean-square stability and error analysis of implicit time-stepping schemes for linear parabolic SPDEs with multiplicative Wiener noise in the first derivative
University of Oxford（牛津大学）
针对一阶导数含乘性Wiener噪声的线性抛物型SPDEs，将Milstein有限差分格式推广到半隐式和全隐式时间步进，结合PDE的傅里叶分析与SDE的线性稳定性分析，证明Crank-Nicolson格式结合部分隐式负权重双Itô积分在均方意义下无条件稳定且收敛到预期阶数。
2012-08-02 cs.NA math.NA
