Construction of high-order conservative basis-update and Galerkin dynamical low-rank integrators
针对动理学问题数值模拟成本高的问题，本研究对常用的基更新与Galerkin动力低秩积分器进行扩展，在几乎不增加计算成本的前提下实现局部守恒，仅需少量修改现有实现，经辐射输运与等离子体物理模拟验证了其特性。
2025-06-15 cs.NA math.NA
Adaptive Exponential Integrators for MCTDHF
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）
本文比较了用于多配置时间依赖Hartree-Fock方法中运动方程数值时间传播的指数型积分器，发现指数Lawson多步方法在稳定性、精度和计算成本方面最优，且非局部势项的评估是计算最耗时的部分，预测步骤可无额外成本估计时间步长误差，从而可靠控制计算精度。
2019-05-14 cs.NA math.NA
Exponential Integrators for Resistive Magnetohydrodynamics: Matrix-free Leja Interpolation and Efficient Adaptive Time Stepping
提出了一种新的电阻磁流体动力学（MHD）方程的时间积分算法。该方法是基于指数Rosenbrock计划与Leja插值相结合。它自然地保留了高斯定律的磁性，是不受限制的稳定性观察明确的方法。在设计指数积分器和有效计算所需矩阵函数方面取得了显著进展。然而，采用它们在现实的物理场景的MHD模拟需要一个矩阵的自由实现。我们展示了如何一个有效的算法的基础上Leja插值，只使用右手边的微分方程（即矩阵自由），可以构建。我们进一步证明，它优于Krylov为基础的指数积分，以及显式和隐式方法使用测试模型的磁重联和开尔文-亥姆霍兹不稳定性。此外，自适应步长策略，提供了优异的和可预测的性能，特别是在宽松的中间容忍制度，往往是在实际应用中的重要性，被采用。
2022-03-02 astro-ph.IM cs.NA math.NA
NySALT: Nyström-type inference-based schemes adaptive to large time-stepping
大时间步长对于确定性和随机哈密顿动力系统的有效长时间模拟是非常重要的。传统的结构保持积分器，虽然是成功的通用系统，由于稳定性和精度的限制，具有有限的公差的时间步长。我们建议使用数据来创新经典的积分器，使它们能够适应大的时间步长，并为每个特定的系统量身定制。特别是，我们引入了NySALT、Nyström类型的基于推理的方案，适用于大时间步进。NySALT通过最小化一步预测误差，为每个时间步从数据中学习到最优参数。因此，它是为每个时间步长和特定系统定制的，以实现最佳性能并以自适应方式容忍大的时间步进。我们证明和数值验证的收敛性的估计数据大小的增加。此外，对确定性和随机Fermi-Pasta-Ulam（FPU）模型的分析和数值试验表明，NySALT扩大了线性稳定性的最大容许步长，并在保持相似精度水平的情况下，使Störmer-Verlet和BAOAB的时间步长增加了四倍。
2022-07-13 cs.NA math.NA
BDF2-type integrator for Landau-Lifshitz-Gilbert equation in micromagnetics: IMEX time-stepping and full effective field
TU Wien（维也纳工业大学）
该文将BDF2型有限元积分器推广至含低阶有效场和电流诱导非保守力矩的LLG方程，采用IMEX时间分裂保持线性求解，证明无条件弱收敛并去除CFL限制，数值实验验证理论。
2026-10-08 cs.NA math.NA
Conservative Integrators for Vortex Blob Methods
本文用离散乘子法导出了一类涡团模型的守恒对称二阶一步积分方程，该方程近似于平面上的不可压欧拉方程。证明了该算法的保守性和二阶收敛性。使用有理函数近似来近似哈密顿量中出现的指数积分。数值实验验证了这些积分器的保守性，其二阶精度，以及由此产生的空间和时间精度的涡滴方法。此外，推导出的隐式保守积分器被证明是更好地保持保守量比标准的高阶显式积分器可比的计算时间。
2021-11-01 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Conservative Integrators for Piecewise Smooth Systems with Transversal Dynamics
我们引入了具有横向动力学和分段光滑守恒量的分段光滑系统的长期积分的守恒积分器。本质上，对于分段定义的守恒量的分段动力系统，使其轨迹横向交叉到其界面，我们结合Mannshardt的过渡方案和离散乘子方法，以获得保守的积分器能够保持守恒量的机器精度和精度顺序。证明了余维为1个守恒量的情形下，守恒积分的精度阶在穿过界面后保持不变。数值例子说明了整个接口的精度顺序和守恒量的保存。
2022-02-01 cs.NA math.DS math.NA
On Lyapunov Stability of Positive and Conservative Time Integrators and Application to Second Order Modified Patankar--Runge--Kutta Schemes
近20年来，修正的Patankar-Runge-Kutta（MPRK）方法被证明是一种高效、稳健的数值格式，它能保持生产-破坏系统的正性和保守性，与所选择的时间步长无关。由于这些有利的特性，它们被用于各种各样的应用。然而，到目前为止，MPRK格式的稳定性的分析研究仍然缺乏，因为通常的方法通过Dahlquist的方程是不可行的。因此，我们考虑一个积极的和保守的二维测试问题，并提供报表可用于一般的积极和保守的时间积分方案的稳定性分析的基础上，中心流形理论。我们用这种方法研究了二阶MPRK 22（$α$）和MPRK 22 ncs（$α$）格式的李雅普诺夫稳定性。证明了MPRK 22（$α$）格式是无条件稳定的，并给出了MPRK 22 ncs（$α$）格式的稳定区域.最后给出了数值实验，验证了理论结果.
2022-02-02 cs.NA math.NA
A mass conservative Eulerian-Lagrangian Runge-Kutta discontinuous Galerkin method for wave equations with large time stepping
提出了一种求解波动方程的欧拉-拉格朗日（EL）龙格-库塔（RK）间断Galerkin（DG）方法。该方法是基于运输问题的ELDG方法[J. COMPUT.物理学446：110632，2021.]，其沿着对DG框架中的特征的近似来跟踪解决方案，从而允许具有稳定性的超大时间步长。波动方程可以写成一阶双曲方程组。考虑到每个特征族，ELDG的直接应用将是变换为特征变量，在相关特征相关的时空区域上演化它们，并将它们变换回原始变量。然而，在一般情况下，质量守恒不能得到保证。在本文中，我们制定了一个质量守恒的半离散ELDG方法分解成两个部分，每个变量与一个不同的特征族。结果，四个不同的量以EL方式进化并重新组合以更新解决方案。全离散格式采用线法RK方法，中间RK解在背景网格上更新。一维和二维波动方程的数值结果表明，所提出的ELDG方法的性能。这些特性包括高阶时空精度、超大时间步长下的稳定性和质量守恒性。
2022-07-27 cs.NA math.NA
Walking into the complex plane to "order" better time integrators
时间积分的大多数数值方法使用实时步骤。复数时间步长提供了额外的自由度，因为我们可以在实方向和虚方向上选择步长的大小。通过沿复平面中的特定路径进行时间步进，积分器可以获得更高阶的精度或实现扩展的稳定区域。我们将展示如何推导出这些路径的显式和隐式方法，讨论计算成本和存储的好处，并证明了明显的优势，如薛定谔方程的复值系统。我们还探讨了如何复杂的时间步进也使我们能够打破龙格库塔阶障碍，使5阶精度只使用五个功能评估实值微分方程。
2022-12-04 cs.NA math.CV math.NA
Adaptive time-stepping and maximum-principle preserving Lagrangian schemes for gradient flows
本文针对梯度流提出自适应时间步长方法，对保守与非保守动力学分别处理，提出修正公式保证行列式正性，证明自适应BDF2格式在特定约束下的稳定性与保最大值原理，通过数值模拟验证其效率与准确性。
2025-04-18 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin discretization of conservative dynamical low-rank approximation schemes for the Vlasov-Poisson equation
本文提出一种结合不连续伽辽金离散化的守恒动态低秩逼近格式求解 Vlasov-Poisson 方程，确保离散质量与动量守恒，并通过朗道阻尼模拟验证，同时展示了秩自适应与网格自适应的可行性。
2025-08-14 cs.NA math.NA
Parallel time-stepping for fluid-structure interactions
提出了一种求解流固耦合问题的并行时间步方法。在一个整体框架下研究了不可压Navier-斯托克斯方程与超弹性固体的相互作用。空间离散化是基于所有变量的等阶有限元和Crank-Nicolson方案的变体被用作二阶时间积分器。为了加快求解速度，我们分析了一种时间上的并行方法。对于不同的数值测试情况下，在2D和3D中，我们提出的效率所得到的解决方案的方法。我们还讨论了一些特殊的挑战和限制，连接到特殊结构的流固耦合问题。
2019-07-02 cs.NA math.NA
Strong Convergence of a GBM Based Tamed Integrator for SDEs and an Adaptive Implementation
我们引入了一个驯服的指数时间积分器，利用线性项的漂移和扩散的随机微分方程（SDES）与单侧全局Lipschitz漂移项。利用几何布朗运动（GBM）的有界性，证明了该方案的强收敛性，并建立了线性扩散项的1阶收敛性。在我们的实现中，我们说明了现有的固定步长的方法相比，该计划的效率，并利用它在自适应时间步进计划。此外，我们将该方法扩展到非线性扩散项，并表明它仍然具有竞争力。这些GBM为基础的方法的效率，说明考虑一些著名的可重构模型。
2021-06-21 cs.NA math.NA
Rush-Larsen time-stepping methods of high order for stiff problems in cardiac electrophysiology
为了解决反应扩散方程的稳定性和精度问题，发展高阶稳定的时间步方法是必要的。在心脏电生理学的背景下尤其如此，其中反应扩散方程与刚性ODE系统耦合。在过去的15年中，许多研究都是以这种方式进行的，涉及隐式-显式方法和指数积分器。2009年，Perego和Veneziani提出了一种创新的二阶时间步进方法。本文将这种方法推广到3阶和4阶，并引入k阶Rush-Larsen格式（简称为RL_k）. RL k格式是显式多步指数积分器.它们显示了一个简单的一般公式和一个容易的执行。证明了RL k格式在扰动下是稳定的，并具有k阶收敛性.进行了Dahlquist稳定性分析。他们有一个非常大的稳定域提供的稳定器与方法捕捉足够好的刚性模式的问题。研究了RLk方法在心脏电生理学中的应用.证明了RL k格式在扰动下是稳定的，在k阶上是收敛的.进行了Dahlquist稳定性分析。他们有一个非常大的稳定域提供的稳定器与方法捕捉足够好的刚性模式的问题。研究了RL k方法在心脏电生理学中应用于膜方程的数值计算。
2019-06-17 cs.NA math.NA
Long time simulation of a highly oscillatory Vlasov equation with an exponential integrator
Université Bretagne-Sud（南布列塔尼大学）；Inria Nancy-Grand Est（南斯特拉斯堡国家信息与自动化研究所）；IRMA (UMR CNRS 7501)（数学与计算机科学研究室）；Université de Strasbourg（斯特拉斯堡大学）
本文提出一种指数积分方法，用于高振荡维拉夫方程的长时间模拟，通过大时间步长提高计算效率。
2014-04-04 cs.NA math.NA physics.plasm-ph
Multiple-Relaxation Runge Kutta Methods for Conservative Dynamical Systems
我们推广了松弛时间步方法的思想，通过沿多个时间步算法定义的方向投影，来保持动力系统的多个非线性守恒量。类似于Calvo et.例如，我们使用嵌入式龙格-库塔法来以计算有效的方式促进这一点。在一定的限制条件下，证明了修正RK方法的精度和有效松弛因子的存在性。在其他的例子中，我们应用这种技术的隐式显式龙格库塔时间积分的Korteweg-de Vries方程和研究的可行性和多孤子解决方案保存多个不变量的效果。
2023-02-10 cs.NA math.NA
Efficient Magnus-type integrators for solar energy conversion in Hubbard models
固体中强相互作用的电子一般由Hubbard型模型描述，太阳光的影响可以通过额外的时间依赖性来建模。这就产生了一个有限维的薛定谔型常微分方程（ODE）系统，它可以用Magnus型指数时间积分器数值求解。可以通过将这些与算子分裂相结合来提高效率。我们将讨论几种不同的方法，采用指数为基础的方法结合自适应Lanczos方法评估矩阵指数，并比较其准确性和效率。对于每个积分器，我们使用基于缺陷的局部误差估计，使自适应时间步进。这有助于可靠地控制近似误差并减少计算量
2021-04-05 cs.NA math.NA
A Herglotz-based integrator for nonholonomic mechanical systems
我们提出了一个非完整力学系统的时间积分的数值格式，包括保守和非保守的。该格式通过同时离散约束方程和Herglotz变分原理得到。我们使用数值模拟来验证该方法，并将其与文献中标准方法的结果进行对比。
2022-10-13 cs.NA math.NA
Gautschi-type and implicit-explicit integrators for constrained wave equations
Otto von Guericke University Magdeburg（马格德堡奥托·冯·格里克大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；University of Augsburg（奥格斯堡大学）
本文针对半显式二阶偏微分-代数方程，结合波动积分器与微分-代数方程技术，构造了隐式-显式Crank-Nicolson格式和Gautschi型指数积分器，证明其具有二阶精度，并通过数值实验验证。
2025-11-10 cs.NA math.NA
Exponential time integrators for unsteady advection-diffusion problems on refined meshes
在加细网格上对对流占优的对流-扩散问题进行时间积分是一项具有挑战性的任务，因为局部加细会导致严格的时间步长限制，而标准隐式时间步长通常很难适用于处理对流项。我们表明，指数时间积分器可以是一个有效的，但概念上简单，在这种情况下的选择。我们的比较包括三个指数积分器和一个传统的计划，两阶段Rosenbrock方法ROS 2，这一直是一个流行的替代分裂方法解决对流-扩散问题。
2020-10-09 cs.CE cs.NA math.NA
An exponential integrator for a highly oscillatory Vlasov equation
Université Européenne de Bretagne, LMBA (UMR CNRS 6205), Université de Bretagne-Sud（欧洲布列塔尼大学，LMBA（CNRS联合研究单位6205），南布列塔尼大学）；Inria Nancy-Grand Est, CALVI Project & IRMA (UMR CNRS 7501), Université de Strasbourg（法国国家信息与自动化研究所南斯特拉斯堡分部，CALVI项目，IRMA（CNRS联合研究单位7501），斯特拉斯堡大学）；Max Planck Institute for Plasma Physics, EURATOM Association（马克斯·普朗克等离子体物理研究所，EURATOM协会）
本文提出了一种粒子-网格方法，用于求解依赖于小参数的1D Vlasov-Poisson系统，该方法在参数趋于零时具有数值均匀准确性，通过指数时间差分方法实现大时间步长。
2013-06-13 cs.NA math.NA
Maximum bound preservation of exponential integrators for Allen-Cahn equations
针对Allen-Cahn方程，本文开发并分析了基于指数积分器迭代框架结合特定数值求积规则的任意高阶最大边界保持时间步长格式，证明其无条件保界且具任意高阶时间精度，通过误差分析与数值实验验证了有效性。
2025-04-14 cs.NA math.NA
Arbitrary-Lagrangian-Eulerian ADER-WENO Finite Volume Schemes with Time-Accurate Local Time Stepping for Hyperbolic Conservation Laws
University of Trento（特伦托大学）；Department of Civil, Environmental and Mechanical Engineering（土木、环境与机械工程系）；Laboratory of Applied Mathematics（应用数学实验室）
本文提出一种高阶准确的ALE Godunov型有限体积方法，结合时间准确的局部时间步进，实现局部和全局守恒，通过空间-时间一阶预测-校正方法，结合高阶WENO重构、空间-时间伽辽金预测步和高阶有限体积方案，验证了在经典冲击管问题中的性能。
2014-02-27 cs.NA math.NA
Fast integrators for dynamical systems with several temporal scales
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）；Department of Mathematics and ICES, University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校数学系及计算工程与科学研究所）
本文提出了一种针对具有多个时间尺度的动力系统快速积分器，通过扩展变量步长异构多尺度方法，实现计算复杂度与时间尺度线性增长，提升多尺度问题的求解效率。
2015-10-20 cs.NA math.NA
A strongly conservative hybridizable discontinuous Galerkin method for the coupled time-dependent Navier-Stokes and Darcy problem
对于耦合的不定常Navier-Stokes和Darcy问题，提出了一种强守恒和压力鲁棒的杂交间断Galerkin方法.我们证明了一个解决方案的存在性和唯一性，并提出了一个最佳的先验误差分析的全离散问题时，使用向后欧拉时间步进。通过数值算例验证了理论结果。
2023-03-17 cs.NA math.NA
Fourth-order time-stepping for stiff PDEs on the sphere
Oxford University Mathematical Institute（牛津大学数学研究所）
本文提出用于球面上刚性PDEs的算法，结合系数空间中的双傅里叶球方法变体和隐式显式时间步长方案，实现空间谱精度和时间四阶精度，避免坐标奇点并保持极点光滑性。
2017-12-23 cs.NA math.NA
Robust Implicit Adaptive Low Rank Time-Stepping Methods for Matrix Differential Equations
本文针对矩阵微分方程提出鲁棒隐式自适应低秩时间步进方法，通过合并显式截断空间与BUG空间并采用自适应策略，解决DLRA的切向投影误差问题，并在各向异性扩散等测试中验证了鲁棒收敛性。
2025-01-23 cs.NA math.NA
Scalar auxiliary variable approach for conservative/dissipative partial differential equations with unbounded energy
在本文中，我们对所谓的SAV方法进行了一项新的研究，该方法是一种为具有变分结构的偏微分方程构造线性隐式几何数值积分器的框架。SAV方法最初是针对具有下界非线性势的梯度流（如Allen-Cahn和Cahn-Hilliard方程）提出的，这种能量假设是必不可少的。在本文中，我们提出了一种新的方法来解决梯度流与无界能量，如KdV方程的能量泛函的分解。此外，我们将表明，SAV方法的方程，这是一个方程组与标量辅助变量，被表示为另一个梯度系统，继承了原系统的变分结构。该表达式允许我们通过某类龙格-库塔法构造新的高阶积分器。我们将在我们的框架中提出保守系统的二阶和四阶格式，并给出几个数值例子。
2021-05-10 cs.NA math.NA
Symmetrized local error estimators for time-reversible one-step methods in nonlinear evolution equations
Technische Universität Wien（维也纳工业大学）；Universität Wien（维也纳大学）
本文扩展了之前针对线性时间可逆积分器的可计算缺陷基局部误差估计器到非线性和非自治演化方程，证明了线性情况下的渐进行为仍然有效，改进的估计器在步长趋于零时具有更高的渐近阶数，且计算成本通常略高，有时甚至更低。通过示例和数值结果展示了Schrödinger型演化方程的求解，并展示了自适应时间步长方案可以基于这些局部误差估计器成功实现。
2019-01-02 cs.NA math.NA
Conservative Integrators for a Toy Model of Weak Turbulence
Drexel University（德雷塞尔大学）
本文研究弱湍流现象，通过保守积分器保留模型不变量，验证了其在长期时间尺度上的能量转移特性。
2017-07-18 cs.NA math.CA math.NA
Geometric integrator for Langevin systems with quaternion-based rotational degrees of freedom and hydrodynamic interactions
University of Leicester（莱斯特大学）；Imperial College London（帝国理工学院）；University of Nottingham（诺丁汉大学）
本文提出了一种新的 Langevin 型方程，用于描述刚体在保守和非保守力以及流体耦合作用下的旋转和翻译运动，并构造了保持连续动力学主要几何特征的弱二阶几何积分器。
2017-12-12 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Generalized SAV-exponential integrator schemes for Allen-Cahn type gradient flows
能量耗散律和最大边界原理是著名的Allen-Cahn方程的两个重要物理特征。虽然一些常用的一阶时间推进格式已被证明能无条件地保持方程的能量耗散律和MBP，但现有的二阶甚至更高阶格式仍需要对时间步长进行限制，以便同时保持能量耗散律和MBP。本文针对一类Allen-Cahn型梯度流问题，发展并分析了一阶和二阶线性数值格式。我们的计划结合了广义标量辅助变量（SAV）的方法和指数时间积分器与稳定项，而标准的中心差分模板用于离散的空间微分算子。我们不仅证明了它们在离散情况下无条件地保持能量耗散律和MBP，而且在固定的空间网格下得到了它们的最优时间误差估计.数值实验也证明了所提出的方案的性质和性能。
2022-03-09 cs.NA math.NA
A Conservative Finite Element Method for the Incompressible Euler Equations with Variable Density
我们构造了一个有限元离散和时间步长格式的不可压缩欧拉方程的变密度，精确地保持总质量，总平方密度，总能量，逐点不可压缩。该方法采用Raviart-Thomas或Brezzi-Douglas-Marini有限元来近似速度，采用间断多项式来近似密度和压力。为了实现上述守恒量的精确保存，我们利用很少使用的弱制定的动量方程和二阶时间步进计划，这是类似的，但不相同，中点规则。我们还描述和证明了稳定的一个上风版本的方法。我们提出的数值例子，证明了该方法的收敛顺序。
2019-10-13 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Automated Galerkin time stepping in Irksome
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Mathematical Institute, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（布拉格查理大学数理学院数学研究所）；Department of Mathematics, Baylor University（贝勒大学数学系）；Department of Mathematics and Statistics, Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学数学与统计系）
本文在Irksome中实现了间断Galerkin和连续Petrov-Galerkin时间步进的自动化，支持辅助变量、灵活时间求积和整体代数求解器，便于用户切换Runge-Kutta和Galerkin时间格式。
2026-06-26 cs.NA math.NA
Robust and conservative dynamical low-rank methods for the Vlasov equation via a novel macro-micro decomposition
针对动理学方程动态低秩近似的守恒性缺陷，提出宏-微分解方法拆分分布函数，在保留计算效率的同时实现电荷、能量等物理量的精确守恒，且兼容多种DLR积分器。
2024-04-10 cs.NA math.NA physics.comp-ph
High Order Semi-Lagrangian Discontinuous Galerkin Method Coupled with Runge-Kutta Exponential Integrators for Nonlinear Vlasov Dynamics
本文提出了一种求解非线性Vlasov动力学问题的半拉格朗日间断Galerkin方法-龙格-库塔指数积分器（SLDG-RKEI）。Celledoni等人（FGCS，2003）提出了无积分器的Runge-Kutta（RK）指数积分器（EI）。在非线性输运设置中，RKEI可以用于将非线性输运的演化分解为线性化动力学序列的组成。由此产生的线性化输运方程可以通过Cai等人（JSC，2017）提出的半拉格朗日（SL）间断Galerkin（DG）方法求解。该方法可以通过SLDG框架实现高阶空间精度，通过RK EI实现高阶时间精度。由于SL的性质，所提出的SLDG-RKEI方法不受CFL条件的约束，因此它们有可能使用比欧拉方法更大的时间步长。继承SLDG方法的优点，建议的SLDG-RKEI格式是质量守恒，正性保持，没有维度分裂误差，在解决复杂的解决方案结构表现良好，并可以与自适应的时间步长的大小演变。通过对非线性Vlasov-Poisson系统和指导中心Vlasov模型的经典测试问题，验证了SLDG-RKEI算法的性能.虽然这不是我们的重点，本文探讨的SLDG-RKEI格式的非线性双曲守恒律发展冲击，我们显示了一些初步的结果，格式的性能的Burgers方程。
2020-11-24 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Lax-Wendroff Flux Reconstruction for advection-diffusion equations with error-based time stepping
本文扩展了高阶单步Lax-Wendroff通量重构（LWFR）方法，结合BR1格式降阶与嵌入式基于误差的时间步进，在曲线网格上求解二阶时间依赖偏微分方程，并通过标准算例验证了其最优阶收敛性与有效性。
2024-02-20 cs.NA math.NA
A Structure-Preserving GSAV Exponential Integrator for Smectic-A Liquid Crystals
Beijing Normal University（北京师范大学）
本文提出一种高效且无条件能量稳定的数值方法，结合广义标量辅助变量指数积分方法与放松校正策略，用于求解耦合的Smectic-A相修正Landau-de Gennes模型，实现无条件能量稳定性和最优误差估计。
2026-08-13 cs.NA math.NA
A parallel-in-time approach for wave-type PDEs
利用线法求解波动型偏微分方程的数值解要求常微分方程求解器的稳定域包括围绕原点的大范围虚轴。我们在这里表明，外推的Gragg-Bulirsch-Stoer（GBS）型的求解器可以满足这一要求。外推方法利用几个独立的时间步进序列，使它们非常适合并行执行。传统的外推方案使用所有的时间步进序列，以最大限度地提高方法的精度。相反，本方法在采用附加的时间步进序列来形成所得到的稳定域的同时保持期望的精度阶数。我们优化外推系数以最大化稳定域的虚轴覆盖。这产生了一个家庭的显式计划，接近波传播问题的最大时间步长。与传统的常微分方程积分器相比，我们在多核计算机上实现了高阶和快速的求解。
2019-07-26 cs.NA math.NA
New efficient substepping methods for exponential timestepping
Heriot-Watt University（赫瑞-瓦特大学）
本文提出新的高效子步方法，通过分解时间步并重用Krylov子空间降低计算成本，提出一种二阶积分器提升整体精度，适用于大规模系统。
2016-08-06 cs.NA math.NA
A Structure-Preserving Rational Integrator for the Replicator Dynamics on the Probability Simplex
本文提出一种专为复制器动力学设计的二次收敛保结构有理积分器，通过两阶段有理近似与归一化步骤确保状态限制在概率单纯形并保持非负性、不变集和平衡点，理论分析与数值实验均验证了其二阶精度及优于传统求解器的性能。
2025-07-30 cs.NA math.DS math.NA
Numerical stability revisited: A family of benchmark problems for the analysis of explicit stochastic differential equation integrators
University of Warwick（华威大学）；University of North Carolina Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校）
本文通过一个新的通用随机微分方程基准问题重新审视四种经典的显式积分方案的数值稳定性，发现低阶方案在某些时间步长范围内可能优于高阶方案，且结果对应用背景和参数敏感。
2026-05-19 cs.NA math.NA
EXPODE -- Advanced Exponential Time Integration Toolbox for MATLAB
Heinrich-Heine Universität Düsseldorf（杜塞尔多夫海因里希·海涅大学）
EXPODE工具箱提供五种指数积分器，用于求解（ mildly ）刚性常微分方程或时间依赖偏微分方程，通过矩阵函数与向量的稳定高效近似提升效率，支持直接对角化和Pade近似，并包含Krylov子空间方法。
2014-04-17 cs.NA math.NA
Lie Group integrators for mechanical systems
自20世纪90年代引入以来，李群积分器已成为许多应用领域的首选方法。这些包括多体动力学，形状分析，数据科学，图像配准和生物物理模拟。两类重要的内禀李群积分器是Runge-Kutta-Munthe-Kaas方法和无换位子的李群积分器。我们对这些类的方法做一个简短的介绍。哈密顿框架是有吸引力的许多力学问题，特别是我们将考虑李群积分的余切丛的李群，其中一些不同的配方是可能的问题。在这样的流形上有一个自然的辛结构，通过变分原理可以导出辛李群积分器。我们还考虑了实现李群积分器的实际方面，例如自适应时间步进。该理论说明了两个非平凡的应用力学的方法。一个是N重球摆，其中我们引入了群$SE(3)$对二维球的切丛$TS^2$的伴随作用的限制。最后，我们展示了如何李群积分器可以应用到模拟的有效载荷被两个转子运输的控制路径。这个问题是仿照$\mathbb{R}^6\times \left(SO(3)\times \mathfrak{so}(3)\right)^2\times (TS^2)^2$和把在一个格式，其中李群积分器可以应用。
2021-10-14 cs.NA math.DS math.NA
Higher-order adaptive methods for exit times of Itô diffusions
构造了伊藤随机微分方程（SDE）退出时间强逼近的高阶自适应方法。该方法采用一种强Ito-Taylor格式来模拟非线性路径，并在解接近区域边界时自适应地减小数值积分的步长。这些技术可以很好地相互补充：自适应时间步进通过减少退出域时数值解的过冲幅度来提高退出时间的精度，高阶格式提高了扩散过程状态的近似。我们提出了两个版本的高阶自适应方法。第一种方法采用Milstein格式作为数值积分器，采用两种步长进行自适应时间推进：远离边界时采用$h$，靠近边界时采用$h^2$。第二种方法是第一种方法的推广，使用1.5阶的强Ito-Taylor格式作为数值积分器，并使用三种步长进行自适应时间推进。对于任何$ξ>0$，我们证明了强错误是有界的$\mathcal{O}(h^{1-ξ})$和$\mathcal{O}(h^{3/2-ξ})$的第一和第二种方法，分别为，和预期的计算成本为两种方法是$\mathcal{O}(h^{-1} \log(h^{-1}))$。理论结果支持数值例子，我们讨论了潜在的扩展，提高强收敛速度，甚至进一步。
2022-11-16 cs.NA math.NA
Energy-dissipative spectral renormalization exponential integrator method for gradient flow problems
提出一种谱重整化指数积分器，通过 TDSR 因子、ETD 离散、Picard 迭代和强制项保证能量耗散并提升效率。
2023-10-02 cs.NA math.NA
Energy-preserving Variational Integrators for Forced Lagrangian Systems
Virginia Polytechnic Institute and State University（弗吉尼亚理工大学）
本文提出能量守恒变分积分器用于含外力的时变机械系统，通过扩展拉格朗日力学框架推导连续时间扩展外力欧拉-拉格朗日方程，并利用扩展离散力学框架推导适应性时间步长变分积分器，通过两个数值例子验证其性能。
2018-01-03 cs.NA math.DS math.NA
Performance of the BGSDC integrator for computing fast ion trajectories in nuclear fusion reactors
模拟聚变反应堆中性束注入（NBI）需要计算大量粒子的轨迹。高达一秒的减速时间与纳秒时间步长相结合使得这些模拟在计算上非常昂贵。本文探讨了BGSDC的性能，一种新的数值时间步进方法，用于跟踪NBI产生的离子在DIII-D和JET反应堆。BGSDC是Boris方法的高阶推广，将其与光谱延迟校正和广义最小残差方法GMRES相结合。如果没有碰撞建模，数值漂移可以准确地量化，我们发现，BGSDC可以提供更高质量的粒子分布比标准的鲍里斯积分器在可比的成本或可比的分布在较低的成本。与碰撞模型，量化精度是困难的，但我们表明，BGSDC产生稳定的分布在更大的时间步长比鲍里斯。
2020-12-03 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A unified framework of energy-stable splitting exponential integrators for damped Hamiltonian systems
Sun Yat-sen University（中山大学）；Shandong University（山东大学）；Fudan University（复旦大学）
本文提出了一种统一的分裂指数积分框架，用于高效且稳定地模拟受线性扰动的哈密顿系统。
2026-10-09 cs.NA math.NA
On the stability of time-discrete dynamic multiple network poroelasticity systems arising from second-order implicit time-stepping schemes
经典的Biot理论提供了描述流体饱和介质中弹性波传播的完全动态孔隙弹性模型的基础。多重网络多孔弹性理论（MPET）考虑到弹性基质（固体）可以被一个或多个（$n\ge1$）叠加的相互作用的可能具有不同特性的单流体网络渗透;因此单网络（经典Biot）模型可以被认为是MPET模型的特殊情况。我们分析的时间离散系统的稳定性所产生的二阶隐式时间步进格式应用到变分形式的MPET模型，并证明了一个inf-sup条件与一个常数是独立的所有模型参数。此外，我们证明了一个家庭的强保守空间离散的全离散模型也一致稳定的空间离散参数。这些结果中的规范是参数鲁棒预条件的基础。
2020-04-28 cs.NA math.NA
IAS15: A fast, adaptive, high-order integrator for gravitational dynamics, accurate to machine precision over a billion orbits
University of Toronto（多伦多大学）；Institute for Advanced Study, Princeton（普林斯顿高等研究院）
IAS15是一种15阶积分器，通过高斯-拉达乌积分法实现高精度引力模拟，具有自适应步长控制，能处理近距相遇和高偏心率轨道，其系统误差低于机器精度，优于其他积分器，在速度和精度上表现更优。
2014-10-15 astro-ph.EP astro-ph.IM astro-ph.SR
Numerical Construction of Quasi-Periodic Solutions Beyond Symplectic Integrators
University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；Fudan University（复旦大学）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences（上海数学与交叉学科研究院）
本文提出一种数值方法，通过频率更新和维度扩展的牛顿迭代，克服传统辛积分器的相位滞后问题，实现准周期解的构造。
2026-02-18 cs.NA math.NA
Improving sampling efficacy on high dimensional distributions with thin high density regions using Conservative Hamiltonian Monte Carlo
University of Toronto（多伦多大学）；University of California, Merced（加州大学默塞德分校）
针对高维薄高密度分布采样中辛积分器能量误差大、接受概率低的问题，提出基于$R$可逆保能量积分器的保守哈密顿蒙特卡洛方法，提升了收敛性与鲁棒性，且变体可处理无梯度分布。
2025-02-12 cs.NA math.NA stat.CO
