An introduction to Lie group integrators -- basics, new developments and applications
Department of Mathematical Sciences, NTNU（NTNU数学科学系）
本文简要介绍李群方法，讨论李群积分器的应用，并提出余切丛上的辛积分器族，将离散梯度法推广到李群。
2012-11-27 cs.NA math.NA
Multisymplectic Lie group variational integrator for a geometrically exact beam in R3
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；CNRS / LMD, École Normale Supérieure, Paris（法国国家科学研究中心/大气动力学实验室，巴黎高等师范学院）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
本文提出一种基于协变拉格朗日形式的李群多辛积分器，用于分析三维几何精确梁的能量和动量守恒特性。
2014-03-21 cs.NA math.DS math.NA
Dynamics of the N-fold Pendulum in the framework of Lie Group Integrators
自从它们被引入以来，李群积分器已经成为许多应用领域中的一种选择方法。这些积分的各种配方存在，在这项工作中，我们专注于龙格-库塔-Munthe-Kaas方法。首先，我们简要介绍了这类积分器，考虑到他们的实施，如自适应时间步进的一些实际方面。然后，我们提出了一些数学背景，使我们能够将它们应用到一些家庭的拉格朗日力学系统。最后，我们的应用程序的一个非平凡的机械系统：N倍的三维摆。
2021-09-25 cs.NA math.NA
Lie Group Spectral Variational Integrators
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文提出了一类高阶李群变分积分器，具有辛性、动量保持性和任意高阶构造能力，且在大时间步长下稳定准确，通过刚体示例验证了其有效性。
2014-02-13 cs.NA math.NA
Hamilton-Pontryagin Integrators on Lie Groups: Introduction and Structure-Preserving Properties
Caltech（加州理工学院）
本文从离散Hamilton-Pontryagin变分原理出发，推导出李群上一类新的变分分区龙格-库塔方法，这些积分器保持离散动量映射和辛形式。
2008-01-07 cs.NA math.NA
Lie group foliations: Dynamical systems and integrators
本文研究保持相空间叶状结构的数值积分器，特别针对李群作用轨道给出的叶状结构，给出向量场分解条件，从而应用分裂方法和李群积分器等几何积分技术。
2002-09-27 cs.NA math.DG math.DS
The Lie-Trotter integrator in the dynamics of the symmetric free rigid body
Polytechnic University of Timişoara（蒂米什瓦拉理工大学）
研究对称自由刚体动力学中李-特罗特积分器的性质，证明其为泊松积分器，并提出重要结论。
2017-03-01 cs.NA math-ph math.DG
Lie Group Variational Integrators for the Full Body Problem
针对全刚体模型，采用李群上的变分方法推导运动方程，并构造拉格朗日和哈密顿形式的变分积分器，实现辛结构保持、守恒量保持及构型空间精确演化。
2005-08-20 cs.NA math.NA
Lie group integrators
Norwegian University of Science and Technology（挪威科技大学）
本文综述了李群积分器的多种方面，探讨了其在流形上求解微分方程的理论与应用，分析了各子领域的发展及对称性保持方法的贡献。
2016-01-18 cs.NA math.NA
Constructing equivalence-preserving Dirac variational integrators with forces
University of California at San Diego（加利福尼亚大学圣迭戈分校）
本文研究了构造具有力的Dirac变分积分器，通过保持几何结构提高数值积分的准确性并减少长时间误差，适用于互联机械系统。
2017-03-08 cs.NA math.NA
Stochastic Lie group integrators
Heriot-Watt University（赫瑞瓦特大学）
针对解在光滑有限维流形上演化的非线性随机微分方程，提出基于李群作用的随机Munthe-Kaas方法和Castell-Gaines方法，确保数值解位于流形上，并证明部分Castell-Gaines方法比随机Taylor格式更精确。
2007-10-16 cs.NA math.NA
Variational integrators for stochastic Hamiltonian systems on Lie groups: properties and convergence
本文基于离散随机哈密顿相空间原理构造李群上随机哈密顿系统的变分积分器，证明其保辛、保Lie-Poisson结构等性质，并给出旋转群情形的收敛性证明及刚体数值验证。
2024-12-26 cs.NA math.DS math.NA
Splitting integrators for stochastic Lie--Poisson systems
研究了一类由Stratonovich噪声驱动的随机Poisson系统的随机Poisson积分器。这样的几何积分保持Casimir函数和泊松映射的性质。为此，我们提出了基于分裂策略的显式随机Poisson积分器，并分析了它们的定性和定量性质：Casimir函数的保持性、几乎必然界或矩界的存在性、渐近保持性以及强收敛速度和弱收敛速度.通过对三个随机Lie-Poisson方程组（随机扰动Maxwell-Bloch方程组、刚体方程组和sine-Euler方程组）的数值实验，说明了格式的构造和理论结果.
2021-11-14 cs.NA math.NA math.PR
Convergence of Lie group integrators
NTNU Trondheim（挪威科技大学）；TU Berlin（柏林工业大学）
本文研究了李群积分器在黎曼均质空间上的局部误差概念，并展示了如何从局部界推导出全局误差估计，首次证明了李-巴彻理论导致全局误差估计。
2018-08-16 cs.NA math.DG math.NA
The Lie derivative and Noether's theorem on the aromatic bicomplex for the study of volume-preserving numerical integrators
本研究在芳香双复形框架下引入变分法相关工具，定义芳香森林语境下的李导数、对称性与诺特理论，建立保体积数值方法与对称性的对应，实现保体积方法芳香B-级数的显式描述。
2025-05-21 cs.NA math.NA
Casimir preserving stochastic Lie-Poisson integrators
本文推广 Runge-Kutta Munthe-Kaas 方法，构造保持 Lie-Poisson 结构并精确守恒 Casimir 的随机积分器，并通过随机重陀螺和 sine-Euler 方程验证。
2023-07-18 cs.NA math.NA
High order symplectic partitioned Lie group methods
Department of Mathematical Sciences, NTNU（挪威科技大学数学科学系）
本文提出一种从李群积分器构造T*G上辛积分器的统一方法，并基于Runge-Kutta-Munthe-Kaas和Crouch-Grossman方法详细实现，证明可得到任意高阶的辛积分器。
2014-04-23 cs.NA math.NA
Lie group variational integrators for rigid body problems using quaternions
本文提出基于四元数的李群变分积分器，通过内在表示切向量避免拉格朗日乘数，保持几何结构，提升计算效率。
2017-05-11 cs.NA math.NA
Lie Group Variational Collision Integrators for a Class of Hybrid Systems
本文针对三维凸刚体平面碰撞问题，提出一种基于非光滑拉格朗日力学与变分方法的李群变分碰撞积分器，具有辛性、动量保持及近能量守恒特性，并通过ε-圆角处理解决角点碰撞。
2024-03-16 cs.NA math.NA
Lagrangian Mechanics and Variational Integrators on Two-Spheres
The University of Michigan（密歇根大学）；Purdue University（普渡大学）
针对两球面乘积上的拉格朗日力学系统，通过考虑其几何结构推导出全局的欧拉-拉格朗日方程和变分积分器，避免了局部参数化和显式约束的奇异性与复杂性，并保持动力学的几何特征。
2007-06-30 cs.NA math.NA
Collective Lie-Poisson integrators on $\mathbf{R}^{3}$
Institute of Fundamental Sciences, Massey University（梅西大学基础科学研究所）；Department of Mathematical Sciences, Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学数学科学系）；Department of Mathematics, University of Bergen（卑尔根大学数学系）
本文提出了一种用于R³上一般哈密顿系统的李-泊松积分器，利用辛实现和辛龙格-库塔方案，并得到球面S²上的简单辛积分器。
2013-11-15 cs.NA math-ph math.MP
Integrators on homogeneous spaces: Isotropy choice and connections
University of Bergen（卑尔根大学）；Umeå University（于默奥大学）
本文研究了在同构空间上求解常微分方程的数值积分器，探讨了各向同性选择与连接的构建方法，证明了RKMK等方法的各向同性性质，并给出了标准同构空间中连接的具体公式。
2016-10-15 cs.NA math.DG math.NA
Generalized Galerkin Variational Integrators
本文引入广义Galerkin变分积分器，通过将离散作用量作为基本对象，利用有限维函数空间和数值求积逼近作用积分，统一并推广了高阶Galerkin、异步、辛-能量-动量、李群、多尺度及伪谱变分积分器，并应用于线性薛定谔方程。
2005-08-18 cs.NA math.NA
Backward error analysis and the substitution law for Lie group integrators
Norwegian University of Science and Technology（挪威科技大学）；University of Bergen（卑尔根大学）
本文提出基于李-布切尔级数的数值方法的向后误差分析理论，并推导了相应的代换律。
2012-06-26 cs.NA math.NA
Accurate and Efficient Simulations of Hamiltonian Mechanical Systems with Discontinuous Potentials
本文考虑具有允许跳跃间断的势函数的哈密顿力学系统。重点是准确和有效的数值逼近的解决方案，这将通过反射和折射定律定义。尽管辛积分器在光滑力学系统中取得了成功，但它们在不连续力学系统中的构造是不平凡的，并且数值收敛阶也会受损。提出了几种比较实用的数值方法，包括：一般问题的一阶辛积分器，只有一个线性界面的问题的三阶辛积分器，一般问题的任意高阶可逆积分器（不再辛），和以前的高阶方法的自适应时间步进版本。有趣的是，由于不连续性，辛性是否导致有利的长时间性能不再清楚，因为传统的哈密顿向后误差分析不再适用。因此，在这个阶段，我们推荐的默认方法是最后一种。各种数值证据，收敛的顺序，长时间的性能，动量图守恒，并与计算昂贵的惩罚方法的一致性，提供。一个复杂的问题，即炒蘑菇，也提出和数值研究，其中多个被困和遍历动力学之间的分歧观察。
2021-01-26 cs.CE cs.NA math.DS
Variational and linearly-implicit integrators, with applications
本文证明了Zhang和Skeel提出的辛线性隐式积分器是Newmark方法的变分线性化，通过罚方法实现约束力学系统的粗时间步进并避免非线性系统求解，同时提供了与拉格朗日乘子法的联系，并扩展至李群上的高效模拟。
2014-12-04 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Error analysis of forced discrete mechanical systems
本文的目的是对受外力作用的力学系统的变分积分器进行误差分析。从本质上讲，我们证明了当离散的接触阶$r$的拉格朗日和力，积分器具有相同的接触阶。我们的分析首先进行离散强制力学系统定义在$TQ$，在这里我们研究的存在性流，离散精确系统的结构和性质和接触的流动（变分积分）的接触秩序方面的原始系统。然后利用这些结果对定义在$Q\times Q$上的类似受迫系统进行了相应的分析。
2021-11-12 cs.NA math-ph math.DG
Geometric Integrators for Nonholonomic Systems on Lie Groups
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；Instituto de Ciencias Matemáticas Madrid（马德里数学科学研究所）
本文提出一种基于再traction映射的框架，用于构造保持结构的非完整机械系统数值积分器，通过局部坐标适应约束分布，实现约束保持的数值方案。
2026-04-03 cs.NA math.DG math.NA
Retraction maps: A seed of geometric integrators. Part II: Symmetry and reduction
本文将收缩映射与离散化映射推广至 Lie 群胚的 Lie 代数胚，通过离散构型流形而非运动方程，系统构造保持几何结构、对称性及离散动量映射的数值积分器。
2025-02-19 cs.NA math.NA math.SG
A Parallelizable Energy-Preserving Integrator MB4 and Its Application to Quantum-Mechanical Wavepacket Dynamics
在模拟物理系统时，总能量守恒通常是必不可少的，特别是当不同形式的能量之间的能量转换频繁发生时。最近，基于所谓的连续阶段龙格-库塔法（Y.~宫武和J.~年~公元前屠夫，暹罗J。~编号。~肛门，54（3），1993-2013）。这种方法的一个显著特点是它是可并行的，这使得它的计算时间为一个时间步的二阶方法。本文以二维网格上的非线性薛定谔型方程为例，说明如何将MB 4方法应用于具体的常微分方程。该系统是二维无序有机材料的典型模型，由于非线性和$δ$ -函数，如来自缺陷的潜在的标准方法，如经典的龙格-库塔法是很难解决的。数值试验表明，该方法能够稳定地求解方程，并在整个模拟过程中保持总能量达到16位精度。它还表明，并行化的方法产生高达2.8倍的加速比，使用3个计算节点。
2020-03-09 cs.DC cs.NA math.NA
High-order integrators for Lagrangian systems on homogeneous spaces via nonholonomic mechanics
在本文中，高阶数值积分齐性空间将作为应用的非完整分区Runge-Kutta Munthe-Kaas（RKMK）方法李群。一个齐次空间$M$是一个流形，其中一个群$G$作用传递。这样的空间可以理解为商$M \cong G/H$，其中$H$是闭李群，是$M$的每个点的各向同性群。$G$的李代数可以分解为$\mathfrak{g} = \mathfrak{m} \oplus \mathfrak{h}$，其中$\mathfrak{h}$是生成$H$的子代数，而$\mathfrak{m}$是子空间。因此，$M$上的变分问题可以被视为$G$上的非完整约束问题，通过要求变化保持在$\mathfrak{m}$上。非完整分块RKMK积分器是由李群上的离散变分原理得到的积分器的一种修正，并且可以解释为服从离散Chetaev原理.这些积分器倾向于保留其纯变分对应物的若干性质。
2022-01-28 cs.NA math-ph math.DG
Multisymplectic variational integrators and space/time symplecticity
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；École Normale Supérieure/CNRS（巴黎高等师范学院/法国国家科学研究中心）
本文研究多辛数值方案的时空离散演化映射性质，探讨离散诺特定理与边界条件的关系，并通过几何精确梁模型验证结果。
2013-10-17 cs.NA math.NA
Lie Group Variational Integrator for the Geometrically Exact Rod with Circular Cross-Section Incorporating Cross-Sectional Deformation
Centre for Systems and Control, Indian Institute of Technology Bombay（系统与控制中心，印度理工学院班加罗尔）
本文提出了一种基于李群变分积分器的几何精确杆模型，用于模拟包含横截面变形的杆体动力学，通过局部膨胀因子实现体积守恒和能量守恒。
2026-02-11 cs.NA cs.RO cs.SY
Collective symplectic integrators
Umeå Universitet（于默奥大学）
本文提出用于李-泊松系统的辛积分器，采用标准辛Runge-Kutta方法，通过动量映射将哈密顿量拉回至目标李-泊松流形，适用于任意SO(3)*上的哈密顿量。
2013-08-29 cs.NA math.NA
Variational integrators for interconnected Lagrange-Dirac systems
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文提出一种框架，用于互联离散拉格朗日-狄拉克系统，旨在构建保持几何结构的互联系统离散化方法。
2016-08-02 cs.NA math.NA math.SG
Stochastic Variational Partitioned Runge-Kutta Integrators for Constrained Systems
Caltech（加州理工学院）
本文通过随机Hamilton-Pontryagin原理和变分分区龙格-库塔方法，开发了用于约束随机力学系统的积分器，并证明了RATTLE型积分器的一阶和二阶强收敛性。
2007-09-23 cs.NA math.NA math.PR
Energy-preserving Variational Integrators for Forced Lagrangian Systems
Virginia Polytechnic Institute and State University（弗吉尼亚理工大学）
本文提出能量守恒变分积分器用于含外力的时变机械系统，通过扩展拉格朗日力学框架推导连续时间扩展外力欧拉-拉格朗日方程，并利用扩展离散力学框架推导适应性时间步长变分积分器，通过两个数值例子验证其性能。
2018-01-03 cs.NA math.DS math.NA
Hamel's Formalism and Variational Integrators on a Sphere
North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）；University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；University of Michigan（密歇根大学）
本文利用Hamel形式体系，通过冗余坐标避免局部坐标引起的奇异性，并保持最小冗余度，实现了机械系统的保结构积分。
2012-11-19 cs.NA math.NA
Performance Assessment of Energy-preserving, Adaptive Time-step Variational Integrators
对于不可积系统，固定时间步长的变分积分不能同时保持动量、能量和辛形式。这一障碍可以通过将时间视为离散动态变量并导出自适应时间步长变分积分来克服，该变分积分除了保持辛和动量外还保持能量。然而，他们的效用，仍然是一个悬而未决的问题，由于数值求解离散控制方程的困难。在这项工作中，我们研究的数值性能的能量保持，自适应时间步长变分积分。首先，我们比较了Kepler二体问题的能量保持自适应算法和自适应变分积分算法的时间适应性和能量性能。其次，我们应用拉格朗日向后误差分析的工具来研究能量保持自适应算法的数值稳定性。最后，我们考虑一个简单的机械系统的例子来说明这种能量保持，自适应时间步长变分积分器的向后稳定性。
2022-01-11 cs.NA math.NA
Variational integrators and time-dependent lagrangian systems
针对含时拉格朗日系统，提出一种构造变分积分器的方法，所得算法具有辛性、保持对称李群对应的动量映射并描述能量变化。
2002-01-18 cs.NA math-ph math.MP
On the Hopf Algebraic Structure of Lie Group Integrators
本文研究基于有序根树的交换但非余交换的分次Hopf代数Hn，它推广了Butcher在Runge-Kutta方法中发展的无序根树Hopf代数Hc，并作为非交换李群作用流形上数值积分器的基础，给出了余积和对极的递归与非递归定义，并证明了Hn的对偶是Grossman-Larson Hopf代数。
2006-03-01 cs.NA math.AC math.NA
Two types of variational integrators and their equivalence
本文提出分别基于离散哈密顿原理和伽辽金变分方法的两类变分积分器，证明二者在积分经典力学系统时等价，并揭示其辛性、对称性、超收敛阶及与连续级分段龙格-库塔方法的联系。
2025-07-22 cs.NA math.NA
High-order symplectic Lie group methods on $SO(n)$ using the polar decomposition
利用极式分解和约束Galerkin方法构造了特殊正交群$SO(n)$上任意高阶的变分积分器。它的优点是避免了传统李群变分方法中指数映射的二阶导数。此外，一个减少的Lie-Poisson积分器的构造和由此产生的算法可以自然地实现的不动点迭代。在$SO(3)$上进行了数值模拟，结果表明，所提出的方法在计算效率方面与变分Runge-Kutta-Munthe-Kaas方法相当.然而，我们提出的方法更准确地保持了李群结构，并表现出更好的近能量保持。
2022-01-26 cs.NA math.NA
The anatomy of Boris type solvers and the Lie operator formalism for deriving large time-step magnetic field integrators
本文通过对恒定磁场中轨迹误差的详细研究，给出了各种Boris解算器的Lie算子推导。陀螺中心位置和回转半径的这些误差是鲍里斯解算器存在的基础，独立于任何有限差分格式。这项工作表明，有两种不同的方法来消除这些错误，使带电粒子在恒定磁场的轨迹是准确的回旋轨道。一种方法再现已知的二阶对称鲍里斯求解器。另一个产生一个以前未知的，但也在轨道上的求解器，不能从有限差分格式推导出来。通过回顾一些历史计算，发现许多出版物没有区分性能差的蛙跳Boris求解器和对称二阶Boris算法。这种对称的二阶Boris求解器的轨迹更加精确，并且在大于回旋加速器周期的时间步长处，在组合的$nonuniform$电场和磁场中保持接近精确轨道。最后，这种算子形式主义表明，布尼曼的摆线拟合方案在数学上与鲍里斯的轨道求解器相同，鲍里斯的E-B分裂是不必要的。
2022-05-18 cs.NA math.NA physics.plasm-ph
Symplectic Groupoids for Poisson Integrators
本文利用局部辛李群胚和类 Hamilton-Jacobi 方程的递归解构造一般 Poisson 结构的 Poisson 积分器，并强调 Magnus 公式在积分器后向分析中的作用。
2022-05-10 cs.NA math-ph math.DG
An exponential map free implicit midpoint method for stochastic Lie-Poisson systems
Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
针对Stratonovich噪声驱动的可等谱表述随机Lie-Poisson系统，提出免指数映射的隐式中点积分器，证明其结构保持特性与收敛率，并通过多类动力学数值实验验证方法性能。
2025-11-14 cs.NA math.NA
On a class of modified Cayley--Magnus methods
Instituto Universitario de Matemática Multidisciplinar, Universitat Politècnica de València（瓦伦西亚理工大学多学科数学研究所）；Departament de Matemàtiques and IMAC, Universitat Jaume I（海梅一世大学数学系与IMAC）；Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge（剑桥大学应用数学与理论物理系）
针对非自治线性常微分方程，提出一类新型数值积分器，通过求解稀疏线性系统避免矩阵指数计算，适用于无界算子问题，构造了四阶和六阶优化格式。
2026-06-19 cs.NA math.NA
On the exact discrete Lagrangian function for variational integrators: theory and applications
Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM)（数学科学研究所）；Facultad de Ciencias, Universidad de Zaragoza（萨拉戈萨大学理学院）
本文提出精确离散拉格朗日函数的严格构造，适用于Lie群体和Lie余结构，用于分析变分积分器的误差。
2016-08-04 cs.NA math-ph math.DG
Energy-Preserving Integrators Applied to Nonholonomic Systems
NTNU（挪威科技大学）；Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM)（数学科学研究院（西班牙国家研究委员会-马德里自治大学-马德里理工大学-马德里大学））
本文提出用于非完整机械系统的能量守恒积分器，通过三元组({D}*, Π, H)描述非完整动力学，并展示离散梯度在非完整动力学数值积分中的应用，实现了约束和能量的守恒。
2016-05-10 cs.NA math-ph math.MP
Lie-Poisson integrators
Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM)（数学科学研究所（CSIC-UAM-UC3M-UCM））
本文探讨了在泊松流形上哈密顿系统的几何积分方法，特别是当泊松结构由李代数诱导时的情况。研究了保结构的数值方法，分析了传统技术的局限性并提出现代解决方案。
2018-03-04 cs.NA math-ph math.DG
Explicit high-order symplectic integrators for charged particles in general electromagnetic fields
本文提出显式高阶辛积分器，用于高效准确模拟非相对论带电粒子在静态和非静态电磁场中的动力学，通过两个例子验证其性能优于传统非辛方法。
2016-05-04 cs.NA math.NA physics.plasm-ph
Analysis of split exponential integrators for semilinear problems with noncommuting operators
University of Trento（特伦托大学）；University of Verona（维罗纳大学）；University of Padua（帕多瓦大学）
本文分析非交换算子半线性问题的分裂指数积分器，推导新误差表示并证明分裂指数欧拉与二阶指数龙格-库塔方法的收敛性，数值实验验证其稳定性与效率。
2026-10-07 cs.NA math.NA
What is a post-Lie algebra and why is it useful in geometric integration
Norwegian University of Science and Technology (NTNU)（挪威科技大学）；University of Bergen（卑尔根大学）
本文探讨了后李代数的概念及其在李群积分器理论中的作用，解释了其定义和应用价值。
2017-12-18 cs.NA math.NA
What makes nonholonomic integrators work?
本文针对非完整积分器长期优异性能的原因展开研究，提出可逆性而非离散拉格朗日-达朗贝尔原理是关键，通过分析测试问题结构、构造扰动问题验证，并指出需考虑不可逆系统，为评估积分器提供新视角。
2020-05-08 cs.NA math.NA
