Variational integrators and time-dependent lagrangian systems
M. de Leon, D. Martin de Diego
针对含时拉格朗日系统，提出一种构造变分积分器的方法，所得算法具有辛性、保持对称李群对应的动量映射并描述能量变化。
本文提出了一种构造含时拉格朗日系统变分积分器的方法。所得算法是辛的，保持与对称李群相关的动量映射，并描述能量变化。
This paper presents a method to construct variational integrators for time-dependent lagrangian systems. The resulting algorithms are symplectic, preserve the momentum map associated with a Lie group of symmetries and also describe the energy variation.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Contact variational integrators
我们提出了接触流的几何数值积分器，它源于Herglotz的变分原理的离散化。首先，我们证明了所得到的离散映射是一个切触变换，任何接触映射都可以从一个变分原理导出。然后我们讨论了我们的变分积分器的向后误差分析，包括一个修改的拉格朗日的建设。在整个文件中，我们使用阻尼谐振子作为一个基准的例子来比较我们的积分器，他们的辛类似物。
On converting any one-step method to a variational integrator of the same order
本文在约束力学形式下（如分子动力学中的SHAKE和RATTLE方法），提出一种算法，可将任意单步积分方法转换为同阶变分积分器，实现自动转换，为生成任意阶的新型变分积分器提供灵活强大的方法。
Variational Integrators for Nonvariational Partial Differential Equations
本文提出通过形式拉格朗日量构建变分积分器，扩展其应用范围至所有动力系统，以流体动力学中的对流扩散方程为例进行验证。
Hadamard integrator for time-dependent wave equations: Lagrangian formulation via ray tracing
本研究针对非均匀介质中的自伴含时波动方程，提出结合Hadamard假设、拉格朗日表述与短时射线追踪的新型Hadamard积分器，通过低秩表示实现与初始条件无关的高效求解，可处理焦散面与高振荡问题，经二维、三维算例验证有效。
On the exact discrete Lagrangian function for variational integrators: theory and applications
本文提出精确离散拉格朗日函数的严格构造，适用于Lie群体和Lie余结构，用于分析变分积分器的误差。
Projected Variational Integrators for Degenerate Lagrangian Systems
本文提出并比较了用于退化拉格朗日系统的投射方法，针对拉格朗日函数线性于速度的情况，改进了传统方法的长期稳定性，验证了投射积分器在能量守恒和长期精度方面的优越性。
Error analysis of variational integrators of unconstrained Lagrangian systems
通过放大离散变分原理（在零时间步长处具有奇点），并利用新的过去-未来对称性修复由时间步长除法导致的阶数损失，得到了变分积分器的完整误差分析。
Phase-fitted Discrete Lagrangian Integrators
在过去的几年中，相位拟合已被广泛用于改善数值积分器在振荡问题上的行为。在这项工作中，相位拟合技术的好处是嵌入在离散拉格朗日积分。结果表明，改进的精度和总能量行为的哈密顿系统。对偏心率达到0.95的二体问题的长时间积分（10万周期）的数值试验表明了该方法的有效性。最后，基于几何评估的频率的问题，提出了一种新的自适应误差控制技术。
Higher Order Variational Integrators: a polynomial approach
本文提出一种新的变分积分器，即辛Galerkin方案，用于高阶准确地模拟机械系统，同时保持其结构特性，并应用于最优控制问题。
Some applications of semi-discrete variational integrators to classical field theories
我们开发了一个半离散版本的离散变分力学与应用的经典场论的数值积分。研究了其几何保持性。
Variational integrators for perturbed non-canonical Hamiltonian systems
从相空间中的哈密顿原理出发，自然地产生了非正则的一维哈密顿系统。我们提出了一种方法来推导变分积分，可以应用到扰动的非正则哈密顿系统的流形上的相空间离散的基础上变分原理。相对于扰动参数$ε$，这种类型的积分器可以通过利用未扰动动力学在$ε$中以任意精度采用$O(1)$时间步长。此外，这些积分器是坐标无关的，在这个意义上，它们的时间提前规则正确地转换时，从一个相空间坐标系到另一个。
High-order integrators for Lagrangian systems on homogeneous spaces via nonholonomic mechanics
在本文中，高阶数值积分齐性空间将作为应用的非完整分区Runge-Kutta Munthe-Kaas（RKMK）方法李群。一个齐次空间$M$是一个流形，其中一个群$G$作用传递。这样的空间可以理解为商$M \cong G/H$，其中$H$是闭李群，是$M$的每个点的各向同性群。$G$的李代数可以分解为$\mathfrak{g} = \mathfrak{m} \oplus \mathfrak{h}$，其中$\mathfrak{h}$是生成$H$的子代数，而$\mathfrak{m}$是子空间。因此，$M$上的变分问题可以被视为$G$上的非完整约束问题，通过要求变化保持在$\mathfrak{m}$上。非完整分块RKMK积分器是由李群上的离散变分原理得到的积分器的一种修正，并且可以解释为服从离散Chetaev原理.这些积分器倾向于保留其纯变分对应物的若干性质。
High-order geometric integrators for the local cubic variational Gaussian wavepacket dynamics
针对局部三次变分高斯波包动力学计算成本高的问题，提出高效的高阶几何积分器，具备辛、时间可逆和范数守恒等性质，并在多维不可分耦合Morse势上验证了其效率。
Variational Collision Integrators for Nonholonomic Lagrangian Systems
本文提出非完整拉格朗日系统弹性碰撞的离散变分理论，基于拉格朗日-达朗贝尔-庞特里亚金原理推导离散方程，并构建了弹跳椭圆和圆柱内球摆等例子的碰撞积分器。
Discrete dynamics of complex bodies with substructural dissipation: variational integrators and convergence
对于线性化的复杂机构的动力学设置，我们构造变分积分，并证明其收敛性，利用率场的BV估计。我们允许特殊的子结构惯性和内部耗散，所有占达朗贝尔-拉格朗日型原理。
Higher-order discrete variational problems with constraints
一个有趣的家庭几何积分拉格朗日系统可以定义使用离散化的汉密尔顿原则的关键作用。这类几何积分器称为变分积分器。本文导出了高阶拉格朗日力学系统在高阶约束下的新的变分积分器。从离散化的变分原理，我们表明，我们的方法是自动辛，因此，具有很好的能量行为。此外，离散拉格朗日量的对称性意味着动量被积分器守恒。此外，我们扩展我们的建设变分积分拉格朗日显式依赖于时间。最后，高阶问题的一些激励应用被认为是，特别是显式时间依赖欠驱动系统的最优控制问题和黎曼流形上的插值问题。
Variational integrators for stochastic dissipative Hamiltonian systems
推导了随机受迫哈密顿系统保结构模拟的变分积分器。推导是基于一个随机离散哈密顿近似的第二型随机生成函数的随机流的哈密顿系统。通过引入适当的随机作用泛函并考虑确定性拉格朗日-达朗贝尔原理的随机推广，得到了生成函数。我们的方法提出了一种通用的方法来获得新的结构保持数值方案。所得积分满足离散版本的随机拉格朗日-达朗贝尔原理，并在对称性的存在下，他们也满足离散对应的诺特定理。此外，提出了均方和弱拉格朗日-达朗贝尔龙格-库塔法，并进行了数值测试，以证明其优越的长期数值稳定性和能量行为相比，非几何方法。以Vlasov-Fokker-Planck方程为例，提出了一种新的计算碰撞动力学等离子体的几何方法。
Variational integrators for underactuated mechanical control systems with symmetries
欠驱动机械系统的最优控制问题可以被看作是一个高阶变分问题，受到高阶约束（也就是说，当拉格朗日函数和约束取决于高阶导数，如加速度，加加速度或颠簸）。本文讨论了当位形空间为平凡主丛时，欠驱动机械控制系统的变分形式，以及这类机械控制系统的变分积分器的构造。一个有趣的家庭几何积分可以定义使用离散化的汉密尔顿原则的关键作用。这类几何积分器称为变分积分器，其主要性质之一是保持几何特征，如辛性，动量保持和能量的良好行为。我们构造了高阶力学系统在平凡主丛上的变分积分器，并将其推广到高阶约束系统，特别关注欠驱动力学系统的特殊情况
Variational Integrators in Plasma Physics
本文开发了适用于等离子体物理中粒子动力学、维拉索-泊松系统和理想磁流体力学的变分积分器，通过扩展理论至非变分微分方程，实现了更广泛系统的应用，并分析了守恒性质。
On the geometry of discrete contact mechanics
本文继续从\cite{VBS}开始构造适合于接触几何的变分积分器，特别地，我们引入了接触情形下离散拉格朗日量的离散Herglotz原理和相应的离散Herglotz方程。这使我们能够开发方便的数值积分接触拉格朗日系统，共形接触的建设。本文还讨论了精确拉格朗日函数的存在性。
Stochastic Discrete Hamiltonian Variational Integrators
本文提出了一种随机哈密顿系统的结构保持数值方法，通过构造随机离散哈密顿量来近似II型随机生成函数，统一了多种已有积分器并提出新的结构保持数值方案，所得积分器具有辛性、保持李群对称的守恒量，并包含随机辛龙格-库塔方法作为特例。
Variational integrators for the dynamics of thermo-elastic solids with finite speed thermal waves
本文给出了有限速热波形式热传导变形体有限元离散的变分积分公式。该结构的基石在于利用了热弹性固体的格林-纳格迪II型理论具有哈密顿结构的事实。因此，标准的技术来构建变分积分可以应用到有限元离散的问题。由此产生的离散时间轨迹与这些系统的热力学热力学定律是一致的：对于一个孤立系，它们精确地保持总熵，并且在指数长的时间段内几乎精确地保持总能量。此外，线动量和角动量也是精确守恒的。为了保证精确性，我们构造了二维和三维仿射四面体元的显式二阶精度算法，并通过数值例子说明了算法的性能。
Momentum and energy preserving integrators for nonholonomic dynamics
本文提出一种用于非完整力学系统的几何积分器，通过离散拉格朗日量和非完整约束的离散化，保持离散非完整动量映射并平均保持约束，在特殊情况下还保持能量。
Variational integrators using forced discrete Hamiltonian systems
研究受外力的余切丛上离散哈密顿系统，由离散变分原理确定轨迹。分析辛结构演化等，构建精确离散类似物及近似方法，得到变分积分器，其近似解可达至少r阶精度。
Multisymplectic geometry, variational integrators, and nonlinear PDEs
本文基于多辛几何与变分原理，提出统一框架以构造保持辛性与诺特对称性的连续及离散力学/场论模型，并给出非线性正弦-戈登方程的数值验证。
Geometric integrators for adiabatically closed simple thermodynamic systems
本文提出了一种用于绝热封闭简单热力学系统的离散变分原理，以构建数值积分器，通过实例验证了方法的有效性。
Variational order for forced Lagrangian systems II: Euler-Poincaré equations with forcing
在本文中，我们提供了一个变分推导的欧拉-庞加莱方程的系统受到外力使用的适应技术介绍了Galley和其他人。此外，我们详细研究了与泊松广群概念相关的基本几何。最后，我们应用前面的结构的形式推导的变分误差的数值积分强迫Euler-Poincaré方程和应用这个理论的推导几何积分强迫系统。
Geometric Formulation of Combined Conservative Dissipative Mechanics via Contact Hamiltonian Dynamics Symmetries, Reduction, and Variational Integrators
本文提出了一种基于接触哈密顿动力学的几何框架，用于统一描述混合保守耗散力学系统，并设计了结构保持的变分积分器以实现数值稳定性。
Local Path Fitting: A New Approach to Variational Integrators
在这项工作中，我们提出了一种新的方法来建设变分积分。在一般情况下，在时间间隔$[q_k,q_{k+1}]$的作用积分的估计被用来构建一个辛映射$(q_k,q_{k+1})\to (q_{k+1},q_{k+2})$。这里的基本思想是，在一般理论中只需要拉格朗日量的作用量积分的估计的偏导数。这些衍生物的分析计算，提出了一个新的积分，它不依赖于拉格朗日，但对欧拉-拉格朗日向量，在连续和精确的情况下，消失。由于这种新的积分只能通过基于一些内部网格点的数值方法计算，我们可以通过要求欧拉-拉格朗日矢量在这些网格点处消失来局部拟合精确曲线。因此积分为零，并且该过程显著地简化了高阶近似的计算。在高偏心率（高达0.99）的二体问题和外太阳系的高阶解的新技术进行了测试。
A Morse-Family Integrator for Hamilton--Jacobi Dynamics Across Caustics
该研究开发了基于离散莫尔斯族等的几何框架，构建了II型离散哈密顿-雅可比理论，可用于焦散面间的多值拉格朗日子流形传播，同时提供离散哈密顿积分器与多值解的正则表示。
Symplectic Groupoids for Poisson Integrators
本文利用局部辛李群胚和类 Hamilton-Jacobi 方程的递归解构造一般 Poisson 结构的 Poisson 积分器，并强调 Magnus 公式在积分器后向分析中的作用。
Variational Structures in Cochain Projection Based Variational Discretizations of Lagrangian PDEs
相容的离散化，如有限元外演算，提供了一个离散化框架，尊重de Rham复形的上同调结构，可以用来系统地构建稳定的混合有限元法。多辛变分积分器是拉格朗日和哈密顿域论的一类几何数值积分器，它们产生保持连续系统的多辛结构和动量守恒性质的方法。在本文中，我们研究这两种方法的合成，通过构造离散化的变分原理拉格朗日域论利用结构保持有限元投影。在我们的研究中，相容的上链投影离散化在离散层次上的变分结构的保持中起着关键的作用，允许离散变分结构本质上是有限维子空间的连续变分结构的限制。在离散水平上保持变分结构将允许我们构造离散Cartan形式，其编码离散理论的变分结构，随后，我们利用离散Cartan形式自然地陈述Noether定理和多辛性的离散类似物，其推广了Marsden等人在离散拉格朗日变分框架中引入的那些。我们将研究协变时空离散化和正则空间半离散化，并随后在时空张量积有限元空间的情况下将两者联系起来。
Hamiltonization and geometric integration of nonholonomic mechanical systems
在本文中，我们研究的哈密顿过程的力学系统的速度依赖（非完整）的约束。我们首先将非完整力学运动方程改写为欧拉-拉格朗日方程，然后用一个拉格朗日量将问题改写为拉格朗日力学的逆问题。第二，勒让德变换将拉格朗日量变换为所寻求的哈密顿量。作为应用，我们比较了一些新的拉格朗日变分积分与一些已知的非完整积分。
Exact discrete Lagrangian mechanics for nonholonomic mechanics
我们构造指数映射的非完整系统，使我们能够定义一个精确的离散非完整约束子流形。我们将连续非完整流作为离散流在这个离散约束子流形上再现，导出非完整方程的精确离散形式。最后，我们得到了一般的非完整积分器族。
Geometric discrete analogues of tangent bundles and constrained Lagrangian systems
离散化变分原理，与离散化微分方程相反，导致力学的离散时间模拟，并系统地导致几何数值积分器。这种变分离散化的相空间通常是组态对的集合，类似地对应于切向量的起点和终点。我们开发替代离散类似物的切束，通过延长切向量的有限曲线段，一个曲线段为每个切向量。对灵活的，高阶数值积分，我们使用这些离散的切丛作为相空间的拉格朗日系统的变分原理的离散化，非完整力学系统的非线性约束的一般性。我们得到了一个独立的和透明的发展，其中规则性，运动方程，对称性和动量，结构保存，都有自然的表达。
Second-order variational problems on Lie groupoids and optimal control applications
本文从变分和几何的观点研究李群胚上的二阶变分问题和最优控制问题的变分积分器的构造。首先，我们发展了李群胚上二阶变分问题的变分技巧及其在构造力学系统最优控制问题的变分积分器中的应用。接下来，我们将展示如何拉格朗日子流形的辛群胚本质上给出离散动力学的二阶系统，无约束和约束，我们研究的几何性质的隐流定义的动态在拉格朗日子流形。我们还研究了对称约化理论和相应的Noether定理。
Error analysis of forced discrete mechanical systems
本文的目的是对受外力作用的力学系统的变分积分器进行误差分析。从本质上讲，我们证明了当离散的接触阶$r$的拉格朗日和力，积分器具有相同的接触阶。我们的分析首先进行离散强制力学系统定义在$TQ$，在这里我们研究的存在性流，离散精确系统的结构和性质和接触的流动（变分积分）的接触秩序方面的原始系统。然后利用这些结果对定义在$Q\times Q$上的类似受迫系统进行了相应的分析。
Variational symmetries and Lagrangian multiforms
通过把拉格朗日多形的封闭性看作是一个守恒定律，我们利用Noether定理证明了拉格朗日的每一个变分对称性都导致拉格朗日多形。在这样做的过程中，我们提供了一个系统的方法来构建拉格朗日多形式的封闭性和多形式的欧拉-拉格朗日（EL）方程都成立。我们提出了三个例子，包括第一个已知的拉格朗日3-形式的例子：Kadomtsev-Petviashvili方程的多形式。我们还提出了一个新的证明的多形式EL方程的拉格朗日k-形式的任意k。
Variational symmetries and pluri-Lagrangian systems in classical mechanics
本文分析了最近在可积系统理论中出现的多拉格朗日系统概念与经典变分对称概念之间的关系。诺特我们对待经典力学系统，并表明，对于任何拉格朗日系统与$m$交换变分对称，可以构建一个多拉格朗日1-形式的$(m+1)$维时间，其多时间欧拉-拉格朗日方程与原系统提供了相应的变分对称的$m$交换演化流相一致。我们还给出了一个哈密顿对应的建设，导致任何系统的交换哈密顿流，一个多拉格朗日1-形式的系数取决于功能在相空间。
On the correspondence between variational principles in Eulerian and Lagrangian descriptions
本文讨论了欧拉描述和拉格朗日描述的连续介质力学方程的变分原理之间的关系。结果表明，对于欧拉变量的微分方程组，相应的拉格朗日描述与引入非局部变量有关。这些描述之间的联系是根据微分覆盖得到的。讨论了方程组的变分原理与其辛结构之间的关系。证明了如果一个拉格朗日变量的方程组可以由一个变分原理导出，那么就没有相应的欧拉变量的变分原理。
Internal Lagrangians of PDEs as variational principles
本文利用变分方程的内在几何提出内部拉格朗日量概念，建立其与对称性、守恒律及诺特定理的联系，并研究其与非退化拉格朗日量的关系。
Variational symmetries and pluri-Lagrangian systems
本文分析了最近在可积系统理论中出现的多拉格朗日系统概念与经典变分对称概念之间的关系。诺特
A free energy Lagrangian variational formulation of the Navier-Stokes-Fourier system
我们提出了一个基于自由能拉格朗日的Navier-Stokes-Fourier系统的变分公式。这个公式是一个系统的无限维扩展的变分方法的热力学离散系统使用的自由能，它补充了拉格朗日变分公式使用的内能在\cite{GBYo2016b}作为一个采用温度，而不是熵，作为一个独立的变量。变分导数首先表示在材料（或拉格朗日）表示，从空间（或欧拉）表示推导。变分框架本质上是写在微分几何的形式，允许治疗的Navier-Stokes-Fourier系统的黎曼流形。
Variational reduction of homogenous Lagrangian systems
本文研究了具有缩放对称性的齐次拉格朗日系统变分约简方法，通过约简变分原理的临界点重构轨迹，并探讨其与赫格洛兹变分原理的关联。
Singular lagrangian systems and variational constrained mechanics on Lie algebroids
本文的目的是描述拉格朗日力学约束系统的李代数体，一个自然的框架，其中涵盖了广泛的情况（系统李群，由李群的行动，标准的切丛.）。特别是，我们感兴趣的两种情况：奇异拉格朗日系统和vakonomic力学（变分约束力学）。有几个例子说明了这些发展的意义。
Variational symmetries of Lagrangian systems with higher-order derivatives
本文给出依赖加速度的 Lagrange 系统变分对称性与运动积分的初等推导，并通过示例说明其可推广至一般高阶导数 Lagrange 系统。
Variational symmetries and pluri-Lagrangian structures for integrable hierarchies of PDEs
研究了$2$维偏微分方程的多拉格朗日族与其变分对称之间的关系。我们的目的是推广到偏微分方程的情况下，最近的研究结果在[Petrera，Suris。J. Nonlinear Math.Phys.24：sup 1，121- 145（2017）]用于常微分方程。我们认为层次的$2$维拉格朗日偏微分方程（其中许多有一个自然的$(1+1)$维时空解释），并表明，如果每个PDE的流动是一个变分对称的所有其他的，那么存在一个多拉格朗日2-形式的层次。相应的多时间Euler-Lagrange方程与原系统一致，原系统具有由变分对称性诱导的交换演化流。
Variational equations of Lagrangian systems and Hamilton's principle
我们讨论了最近提出的一个变分原理，用于导出与任何拉格朗日系统相关的变分方程。该原理同时给出了系统的拉格朗日方程和变分方程。我们定义了一个新的拉格朗日在一个扩展的配置空间-我们称之为D 'Alambert的-包括原始坐标和兼容的“虚拟位移”加入两个解决方案的原始系统。变分原理是Hamilton变分原理和新拉格朗日变分原理。我们用这个公式来获得任何对称拉格朗日系统的雅可比方程中的运动常数。这些常数与原系统中的常数有关，因此与原拉格朗日量的对称性有关。我们把我们的方法在一个内在的坐标自由制定。我们的研究结果可以感兴趣的拉格朗日控制系统的特征摄动方程的维数减少。
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