Variational Structures in Cochain Projection Based Variational Discretizations of Lagrangian PDEs
相容的离散化，如有限元外演算，提供了一个离散化框架，尊重de Rham复形的上同调结构，可以用来系统地构建稳定的混合有限元法。多辛变分积分器是拉格朗日和哈密顿域论的一类几何数值积分器，它们产生保持连续系统的多辛结构和动量守恒性质的方法。在本文中，我们研究这两种方法的合成，通过构造离散化的变分原理拉格朗日域论利用结构保持有限元投影。在我们的研究中，相容的上链投影离散化在离散层次上的变分结构的保持中起着关键的作用，允许离散变分结构本质上是有限维子空间的连续变分结构的限制。在离散水平上保持变分结构将允许我们构造离散Cartan形式，其编码离散理论的变分结构，随后，我们利用离散Cartan形式自然地陈述Noether定理和多辛性的离散类似物，其推广了Marsden等人在离散拉格朗日变分框架中引入的那些。我们将研究协变时空离散化和正则空间半离散化，并随后在时空张量积有限元空间的情况下将两者联系起来。
2022-08-27 cs.NA math-ph math.MP
Variational Collision Integrators for Nonholonomic Lagrangian Systems
本文提出非完整拉格朗日系统弹性碰撞的离散变分理论，基于拉格朗日-达朗贝尔-庞特里亚金原理推导离散方程，并构建了弹跳椭圆和圆柱内球摆等例子的碰撞积分器。
2025-03-25 math-ph math.DS math.MP
Symmetry-preserving discretization of variational field theories
Universidade Nova de Lisboa（新里斯本大学）；CMAF-CIO - Centro de Matemática, Aplicações Fundamentáis e Investigação Operacional CINAMIL（基础数学应用与运筹学研究中心）
本文发展了定义在抽象细胞复形上的离散场变分理论，通过离散拉格朗日密度的变分原理推导离散公式，并研究了离散场方程的对称性和守恒律，最后通过柯西问题的变分积分器和柯萨特杆动力学的离散化示例展示理论。
2015-09-29 cs.NA math-ph math.MP
A Variational Formulation of Nonequilibrium Thermodynamics for Discrete Open Systems with Mass and Heat Transfer
我们提出了离散开放系统非平衡热力学的变分公式，即，可以与外界交换质量和热量的离散系统。我们的方法是基于一个一般的变分提法的系统与时间相关的非线性非完整约束和时间相关的拉格朗日。对于离散开放系统，依赖于时间的非线性约束与系统的内部熵产生率有关。我们表明，对解曲线的这种约束系统地产生了对作用泛函中使用的变化的约束。所提出的变分制定是内在的，并提供了广泛的一类离散开放系统相同的结构。我们通过展示开放系统经历机械相互作用，以及内部扩散，内部传热及其交叉效应的例子来说明我们的理论。我们的方法产生了一个系统的方法来获得完整的开放系统的演化方程，包括系统的内部熵产生的表达，独立于其复杂性。这对于研究生物物理系统的非平衡态热力学特别有用。
2018-11-28 math-ph math.DS math.MP
On the variational interpretation of the discrete KP equation
研究了离散Kadomtsev-Petviashvili（dKP）方程的变分结构，给出了其多拉格朗日形式.我们考虑了立方格点${\mathbb Z}^{N}$和根格点$Q(A_{N})$上的dKP方程及其变分形式。我们证明了，在至少4维的格上，相应的Euler-Lagrange方程等价于dKP方程。
2015-06-02 math-ph math.MP math.SG
On integrability of discrete variational systems. Octahedron relations
我们阐明所谓的角方程的一致性，这是基本的构建块的欧拉-拉格朗日方程的二维多拉格朗日问题。我们表明，它们的一致性可以从两个独立的八面体关系的存在。我们给出明确的公式的八面体关系的角方程。
2014-06-03 math-ph math.MP nlin.SI
A discrete time method to the first variation of fractional order variational functionals
变分泛函的一阶变分沿极值点必为零这一事实是变分学问题最有效的求解方案的基础。我们推广的方法，涉及分数阶导数的变分问题。一阶样条被用作变量，其分数导数是已知的。使用分数阶导数的Grunwald-Letnikov定义，因为其固有的离散性质导致直接近似。
2013-05-08 math-ph math.MP math.OC
On discrete integrable equations with convex variational principles
本文研究了由离散可积四元方程驱动的离散拉普拉斯型方程的变分结构。特别是，我们解释了为什么现实条件，我们认为应该是所有的合理的，我们得到充分的条件（往往是必要的）标签的边缘下，相应的广义离散作用功能是凸的。凸性是讨论Dirichlet边值问题解的存在唯一性的重要工具。此外，我们研究的组合数据允许凸作用泛函的离散拉普拉斯型方程，实际上是由离散可积四元方程，我们提出了如何对应于（Q3）的方程和泛函有关的圆图案。
2015-05-20 math-ph math.MP nlin.SI
Fermion Systems in Discrete Space-Time
离散时空中的费米子系统被引入作为普朗克尺度上的物理模型。我们建立了一个描述所有费米子的非定域相互作用的变分原理。这个变分原理在离散时空点的排列下是对称的。我们解释了如何为最小的变分原理，费米子自发地打破这种排列对称性，并诱导时空上的离散因果结构。
2007-10-27 hep-th math-ph math.MP
Geometric discrete analogues of tangent bundles and constrained Lagrangian systems
离散化变分原理，与离散化微分方程相反，导致力学的离散时间模拟，并系统地导致几何数值积分器。这种变分离散化的相空间通常是组态对的集合，类似地对应于切向量的起点和终点。我们开发替代离散类似物的切束，通过延长切向量的有限曲线段，一个曲线段为每个切向量。对灵活的，高阶数值积分，我们使用这些离散的切丛作为相空间的拉格朗日系统的变分原理的离散化，非完整力学系统的非线性约束的一般性。我们得到了一个独立的和透明的发展，其中规则性，运动方程，对称性和动量，结构保存，都有自然的表达。
2009-03-05 math-ph math.MP
Difference Discrete Variational Principle,EULER-Lagrange Cohomology and Symplectic, Multisymplectic Structures
本文通过多参数微分方法研究差分离散变分原理，导出离散欧拉-拉格朗日方程和正则方程，并应用于辛/多辛几何及其保结构算法。
2001-06-01 cs.NA math-ph math.MP
Hamiltonian dynamics and constrained variational calculus: continuous and discrete settings
Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM)（数学科学研究所）
本文利用方便辛流形的拉格朗日子流形和Tulczyjew三元组，研究哈密顿动力学与约束变分法之间的关系，并推广到离散动力学和非完整力学，应用于哈密顿系统的几何积分。
2012-01-01 cs.NA math-ph math.DG
A Fractional Variational Approach for Modelling Dissipative Mechanical Systems: Continuous and Discrete Settings
采用一个相空间，其中包括（Riemann-Liouville）分数阶导数的曲线演变的实空间，我们开发了一个限制变分原理拉格朗日系统产生所谓的限制分数欧拉-拉格朗日方程（在连续和离散设置），其中，我们表明，是不变的变量的线性变化。这一原理依赖于对曲线容许变化的特殊限制。在半导数和机械拉格朗日的情况下，即动能减去势能，限制分数欧拉-拉格朗日方程在时间的两个方向上模拟耗散系统，总结为一组在时间反演下不变的方程。最后，我们表明，离散方程是一个有意义的连续离散。
2018-02-28 math-ph math.CA math.MP
Symmetries and Local Conservation Laws of Variational Schemes for the Surface Plasmon Polaritons
对称性和局部守恒定律之间的关系，被称为诺特定理，在现代理论物理学中起着重要的作用。作为可微物理系统的离散模拟，一个好的数值格式应该包含离散的局部守恒律和固有的数学结构。为准中性背景中无损耗自由电子气的流体力学-电动力学模型构造的一类变分格式在表面等离子体激元的长期模拟中显示出良好的性能[Q. Chen等人，物理学修订版E 99，023313（2019）]。我们展示了这些方案所承认的离散局部守恒律。基于离散作用泛函的规范对称性，在局部实现了一个离散电荷守恒定律，它与由变分格式得到的离散Euler-Lagrange方程是一致的.从离散的欧拉-拉格朗日方程组出发，直接导出了离散的局部动量和能量守恒定律，这些定律在理论上是严格的。离散的局部守恒律和拉格朗日辛结构的保持保证了数值格式在物理上的正确性。
2019-04-06 math-ph math.MP physics.comp-ph
On the exact discrete Lagrangian function for variational integrators: theory and applications
Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM)（数学科学研究所）；Facultad de Ciencias, Universidad de Zaragoza（萨拉戈萨大学理学院）
本文提出精确离散拉格朗日函数的严格构造，适用于Lie群体和Lie余结构，用于分析变分积分器的误差。
2016-08-04 cs.NA math-ph math.DG
Variational Estimates for Discrete Schrödinger Operators with Potentials of Indefinite Sign
设$H$是一维离散薛定谔算子。证明了如果$σ_{\ess} (H)\subset [-2,2]$，则$H-H_0$是紧的，并且是$σ_{\ess}(H)=[-2,2]$ .我们还证明了，如果$H_0 + \frac14 V^2$至少有一个束缚态，那么同样的情况也适用于$H_0 +V$。此外，如果$H_0 + \frac14 V^2$有无穷多个束缚态，则$H_0 +V$也有无穷多个束缚态。结果包括这样一个事实，即对于带有$\liminf_{|n|\to\infty} |nV(n)| > 1$的衰变势$V$，$H_0 +V$具有无穷多个束缚态; $V$的符号是无关紧要的。高维类似物也进行了讨论。
2002-11-11 math-ph math.MP math.SP
A Variational Formulation for Deformable Particle Simulations and its Level Set Discrete Element Method Implementation
Data-Driven Mechanics Laboratory, School of Architecture, Civil and Environmental Engineering, EPFL（数据驱动力学实验室，建筑、土木与环境工程学院，洛桑联邦理工学院）
本文提出了一种基于变分公式的可变形离散元方法，通过水平集方法实现颗粒变形，保留了经典DEM的稳健性和可扩展性，同时在计算成本相近的情况下实现了物理合理的颗粒尺度变形。
2026-02-13 cond-mat.soft math-ph math.MP
The projective symplectic geometry of higher order variational problems: minimality conditions
我们将各向同性、拉格朗日和余各向同性子空间的曲线与高阶单参数变分问题联系起来。极值的极小性和共轭性用这些曲线来描述。
2015-10-09 math-ph math.MP math.SG
Variational integrators using forced discrete Hamiltonian systems
Universidad Nacional de Cuyo（门多萨国立大学）；Instituto Balseiro（巴尔塞罗研究所）；Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET)（国家科学研究委员会）；Universidad Nacional de La Plata（拉普拉塔国立大学）；Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de La Plata（拉普拉塔国立大学工程学院）；Centro de Matemática de La Plata (CMaLP)（拉普拉塔数学中心）；Facultad de Ciencias Exactas Universidad Nacional de La Plata（拉普拉塔国立大学理学院）
研究受外力的余切丛上离散哈密顿系统，由离散变分原理确定轨迹。分析辛结构演化等，构建精确离散类似物及近似方法，得到变分积分器，其近似解可达至少r阶精度。
2026-07-07 cs.NA math-ph math.DG
Discrete Adjoint Method for Variational Integration of Constrained ODEs and its application to Optimal Control of Geometrically Exact Beam Dynamics
本文针对变分积分器推导了离散伴随方法，在ODE和完整约束情形下实现保结构逼近，并应用于几何精确梁动力学的最优控制，通过数值算例验证了收敛阶。
2023-11-27 math-ph math.DS math.MP
Bundle-theoretic methods for higher-order variational calculus
给出了任意向量丛上分部积分公式的几何解释。作为应用，我们给出了高阶变分学的一个新的几何公式。
2015-06-03 math-ph math.DG math.MP
Prototypes of higher algebroids with applications to variational calculus
李群胚的高切丛的约化提供了我们称之为高代数胚的几何结构的自然例子。这样的对象也可以从任意的几乎李代数胚抽象地构造。一个高等代数胚原则上是一个配备了特殊类型的微分关系（Zakrzewski态射）的分次丛。本文研究了高等代数胚的基本性质，并给出了一些应用。也就是说，我们开发了一个几何框架变分演算的高等代数体（包括力和动量）。这样的形式同时涵盖了高级切丛上的变分问题、代数胚上的一阶问题以及由对称性约化的高阶问题。
2014-05-01 math-ph math.DG math.MP
Constraint analysis for variational discrete systems
给出了离散系统在变分作用原理下的规范形式和约束分析。的形式主义是等价的协变的制定，包括全球和当地的离散时间演化移动，并自然地采用恒定和不断变化的相空间，后者是必要的时变离散化。在离散和条件下，他们是第一类或第二类和/或对称发电机的约束的不同角色被澄清。的（非）保存的限制和辛结构进行了讨论;在不断发展的相空间的数量的限制在一个固定的时间步长取决于初始和最终的时间步长的演变。此外，提供了可观的定义和减少相空间;再次，在不断发展的相空间的概念的一个可观的传播自由度需要规范的初始和最后一步，关键取决于这个选择，在对比连续。然而，限制平移不变系统，一个恢复通常的时间步长独立的规范概念。该分析适用于，例如，离散力学、格点场论、量子引力模型和数值分析。
2013-09-16 gr-qc hep-lat math-ph
Variational Framework for Structure-Preserving Electromagnetic Particle-In-Cell Methods
在这篇文章中，我们适用于一个结构保持粒子场离散化框架中的弗拉索夫-麦克斯韦方程的离散作用原理。在这个框架中，有限维电磁势和电磁场被表示为一个离散的de Rham序列，涉及到一般的有限元空间，和粒子场耦合表示由一组投影算子，与微分算子交换。与最小数量的假设，允许各种有限元和形状函数的颗粒，我们表明，由此产生的变分方案具有一般的离散泊松结构，从而导致半离散哈密顿系统。通过引入离散内积，我们得到了第二种类型的空间离散，这是动量保持，基于相同的有限元和形函数。我们说明了我们的方法，将其应用到样条有限元，和一个新的谱离散化的粒子场耦合依赖于离散傅里叶变换。
2021-01-22 cs.CE cs.NA math-ph
Invariant Variational Schemes for Ordinary Differential Equations
我们提出了一种新的算法方法来构造不变的变分格式的常微分方程系统，这是一个变分原理的欧拉-拉格朗日方程。该方法是基于标准的，非不变的离散拉格朗日泛函使用等变活动标架的不变性。不变变分格式由相应的不变离散拉格朗日泛函的欧拉-拉格朗日方程给出。我们展示了这种一般的方法，通过构建不变的变分方案的常微分方程，保持变分和发散对称性的相关连续拉格朗日。Noether定理自动地意味着所得到的格式是完全保守的。进行了数值模拟，并表明这些不变的变分方案优于标准的数值离散。
2021-09-25 cs.NA math-ph math.MP
Stochastic Discrete Hamiltonian Variational Integrators
Imperial College London（帝国理工学院）；Max-Planck-Institut für Plasmaphysik（马克斯·普朗克等离子体物理研究所）
本文提出了一种随机哈密顿系统的结构保持数值方法，通过构造随机离散哈密顿量来近似II型随机生成函数，统一了多种已有积分器并提出新的结构保持数值方案，所得积分器具有辛性、保持李群对称的守恒量，并包含随机辛龙格-库塔方法作为特例。
2018-08-16 cs.NA math-ph math.DS
