On Isogeometric Subdivision Methods for PDEs on Surfaces
本文探讨了利用细分方法在曲面上求解偏微分方程的等几何离散方法，重点研究了椭圆方程及特征值问题，并比较了不同数值求积方案的鲁棒性和效率。
2015-03-12 cs.NA math.NA
Convergent Sixth-order Compact Finite Difference Method for Variable-Coefficient Elliptic PDEs in Curved Domains
本文针对曲边区域中变系数椭圆型偏微分方程，提出一种不依赖虚拟点的六阶9点紧致有限差分法，严格证明了解的六阶收敛性，并直接从数值解获得具有高阶精度的梯度近似。
2025-07-03 cs.NA math.NA
Compact LABFM: a framework for meshless methods with spectral-like resolving power
The University of Manchester（曼彻斯特大学）；Cardiff University（卡迪夫大学）
本文提出一种紧凑型LABFM方法，通过优化无网格方法的分辨能力，提升复杂几何中高阶PDE模拟的准确性。
2026-03-12 cs.NA math.NA
Weak TransNet: A Petrov-Galerkin based neural network method for solving elliptic PDEs
虽然深度学习在求解偏微分方程（PDE）方面取得了显著的成功，但它仍然面临着重大挑战，特别是当PDE解具有低正则性或奇异性时。为了解决这些问题，我们提出了基于Petrov-Galerkin公式的弱TransNet（WTN）方法，用于在本工作中求解椭圆偏微分方程，尽管其框架可以扩展到其他类型的方程。具体地，由TransNet定义的神经特征空间（Zhang et al.，2023）作为试验空间，而测试空间由径向基函数组成。由于解被表示为测试函数的线性组合，因此可以通过经由最小二乘法最小化弱PDE残差来确定系数。因此，这种方法可以帮助减轻神经网络训练中经常出现的非凸性和病态性的挑战。此外，WTN方法被扩展到处理的解决方案具有多尺度功能或具有急剧变化的问题。几个数值实验证明所提出的方法的鲁棒性和效率。
2025-06-05 cs.NA math.NA
A Local Deep Learning Method for Solving High Order Partial Differential Equations
目前，基于深度学习的方法正被用于解决高维偏微分方程（PDE）的计算挑战。但是神经网络高阶导数的计算代价很高，而且高阶导数对训练缺乏鲁棒性。我们提出了一种通过同时逼近函数值和导数来求解具有高阶导数的偏微分方程的新方法。与局部间断Galerkin方法一样，我们引入中间变量将偏微分方程改写成一个低阶微分方程。中间变量和偏微分方程的解同时由多输出深度神经网络近似。通过将系统的残差作为损失函数，我们可以优化网络参数以逼近解。整个过程依赖于低阶导数。大量的数值例子表明，我们的局部深度学习是有效的，鲁棒的，灵活的，特别适合于具有高阶导数的高维偏微分方程。
2021-03-16 cs.NA math.NA
Stable Mesh-Free Variational Radial Basis Function Approximation for Elliptic PDEs and Obstacle Problems
University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文研究了变分形式下椭圆型及障碍型边界值问题的径向基函数逼近，通过截断奇异值分解提高计算稳定性与精度，实验表明在基函数数量、过采样比和截断阈值等参数下，RBF变分求解器在精度和效率上表现优异。
2026-04-21 cs.NA math.NA
WG-IDENT: Weak Group Identification of PDEs with Varying Coefficients
Hong Kong Baptist University（香港浸会大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）
WG-IDENT通过弱形式和群稀疏框架，实现对含变系数PDE的鲁棒识别，提升噪声容忍度和超参数鲁棒性。
2026-03-10 cs.NA math.NA
Global convergence of adaptive least-squares finite element methods for nonlinear PDEs
TU Wien（维也纳科技大学）
本文提出了一种非线性偏微分方程的自适应最小二乘有限元方法，证明了其全局收敛性，并通过数值实验验证了方法的鲁棒性。
2026-02-21 cs.NA math.NA
Weak SINDy For Partial Differential Equations
University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
非线性动力学的稀疏识别（SINDy）是一种系统发现的方法，其已经被证明可以成功地从数据中恢复控制动力系统（Brunton等人，PNAS，'16; Rudy等人，Sci. Adv. '17）。最近，几个小组独立地发现，弱公式提供了数量级更好的鲁棒性噪声。在这里，我们将我们在（arXiv：2005.04339）中引入的弱SINDy（WSINDy）框架扩展到偏微分方程（PDE）的设置。通过弱形式消除逐点导数近似使得能够从无噪声数据（即，低于仿真方案的容差）有效地机器精度恢复模型系数，以及在大噪声状态（在许多众所周知的情况下，信噪比接近1）中稳健地识别PDE。这是通过离散化的卷积弱形式的PDE和利用分离性的测试功能，有效的模型识别使用快速傅立叶变换。对于在每个$D+1$维度中具有$N$点的数据集（即每个数据点的$\mathcal{O}(\log(N))$操作），用于PDE的最终WSINDy算法具有$\mathcal{O}(N^{D+1}\log(N))$的最差情况计算复杂性。此外，我们基于傅立叶的实现揭示了对噪声的鲁棒性和测试函数的频谱之间的连接，我们利用在\textit{a priori}选择算法的测试函数。最后，我们介绍了序列阈值最小二乘（STLS）中阈值的学习算法，该算法能够从大型库中识别模型，并且我们利用连续统级别的尺度不变性来从尺度较差的数据集中识别偏微分方程。我们证明了WSIN…
2020-12-21 cs.LG cs.NA math.NA
iSMART: An Iterative Sampling-and-Regression Technique for Solving Martingale-Based PDEs
Peking University（北京大学）；Hunan Normal University（湖南师范大学）
研究针对高维基于鞅的PDE，提出iSMART迭代采样-回归技术，通过停止梯度等方法规避对抗优化，引入冻结-补偿技术优化HJB方程收敛性，经多类高维数值实验验证其准确性、效率与鲁棒性。
2026-08-03 cs.NA math.NA
On Bayesian data assimilation for PDEs with ill-posed forward problems
我们研究贝叶斯数据同化（过滤）的时间演化偏微分方程，其中潜在的前向问题可能是非常不稳定或不适定的。此类偏微分方程包括流体动力学的斯托克斯方程，其特征在于解对初始数据扰动的高度敏感性、缺乏严格的全局适定性结果以及数值逼近可能不收敛。根据非常温和的和易于验证的一般假设，这样的偏微分方程的前向解算子，我们证明了后验测度表示的贝叶斯滤波问题的解决方案是稳定的扰动的噪声测量，我们提供了定量估计的近似贝叶斯滤波分布的收敛计算从数值逼近。对于斯托克斯方程，我们的结果意味着一致稳定性的过滤问题，即使在任意小的粘度，当潜在的前向问题可能成为不适定的，以及在一个合适的度量时间参数化的概率测度的数值逼近的紧致性。
2022-02-23 cs.NA math.AP math.NA
Parallel accelerated cyclic reduction preconditioner for three-dimensional elliptic PDEs with variable coefficients
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；American University of Beirut（贝鲁特美国大学）
本文提出一种鲁棒且可扩展的预条件子，用于求解可进行秩压缩的椭圆PDEs离散化得到的大规模线性系统。该预条件子基于分层低秩近似和循环减少方法，具有对数线性复杂度，并在分布式内存环境中表现出良好的弱标度性和强标度性。
2017-12-24 cs.NA math.NA
Stability in Training PINNs for Stiff PDEs: Why Initial Conditions Matter
Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University of Houston（休斯顿大学）
该研究针对刚性PDE训练PINNs的稳定性问题，通过NTK分析与消融研究，提出将初始条件嵌入网络架构的策略，为开发可靠神经求解器提供了可扩展框架。
2026-08-18 cs.NA math.NA
HILUCSI: Simple, Robust, and Fast Multilevel ILU for Large-Scale Saddle-Point Problems from PDEs
不完全因子分解是Krylov子空间方法求解大型稀疏线性系的一种广泛使用的预处理技术。它的多级变体，如ILUPACK，对于许多对称或非对称线性系比传统的单级不完全LU（或ILU）技术更鲁棒。然而，以前的多层ILU技术仍然缺乏鲁棒性和效率的一些大规模的鞍点问题，这往往会出现在系统的偏微分方程（PDE）。我们介绍HILUCSI，或分层不完整的LU-Crout与可扩展性为导向和反向为基础的下降。作为一个多级预处理器，HILUCSI静态和动态地将单个行和列排列到下一级以进行延迟因子分解。与ILUPACK不同，HILUCSI在顶层应用对称预处理技术，但在较粗的层次总是使用非对称预处理和非对称因子分解。延迟与混合预处理相结合，使几乎或部分对称系统的统一处理，并简化了实现，避免混合$1\times 1$和$2\times 2$枢轴对称不确定系统。我们表明，这种组合提高了不确定系统的鲁棒性，而不影响效率。此外，为了使具有数百万或更多未知数的大规模系统具有更高的效率，HILUCSI引入了面向可扩展性的丢弃，并结合了基于逆的丢弃的变体。我们证明了HILUCSI的有效性，几十个基准问题，包括那些从混合制定的泊松方程，斯托克斯方程，和Navier-斯托克斯方程。我们还比较了它的性能与ILUPACK，超级节点ILUTP在SuperLU，多线程直接求解器在PARDISO和MUMPS。
2021-05-28 cs.MS cs.NA math.NA
Robust feedback control of nonlinear PDEs by numerical approximation of high-dimensional Hamilton-Jacobi-Isaacs equations
Imperial College London（帝国理工学院）；University of Graz（格拉茨大学）；Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM)（拉德诺计算与应用数学研究所）
本文提出了一种合成非线性PDEs鲁棒和最优反馈控制器的方法，通过伪谱摄动法将无限维控制系统近似为高维非线性动力学，利用H∞控制方法构造鲁棒反馈控制，解决高维Hamilton-Jacobi-Isaacs非线性PDE，通过分离表示和多项式近似实现高维问题的求解，并在非线性抛物型PDEs中验证了鲁棒性和最优性。
2019-05-15 cs.NA math.NA math.OC
Robust Preconditioning of mixed-dimensional PDEs on 3d-1d domains coupled with Lagrange multipliers
针对微循环中拓扑降维产生的 3d-1d 耦合 PDE 离散系统，本文采用算子预处理技术构建鲁棒预条件器，并揭示血管半径对适定性与预处理效果的关键影响。
2023-07-17 cs.NA math.NA
Solving a class of multi-scale elliptic PDEs by means of Fourier-based mixed physics informed neural networks
本研究提出FMPINN算法，通过引入对偶变量、三角激活函数和傅里叶特征映射，有效解决了多尺度椭圆型偏微分方程中由振荡系数引起的病态问题和高频求解挑战。
2023-07-27 cs.NA math.NA
Virtual element methods for a class of fully nonlinear elliptic PDEs
CEREMADE, CNRS, Université Paris–Dauphine, Université PSL（CEREMADE, 法国国家科学研究中心, 巴黎第九大学, 巴黎文理研究大学）；Mathematics Area, International School for Advanced Studies (SISSA)（数学系, 高等研究院）；Mathematics Institute, University of Warwick（华威大学数学研究所）；Department of Mathematics and Institute for Physical Science and Technology, University of Maryland（马里兰大学数学系与物理科学与技术研究所）
研究具有Cordes系数的Hamilton-Jacobi-Bellman和Isaacs方程在H²中的虚拟单元离散化，利用H²协调虚拟单元空间简化分析，探讨投影算子多项式次数影响，还展示弱施加Dirichlet边界条件的可能。
2026-07-07 cs.NA math.NA
Fourier heuristic PINNs to solve the biharmonic equations based on its coupled scheme
本文提出Fourier启发式增强的PINN（FCPINN），通过将高阶双调和方程分解为两个Poisson方程并结合Fourier谱理论与降阶格式，显著提升了求解精度与计算效率，在速度与精度上优于传统PINN和MIM方法。
2025-09-18 cs.NA math-ph math.MP
High order compact schemes for flux type BCs
本文对二维和三维椭圆型偏微分方程的边值问题的Robin和Neumann边界条件发展了新的四阶紧致格式。与传统的有限差分算子方法不适用于通量型边界条件不同，本文采用了精心设计的待定系数方法来发展高阶紧致（HOC）格式。新方法不仅可用于通量型边界条件的HOC格式的设计，而且可应用于一般的椭圆型偏微分方程，包括Poisson方程、Helmholtz方程、扩散-平流方程和具有线性边界条件的各向异性方程。在新发展的HOC方法中，系数矩阵一般是M-矩阵，这保证了适定问题的离散最大值原理，从而保证了HOC方法的收敛性。所发展的HOC方法是通用的，可以覆盖文献中的大多数高阶紧致格式。罗宾边界条件和各向异性扩散和对流方程罗宾甚至Dirichlet边界条件的HOC方法可能是第一个已经开发出来的。在伪逆或SVD解的帮助下，我们还观察到，与传统的HOC方法相比，在适用的情况下，开发的HOC方法通常具有较小的误差常数。非平凡的例子与大波数和振荡的解决方案，以确认新的HOC方法的性能。
2022-06-04 cs.NA math.NA
HiLNO: A Hierarchical Latent Neural Operator with Multi-Scale Supervision for PDEs on General Geometries
School of Mathematics, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学数学学院）；Key Laboratory of Mathematical Modelling and High Performance Computing of Air Vehicles (NUAA), MIIT（工业和信息化部南京航空航天大学数学建模与高性能计算重点实验室（NUAA））；School of Mathematics and Information Sciences, Yantai University（烟台大学数学与信息科学学院）
HiLNO通过构建细-粗-细潜空间、多尺度监督和各向异性高斯注意力，在一般几何上高效学习PDE算子，以84.4%参数和69.2%FLOPs的削减实现竞争性精度。
2026-09-17 cs.LG cs.NA math.NA
From continuous-time formulations to discretization schemes: tensor trains and robust regression for BSDEs and parabolic PDEs
Zuse Institute Berlin（柏林祖斯研究所）；dida Datenschmiede GmbH（dida Datenschmiede 有限公司）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
针对高维抛物型PDEs的数值逼近难题，本文基于连续时间视角提出结合张量列车与回归型方法的迭代方案，利用低秩结构在精度与计算效率间实现有利权衡。
2023-07-28 cs.LG cs.NA math.NA
Robust Data-Driven Discovery of Partial Differential Equations under Uncertainties
强大的物理学（例如，控制方程和定律）的发现对于许多工程领域和可解释的机器学习都是非常有意义的。与一般训练相比，一个关键的挑战是，控制方程的术语和格式不被认为是先验的。此外，显著的测量噪声和复杂的算法超参数调整通常会降低现有方法的鲁棒性。提出了一种鲁棒的数据驱动方法，用于从噪声数据中识别给定系统的控制偏微分方程（PDE）。所提出的方法是基于PDE的渐进稀疏识别（PSI-PDE或$ψ$ -PDE）的概念。特别关注具有巨大不确定性的数据的处理（例如，50 $\%$噪声级）。采用神经网络建模和快速傅里叶变换（FFT）来降低稀疏回归中噪声的影响。在此之后，从指定的库中逐步选择候选术语并将其添加到学习的PDE中，这会自动促进PDE中术语数量及其复杂性的简约性。接着，进一步评估每个学习项的重要性，并通过最小化L2残差来优化PDE项的系数。数值算例的结果表明，许多正则动力系统的控制偏微分方程可以正确识别使用建议的$ψ$ -PDE方法与高噪声数据。该算法的一个优点是避免了现有方法中复杂的算法修改和超参数调整。所提出的方法和主要研究结果的局限性。
2021-01-31 cs.NA math.NA
Oblique projection for scalable rank-adaptive reduced-order modeling of nonlinear stochastic PDEs with time-dependent bases
针对时变基降阶模型求解大规模非线性随机PDE矩阵微分方程时的效率、侵入性、病态和固定秩误差问题，提出基于斜投影与DEIM的可扩展秩自适应TDB-CUR方法。
2023-08-16 cs.NA math.NA
Well-balanced high-order method for non-conservative hyperbolic PDEs with source terms: application to one-dimensional blood flow equations with gravity
本文提出一种平衡有限体积法，利用广义黎曼重构和平衡时空演化算子，求解非守恒含源项双曲型PDE，并在血流方程及86动脉网络上验证了三阶精度与稳态保持。
2025-09-26 cs.NA math.NA
Physics-informed Neural Networks for Elliptic Partial Differential Equations on 3D Manifolds
受物理信息神经网络（PINNs）研究的启发，首次尝试将PINNs引入三维流形上椭圆型偏微分方程（PDE）的数值模拟. PINN是基于深度学习的技术之一。PINN基于数据和物理模型，引入标准的前馈神经网络（NN）来逼近PDE系统的解。通过使用自动微分，偏微分方程系统可以显式地编码成NN，因此，从偏微分方程的均方残差的总和可以相对于NN参数最小化。利用曲面微分算子$\nabla_S/Δ_S$与标准欧氏微分算子$\nabla/Δ$之间的关系，利用自动微分法可以有效地构造损失函数中的残差.我们首先考虑单位球面作为曲面，研究不同训练样本大小和神经网络深度的PINNs的数值精度和收敛性。另一个例子提供了不同的复流形，以验证的鲁棒性的PINN。
2021-03-04 cs.NA math.NA
Compact Feature-Aware Hermite-Style High-Order Surface Reconstruction
本文提出一种扩展CMF和WALF的Hermite式高阶曲面重构方法，利用紧支集最小二乘逼近实现高阶精度，并通过迭代特征感知参数化确保尖锐特征处G0连续，在有限元求解PDE中表现近似精确几何。
2019-01-23 cs.NA math.NA
Automatic Differentiation for All-at-once Systems Arising in Certain PDE-Constrained Optimization Problems
本文提出基于Firedrake的自动化框架，用于高效求解稳态和非稳态PDE约束最优控制问题，并通过先进预处理技术显著加速大规模求解。
2024-08-30 cs.NA math.NA
Stability of mixed FEMs for non-selfadjoint indefinite second-order linear elliptic PDEs
对于一类适定的非自伴不定二阶线性椭圆型偏微分方程，其一般系数$\mathbf A, \mathbf b,γ$在$L^\infty$中，系数矩阵$\mathbf A$为对称一致正定，证明了只要其形状正则三角剖分足够细，混合有限元问题唯一可解，离散解一致有界.这适用于Raviart-Thomas（RT）和Brezzi-Douglas-Marini（BDM）有限元族的任何顺序和在任何空间维度，并导致最佳逼近估计在$H(div)\times L^2$以及在$L^2\times L^2$的振荡。这将分段Lipschitz连续系数的早期贡献推广到$L^\infty$系数。Schatz和Wang关于位移定向问题的紧性论证并不直接适用于$H(div)\times L^2$中的混合公式。但它允许一致逼近的一些$L^2$的贡献，并可以结合最近的$L^2$最佳近似结果从medius分析。这种技术避免了任何正则性假设和Fortin插值算子的应用。
2022-03-09 cs.NA math.NA
KoopmanLab: machine learning for solving complex physics equations
Tsinghua University（清华大学）；Huawei Technologies Co. Ltd.（华为技术有限公司）
许多物理学理论都植根于偏微分方程（PDE）。然而，越来越复杂的物理方程，特别是那些缺乏解析解或封闭形式的方程，阻碍了物理学的进一步发展。用经典的数值方法计算求解偏微分方程存在精度和效率之间的权衡问题，并且不适用于未知潜在偏微分方程产生的经验数据。为了克服这一挑战，我们提出了KoopmanLab，Koopman神经运算符家族的一个有效模块，用于学习没有解析解或封闭形式的偏微分方程。我们的模块由Koopman神经算子（KNO）的多个变体组成，KNO是一种根据动态系统理论开发的基于网格独立神经网络的PDE求解器。KNO的紧凑变体可以精确地求解具有小模型尺寸的偏微分方程，而KNO的大变体在预测由未知、高维和非线性偏微分方程支配的高度复杂的动态系统方面更具竞争力。所有变体都通过在代表性PDE上实施的网格独立和长期预测实验进行验证（例如，流体力学中的Navier-Stokes方程和Bateman-Burgers方程）和ERA 5（即，地球物理学中最大的高分辨率全球尺度气候数据集之一）。这些演示表明KoopmanLab有潜力成为与方程或动力系统相关的各种物理研究的基本工具。
2023-03-19 cs.LG cs.NA math.NA
Sparse FEONet: A Low-Cost, Memory-Efficient Operator Network via Finite-Element Local Sparsity for Parametric PDEs
Department of Mathematics, Inha University（inha大学数学系）；Department of Mathematics, Ajou University（ajou大学数学系）
针对参数化PDE的有限元算子网络（FEONet）在大规模问题中计算成本高、精度下降的问题，提出一种基于有限元结构的新型稀疏网络架构，在保持精度相当的同时显著提升计算效率，并给出理论逼近和稳定性分析。
2026-06-01 cs.LG cs.NA math.NA
Machine Learning for Partial Differential Equations
University of Washington（华盛顿大学）
偏微分方程（PDE）是自然物理定律的最普遍和最简洁的描述之一，以紧凑和符号化的方式捕捉了丰富的现象学和多尺度物理学。本文将探讨几个有前途的途径，PDE研究正在推进机器学习，包括：1）发现新的管理PDE和粗粒度的近似复杂的自然和工程系统，2）学习有效的坐标系和降阶模型，使偏微分方程更适合分析，和3）代表解决方案运营商和改进传统的数值算法。在每一个领域，我们总结了关键的进步，持续的挑战和进一步发展的机会。
2023-03-30 cs.LG cs.NA math.AP
A Novel Homotopy Perturbation Sumudu Transform Method for Nonlinear Fractional PDEs: Applications and Comparative Analysis
本文提出同伦摄动Sumudu变换方法（HPSTM），用于求解非线性分数阶偏微分方程，通过数值实验和多种方法对比验证了其高精度、快速收敛和鲁棒性。
2025-07-17 cs.NA math.NA
Locally Subspace-Informed Neural Operators for Efficient Multiscale PDE Solving
AXXX；Institute of Numerical Mathematics（计算数学研究所）；North-Eastern Federal University（东北联邦大学）
本文提出一种局部子空间感知神经算子，通过学习子空间而非基函数，有效降低多尺度PDE求解的误差和计算成本。
2026-02-27 cs.NA math.NA
A multilinear HJB-POD method for the optimal control of PDEs
针对演化PDE最优控制问题，提出基于树结构和张量模型降阶的HJB-POD动态规划算法，大幅降低内存与计算时间，并证明收敛性。
2023-05-15 cs.NA math.NA math.OC
HAMLET: Graph Transformer Neural Operator for Partial Differential Equations
MIT（麻省理工学院）；Imperial College London（帝国理工学院）；University of Cambridge（剑桥大学）
本文提出图Transformer神经算子框架HAMLET，利用模块化输入编码器融合PDE信息，在复杂、含噪及少数据场景下实现跨领域稳健求解，并超越现有方法。
2024-10-02 cs.LG cs.NA math.NA
A Heterogeneous Stochastic FEM Framework for Elliptic PDEs
Computing and Mathematical Sciences, CalTech（计算与数理科学，加州理工学院）
本文提出了一种新的随机稀疏性概念，用于随机椭圆算子，以捕捉其逆算子在随机方向上的紧致性，从而构建了异质随机有限元方法（HSFEM）框架，通过异质耦合的空间基与局部随机基来利用解空间的局部随机结构。
2014-09-12 cs.NA math.NA
A multi-fidelity stochastic collocation method for parabolic PDEs with random input data
George Mason University（乔治梅森大学）
本文提出一种结合确定性模型降阶技术的随机插值方法，用于求解带有随机强迫项的抛物型偏微分方程，通过严谨的收敛分析和数值实验证明其可靠性、鲁棒性和高效性。
2013-06-01 cs.NA math.NA
A Deep Learning Framework for Solving Hyperbolic Partial Differential Equations: Part I
Advanced Micro Devices, Inc.（超威半导体公司）
本文提出一种基于间断Galerkin方法的物理信息深度学习框架，用于在无先验知识条件下求解可产生激波或间断的非线性双曲型偏微分方程，并通过数值实验验证其准确性、稳健性和有效性。
2023-07-09 cond-mat.mtrl-sci cs.LG cs.NA
Fully probabilistic deep models for forward and inverse problems in parametric PDEs
University of Cambridge（剑桥大学）；Imperial College London（帝国理工学院）；The Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）
本文提出物理驱动的深度隐变量模型PDDLVM，通过概率建模和变分推断同时学习参数化PDE的正问题与反问题映射，训练后无需独立求解即可实时预测，并在多个PDE问题上实现比FEM快三个数量级的加速及不确定性估计。
2023-07-14 cs.LG cs.NA math.NA
Singular integral operators on non-compact manifolds and analysis on polyhedral domains
本文回顾Lie流形上伪微分算子代数，给出Fredholm性条件，应用于多面体域边值问题及非紧流形非线性PDE，并确定多圆柱端流形上Dirac算子谱。
2004-02-19 cs.NA math.AP math.NA
Examining the robustness of Physics-Informed Neural Networks to noise for Inverse Problems
Department of Computer Science, Norwegian University of Science and Technology（挪威科学与技术大学计算机科学系）；Department of Mathematics and Cybernetics, SINTEF Digital（SINTEF数字研究院数学与控制论系）；Aneo AI Research（Aneo人工智能研究）
本研究对比PINNs与传统方法在含噪声逆问题求解中的性能，发现PINNs虽更易使用但精度不及传统方法，仅在计算扩展性上更优，需解决训练失效问题以提升竞争力。
2026-08-31 cs.LG cs.NA math.NA
Deep Neural ODE Operator Networks for PDEs
School of Mathematics, Jilin University, 2699 Qianjin Street, Changchun, 130012, Jilin, China. Chair for Dynamics, Control, Machine Learning；Numerics (Alexander von Humboldt Professorship), Department of Mathematics, Friedrich–Alexander-Universit\"at Erlangen–N\"urnberg, 91058 Erlangen, Germany.；Institut de Mathematiques de Bourgogne, Université Bourgogne Europe, CNRS, 21000 Dijon, France.；Division of Mathematical Sciences, School of Physical；Mathematical Sciences, Nanyang Technological University, 21 Nanyang Link, 637371, Singapore.；School of Mathematical Sciences, Nankai University, Tianjin 300071, China.；Numerics (Alexander von Humboldt Professorship), Department of Mathematics, Friedrich–Alexander-Universit\"at Erlangen–N\"urnberg, 91058 Erlangen, Germany. Departamento de Matem\'aticas, Universidad Aut\'onoma de Madrid, 28049 Madrid, Spain. Chair of Computational Mathematics, Fundaci\'on Deusto. Av. de las Universidades, 24, 48007 Bilbao, Basque Country, Spain.
本文提出NODE-ONet框架，结合编码器-解码器与物理编码神经ODE，解决PDE代理模型的时域泛化问题，实验验证高精度与效率。
2025-10-17 cs.LG cs.NA math.NA
