Determining the Rolle function in Hermite interpolatory approximation by solving an appropriate differential equation
Mathsophical Ltd.（Mathsophical有限公司）
本文通过求解适当的微分方程确定Hermite插值的误差项，利用多项式近似误差项来提高插值精度，并通过实例展示精度提升的效果。
2023-03-08 cs.NA math.NA
A New family of methods for solving delay differential equations
在本文中，我们引入一族新的$ θ-$方法来求解延迟微分方程。新的方法开发使用的分解技术相结合，即新的迭代法提出的Daftardar Gejji和Jafari和现有的隐式数值方法。使用Butcher表，我们观察到新的方法是非龙格-库塔法。此外，收敛性的新方法进行了研究，随着其稳定性分析。各种问题的应用表明，所提出的家庭的方法是更有效的比现有的方法。
2021-02-13 cs.NA math.NA
A new approximation method for solving stochastic differential equations
本文提出一种基于子区间划分和二次多项式近似的Itô随机微分方程求解新方法，并分析了其收敛性、一致性与稳定性，实验验证了方法的有效性。
2024-07-31 cs.NA math.NA
A deep shotgun method for solving high-dimensional parabolic partial differential equations
本文提出一种深度散弹法，仅利用轨迹数据分布而非完整轨迹，高效求解高维抛物型偏微分方程，在高达10000维的算例中展现了性能与精度的竞争力。
2025-06-18 cs.NA math.NA
A numeric-analytical method for solving the Cauchy problem for ordinary differential equations
Institute of Mathematics NAS of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）
提出一种功能离散方法（FD-方法）求解一阶常微分方程柯西问题，该方法在某些问题上收敛而Adomian分解法发散，并可推广至方程组。
2010-08-31 cs.NA math.NA
PFNN-2: A Domain Decomposed Penalty-Free Neural Network Method for Solving Partial Differential Equations
提出了一种新的无惩罚神经网络方法PFNN-2，用于求解偏微分方程，它是我们以前提出的PFNN方法[1]的后续改进。PFNN-2继承了PFNN在处理复杂几何自伴问题的光滑性约束和本质边界条件方面的所有优点，并将其应用范围扩展到更广泛的非自伴时变微分方程。此外，PFNN-2引入了重叠区域分解策略，在不牺牲精度的情况下，大幅提高了训练效率。对一系列偏微分方程的实验结果表明，PFNN-2在数值精度、收敛速度和并行可扩展性等方面均优于现有的神经网络方法.
2022-05-02 cs.NA math.NA
An efficient iterative technique for solving initial value problem for multidimensional partial differential equations
Brno University of Technology（布尔诺工业大学）；Faculty of Electrical Engineering and Communication, Brno University of Technology（布尔诺工业大学电气与通信工程学院）
本文提出一种无需离散化、线性化或小扰动的高效迭代方法，用于求解特定类别的多维线性和非线性偏微分方程初值问题，通过严谨的收敛分析和误差估计验证了方法的可靠性与性能。
2014-12-30 cs.NA math.NA
Adaptive Neural Network Subspace Method for Solving Partial Differential Equations with High Accuracy
本文提出一种结合神经网络与自适应子空间逼近的偏微分方程求解方法，利用超圆技术得到后验误差估计子并将其作为损失函数来自适应精调网络参数。
2024-12-03 cs.NA math.NA
High order numerical methods for solving high orders functional differential equations
该研究构建了基于带修正项梯形求积公式离散化的高阶数值方法，可求解三阶、四阶非线性泛函微分方程，能达到$O(h^4)$、$O(h^6)$精度，且方法可推广到任意阶泛函微分方程，经数值实验验证了理论有效性。
2024-11-04 cs.NA math.NA
Explicit $θ$-Schemes for Solving Anticipated Backward Stochastic Differential Equations
本文提出一类稳定的显式 $\ heta$-格式求解前瞻倒向随机微分方程，通过将延迟过程转化为当前可测过程实现高阶收敛，并严格证明误差估计，数值测试验证了高精度。
2019-06-10 cs.NA math.NA
A semi-analytical collocation method for solving multi-term variable-order time fractional partial differential equations
提出了一种求解多项变阶时间分数阶偏微分方程（VOTFPDE）的新的半解析配置法。该方法采用傅里叶级数展开进行空间离散，将原始的多项VOTFPDE变换为一系列多项变阶时间分数阶常微分方程（VOTFODE）。然后，这些VOTFODE可以解决使用最近发展的向后替代方法。数值算例验证了所提出的数值方法在求解多项VOTFPDE时的准确性和有效性。
2020-07-18 cs.NA math.NA
Solving differential and integral equations with Tau method
Instituto Superior de Engenharia do Porto（波尔图高等工程学院）；Centro de Matemática da Universidade do Porto（波尔图大学数学中心）；Faculdade de Ciências da Universidade do Porto（波尔图大学理学院）
本文提出了一种新的操作Tau方法实现方法，利用正交多项式基的三项关系计算操作矩阵，并通过数值应用展示其在求解微分和积分方程中的有效性。
2017-12-20 cs.NA math.NA
The convergence of operational Tau method for solving a class of nonlinear Fredholm fractional integro-differential equations on Legendre basis
Kharazmi University（卡扎维米大学）
本文提出基于Legendre基的运算Tau方法，利用Sobolev不等式和Banach代数性质证明该方法在L^2范数下收敛于精确解，用于求解一类非线性Fredholm分数积分微分方程。
2017-12-12 cs.NA math.NA
Exponentially convergent numerical-analytical method for solving eigenvalue problems for singular differential operators
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）
本文提出一种指数收敛的数值-解析方法（FD方法），用于求解带有奇异Legendre算子和奇异势的Sturm-Liouville问题，给出了方法收敛的充分条件和先验精度估计，并提供了详细的算法实现与SLEIGN2算法的比较。
2013-09-23 cs.NA math.NA
Moving sample method for solving time-dependent partial differential equations
The Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（上海科技大学数学科学学院）；Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所）；School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）；Department of Mathematics, School of Sciences, Great Bay University（大湾区大学理学院数学系）；Department of Mathematics, Center for Computation and Technology, Louisiana State University（路易斯安那州立大学计算与技术中心数学系）
本文提出一种自适应采样框架，通过残差驱动策略高效求解具有显著局部奇点的时间依赖偏微分方程。
2026-01-26 cs.NA math.NA
A difference method for solving the nonlinear $q$-factional differential equations on time scale
分数阶微分方程描述的是加在时间尺度集合$q$上的物理过程。本文首先提出了一个差分公式，用于离散具有阶数$0<α<1$和标度指数$0<q<1$的时间尺度集合$T_q$上的分数阶$q$ -导数$^cD_q^αx(t)$.我们建立了严格的截断误差有界性，并证明了该差分公式是无条件稳定的。然后，我们考虑了在时间尺度集上求解$q$ -分数阶微分方程：$^cD_q^αx(t)=f(t,x(t))$初值问题的差分法。证明了差分解的唯一存在性和稳定性，并给出了收敛性分析。数值实验表明了所提出的差分法的有效性和高精度。
2020-11-23 cs.NA math.NA
A Superexponentially Convergent Functional-Discrete Method for Solving the Cauchy Problem for Systems of Ordinary Differential Equations
Institute of Mathematics of NAS of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）
提出一种基于泛函离散方法求解特殊形式常微分方程组柯西问题的新数值解析方法，证明其超指数收敛速度，并通过数值算例与Adomian分解法进行比较。
2010-12-30 cs.NA math.NA
Adaptive Ch Method with Local Coupled Multiquadrics for Solving Partial Differential Equations
Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
针对偏微分方程求解问题，在覆盖-节点框架下提出基于LCMQs的自适应Ch方法，通过先调局部覆盖尺寸C再细化节点间距h达预设容差，经泊松问题验证精度好且为真正无网格方法。
2025-11-18 cs.NA math.NA
A numerical method for solving stochastic differential equations with noisy memory
University of Oslo（奥斯陆大学）
本文提出了一种求解具有噪声记忆的随机微分方程的数值方法，通过推导Euler-Maruyama方案并证明其均方误差为Δt的平方根阶，展示了该方法在处理噪声记忆问题时的有效性。
2019-02-28 cs.NA math.NA
Solving differential Riccati equations: A nonlinear space-time method using tensor trains
微分代数Riccati方程是控制理论中许多应用的核心。它们是依赖于时间的、矩阵值的，特别是非线性方程，需要特殊的方法来求解。在时间离散化的每一步，低秩方法都被大量使用来计算低秩解。我们建议使用一次所有的时空解决方案，导致一个大的非线性时空问题，我们建议使用牛顿-克莱曼迭代。用低秩形式近似时空问题需要较少的离散微分算子，并给出了整体解的低秩近似。
2019-12-14 cs.NA math.NA
Preconditioned normal equations for solving discretised partial differential equations
University of Oxford（牛津大学）
研究由偏微分方程离散化产生的非对称方阵线性系统，通过引入‘正规’预处理概念，构建预处理器，对流扩散问题做数值实验，实现快速稳定收敛。
2026-07-28 cs.NA math.NA
High-order combined Multi-step Scheme for solving forward Backward Stochastic Differential Equations
为了得到求解正倒向随机微分方程的高阶格式，本文采用[W. Zhao，Y. Fu和T. Zhou，SIAM J. Sci.计算：36（4）（2014），pp.A1731-A1751]。由后向分量导出了包含条件期望及其导数的两个参考常微分方程。这些导数近似的有限差分法与多步组合。所得到的计划是一个半离散化的时间方向上涉及的条件期望，这是通过使用高斯求积规则和多项式插值的空间网格上解决。我们提出的新的多步方案允许更高的收敛速度，直到九阶，更有效。最后，我们提供了一个数值例子所提出的方法的收敛性。
2020-10-02 cs.NA math.NA
Shifted Monic Ultraspherical Approximation for solving some of Fractional Orders Differential Equations
本文的目的是显示和解释一个新的公式，表示与最终的衍生物的移位Monic超非球面多项式（SMUPs）的任何次数和任何分数阶使用移位Monic超非球面多项式本身。我们还创建了一个直接法解决的线性或非线性多阶分数阶微分方程（FDES）的常系数涉及谱Galerkin方法。空间近似及其分数阶导数（在Caputo意义上描述）是使用移位的Monic Ultraspherical多项式建立的。
2021-03-18 cs.NA math.NA
Fast Neural Network based Solving of Partial Differential Equations
Monumo Ltd（Monumo有限公司）
我们提出了一种使用神经网络（NN）求解一类偏微分方程（PDE）的新方法。我们的方法建立在神经辐射场研究（NeRFs）的最新进展，并允许NN收敛到PDE解决方案比经典的物理信息神经网络（PINNs）方法快得多。
2022-05-27 cs.LG cs.NA math.NA
Computational complexity of solving polynomial differential equations over unbounded domains with non-rational coefficients
本文在无界域上扩展了Pouly G16关于求解多项式微分方程复杂性的结果，适用于非有理输入，并在可计算分析框架下得到运算符的统一复杂性结果。
2016-07-30 cs.CC cs.NA math.NA
A randomized Newton's method for solving differential equations based on the neural network discretization
我们开发了一个随机牛顿法求解微分方程，基于一个完全连接的神经网络离散化。特别地，随机牛顿法从由神经网络离散化产生的超定非线性系统中随机选择方程，并自适应地求解非线性系统。从理论上证明了随机牛顿法具有局部平方收敛。我们也将此新方法应用于各种数值例子，从一维到高维微分方程，以验证其可行性和效率。此外，随机化牛顿法可以允许神经网络“学习”微分方程的非线性系统的多个解，例如模式形成问题，并提供了一种从整体上研究非线性微分方程的解结构的替代方法。
2019-12-06 cs.NA math.NA math.OC
pETNNs: Partial Evolutionary Tensor Neural Networks for Solving Time-dependent Partial Differential Equations
Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学北京国际数学研究中心）；Center for Quantitative Biology, Center for Machine Learning Research, Peking University（北京大学定量生物学中心、机器学习研究中心）；Academy for Multidisciplinary Studies, Capital Normal University（首都师范大学跨学科学院）；Beijing National Center for Applied Mathematics（北京应用数学中心）
pETNNs通过结合张量神经网络和进化参数近似，高效求解时变偏微分方程，尤其在高维问题中表现出色。
2025-12-05 cs.NA math.NA physics.comp-ph
High-order quantum algorithm for solving linear differential equations
线性微分方程在科学和工程中无处不在。量子计算机可以模拟量子系统，量子系统由受限类型的线性微分方程描述。在这里，我们将量子模拟算法扩展到一般的非齐次稀疏线性微分方程，它描述了许多经典的物理系统。我们研究使用高阶方法来提高效率。这些在演进时间$Δt$中提供接近于$Δt^2$的缩放。与这种类型的其他算法一样，解被编码在量子态的振幅中，并且可以提取解的全局特征。
2014-01-28 cs.NA math.NA quant-ph
An unsupervised latent/output physics-informed convolutional-LSTM network for solving partial differential equations using peridynamic differential operator
The University of Arizona（亚利桑那大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
提出了一种新的非局部交互的无监督卷积神经网络（NN）结构，用于求解偏微分方程（PDE）。采用非局部周向微分算子（PDDO）作为卷积滤波器来计算场变量的导数。NN通过编码器-解码器层在较小的潜在空间中捕获时间动态，编码器-解码器层之间具有卷积长短期记忆（ConvLSTM）层。通过采用新的激活函数来改进ConvLSTM结构，以提高具有周期性行为的物理学习结构的预测能力。在NN的输出端和潜在（简化）空间中，以控制方程的形式调用物理学。通过考虑几个基准偏微分方程，我们证明了这种新的神经网络结构的训练性能和外推能力，通过比较物理信息神经网络（PINN）型求解器。与其他现有架构相比，它更有能力推断未来时间步长的解决方案。
2022-10-21 cs.LG cs.NA math.NA
Reduced Differential Transform Method for Solving Foam Drainage Equation(FDE)
Karamanoğlu Mehmetbey University（卡拉曼奥卢·梅赫梅特贝伊大学）
本文提出简化微分变换法（RDTM）求解非线性时间依赖泡沫排水方程，对比了Adomian分解法和拉普拉斯分解法，验证了RDTM在求解非线性PDE中的有效性与高效性。
2013-11-25 cs.NA math.AP math.NA
Solving generalized eigenvalue problems by ordinary differential equations on a quantum computer
在实际中出现的许多特征值问题通常具有广义形式$A\x=λB\x$。一个特别重要的情况是对称的，即$A, B$是埃尔米特的，而$B$是正定的。求解这类特征值问题的标准算法是将它们归结为厄米特特征值问题。在量子计算机中，量子相位估计是解决厄米特本征值问题的一种有效方法。在这项工作中，我们提出了一个新的量子算法的对称广义本征值问题使用常微分方程。该算法比基于量子相位估计的标准算法具有更低的复杂度。此外，它适用于比对称更广泛的情况：$B$是可逆的，$B^{-1}A$是对角化的，所有的特征值都是实数。
2021-10-19 cs.NA math.NA quant-ph
Deep neural network for solving differential equations motivated by Legendre-Galerkin approximation
San Diego State University（圣地亚哥州立大学）；Korea University（高丽大学）
非线性微分方程的数值求解具有挑战性，并且对于理解许多物理系统的动力学非常重要。深度神经网络已被应用于帮助减轻与解决这些系统相关的计算成本。我们探索线性和非线性微分方程的各种神经架构的性能和准确性，通过创建准确的训练集与谱元素方法。接下来，我们实现了一种新的Legendre-Galerkin深度神经网络（LGNet）算法来预测微分方程的解。通过构造一组勒让德基的线性组合，我们预测相应的系数，$α_i$成功地近似的解决方案作为一个光滑的基函数$u \simeq \sum_{i=0}^{N} α_i φ_i$的总和。作为计算实例，考虑了Dirichlet或Neumann边界条件下的线性和非线性模型。
2020-10-24 cs.LG cs.NA math.NA
A Cylindrical Basis Function for Solving Partial Differential Equations on Manifolds
University of Wisconsin-Milwaukee（密尔沃基威斯康星大学）
本文提出一种在点云表示的闭合曲面中高效求解偏微分方程的方法，通过将标准径向基函数核的径向向量投影到局部切平面，将曲面微分算子转换为笛卡尔等价算子，验证了该方法在离散拉普拉斯-贝尔特拉米算子中的有效性。
2016-01-06 cs.GR cs.NA math.NA
On solving Ordinary Differential Equations using Gaussian Processes
我们描述了一套基于高斯过程的方法，可以用来解决非线性常微分方程。我们提出了一个显式的概率求解器和两个隐式的方法，一个类似于Picard迭代和其他梯度匹配。所有方法都比以前提出的高斯过程方法具有更高的精度。我们还提出了一个通用的方法，可以从任何标准的ODE求解器产生误差估计。
2014-08-17 cs.NA math.NA stat.CO
Adversarial Sampling for Solving Differential Equations with Neural Networks
Indian Institute of Technology, Varanasi（印度理工学院（瓦拉纳西））；Harvard University（哈佛大学）
基于神经网络的求解微分方程的方法越来越受到关注。它们的工作原理是在每次迭代中改进神经网络在点样本上的微分方程残差。然而，他们中的大多数采用标准的采样方案，如均匀或扰动等间距的点。我们提出了一种新的采样方案，样本点逆向最大化当前解决方案估计的损失。一个采样器的架构，以及用于训练的损失条款。最后，我们证明了这个计划优于预先存在的计划，通过比较两者的一些问题。
2021-11-20 cs.AI cs.LG cs.NA
deepFDEnet: A Novel Neural Network Architecture for Solving Fractional Differential Equations
Shahid Beheshti University（沙希德·贝赫什提大学）
提出一种名为deepFDEnet的新型深度神经网络架构，结合高斯积分规则和$L_1$离散化技术准确求解多种分数阶微分方程，实验证明其具有极高精度与通用性。
2023-09-14 cs.AI cs.LG cs.NA
Annealing-based approach to solving partial differential equations
Ochanomizu University（御茶水女子大学）
本文提出一种基于退火的方法求解偏微分方程，通过将离散后的线性方程组转化为广义本征值问题，并利用退火算法高效计算本征向量，验证了迭代次数与系统规模和退火时间的关系。
2026-02-14 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech cs.NA
