Chebotarev geodesic theorem: split case
University College London（伦敦大学学院）
研究SL_2(Z)同余类中的素数测地线定理，推广Luo-Sarnak和Soundararajan-Young的工作，证明Chebotarev密度定理的测地线类比以指数25/36+ε成立。
2026-06-25 math.NT
An explicit upper bound for the least prime ideal in the Chebotarev density theorem
Lagarias，Montgomery和Odlyzko证明了存在一个有效可计算的绝对常数$A_1$，使得对于${\mathbb{Q}}$的每个有限扩张$K$，$K$的每个有限伽罗瓦扩张$L$，其伽罗瓦群$G$和$G$的每个共轭类$C$，存在$K$的一个在$L$中未分歧的素理想$\mathfrak{p}$，其中$\left[\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right]=C$，其中$N_{K/{\mathbb Q}}\,\mathfrak{p}$是有理数素数，并且满足$N_{K/{\mathbb Q}}\,{\mathfrak{p}} \leq 2 {d_L}^{A_1}$。在本文中，我们没有任何限制，$N_{K/{\mathbb Q}}\,{\mathfrak{p}} \leq {d_L}^{12577}$，如果$L \neq {\mathbb Q}$，使用Lagarias，蒙哥马利和Odlyzko开发的方法。
2018-07-02 math.NT
Equidistribution of $αp^θ$ with a Chebotarev condition and applications to extremal primes
我们建立了关于$θ\in (0,1), \ α>0$的$αp^θ$的分数部分的联合分布结果，其中$p$是$\mathbb{Q}$上固定有限Galois扩张中满足Chebotarev条件的素数.作为应用，对于固定的非CM椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，给出了Sato-Tate测度模大素数$\ell$的极值素数个数的渐近公式.这些正是Frobenius迹$a_p(E)$满足同余式$a_p(E)\equiv [2\sqrt{p}] \bmod \ell$的素数$p$。本文对数域的戴德金ζ函数作了无零区假设。
2021-03-11 math.NT
Chebotarev geodesic theorem: non-split case
University College London（伦敦大学学院）
该研究针对不定四元数序的同余子群，将素测地定理问题归约为已解决的分裂情形，证明其切博塔廖夫密度定理测地类似式的指数为$25/36 + \boldsymbol{\u03B5}$，并推广至所有$\boldsymbol{\u005Cmathbb{Q}}$上的此类同余子群。
2026-08-06 math.NT
A unified and improved Chebotarev density theorem
我们建立了一个无条件有效的Chebotarev密度定理，一致改进了著名的结果Lagarias和Odlyzko。因此，我们给出了一个新的渐近形式的Chebotarev密度定理，可以计数小得多的素数与任意的对数功率节省，即使在朗道-西格尔零存在的情况下。我们的主要定理内插的最强无条件上界的最小素理想与给定的Artin符号以及Chebotarev模拟的Brun-Titchmarsh定理证明了作者。我们还提出了一个新的应用我们的主要结果，表现出相当大的收益比早期版本的Chebotarev密度定理。若$f$是正定本原二元二次型，则我们对格点$(u,v) \in \mathbb{Z}^2$进行计数，使得$f(u,v)$是素的，且$u, v$没有素因子$\leq z$，且$z$和$f$的判别式具有一致性.
2018-10-27 math.NT
Algebraic analogues of results of Alladi-Johnson using the Chebotarev Density Theorem
该研究利用Chebotarev密度定理，将Alladi-Johnson关于算术级数素因子对偶性的数论结果推广到一般伽罗瓦扩张共轭类的代数情形，证明了对应求和等式，且分圆扩张时退化为原结果。
2024-10-29 math.NT
An explicit bound for the least prime ideal in the Chebotarev density theorem
我们证明了一个明确的版本Weiss'界的最小范数的一个素理想的Chebotarev密度定理，这本身就是一个显着的改进工作的Lagarias，蒙哥马利和Odlyzko。为了实现这一点，我们证明了一个明确的无对数零密度估计和显式版本的零排斥现象的Hecke $L$ -功能。作为应用，我们证明了正定本原二元二次型表示的最小素数的第一个显式非平凡上界。我们还提出了应用程序的$\mathbb{F}_p$ -有理点的椭圆曲线和全纯尖模形式的傅里叶系数的同余组。
2016-08-17 math.NT
A refined version of the Lang-Trotter Conjecture
设$E$为有理数上定义的椭圆曲线，$r$为固定整数。Lang和Trotter利用与$E$的除域和Sato-Tate分布的Chebotarev定理一致的概率模型，给出了直到$x$的素数个数的渐近公式，其中Frobenius迹等于$r$，其中$r$是{ \it固定}整数。然而，如本文所示，对于误差项具有一致界的区间$|r|\le 2\sqrt{x}$中的{ \it all} $r$，这种渐近估计不成立，因为这种估计与Chebotarev密度定理以及Sato-Tate猜想相矛盾。本文的目的是将Lang-Trotter猜想改进为一个渐近公式，该公式对区间$|r|\le 2\sqrt{x}$中的任意整数$r$具有一致误差项.我们证明了我们的改进与Chebotarev定理为一个固定的部门领域的一致性，并与Sato-Tate猜想。我们还提出了数值证据的改进猜想。
2008-10-26 math.NT
An effective Chebotarev density theorem for families of number fields, with an application to $\ell$-torsion in class groups
我们证明了伽罗瓦扩展$L/\mathbb{Q}$的一个新的有效Chebotarev密度定理，该定理允许人们计数小素数（甚至小到$L$的判别式的任意小幂）;该定理适用于“几乎所有”数域的伽罗瓦闭包，这些数域位于适当的域扩张族中。以前，在如此小的范围内应用Chebotarev需要假设广义黎曼假设。在这个新的Chebotarev密度定理中的误差项也避免了$L$的戴德金ζ函数的异常零点的影响，而不假设GRH。我们给出了许多不同的“适当族”，包括任意大度数的族。要做到这一点，我们首先证明了一个新的有效的Chebotarev密度定理，需要一个零自由区域的戴德金ζ函数。然后我们证明了几乎所有的数域在我们的家庭产生这样一个零自由区。创新，使我们能够实现这一点是一个微妙的新方法，用于控制零的某些家庭的非尖$L$ -功能。这是建立在，并大大推广的适用性，工作Kowalski和米歇尔的平均密度为零的一个家庭的尖形$L$ -功能。一个令人惊讶的特点，这种新的方法，我们希望将有独立的利益，是我们控制的数量在家庭中的$L$ -功能的零，通过绑定的数量与固定的判别式的某些相关领域。作为新的Chebotarev密度定理的应用，我们证明了类群中$\ell$ -挠的第一非平凡上界，对于所有整数$\ell \geq 1$，适用于任意大次数域的无限族.
2020-02-08 math.NT
Primes in the Chebotarev density theorem for all number fields
我们建立了一个明确的界限，最小的素数发生在Chebotarev密度定理没有任何限制。设$L/K$是数域的任意伽罗瓦扩张，使得$L\not=\mathbb{Q}$，并设$C$是$L/K$的伽罗瓦群中的共轭类。证明了存在$K$的一个非分歧素$\mathfrak{p}$使得$σ_{\mathfrak{p}}=C$和$N \mathfrak{p} \le d_{L}^{B}$ with $B= 310$ .如Ahn和Kwon所证明的，这提高了值$B=12\,577$。在比较以前的作品的主题，我们修改的权重，以检测最小的素数，我们使用一个新版本的图兰的幂和方法，它给出了一个更强的Deuring-Heilbronn（零排斥）现象。此外，我们细化分析的位置的潜在异常零$ζ_L(s)$影响最终结果。我们还使用Fiori的数值验证$L$到一定的判别高度。最后，我们给出了$K$的非分歧素数$\mathfrak{p}$的个数的一个下界，使得$σ_{\mathfrak{p}}=C$。
2022-04-25 math.NT
On the non-vanishing of modular $L$-values and fourier coefficients of cusp forms
证明了具有二次扭曲的模L-值的一个非零结果，其中二次判别式在一个短区间内。利用这一事实和Waldspurger定理，我们改进了Balog-Ono[The Chebotarev density theorem in short intervals and some questions of Serre，Journal of数论. 91（2）：356-371（2001）]关于半整数权重特征形的傅里叶系数的非零性。
2022-05-02 math.NT
A note on Fourier coefficients of Hecke eigenforms in short intervals
本文通过显式化 Chebotarev 密度定理并加强 Rouse–Thorner 的结果，研究短区间内非 CM Hecke 特征形式 Fourier 系数的大素因子下界。
2024-05-07 math.NT
The Density of a family of monogenic number fields
单演多项式$f$是一个具有整数系数的一元不可约多项式，它产生一个单演数域。对于给定的素数$q$，利用Chebotarev密度定理，我们将证明素数$p$的密度，使得$t^q-p$是单演的，大于或等于$(q-1)/q$。我们还将证明，当$q=3$，素数$p$，其中$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$是非单基因的密度，至少是1/9。
2014-06-14 math.NT
A zero density estimate for Dedekind zeta functions
该研究证明了与固定伽罗瓦群的伽罗瓦扩张相关的Dedekind zeta函数族的首个不依赖强Artin猜想的零点密度估计，并将其用于移除相关数论研究中的强Artin猜想假设。
2022-01-06 math.NT
Variance of sums in short intervals and $L$-functions in $\mathbb{F}_q[t]$
基廷和鲁德尼克研究了方差的多项式冯Mangoldt功能$Λ\colon \mathbb{F}_q[t] \rightarrow \mathbb{C}$在等差数列和短的时间间隔使用两个equidistribution结果卡茨。霍尔，基廷和Roditty-Gershon然后一般化的结果等差数列冯Mangoldt功能$Λ_ρ$重视伽罗瓦表示$ρ\colon \mathrm{Gal} ( \overline{\mathbb{F}_q(t)}/\mathbb{F}_q(t) ) \rightarrow \mathrm{GL}_m(\overline{\mathbb{Q}}_\ell)$。我们采用Sawin最近的等分布结果，以便将相应的结果推广到$Λ_ρ$的短时间间隔。
2021-02-12 math.NT
On the moments of torsion points modulo primes and their applications
设$\mathbb{A}[n]$是定义在数域$F$上的交换代数群$\mathbb{A}$的$n$ -扭点群.对于一个素理想$\mathfrak{p}$，我们令$N_{\mathfrak{p}}(\mathbb{A}[n])$是定义$\mathbb{A}[n]$的多项式方程组在约化模$\mathfrak{p}$时的$\mathbb{F}_\mathfrak{p}$ -解的个数.这里，$\mathbb{F}_{\mathfrak{p}}$是$\mathfrak{p}$上的剩余字段。令$π_F(x)$表示$F$的范数$N(\mathfrak{p})$不超过$x$的素数$\mathfrak{p}$的数目。然后，我们为代数群的维度之一，计算$k$ -th时刻限制$$M_k(\mathbb{A}/F, n)=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{π_F(x)} \sum_{N(\mathfrak{p}) \leq x} N_{\mathfrak{p}}^k(\mathbb{A}[n])$$呼吁素数定理算术级数和更普遍的Chebotarev密度定理。我们进一步解释这个限制作为轨道的数量的绝对伽罗瓦群的$F$对$k$副本的$\mathbb{A}[n]$的应用伯恩赛德引理。这些具体的例子提出了一种可能的方法来确定一组作用于$k$集合副本的轨道数。我们还表明，对于零维…
2020-05-29 math.NT
On a class of lacunary almost Newman polynomials modulo p and density theorems
研究了一类缺项整数多项式族的模$p$约化问题，该多项式族与$β$移位的动态zeta函数$ζ_β(z)$有关，其中$β> 1$接近于1.我们简要地回顾一下这个家庭是如何与莱默的问题。关于$\mathbb{F}_p$中零的个数及其因子分解，通过克罗内克平均值定理（被视为均匀分布理论的经典定理的模拟）提出了各种各样的问题。这些问题的部分答案使用结果Schinzel，重新访问的Sawin，Shusterman和斯托尔，和密度定理（Frobenius，Chebotarev，塞尔，罗森）。这些问题产生于寻找整数多项式的Mahler措施> 1小于最小的Salem数1.176280的存在。在某些情况下，得到了这些多项式的零点个数在$\mathbb{F}_p$中的模形式（或模表示）的显式关系。一般来说，它是预期的，因为它必须存在，根据朗兰兹纲领。
2022-01-10 math.NT
The Variance of the Sum of Two Squares over Intervals in $\mathbb{F}_q [T]$: I
对于度为$2n \geq 2$的$B \in \mathbb{F}_q [T]$，考虑书写$B=E^2 + γF^2$的方式的数量，其中$γ\in \mathbb{F}_q^*$是固定的，以及$E,F \in \mathbb{F}_q [T]$与$\mathrm{deg} \hspace{0.25em} E = n$和$\mathrm{deg} \hspace{0.25em} F = m < n$。我们用$S_{γ; m} (B)$表示。我们得到了一个精确的公式$S_{γ; m} (B)$在$\mathbb{F}_q [T]$的区间上的方差。我们使用作者以前用于除数函数的方差和相关性的加性特征和汉克尔矩阵的方法。在第2节中，我们简要介绍了我们的方法，并简要讨论了我们的结果可能的扩展到$B=E^2 + T F^2$的写作方式的数量。
2022-04-09 math.NT
Divisibility Biases in the Orders of Elliptic Curve Reductions
Wake Forest University（维克森林大学）；Minnesota State University, Mankato（明尼苏达州立大学曼卡托分校）
本文利用Chebotarev密度定理，分析了椭圆曲线约化阶数被m整除的素数密度，证明对于Serre曲线该密度约为1/φ(m)且大于1/m，并验证了Banks-Shparlinski平均密度的正确性。
2026-07-24 math.NT
Möbius disjointness conjecture for Furstenberg's flow on $\mathbb{T}^ω$ in short intervals
Jilin University（吉林大学）；Renmin University of China（中国人民大学）
本文研究Furstenberg流在无限维环$\mathbb{T}^ω$上的Möbius不相交猜想，证明在短区间内该猜想成立。
2026-04-18 math.NT
Prime and Möbius correlations for very short intervals in $\mathbb{F}_q[x]$
我们调查的函数场类似物的分布素数，和总理$k$元组，在“非常短的间隔”的形式$I(f) := \{ f(x) + a : a \in \mathbb{F}_p \}$为$f(x) \in \mathbb{F}_p[x]$和$p$总理，以及取消的莫比乌斯$μ$功能和它的相关性的函数场类似物的总和（类似的总和出现在乔拉猜想）。对于通用$f$，即，对于莫尔斯多项式$f$，误差项的大小大致为$O(\sqrt{p})$（典型的主项为$p$阶）。对于非通用的$f$，我们证明了独立性仍然适用于“通用”的一组移位。我们还可以展示在莫比乌斯/乔拉型和中根本没有消去的例子（事实上，莫比乌斯型和中的（平方根）消去与乔拉型和中的（平方根）消去是{PDMATHAMT等价}的），以及启发式“素数是独立的”严重失败的区间。这些结果是从算术类函数相关性的一般定理推导出来的;其中包括素数上的特征函数、莫比乌斯$μ$函数和除数函数（例如，可以处理Titchmarsh除数问题的函数域类似物。我们还证明类似的，但稍弱，结果在更微妙的固定特征设置，即，对于$f(x) \in \mathbb{F}_q[x]$为$f(x) +a$形式，对于$a \in \mathbb{F}_q$为$f(x) +a$形式的区间，其中$p$是固定的，而$q=p^{l}$增长。
2020-07-04 math.NT
Full Classification of permutation rational functions and complete rational functions of degree three over finite fields
设$q$是素数幂，$\mathbb F_q$是$q$阶的有限域，$\mathbb F_q(x)$是$\mathbb F_q$上的有理函数域.在本文中，我们分类所有的有理函数$φ\in \mathbb F_q(x)$的次数为3，诱导置换的$\mathbb P^1(\mathbb F_q)$。我们的方法是建设性的，分类是明确的：我们提供的方程的系数的有理函数使用伽罗瓦理论方法和Chebotarev密度定理的全球功能领域。作为推论，我们得到了3次置换有理函数置换$\mathbb F_q$当且仅当它置换无穷多个扩张域.作为另一个推论，我们导出了著名的3次置换多项式的分类。作为我们分类的结果，我们还可以证明，没有完全置换有理函数的次数$3$，除非$3\mid q$和$φ$是一个多项式。
2019-02-05 cs.CR cs.DM math.NT
Congruences with intervals and subgroups modulo a prime
我们得到了关于几乎所有模素数$p$的剩余都用一个小整数和$({\mathbb Z}/p{\mathbb Z})^*$的小乘法子群的一个元素的乘积表示的新结果。这些结果是基于J.Cilleruelo和M. Z. Garaev（2014年），
2014-12-08 math.NT
Covering plane curves over finite fields with lines
Santa Clara University（圣克拉拉大学）；Columbia University（哥伦比亚大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；Duke University（杜克大学）
该研究针对有限域上的平面曲线，证明了固定度数的不可约平面曲线的F_q点可被数量为(1/d + ε)q的直线覆盖，该界渐近紧，证明结合了Entin的切比雪夫密度定理与Pippenger–Spencer超图覆盖定理。
2026-10-12 math.AG math.CO math.NT
Short Interval Results For Powerfree Polynomials Over Finite Fields
该研究将有限域上无平方因子多项式分布的相关定理推广到所有k≥2的无k次幂情形，发展了对应经典数论技巧的多项式版本，得到若干经典定理的多项式域类似结果，补充了中等次数下的分布结论。
2023-10-03 math.NT
On sum of Hecke eigenvalue squares over primes in very short intervals
设$η>0$是一个固定的正数，设$N$是一个足够大的数。本文研究了带权$k$的全纯Hecke尖点形式族上素数在短区间（其长度为$η\log N$）上的Hecke特征值和的平均（带权）二阶矩.我们还将上述结果推广到$SL(2,\mathbb{Z})$和$SL(3,\mathbb{Z}).$的Hecke-Maass尖点形式。
2022-10-03 math.NT
On the possible quantities of Fibonacci numbers that occur in some type of intervals
本文证明了对任意整数$a \geq 2$，每个区间$[a^k , a^{k + 1})$（$k \in \mathbb{N}$）包含$\left\lfloor \frac{\log a}{\logΦ}\right\rfloor$或$\left\lceil \frac{\log a}{\logΦ}\right\rceil$斐波那契数.此外，区间$[a^k , a^{k + 1})$恰好包含$\left\lfloor \frac{\log a}{\logΦ}\right\rfloor$斐波那契数的全自然数$k$的集合的密度（以$\mathbb{N}$计）等于$\left(1 - \left\langle \frac{\log a}{\logΦ}\right\rangle\right)$，并且区间$[a^k , a^{k + 1})$恰好包含$\left\lceil \frac{\log a}{\logΦ}\right\rceil$斐波那契数的全自然数$k$的集合的密度等于$\left\langle \frac{\log a}{\logΦ}\right\rangle$。
2015-08-11 math.NT
The function field Sathé-Selberg formula in arithmetic progressions and `short intervals'
我们使用一个函数域模拟的方法Selberg导出一个渐近公式的数量（平方免费）首一多项式在$\mathbb{F}_q[X]$的程度$n$与精确$k$不可约的因素，在极限为$n$趋于无穷大。然后，我们适应这种方法来计算这样的多项式在等差数列和短的时间间隔，并通过利用韦伊的“黎曼假设”的曲线超过$\mathbb{F}_q$，获得更好的范围为这些公式比目前已知的类似物在数域设置。最后，我们简要讨论了$q$趋于无穷大的制度。
2020-01-06 math.NT
Lattice Point Variance in Thin Elliptic Annuli over $\mathbb{F}_q [T]$
本文研究有限域上薄椭圆环中格点方差的函数域类比，通过加性特征与Hankel矩阵方法，在短区间（包括局部区域）获得方差渐近公式，并覆盖几乎所有区间长度。
2023-09-03 math.NT
Halász theorems for Gaussian ideals in sectors and short intervals
University of Warwick（华威大学）
本文研究了在Gaussian理想上乘法函数的Halász定理，通过控制与Archimedean字符N^{it}的pretentious距离来获得界，同时证明了在扇形中的非pretentious性下，固定扇形内理想上f的和渐近等于无限制和的期望比例，并在非退化条件和共轭素数对条件下证明了扇形短区间中的Halász定理。
2026-11-04 math.NT
Bounded intervals containing a given number of primes
本文在给定条件下，为包含恰好 $m$ 个素数的有界区间个数建立了显式下界，并证明当区间长度足够大时，存在无穷多个长度相同且包含指定素数个数的有界区间，扩展了已有结果。
2026-09-17 math.NT
Congruences with intervals and arbitrary sets
给定一个素数$p$、一个整数$H\in[1,p)$和一个任意集合$\cal M\subseteq \mathbb F_p^*$，其中$\mathbb F_p$是具有$p$元素的有限域，令$J(H,\cal M)$表示同余$$ xm\equiv yn\bmod p $$的解的个数，其中$x,y\in[1,H]$和$m,n\in\cal M$。本文利用$p$、$H$和$\cal M$的基数来定义$J(H,\cal M)$.在很宽的参数范围内，这个界限是最优的。我们给出了这个界的两个应用：三线性特征和的新估计以及具有Kloosterman和的双线性和，补充了Kowalski，Michel和Sawin（2018）的一些最近结果。
2019-07-09 math.NT
Real zeros of Hurwitz-Lerch zeta functions in the interval $(-1,0)$
对于$0 < a \le 1$、$s,z \in {\mathbb{C}}$和$0 < |z|\le 1$，当$σ:=\Re (s) >1$时，Hurwitz-Lerch zeta函数由$Φ(s,a,z) := \sum_{n=0}^\infty z^n(n+a)^{-s}$定义。本文证明了当$σ\in (-1,0)$时$Φ(σ,a,z) \ne 0$当且仅当[I] $z=1$和$(3-\sqrt{3}) /6 \le a \le 1/2$或$(3+\sqrt{3}) /6 \le a \le 1$，[II] $z \in [-1,1)$和$(1-z)(1-a) \le 1$，[III] $z \not \in {\mathbb{R}}$和$0<a \le 1$ .此外，我们给出了$Φ(s,a,z)$函数方程的一个新的证明。
2015-12-01 math.NT
On Hecke eigenvalues of cusp forms in almost all short intervals
令$ψ$是一个函数，使$ψ(x) \rightarrow \infty$作为$x \rightarrow \infty.$令$λ_{f}(n)$是$n$ -th Hecke特征值的一个固定的全纯尖点形式$f$为$SL(2,\mathbb{Z}).$我们表明，对于任何实值函数$h(x)$，使$(\log X)^{2-2α} \ll h(X) =o(X),$ $$\sum_{n=x}^{x+h(X)} |λ_{f}(n)| \ll_{f} h(X)ψ(X)(\log X)^{α-1}$$的所有，但$O_{f}( Xψ(X)^{-2})$许多整数$x\in [X,2X-h(X)],$，其中$α$是平均值的$|λ_{f}(p)|$素数。我们将这一点推广到$|λ_{f}(n)|^{2^{k}}$和$k \in \mathbb{Z^{+}}.$
2021-09-09 math.NT
Beyond the Erdős discrepancy problem in function fields
该研究在函数域框架下拓展Erdős偏差问题，分别刻画短区间、字典序、长区间三种偏差下完全乘性函数部分和的极限行为，验证相关猜想、回答公开问题并分类修正Dirichlet特征类的反例。
2023-09-12 math.NT
Real zeros of Hurwitz zeta-functions and their asymptotic behavior in the interval $(0,1)$
设$0<a\leq1, s\in\mathbb{C}$和$ζ(s,a)$为Hurwitz zeta函数。最近，T.~ Nakamura证明了$ζ(σ,a)$对任何$0<σ<1$都不为零当且仅当$1/2\leq a \leq1$。在本文中，我们证明了$ζ(σ,a)$在$(0,1)$区间中有一个零，如果$0<a<1/2$。此外，我们揭示了这个唯一的零点相对于$a$的渐近行为。
2017-05-23 math.NT
Divisors of an Integer in a Short Interval
本研究定义并考察短区间内整数因数的计数函数，关注区间长度不超过起点时因数的分布。
2025-03-15 math.NT
The least prime number represented by a binary quadratic form
设$D<0$为基本判别式，$h(D)$为$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$的类数。令$R(X,D)$为判别式$D$的二元二次型的类的数目，其表示区间$[X,2X]$中的素数。进一步，假设$π_{D}(X)$是素数的个数，它在$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$中分裂，范数在区间$[X,2X].$中。我们证明了$$ \Big(\frac{π_D(X)}{π(X)}\Big)^2 \ll \frac{R(X,D)}{h(D)}\Big(1+\frac{h(D)}{π(X)}\Big), $$，其中$π(X)$是区间$[X,2X]$中素数的个数，$\ll$中的隐常数与$D$和$X$无关。
2019-08-11 math.NT
Sums of two squares in short intervals in polynomial rings over finite fields
朗道定理断言在$1\leq n\leq x$区间内两个平方和的渐近密度是$K/{\sqrt{\log x}}$，其中$K$是朗道-拉马努金常数。对于固定的$ε$和$x\to \infty$，在区间$|n-x|\leq x^ε$中渐近密度是否保持相同是数论中的一个老问题。这项工作解决了这个问题的功能域模拟，在一个大的有限域的限制。更准确地说，考虑度$n$的monic $f_0\in \mathbb{F}_q[T]$，并将$ε$与$1>ε\geq \frac2n$一起取。那么在${\rm deg}(f-f_0)\leq εn$的“区间”中的多项式$f$的渐近密度是$\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}$作为$q\to \infty$，这些多项式的形式为$f=A^2+TB^2$，$A,B\in \mathbb{F}_q[T]$。这个密度与第二作者Smilanski和Wolf所证明的$q\to \infty$的程度为$n$的Monic $f$的渐近密度一致。证明中的一个关键点是计算$f(-T^2)$的伽罗瓦群，其中$f$是一个具有几个可变系数的次数$n$的多项式：伽罗瓦群是$2^nn!$阶的超八面体群。
2015-09-07 math.NT
Strong orthogonality between the Mobius function and nonlinear exponential functions in short intervals
设$μ(n)$是莫比乌斯函数，$e(z) = \exp(2πiz)$，$x$实数和$2\leq y \leq x$。本文证明了两个序列$(μ(n))$和$(e(n^k α))$在短区间内是强正交的。也就是说，如果$k \geq 3$是固定的，并且$y\geq x^{1-1/4+\varepsilon}$是固定的，那么对于任何$A>0$，我们都有\[ \sum_{x< n \leq x+y} μ(n) e\left(n^k α\right) \ll y(\log y)^{-A} \]对$α\in \mathbb{R}$一致。
2015-03-29 math.NT
Square-root cancellation for sums of factorization functions over short intervals in function fields
我们提出了新的估计和除数函数，以及其他类似的算术函数，在短时间间隔的功能领域。(When间隔很长，人们从黎曼假设得到一个很好的估计。）只要有限域的特征相对较大，我们就得到接近平方根抵消的估计。这是由几何方法，启发工作的哈斯特和马泰，在那里我们计算奇异轨迹的品种，其$\mathbb F_q$ -点控制这个总和。这对$L$ -函数的高度不平衡矩有应用。
2020-04-18 math.NT
The variance of the number of sums of two squares in $\mathbb{F}_q[T]$ in short intervals
本文在 $\mathbb{F}_q[T]$ 中大 $q$ 极限下解决了短区间内两平方数和计数的方差估计问题，揭示了其与 $z$-测度的联系，并基于此提出了与数值数据高度吻合的整数环境猜想。
2020-12-15 math.NT math.PR
The Hasse norm principle for $A_4$-quartic extensions of global function fields
本文针对整体函数域𝔽_q(t)的A₄四次扩域，引入带装饰的Hurwitz空间参数化哈塞范数原理的失效，结合切博塔廖夫密度定理证明其失效通常极为罕见。
2026-09-03 math.AG math.NT
A geometric perspective on the MSTD question
和大于差（MSTD）集合$A$是$\mathbb{Z}$的子集，其中$|A+A| > |A-A|$ . Martin和O 'Bryant使用概率技术证明了$\{1, \dots, n\}$的子集的非零比例是MSTD作为$n \to \infty$。然而，到目前为止，只有少数明确的结构MSTD集是已知的。本文研究了实数直线上不相交区间的有限集合$\mathbb{I}$，并探讨了这类集合的MSTD问题，以及这类集合与$\mathbb{Z}$的MSTD子集之间的关系。特别是我们证明了$\mathbb{Z}$的每个有限子集都可以变换成具有相同加性行为的$\mathbb{I}$的一个元素。使用离散几何的工具，我们表明，有没有MSTD集在$\mathbb{I}$由三个或更少的间隔，但有MSTD集为四个或更多的间隔。此外，我们展示了如何获得一个无限的参数化家庭的MSTD子集的$\mathbb{Z}$从一个这样的一组$A$，这些集的参数化格点满足简单的同余关系包含在一个多面体锥相关的$A$。
2017-09-02 math.CO math.NT
Continuity of the continued fraction mapping revisited
本文重新审视连分数映射的连续性，说明其在无理数集上到离散空间乘积的同胚性质，并进一步讨论单位区间中无理点与有理点的情形。
2025-03-15 math.CA math.NT
Families of modular arithmetic progressions with an interval of distance multiplicities
给定$\mathbb{Z}_n$的子集的族$\mathcal{F}=\{A_1,\dots,A_s\}$，定义$Δ\mathcal{F}$为所有（循环）距离dist $(x,y)$的多集，其中对于某些$i=1,\dots,s$，$\{x,y\} \subset A_i$，$x \neq y$。从一个Euclidean距离问题的Erdibs，我们说，$\mathcal{F}$是Erdibs深的，如果在$Δ\mathcal{F}$中出现的距离的多重性是精确的$1,2,\dots,k-1$为某个整数$k$。在$s=1$的情况下，已知$\mathbb{Z}_n$中的模算术级数实现了此属性（在温和条件下）;相反，AP是唯一的此类集合，除了$n=6$时的一个零星情况。在这里，我们详细考虑$s=2$的情况。特别是，我们分类Erdens-deep对$\{A_1,A_2\}$时，每个$A_i$是一个算术级数在$\mathbb{Z}_n$。当$s$是平方整数时，我们还构造了一类更广的Erdens-deep族$\{A_1,\dots,A_s\}$.
2022-08-10 math.CO math.NT
Abelian varieties of prescribed order over finite fields
给定一个素数幂$q$和$n \gg 1$，我们证明了：对于维数为$n$在$\mathbb{F}_q$上的几何简单的普通主极化阿贝尔簇$A$，Hasse-Weil区间$[(\sqrt{q}-1)^{2n},(\sqrt{q}+1)^{2n}]$的一个大子区间中的每一个整数都是$#A(\mathbb{F}_q)$.因此，我们推广了Howe和Kedlaya关于$\mathbb{F}_2$的一个结果，表明对于每个素数幂$q$，每个足够大的正整数都是可实现的，即，$#A(\mathbb{F}_q)$对于某些交换变种$A$在$\mathbb{F}_q$上。我们的研究结果也提高了最有名的建设简单的阿贝尔簇的序列与点计数对极端的Hasse-Weil间隔。一个单独的参数确定，固定$n$，最大的子区间的哈斯-韦伊区间组成的可实现的整数，渐近为$q \to \infty$ ;这给出了一个渐进的最佳改善1998年定理的迪皮波和豪。我们的方法是有效的：证明了若$q \le 5$，则每个正整数都是可实现的，而对任意的$q$，每个正整数$\ge q^{3 \sqrt{q} \log q}$都是可实现的。
2021-06-25 math.AG math.NT
The Variance and Correlations of the Divisor Function in $\mathbb{F}_q [T]$, and Hankel Matrices
证明了$\mathcal{A} := \mathbb{F}_q [T]$中除数函数在短区间上的方差的精确公式，其中$\mathcal{A} := \mathbb{F}_q [T]$是素数幂。稍微修改一下证明，我们就可以得到$d(A) d(A+B)$形式的相关性的精确公式，其中我们在$\mathcal{A}$中的特定间隔内对$A$和$B$进行平均。我们还考虑了$d(KQ+N) d (N)$形式的相关性，其中$Q$是素数，$K$和$N$是在一定区间上的平均值。如果$\mathrm{deg } K < \mathrm{deg } Q -1$，那么这些相关性出现在狄利克雷$L$ -函数的四阶矩的非对角项中。我们考虑的情况下，$\mathrm{deg } K \geq \mathrm{deg }Q -1$，并获得一个精确的相关公式。此外，我们证明，$d(KQ+N)$和$d (N)$是不相关的$K$和$N$的给定范围。我们解决这些问题的方法是利用$\mathbb{F}_q$上加法特征的正交关系，将问题转化为涉及$\mathbb{F}_q$上Hankel矩阵秩的问题.大部分的文件是致力于证明有关这些矩阵的秩和核结构的几个结果，从而证明他们的数论性质。我们简要地讨论了我们的方法扩展到时刻高于第二（方差）的间隔; $k$ -第除数函数;和相关的除数函数与应用程序的时刻的Dirichlet $L$ -…
2021-12-13 math.NT math.RA
Totally real algebraic integers in short intervals, Jacobi polynomials, and unicritical families in arithmetic dynamics
我们对定义在${\mathbb Q}$的极大全实代数扩张上的所有后临界有限单临界多项式进行了分类。在证明这个结果时所用的两个辅助结果可能具有某种独立的意义。第一个是一个递推公式的$n$ -直径的区间，它使用的雅可比多项式的性质。第二个是一个数值准则，允许人们给出任何代数整数的次数的界，该代数整数的所有复嵌入都在长度小于$4$的实区间中。
2022-11-14 math.DS math.NT
Rational points on non-linear horocycles and pigeonhole statistics for the fractional parts of $\sqrt{n}$
本文研究了序列$\sqrt{n}$的小数部分的\textit{pigeonhole statistics}.也就是说，我们将单位圆$ \mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$划分成$N$区间，并证明了包含序列$(\sqrt{n} + \mathbb{Z})_{n=1}^N$的$j$点的区间的比例收敛于极限为$N \to \infty$。更一般地说，我们调查如何限制分布的第一个$sN$点的序列随参数$s \geq 0$。一个自然的方法是通过点过程--$[0,\infty)$上的随机测度，它表示序列中的点到达我们的分区的随机间隔的时间。我们证明了我们得到的点过程序列按分布收敛，并给出了随机仿射幺模格的极限过程的明确描述。我们的工作在仿射幺模格的空间中使用遍历理论，建立在Elkies和McMullen的工作之上。我们证明了一个推广的均匀分布的有理点上扩大horocycles在模块化的表面，而不是工作的非线性horocycle部分。
2022-08-21 math.DS math.NT
On the Balog-Ruzsa Theorem in short intervals
本文给出了关于$r$ -free数上指数和的$L_1$范数的界的Balog-Ruzsa定理的一个短区间形式.作为应用，我们给出了由默比乌斯函数定义的指数和的$L_1$范数的一个下界.也就是说，我们表明，$$\int_{\mathbb T} \left|\sum_{|n-N|<H} μ(n)e(n α)\right| d α\gg H^{\frac{1}{6}}$$时$H \gg N^{\frac{9}{17} + \varepsilon}$。
2022-04-28 math.CA math.CO math.NT
The Archimedean place is a blurred interval at infinity
本文从拓扑斯理论视角重新审视Q的位点，揭示阿基米德位点为非豪斯多夫的上实数空间，并区分标准与松弛下降，探讨连通与不连通的相互作用。
2026-09-09 math.AG math.CT math.LO
