包含给定素数个数的有界区间
Bounded intervals containing a given number of primes
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中文总结 AI 辅助
本文在给定条件下，为包含恰好 $m$ 个素数的有界区间个数建立了显式下界，并证明当区间长度足够大时，存在无穷多个长度相同且包含指定素数个数的有界区间，扩展了已有结果。
中文摘要 AI 辅助
设 $m$ 为非负整数，$f(x)$ 为满足特定条件的正的非递减函数。我们给出了对于足够大的 $x$，使得 $\\#([n, n+f(n)] \cap \mathbb{P})=m$ 的整数 $n\leq x$ 的数量的显式下界，其中 $\mathbb{P}$ 表示素数集合。这项工作扩展了 Mastrostefano 和 Freiberg 的结果，并使 Masrtrostefano 的下界显式化。此外，我们证明如果区间长度足够大，那么存在无穷多个长度相同的、恰好包含指定素数个数的有界区间。
英文摘要
Let $m$ be a non-negative integer and $f(x)$ a positive, non-decreasing function satisfying certain conditions. We give an explicit lower bound for the number of integers $n\leq x$ such that $\#([n, n+f(n)] \cap \mathbb{P})=m$ for sufficiently large $x$, where $\mathbb{P}$ denotes the set of prime numbers. This work extends the results of Mastrostefano and of Freiberg, and also makes the lower bound of Masrtrostefano explicit. In addition, we show that if the interval length is sufficiently large, then there exist infinitely many bounded intervals of the same length that contain exactly a prescribed number of primes.
