关于短区间上的Balog-Ruzsa定理
On the Balog-Ruzsa Theorem in short intervals
摘要：
本文给出了关于$r$ -free数上指数和的$L_1$范数的界的Balog-Ruzsa定理的一个短区间形式.作为应用，我们给出了由默比乌斯函数定义的指数和的$L_1$范数的一个下界.也就是说，我们表明，$$\int_{\mathbb T} \left|\sum_{|n-N|<H} μ(n)e(n α)\right| d α\gg H^{\frac{1}{6}}$$时$H \gg N^{\frac{9}{17} + \varepsilon}$。
英文摘要：
In this paper we give a short interval version of the Balog-Ruzsa theorem concerning bounds for the $L_1$ norm of the exponential sum over $r$-free numbers. As an application, we give a lower bound for the $L_1$ norm of the exponential sum defined with the Möbius function. Namely we show that $$\int_{\mathbb T} \left|\sum_{|n-N|<H} μ(n)e(n α)\right| d α\gg H^{\frac{1}{6}}$$ when $H \gg N^{\frac{9}{17} + \varepsilon}$.
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