AI 中文总结
该研究针对Erdős与Pomerance提出的F(n)和h_ℙ(n)，利用Green-Ruzsa的平方剩余数位构造等方法，改进了区间中不同倍数的下界与上界，还否定了Kominers的相关猜想。
AI 中文摘要
在本注记中，我们研究Erdős和Pomerance提出的两个函数。对于任意正整数n，设F(n)为满足以下条件的最小正整数F：任意F个连续整数都包含每个不超过n的正整数的一个不同倍数；设h_ℙ(n)为满足以下条件的最小正整数H：任意H个连续整数都包含每个不超过n的素数的一个不同倍数。基于Green和Ruzsa的平方剩余数位构造，我们证明：对于足够大的n，有F(n)≥h_ℙ(n)≥n exp((1/50)(log n / log log n))。这改进了Ruzsa的h_ℙ(n)/n→∞、van Doorn的F(n)≫n log n / log log n、Kominers的F(n)≫n log n的先前结果，尤其否定了Kominers提出的F(n)≪n log n的猜想。此外，我们还证明：F(n)≤n^(β+o(1))≪n^1.4031，且h_ℙ(n)≪n^(7/5)/(log n)^(2/5)，其中β∈(1,2)是方程2β³-8β²+8β-1=0的根。这改进了Erdős和Pomerance在1980年给出的先前最优界F(n)≪n^(3/2)和h_ℙ(n)≪n^(3/2)/√log n。我们对F(n)的上界是Katz和Tao的和差定理的推论，而对h_ℙ(n)的上界则通过一种新颖的组合方法得到。
英文摘要
For $n\ge1$, let $F(n)$ be the least $H$ such that any $H$ consecutive integers contain $n$ pairwise distinct integers $a_1, a_2, \dots, a_n$ with $k \mid a_k$ for $1\le k\le n$, and define $h_{\mathbb P}(n)$ analogously for the primes at most $n$. We prove \[ F(n)\le n^{4/3}\exp\!\left(O\!\left(\frac{\log n}{\log\log n}\right)\right), \qquad h_{\mathbb P}(n)\ll \frac{n^{4/3}}{(\log n)^{1/3}}, \] and \[ F(n) \ge h_{\mathbb P}(n)\ge n\exp\!\left( \left(\frac{\log 2}{2}-o(1)\right) \frac{\log n}{\log\log n} \right). \] The upper bounds follow from a new estimate for unions of arithmetic progressions. The lower bound adapts a quadratic-residue compression construction of Green and Ruzsa.
CommentsImproved lower and upper bounds
