On central fields in the calculus of variations
Fabio Botelho
本文对变分法的标量和向量情形给出了局部最优性的充分条件。这些结果是通过构造保持广义希尔伯特积分不变的定常场得到的。
This article develops sufficient conditions of local optimality for the scalar and vectorial cases of the calculus of variations. The results are established through the construction of stationary fields which keep invariant what we define as the generalized Hilbert integral.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Generalized transversality conditions for the Hahn quantum variational calculus
证明了拉格朗日量依赖于自由端点的广义量子变分问题的最优性条件。这种类型的变分法的问题不能用经典理论来解决。
Calculus of Variations on Time Scales and Discrete Fractional Calculus
我们在时间尺度的框架内研究变分法和最优控制问题。具体地说，我们得到的Euler-Lagrange型方程的拉格朗日依赖于高阶δ导数和等周问题。我们也发展了一些直接法来解决某些类别的变分问题通过动态不等式。在最后一章中，我们引入了分数差分算子，并提出了一种新的离散时间分数变分法。导出了相应的Euler-Lagrange和Legendre最优性必要条件最优性条件，并给出了一些说明性的例子。
On the local everywhere bounndedness of the minima of a class of integral functionals of the Calculus of the Variations
本文研究了变分法中两类泛函极小值的正则性和有界性
Explicit bounds for Lipschitz constant of solution to basic problem in calculus of variations
本文给出了一类变分问题解的Lipschitz常数的显式估计。我们使用的方法是由于Gamkrelidze和基于等价的变分法的问题和时间最优控制问题。所得到的估计是用来计算复杂性边界的路径跟踪方法适用于凸问题的变分多面体端点约束。
Natural Boundary Conditions in the Calculus of Variations
本文证明了具有依赖于自由端点的拉格朗日量的时间尺度上变分问题的最优性条件。
Hahn's Symmetric Quantum Variational Calculus
我们介绍和发展哈恩对称量子演算的应用变分法。也就是说，我们得到了一个必要的最优性条件的欧拉-拉格朗日型和充分的最优性条件的变分问题的哈恩对称微积分的背景下。此外，我们证明了Leitmann的直接法的有效性时，适用于哈恩的对称变分。提供了说明性的例子。
Higher-order infinite horizon variational problems in discrete quantum calculus
利用离散量子算子得到了变分法高阶无穷视界问题的最优性条件。
Envelope theorems for static optimization and calculus of variations
我们建立了一个抽象的无限维设置的静态优化问题的值函数的可微性，我们将其应用到变分问题。我们减轻现有的结果的假设，特别是通过使用G{â}teaux和阿达玛微分。此外，我们使用最近建立的乘数规则。
The delta-nabla calculus of variations
离散时间、量子和连续变分法最近得到了统一和扩展。在文献中有两种方法：一种是处理最小化的δ积分;另一种是处理最小化的纳布拉积分。在这里，我们提出了一个更一般的方法来计算时间尺度上的变化，允许获得作为特定情况下的δ和nabla结果。
Noether's Theorem in the Stochastic Calculus of Variations
首先，我们提出了经典的确定性问题的变分法，重点是必要的最优性条件的欧拉-拉格朗日和诺特定理。作为应用的例子，我们得到的动量和能量守恒定律从力学，有效沿欧拉-拉格朗日极值。然后，我们介绍了随机变分法，证明了最近的随机Noether型定理获得的Cresson。最后，我们指出一个有趣的开放问题。
Regularity of Solutions to Second-Order Integral Functionals in Variational Calculus
得到了一类新的二阶导数变分问题的正则性条件。作为一个推论，我们得到不发生拉夫连季耶夫现象。我们的主要结果断言，自治积分泛函的变分法与拉格朗日超线性偏导数的高阶导数只允许极小与本质上有界的衍生物。
Noether's symmetry theorem for nabla problems of the calculus of variations
证明了时间尺度上变分学的nabla问题的Noether型对称性定理和DuBois-Reymond最优性必要最优性条件.
On the existence and uniqueness of minima and maxima on spheres of the integral functional of the calculus of variations
假设被积函数的梯度是Lipschitz的，我们处理变分法的积分泛函。然后，我们证明，如果这个梯度不为零，然后功能有一个唯一的最小值和一个唯一的最大值的每个球，中心为零，半径足够小。
Fractional variational calculus for nondifferentiable functions
在连续函数类中，证明了用Jumarie修正的Riemann-Liouville导数定义的变分问题的最优性条件.考虑了具有自由边界条件的变分法的分数阶基本问题，以及具有等周约束和完整约束的问题。
A General Backwards Calculus of Variations via Duality
本文证明了任意时间尺度上由nabla积分的复合给出的变分问题的Euler-Lagrange和自然边界最优性必要条件最优性条件。作为应用，我们得到了nabla变分泛函的乘积和商的最优性条件。
Optimality conditions for the calculus of variations with higher-order delta derivatives
证明了任意时间尺度上变分问题的Euler-Lagrange delta-微分方程，其delta积分泛函依赖于高阶delta导数.
Generalized Transversality Conditions in Fractional Calculus of Variations
具有可变端点的变分法的问题在没有横截性条件的情况下无法解决。在这里，我们建立这样的分数变分问题与Caputo导数的条件。我们认为：Bolza型分数变分问题，具有拉格朗日量的分数变分问题，该拉格朗日量也可以依赖于未指定的端点$φ(b)$，其中$x=φ(t)$是给定曲线，以及无限水平分数变分问题。
Fractional Variational Calculus with Classical and Combined Caputo Derivatives
我们给一个适当的分数扩展的经典变分法考虑变分泛函的拉格朗日依赖于一个组合Caputo分数导数和经典的衍生物。证明了Euler-Lagrange方程的基本问题和等周问题，以及横截性条件。
Second-order sufficient optimality conditions in the calculus of variations
该研究证明变分法中若干经典二阶充分最优性条件彼此等价，还提出一种易于应用的新型等价二阶条件——通过积分线性二阶初值问题并检验解在定义域内的正性即可判定最优性。
The Hahn Quantum Variational Calculus
介绍了哈恩量子变分法。研究了基本拉格朗日问题、等周问题和Hahn量子拉格朗日问题的最优性条件。我们还证明了Leitmann的直接法对于Hahn量子变分的有效性，并给出了一些具体问题的显式解。为了说明结果，我们提供了几个例子，并讨论了著名的拉姆齐经济模型的量子版本。
A formulation of Noether's theorem for fuzzy problems of the calculus of variations
模糊系统的变分法理论是最近在[7]中提出的，并证明了模糊欧拉-拉格朗日方程。本文利用模糊Euler-Lagrange方程，得到了模糊变分问题的一个Noether-like定理。
The Generalized Fractional Calculus of Variations
我们回顾了最近的广义分数阶变分法。考虑了含有广义分数次积分和导数的变分问题，并利用间接方法研究了它们。特别地，我们提供了基本问题和等周问题的Euler-Lagrange型最最优性条件、自然边界条件和Noether型定理。
Fractional variational calculus for non-differentiable functions, chapter
分数阶变分法现在是一个研究很深入的课题。分数阶导数和积分的不同定义取决于研究的目的。本文定义了Jumarie意义下的分数次算子。这使我们能够处理不可微的函数。给出了拉格朗日密度依赖于自由端点的分数阶变分问题的最优性条件。
Leitmann's direct method of optimization for absolute extrema of certain problems of the calculus of variations on time scales
时间尺度上变分法的基本问题涉及满足给定边界条件的所有轨迹上的δ积分的最小化。这包括离散时间、量子和连续/经典变分法作为特殊情况。本文采用Leitmann的直接法，给出了任意时间尺度上某些具体的最优控制问题的显式解。
The Variational Calculus on Time Scales
离散变分法、量子变分法和连续变分法最近已被时间尺度理论所统一和推广。这种统一和扩展，但是，不是唯一的，并遵循两种方法在文献中：一个处理最小化的δ积分;其他处理最小化的纳布拉积分。在这里，我们回顾了一个更一般的方法来计算时间尺度上的变化，允许获得作为特定情况下的δ和nabla结果。
The contingent epiderivative and the calculus of variations on time scales
考虑了时间尺度上的变分法。我们提出了一种新的方法，包括在申请的分化工具，称为特遣队epiderivative的主题。它表明，适用于变分法的时间尺度的偶然上导数是非常有用的：它允许统一的三角洲和nabla的方法以前考虑在文献中。得到了变分法基本问题和等周问题的广义Euler-Lagrange最最优性条件。作为特殊情况，我们可以得到最近的delta和nabla结果。
Isoperimetric problems of the calculus of variations with fractional derivatives
本文研究了具有左右Riemann-Liouville分数阶导数的变分法的等周问题。考虑了变分积分的下界与分数阶导数的下界重合和不重合的两种情况。
The Omega Calculus of Variations
本文提出了变分学中Omega导数的Euler-Lagrange型最优性条件，并在Lagrangian联合凸情况下证明其充分性。
Regularity of solutions to higher-order integrals of the calculus of variations
我们获得了高阶导数变分问题的新的正则性条件。作为一个推论，我们得到不发生拉夫连季耶夫现象。我们的主要正则性结果断言，自治的积分泛函与拉格朗日有强制性的偏导数的高阶导数只承认极小与本质上有界的衍生物。
A Problem of Calculus of Variations and Game Theory
本文针对涉及两名参与者的变分法与博弈论理论问题，推导双方最优策略的一般关系，结合计算机分析、多项式逼近，用代数运算与线性规划求解Nash均衡，并探究了博弈变体。
Calculus of Variations with Classical and Fractional Derivatives
给出了经典变分法的一个适当的分数阶推广。证明了含经典导数和分数阶导数的变分问题的Euler-Lagrange型最优性最优性条件。考虑了混合整数阶和分数阶导数变分法的基本问题以及等周问题。
Fractional Calculus of Variations for Double Integrals
利用最近改进的Riemann-Liouville方法研究了含二重积分的变分法的分数阶等周问题。证明了一个多时间分数阶偏微分方程形式的Euler-Lagrange型最优性最优性条件、一个充分条件充分条件和分数阶自然边界条件。
Composition Functionals in Fractional Calculus of Variations
证明了变分法分式问题的欧拉-拉格朗日和自然边界最优性必要最优性条件是由泛函的复合给出的。我们的方法使用了最近的概念黎曼刘维分数导数和积分的意义上的Jumarie。作为应用，我们得到了分数阶变分泛函的乘积和商的最优性条件。
A survey on fractional variational calculus
综述了分数阶变分法的主要结果和技巧。我们考虑含有Caputo导数的变分问题，并使用间接法和直接法研究它们。特别是，我们提供了必要的欧拉-拉格朗日型的基本，高阶，和等周问题的最优性条件，并计算基于截断Grünwald-Letnikov近似的Caputo衍生物的近似解。
Necessary Optimality Conditions for Fractional Difference Problems of the Calculus of Variations
我们介绍了离散时间分数变分法。建立了一阶和二阶最优性必要条件最优性条件。举例说明使用新的欧拉-拉格朗日和勒让德型条件。证明了当离散导数的阶为整数时，分数阶问题的解与相应的非分数阶变分问题的解是一致的.
On the local everywhere Hölder continuity for weak solutions of a class of not convex vectorial problems of the Calculus of Variations
本文研究了积分泛函局部极小的正则性：特别地，对密度不作凸性（拟凸性、多凸性或秩一凸性）假设，不作结构假设，不作径向或对角假设。
A Discrete Algorithm to the Calculus of Variations
Gusein Guseinov提出了一种算法，该算法使用两个离散化和相应的Euler-Lagrange方程来确定变分问题的最优解的近似值。我们得到的结果与其他方法和求解器找到的解决方案进行了比较的离散化的速降线问题和躁狂症的例子Lavrentiev的现象。我们的结论是，Guseinov的方法提出了更好的解决方案，在大多数情况下研究。
Strong Minimizers of the Calculus of Variations on Time Scales and the Weierstrass Condition
本文对时间尺度上的变分问题引入了强局部极小的概念。简单的例子表明，在时间尺度上，弱极小值不一定是强极小值。证明了Weierstrass必要最优性条件的一个时间尺度形式，使连续时间条件和离散时间条件都能包含和推广到同一个结果中.
The Legendre Condition of the Fractional Calculus of Variations
分数阶算子在模拟非局部现象和涉及粗粒度和分形空间的问题中起着重要的作用。分数阶变分法是一个相当新的课题，由于其在物理学和其他科学中的应用，目前正在快速发展。在过去的十年中，提出了几种方法来分数变分微积分使用不同的分数阶导数和积分的概念。虽然文献的分数变分已经是巨大的，还有很多工作要做，在获得充要条件的分数变分泛函的优化，存在性和正则性的解决方案。关于必要的最优性条件，所有的作品在文献中涉及的欧拉-拉格朗日型的一阶分式条件的推导。本文得到了依赖于分数阶导数的变分泛函的弱极值的Legendre二阶最优性必要条件最优性条件。
Multiobjective fractional variational calculus in terms of a combined Caputo derivative
研究了分数阶Caputo组合导数表示的分数阶变分问题。证明了基本问题、等周问题和Lagrange变分问题的Euler-Lagrange型最优性必要条件最优性条件，以及横截性和充分最优性条件.这使得获得必要的和充分的Pareto最优性条件的多目标分数变分问题。
Fractional variational calculus of variable order
研究变阶分式算子变分法的基本问题。分数次积分是Riemann-Liouville意义下的积分，而导数是Caputo型的。
New Direct Numerical Methods for Some Multidimensional Problems of the Calculus of Variations
在本文中，我们发展了一种新的方法来设计的直接数值方法的多维问题的变分法。该方法是基于使用一类新的Sobolev样空间的文章中研究的问题的变换。这种转换允许一个解析计算的方向最速下降的变分法的主要功能相对于一定的内积，并反过来，构建新的直接数值方法的多维问题的变分法。在最后的文件中，我们指出如何在文章中开发的方法可以扩展到更一般的边界条件的问题，问题的泛函依赖于高阶导数的情况下，与等周和/或逐点约束的问题。
The Duality Theory of Fractional Calculus and a New Fractional Calculus of Variations Involving Left Operators Only
本文利用对偶性建立仅含左或右算子的分数阶分部积分公式，并据此提出只涉及单侧分数阶导数的变分法，进而从仅含左导数的拉格朗日量导出耗散系统运动方程。
Generalized Fractional Calculus of Variations
在这篇博士论文中，我们介绍了广义分数阶变分法。我们考虑包含广义分数次积分和导数的变分问题，并使用标准（间接）和直接法研究它们。特别地，我们得到了基本问题和等周问题的Euler-Lagrange型最最优性条件、自然边界条件和Noether定理。在Tonelli型条件下证明了解的存在性。此外，我们应用我们的结果证明存在的特征值，相应的正交特征函数，分数Sturm-Liouville问题。
On sufficient conditions in the classical problem of the calculus of variations
本文提出了一种新的变分问题充分条件，通过引入积分函数集的概念，获得了弱极小、强局部极小及绝对极小的充分条件，并拓展了其应用范围。
The Delta-nabla Calculus of Variations for Composition Functionals on Time Scales
我们发展了变分法的时间尺度的功能，这是一个特定的标量函数的组合物的δ和nabla积分的向量值字段。证明了任意时间尺度上等周问题的Euler-Lagrange方程、横截性条件和最优性必要条件。有趣的推论和例子。
A unified approach to the calculus of variations on time scales
在这项工作中，我们提出了一个新的和更一般的方法，允许获得，作为特殊情况下，无论是三角洲和纳布拉结果的变分法的时间尺度。更确切地说，我们提出的问题，最大限度地减少或最大化的组成的δ和nabla积分与拉格朗日涉及方向导数。在适当的凸性假设下，证明了统一的Euler-Lagrange最优性最优性条件和充分条件.我们用简单的例子说明了结果。
An Inverse Problem of the Calculus of Variations on Arbitrary Time Scales
考虑任意时间尺度上变分泛函的一个极值反问题。利用Euler-Lagrange方程和加强的Legendre条件，得到了在向量空间的给定点处达到局部极小值的变分泛函的一般形式.
$\bf{C^{1,1}}$-smoothness of constrained solutions in the calculus of variations with application to mean field games
在光滑状态约束下，我们得到了变分法中正则泛函极小化的必要最优性条件。在文献中，这个经典问题被广泛研究。我们的结果的新颖之处在于这样一个事实，即状态约束的存在进入欧拉-拉格朗日方程作为一个局部反馈，这使得推导出的$C^{1,1}$ -光滑的解决方案。作为应用，我们讨论了约束平均场博弈问题，对此我们的最优性条件允许构造Lipschitz松弛解，从而改进了[Cannarsa，P.，卡普阿尼河\textsl{Existence and uniqueness for Mean Field Games with state constraints}，arXiv：1711.01063]。
Necessary optimality conditions for the calculus of variations on time scales
我们研究更一般的变分问题上的时间尺度。通过证明必要的最优性条件，推广了以前的结果：（i）变分问题，涉及超过一阶的δ导数，和（ii）问题的变分法与δ微分侧条件（拉格朗日问题的变分法的时间尺度）。
Fractional Calculus of Variations in Terms of a Generalized Fractional Integral with Applications to Physics
我们研究了分数阶变分问题的广义分数次积分与拉格朗日依赖于经典导数，广义分数次积分和导数。我们得到了基本问题和等周问题的最优性必要条件，以及自由边界值问题的自然边界条件。推广了分数类作用变分法，并讨论了它在物理中的应用。
Dual variational formulations for a large class of non-convex models in the calculus of variations
本文发展了变分优化中一大类模型的对偶变分公式。结果是通过泛函分析、凸分析和对偶理论的基本工具建立的。主要的对偶原理是作为一个应用程序开发的金-朗道型系统在超导在没有磁场。在第一部分的最后一节中，我们开发了新的一般对偶凸变分公式，更具体地说，对偶公式具有一个大的凸区域周围的临界点，适用于非凸优化的一个大类模型在物理和工程。最后，在最后一节中，我们给出了应用于Ginzburg-Landau型方程的广义直线法的一些数值结果。
A duality theory for non-convex problems in the Calculus of Variations
在可能的混合Dirichlet和Neumann边界条件下，我们提出了一个新的对偶理论的非凸变分问题。对偶问题读起来很像一个线性规划问题，我们的主要结果表明，没有对偶差距。此外，我们提供了必要和充分的最优性条件，我们表明，我们的对偶原则可以重新表述为一个最小最大的结果，这是非常有用的数值实现。作为一个例子，我们说明了我们的方法的应用，一个著名的自由边界问题。结果在\cite{BoFr}上公布。
Euler-Lagrange equations for composition functionals in calculus of variations on time scales
本文研究了一类泛函的变分问题，该泛函是某个标量函数$H$与向数域$f$的δ积分的复合，即，形式为$H(\int_{a}^{b}f(t,x^σ(t),x^Δ(t))Δt)$。给出了一般时间尺度上的欧拉-拉格朗日方程、此类问题的自然边界条件以及等周问题的最优性必要条件。得到了一些推论，并详细讨论了几个说明新结果的例子。
Necessary conditions for a minimum in classical calculus of variation problems in the presence of various degenerations
在本文中，我们提供了一种方法来研究极值的经典变分法中存在的各种退化。这种方法是基于引进的Weierstrass型变化的特点是一个数值参数。为了获得更有效的结果，引入的变化以两种形式使用：相对于给定点的右边变化的形式，以及相对于同一点的左边变化的形式。该研究是在假设沿着所考虑的极值Weierstrass条件和Legendre条件退化，即它们在单独的点或在某些间隔上满足等式的情况下进行的。得到了两类新的必要条件：强局部极小值和弱局部小值的等式型条件和不等式型条件。给出的具体例子和反例表明，本文所得到的一些必要的极小条件是相应的已知结果在这一方向上的加强和改进.
Necessary and sufficient conditions for the fractional calculus of variations with Caputo derivatives
我们证明了含有左右Caputo分数阶导数的不同变分泛函的最优性条件。在适当的凸性假设下，给出了极小化的一个充分条件。本文还证明了泛函的欧拉-拉格朗日方程，其中积分的上下上界与Caputo导数的界是不同的。然后，将分数阶等周问题转化为积分约束下的Caputo导数问题.考虑正常和异常极值。
A Calculus of Variations Approach to Stochastic Control
利用经典变分法工具，为有限时间随机控制问题中的马尔可夫控制推导最优性必要条件，并求解默顿投资组合优化问题。
Remarks on the calculus of variations on time scales
变分法是一门经典的学科，在过去的三百年里，它获得了只有时间才能给予的严谨和优雅。在这份说明中，我们表明，相反的经典领域，现有的配方和结果，最近的变分法时间尺度仍处于启发式水平。
On the local everywhere bounndedness of the minima of a class of integral functionals of the Calculus of the Variations with 1<q<2
本文研究变分法中两类积分泛函极小值的正则性与局部处处有界性，针对1<q<2的情形给出相关结论。
Fractional Calculus of Variations: a novel way to look at it
在这项工作中，我们看看原来的分数变分问题在某种程度上不同的方式。作为一个简单的结果，我们表明，一个经典问题的分数推广有一个解决方案，没有任何限制的导数阶$α$。
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