Regularity of Solutions to Second-Order Integral Functionals in Variational Calculus
得到了一类新的二阶导数变分问题的正则性条件。作为一个推论，我们得到不发生拉夫连季耶夫现象。我们的主要结果断言，自治积分泛函的变分法与拉格朗日超线性偏导数的高阶导数只允许极小与本质上有界的衍生物。
2007-07-16 math.OC
Regularity of solutions to higher-order integrals of the calculus of variations
我们获得了高阶导数变分问题的新的正则性条件。作为一个推论，我们得到不发生拉夫连季耶夫现象。我们的主要正则性结果断言，自治的积分泛函与拉格朗日有强制性的偏导数的高阶导数只承认极小与本质上有界的衍生物。
2007-07-18 math.OC
Euler-Lagrange equations for multiobjective calculus of variations problems via set optimization
考虑了具有给定端点的容许弧集上的向量值拉格朗日量的积分泛函的极小化问题。该问题是通过将其嵌入到一个集最优化问题，使图像空间成为一个完全格。这个过程允许定义极小化器和无穷化器的概念，作为两个完全不同的概念。对于线性标量化问题，证明了一个infimizer包含极小化器或至少包含极小化序列，其中标量化参数是序锥的对偶中的元素。用这种方法得到了集值Euler-Lagrange方程，并定义了这些方程的弱解。在经典结果的指导下，在适当的凸性和非凸性假设下，证明了一个无穷小化子的存在性结果。除了无约束问题，欧拉-拉格朗日方程提供的情况下，等周约束。最后，将研究结果应用于节能建筑体型的优化。
2021-06-25 math.OC
On sufficient conditions in the classical problem of the calculus of variations
Institute of Mathematics and Mechanics of Ministry of Science and Education（阿塞拜疆科学与教育部数学与力学研究所）；Institute of Control Systems of Ministry of Science and Education（阿塞拜疆科学与教育部控制系统研究所）；ADA University（ADA大学）
本文提出了一种新的变分问题充分条件，通过引入积分函数集的概念，获得了弱极小、强局部极小及绝对极小的充分条件，并拓展了其应用范围。
2025-12-26 math.OC
$\bf{C^{1,1}}$-smoothness of constrained solutions in the calculus of variations with application to mean field games
在光滑状态约束下，我们得到了变分法中正则泛函极小化的必要最优性条件。在文献中，这个经典问题被广泛研究。我们的结果的新颖之处在于这样一个事实，即状态约束的存在进入欧拉-拉格朗日方程作为一个局部反馈，这使得推导出的$C^{1,1}$ -光滑的解决方案。作为应用，我们讨论了约束平均场博弈问题，对此我们的最优性条件允许构造Lipschitz松弛解，从而改进了[Cannarsa，P.，卡普阿尼河\textsl{Existence and uniqueness for Mean Field Games with state constraints}，arXiv：1711.01063]。
2018-06-23 math.OC
Sobolev spaces and calculus of variations on fractals
本说明包含一个审查$p$ -能源和索伯列夫空间的度量测度空间进行强当地正规狄利克雷形式。这些索伯列夫空间然后被用来推广变分学的一些基本结果，如凸泛函的极小的存在性和某些约束极小化问题。这适用于一些非经典的情况下，如退化扩散，叠加的扩散和扩散的分形或产品的分形。
2018-05-11 math.AP math.FA math.OC
Caratheodory-Equivalence, Noether Theorems, and Tonelli Full-Regularity in the Calculus of Variations and Optimal Control
我们研究，在一个统一的方式，以下问题有关的性质庞特里亚金极值的最优控制问题与无限制的控制：i）如何转换，这定义了两个问题的等价性，转换的极值？ii）如何获得沿任何极值守恒的量？iii）如何保证极值集包含存在性理论所预测的极小点？这些问题是连接到：i）Caratheodory方法建立了对应关系的最小化曲线的等价问题; ii）之间的相互作用的概念不变性和理论的最优性条件的最优控制，这是关注的定理的Noether; iii）正则性条件的极小化和工作开创了Tonelli。
2002-06-21 math-ph math.MP math.OC
Absolute Extrema of Invariant Optimal Control Problems
最优控制问题通常借助于著名的庞特里亚金最大值原理（PMP）来解决，该原理给出了经典的变分法的欧拉-拉格朗日和维尔斯特拉斯最优性必要条件最优性条件的推广。成功应用PMP允许获得局部极小值的候选项。1967年，Leitmann提出了一种直接法，该方法允许直接获得全局极小，而不需要使用必要条件。Leitmann的方法是连接的，如卡尔森在2002年所示，与“Caratheodory的皇家道路的变分法”。在这里，我们提出了一个相关的，但不同的直接方法的变分法和最优控制，它允许直接获得全球最小值的问题，而不求助于针的变化和必要条件。我们的方法的灵感来自于经典的Noether定理及其最近扩展到最优控制。我们利用问题的变分对称性，考虑参数不变变换和替代的参数族的最优控制问题的原始问题。在某种意义上，参数是固定的，以便使问题变得微不足道。最后，通过应用所选择的不变变换的逆，我们得到原问题的全局极小值。所提出的方法说明，通过解决具体问题，并与Leitmann的方法相比。
2006-08-15 math.OC
Variational convexity: new characterizations, calculus rules, and applications
University of Vienna（维也纳大学）
本文提出变分凸函数的新刻画（通过近端包络和图），研究保持变分凸性的运算（非线性/线性复合、求和、近端平均），并将其应用于非线性规划问题，得到确保局部极小点而非仅驻点的新条件。
2026-06-24 math.OC
Tilt Stability for Nonlinear Programs under Relaxed Constant Rank Constraint Qualification
本文研究了有限维非线性规划局部极小点在放松的常秩约束规格下的倾斜稳定性。利用邻域原-对偶方法和次梯度图导数的微积分规则，得到了倾斜稳定局部极小点的一些基于点的刻画，以及倾斜稳定性的精确界的计算公式.这些结果推广了H. Gfrerer和B.S.Mordukhovich [SIAM J. Optim. 25（2015），2081-2119]通过放松约束规格并去除等式约束函数的梯度的线性独立性条件。举例说明我们的研究结果。
2025-08-09 math.OC
Direct approach to the problem of strong local minima in Calculus of Variations
本文介绍了一种判别变分泛函强局部极小的一般策略。它是基于这样的想法，即任何变化的积分功能可以直接评估在适当的参数化措施。我们证明了我们的方法上的问题W^{1，无穷}弱 * 局部极小-强局部极小的经典概念的轻微削弱。我们得到了W^{1，infinity}弱-* 局部极小的第一个基于拟凸性的充分条件集。
2005-09-29 math.AP math.OC
PDE Models for Deep Neural Networks: Learning Theory, Calculus of Variations and Optimal Control
本文提出一个PDE框架，通过连续化网络宽度和深度来建模深度神经网络，利用变分法和最优控制理论分析学习问题，并建立前向-后向离散化方法，以提升模型的稳定性、效率和可解释性。
2024-11-09 math.OC
Semidefinite relaxations for nonlinear elasticity with energies convex in the Cauchy-Green strain tensor
Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）；Institute of Information Sciences and Automation, Czech Academy of Sciences（捷克科学院信息科学与自动化研究所）
本文研究了在Cauchy-Green应变张量上凸的非线性弹性问题，证明了原始非凸变分问题与基于占据测度的线性矩形式之间无松弛间隙，提供了高效的无网格数值方法。
2026-09-21 math.OC
On non-locality in the Calculus of Variations
非局部性在各种偏微分方程背景下和变分问题中得到了深入的研究。数值逼近也看起来具有挑战性，以及这些模型的应用，连续力学和图像分析，在其他领域。尽管人们对非定域性有了越来越多的深刻而基本的认识，但对于变分原理来说，至今仍有一些非常基本的问题没有得到解决。以其中的一些作为动机，我们描述了一个一般的角度对不同类别的非本地变分原理设置一个程序，分析这类问题。我们开始这样的程序与最简单的问题可能：标量，一维的情况下，在一个特定的类的非局部性。即使在这个简单的初始场景中，人们也会发现相当出乎意料的事实，以至于我们对局部经典问题的直觉不再能指导我们解决这些新问题。有三个主要的问题值得强调，在特定的情况下处理：$\bullet$自然的基础空间涉及不同的非本地类型的衍生物，例如，分数索伯列夫空间; $\bullet$没有凸的被积函数是需要存在的最小值; $\bullet$最优性制定在相当特殊的积分方程，而不是微分方程。因此，我们能够为促使我们调查的最初问题提供一些具体答案。在随后的论文中，我们将继续考虑高维情形，这是由在全向量高维情形中弱下半连续性可能不涉及凸性或拟凸性的可能性驱动的。
2021-06-04 math.AP math.OC
A new elementary proof for M-stationarity under MPCC-GCQ for mathematical programs with complementarity constraints
本文为 MPCC 在 MPCC-GCQ 条件下的 M-稳定性提供了一个更简单的初等证明，并解决了 Schinabeck 毕业论文中提出的一个猜想。
2021-10-21 math.OC
The Calculus of Boundary Variations and the Dielectric Boundary Force in the Poisson-Boltzmann Theory for Molecular Solvation
在一个连续介质模型的带电分子在水溶液中的溶剂化，经典的泊松-玻尔兹曼（PB）理论推广到包括溶质点电荷和介电边界，从低介电溶质分离的高介电溶剂。在这样的设置下，我们构建了一个有效的离子浓度静电自由能泛函，其中溶质点电荷被反应场正则化。我们证明了这样一个功能承认一个唯一的极小在一类容许离子浓度和相应的静电势是唯一的解决方案的边值问题的介电边界PB方程。该最小自由能相对于电介质边界的变化的负的一阶变分定义了电介质边界力的法向分量。与溶质-溶剂界面张力和范德华相互作用力一起，这种边界力驱动底层带电分子系统达到稳定平衡，如变分隐式溶剂模型所描述的。我们发展了一个$L^2$-理论的连续性和可微性的椭圆界面问题的解决方案，关于边界变化，并推导出一个明确的公式的介电边界力。与连续描述，我们的结果的介电边界力证实了分子水平的预测，静电力点从高介电和极化的水溶液溶剂的带电分子。我们的分析方法是通用的，因为它不依赖于任何变分原理。
2020-10-08 math-ph math.AP math.MP
On the Convexity of Discrete Time Covariance Steering in Stochastic Linear Systems with Wasserstein Terminal Cost
University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；University of California, Santa Cruz（加州大学圣克鲁兹分校）
在这项工作中，我们分析了离散时间高斯线性系的协方差导向问题的解决方案的平方Wasserstein距离终端成本的性质。在我们以前的工作中，我们已经表明，通过利用状态反馈控制政策参数化，这个随机最优控制问题可以与一个凸函数程序的差异。在这里，我们重新审视相同的协方差控制问题，但这次我们专注于问题的分析。具体来说，我们建立的最优化问题的解决方案的存在性，并推导出一阶和二阶条件的最优性。我们利用矩阵微积分的专门工具，提供了性能指标的梯度和Hessian的解析表达式。随后，我们证明了最优化问题总是允许一个全局极小，最后，我们提供了一个充分条件的性能指标是一个严格凸函数（在后一个条件下，问题允许一个唯一的全局极小）。特别是，我们表明，当终端状态的协方差是上界的，相对于Löwner偏序，所需的终端正态分布的协方差阵，那么我们的问题承认一个唯一的全球最小化状态反馈增益。本文的研究结果为开发专门的控制设计工具奠定了基础，这些工具利用协方差转向问题的解决方案的结构，具有平方Wasserstein距离终端成本。
2021-03-25 cs.LG cs.SY eess.SY
