Powers of Monomial Ideals and Combinatorics
Le Tuan Hoa
本文阐述了关于相伴素数和单项式理想的不同幂的深度的一些新结果，以表明交换代数与组合学中的某些对象如单纯复形、多面体中的整点和图之间的深刻联系。
This is an exposition of some new results on associated primes and the depth of different kinds of powers of monomial ideals in order to show a deep connection between commutative algebra and some objects in combinatorics such as simplicial complexes, integral points in polytopes and graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Tameness of Local cohomology of monomial ideals with respect to monomial prime ideals
本文研究了单项式理想关于素理想的局部上同调模，并证明了这些局部上同调模都是驯服的。
Combinatorics of Cremona monomial maps
一种是用组合方法研究Cremona单项映射。其中一个结果是一个简单的整数矩阵理论证明，Cremona单项式映射的逆也是由固定次数的单项式定义的，而且，定义逆的单项式的集合可以显式地根据初始数据获得。给出了平面Cremona单项式群的一个简洁的结论，特别是已知的平面Cremona（单项式）映射与其逆映射具有相同的次数.包括是一个讨论的计算方面和/或实施的组合不变量源于这些问题。
Powers of squarefree monomial ideals and combinatorics
我们调查的研究有关的代数性质的权力的平方自由单项理想组合结构。特别是，我们描述了如何检测（超）图的重要属性，通过解决理想的成员资格问题和计算相关的素数。这项工作导致代数刻画的完美图独立的强完美图定理。此外，我们还讨论了由线性规划得到的Conforti-Cornuejols猜想与无平方项理想的符号幂和普通幂何时重合的等价性.
On posets, monomial ideals, Gorenstein ideals and their combinatorics
本文从组合角度比较单项式理想的 socle 元素与 Macaulay 逆系统，建立相关偏序集的闭包性质，推导 Γ-分次环的代数命题及其组合推论，并对零维 Gorenstein 理想进行直接计算，揭示多项式环与局部环之间的关键差异。
On the stable set of associated prime ideals of a monomial ideal
证明了任何非零单项素理想集都可以实现为单项理想的相伴素理想的独立集。此外，还给出了一个计算单项理想的相伴素理想的独立集的算法。
Monomial Difference Ideals
本文研究了单项差理想的基本性质。证明了单项式生成的良混合差理想的非生成性。进一步，给出了根的良混合单项差理想的一个有限素分解。作为结果，我们证明了差多项式环中的根良混合单项式差理想的严格升链是有限的，从而回答了E. Hrushovski在单项的情况下。此外，还将单项理想的Alexander对偶推广到单项理想的情形.
Betti numbers of monomial ideals in four variables
本文利用66个无平方根的四元单项式理想的多重贝蒂数表示了四元单项式理想的多重贝蒂数.我们使用这类66个理想证明了4个变量中的单项分解与基域无关。此外，我们还给出了任意4元单项式理想的贝蒂数的计算公式.
On the monomial reduction number of a monomial ideal in $K[x,y]$
研究了多项式$K[x,y]$中单项理想的约化数.我们关注理想$I$，其中$J=(x^a,y^b)$是约化理想。约简数的计算相当于求解线性不等式。在某些特殊情况下，可以显式计算约简数。
Monomial ideals with linear quotients whose Taylor resolutions are minimal
研究了单项理想的泰勒分解在什么情况下是极小的。我们考虑具有线性同分元的单项理想。特别地，我们精确地确定了具有最小Taylor分解的线性分解的稳定理想和单项理想。
Monomial Cycles in Koszul Homology
该研究探讨单项式环上Koszul同调的单项式闭链，提出边缘理想刻画闭链为边缘链的条件，推导Golod单项式理想的判定条件并完成多类Golod理想分类，还证明具线性商的一类理想存在单项式闭链构成的同调基。
Linear resolutions and quasi-linearity of monomial ideals
本文引入拟线性的概念，证明了一个单项理想必须有一个线性分解，并确定了所有拟线性二次单项理想。本文定义了单项理想$I$的强线性单项，证明了如果$\mathbf{u}$是$I$上的强线性单项，则$I$有线性归结（resp：是拟线性的）当且仅当$I+\mathbf{u}\mathfrak{p}$有线性归结（resp：是拟线性的）.这里$\mathfrak{p}$是任何单项素理想。
Minimal generating sets for the first syzygies of a monomial ideal
给出了一个单项理想的最小生成元集，得到了该理想的第一syzygies的两个最小生成元集。
On the arithmetical rank of certain monomial ideals
我们确定了一个新的技术，允许计算的算术秩的某些单项理想。
Invariants of some classes of monomial ideals
在这篇论文中，我们的兴趣是描述某些类的单项式理想的一些同调不变量。我们将关注无平方和非无平方lexsegment理想。
Stanley depth and size of a monomial ideal
Lyubeznik介绍了概念的大小的一个单项理想，并表明，大小的一个单项理想增加了$1$是一个下界，其深度。我们表明，大小也是一个下界的斯坦利深度。利用Alexander对偶，我们得到了无平方因子单项理想的正则性和Stanley正则性的上界.
Monomial ideals of minimal depth and trivial modifications
设$S$是域上的多项式代数。我们研究类的单项理想（例如lexsegment理想）的$S$具有最小的深度。特别是，斯坦利猜想持有这些理想。此外，我们表明，如果斯坦利的猜想举行的平方自由单项理想，那么它持有的所有平凡的修改。
The fiber cone of a monomial ideal in two variables
本文明确地给出了二元单项理想类的纤维锥的深度及其关系理想。这些类包括凹理想和凸理想以及对称理想。
On the copersistence property and nearly copersistence property of monomial ideals
该论文聚焦数学交换代数领域，针对单项式理想展开研究，主要探究满足共持续性质或近共持续性质的这类单项式理想的相关特性。
Stanley depth of monomial ideals in three variables
我们证明了$\depth(S/I)=0$当且仅当$\sdepth(S/I)=0$，其中$I\subset S=K[x_1,...,x_n]$是一个单项理想。本文给出了计算$S/I$的Stanley深度的一个算法，其中$I\subset S=K[x_1,x_2,x_3]$是单项式理想.证明了由三个单项式极小生成的单项式理想$I\subset K[x_1,x_2,x_3]$具有$\sdepth(I)=2$ .
Monomial ideals whose depth function has any given number of strict local maxima
我们构造单项式理想的性质，他们的深度函数有任何给定数量的严格的局部极大值。
Expansions of monomial ideals and multigraded modules
我们引入了定义在多阶模上的一个正合函子，称之为扩张函子，并研究了它的同调性质。扩展函子应用于一个单项理想的数额，以替代的变量由单项素理想，并适用于这种替代的理想的发电机。该操作自然地发生在各种组合上下文中。
Arithmetical rank of Cohen-Macaulay squarefree monomial ideals of height two
本文证明了一个高为2的无平方根单项式理想，其商环为Cohen-Macaulay，是集论完全交.
Monomial ideals under ideal operations
本文证明了对于$K[x_1,x_2,\ldots,x_n]$的单项理想$I$，如果$I$具有相同的性质，则积分闭包$\ol{I}$是Borel型单项理想（分别为Borel固定的、强稳定的、lexsegment的或泛lexsegment的）.我们还证明了$I$的$k^{th}$符号幂$I^{(k)}$保持Borel型、Borel固定和强稳定的性质，并且如果$I$是稳定的词法段，则$I^{(k)}$是词法段.对于单项式理想$I$和单$>素理想$P$，研究了一个新的理想$J(I, P)$，并给出了$I^{(k)}$的准素分解的清晰描述。然后定义了单项理想$J$的一个新的单纯复$_J\bigtriangleup$，并证明了$I_{_J\bigtriangleup^{\vee}} = \sqrt{J}$ .最后，我们证明了在一个附加的弱假设下，单项式理想是泛lexsegment当且仅当它的极化是squarefree强稳定理想。
A note on monomial ideals
我们表明，生成一个squarefree单项式理想的根的元素的数量总是可以有界以上的最小单项式生成元的数量和最大高度的最小素数。
Minimal Monomial Reductions and the Reduced Fiber Ring of an Extremal Ideal
设$I$是多项式环$A=K[x_1,...,x_n]$中的单项理想.如果不存在真的单项理想$L \subset J$使得$L$是$I$的一个约化理想，我们称一个单项理想$J$是$I$的一个极小单项约化理想.证明了$I$存在唯一的极小单项式约化理想$J$，并证明了$J$的单项式生成元的最大度决定了$t\gg 0$的线性函数$\reg(I^t)=pt+c$的斜率$p$.我们确定了$J$的约化纤维环$\mathcal{F}(J)_{\red}$的结构，并证明了$\mathcal{F}(J)_{\red}$同构于由$J$的凸几何性质确定的半群环的逆系统的逆极限.
Monomial ideals with large projective dimension
设S是任意域上的n元多项式环。对S中的每个单项式理想M，给出了S/M的全Betti数、分次Betti数和多重分次Betti数贝蒂数.我们还给出了S中商S/M具有投射维数n的所有单项式理想M的一个明确的刻画.
Colon structure of associated primes of monomial ideals
我们找到了一个明确的表达为一个由元素$v$冒号的单项理想的相关素数，使用唯一的不可约分解，其不可约成分是单项理想（定理3.1）。使用Macaulay 2给出了计算$v$的算法（第7节）。对于无平方项的单项理想，这个问题与底层杂波或图的组合学有关（命题4.3）。对于Borel型的理想，单项式$f$有一个更简单的形式（命题5.2）。作者在$f$唯一时进行分类（命题6.2）。
On monomial ideals whose Lyubeznik resolution is minimal
对于单项理想$I$，设$G(I)$是它的最小单项生成元集。如果在$G(I)$上存在一个全序使得$I$的相应Lyubeznik分解是$I$的最小自由分解，则$I$称为Lyubeznik理想。本文刻画了Lyubeznik理想，并发现了几类Lyubeznik理想.
Decompositions of Betti diagrams of powers of monomial ideals: A stability conjecture
本文提出了一个关于单项理想幂的Betti图稳定性的猜想。
Stanley depth of complete intersection monomial ideals
我们计算了不可约单项式理想的Stanley深度，并证明了单项式完全交理想的Stanley深度与它的根式的Stanley深度相同。同时，我们也给出了单项完全交理想的Stanley深度的一些界。
Simplicial affine semigroups with monomial minimal reduction ideals
刻画了单纯仿射半群环的单项极大理想何时有单项极小约化。在这种情况下，我们研究了伴随分次环的Cohen-Macaulay和Gorenstein性质，并给出了关于单项式最小约化的约化数的几个界.
Upper bounds of depth of monomial ideals
设$J\subsetneq I$是域上多项式环$S$的两个理想，由无平方单项式生成。证明了$I\setminus J$的不同次数的平方自由单项式个数之间的不等式给出了$\depth_SI/J$的上界.
Poset Resolutions of Monomial Ideals
我们引入了格线性单项理想类，并利用LCM格给出了它们的最小自由分解的显式构造。格线性理想类包括（其中）具有线性自由分解的单项理想类和Scarf单项理想类。我们的主要工具是一个新的建设由Tchernev，生产从映射的偏序集$η:P\lra\mbb{N}^n$的序列的多阶模块和地图。
Stanley depth of complete intersection monomial ideals and upper-discrete partitions
设$I$是$S=K[x_1,...,x_n]$中的$m$生成的完全交单项理想.我们证明了$I$的Stanley深度为$n-\floor{\frac{m}{2}}$ .我们还研究了单项理想的上离散结构，证明了如果$I$是极小由3个元素生成的无平方的单项理想，则$I$的Stanley深度是$n-1$ .
A generalized Hochster's formula for local cohomologies of monomial ideals
建立了单项式理想的局部上同调的Hilbert级数，它不一定是平方自由的。作为应用，我们给出了广义Cohen-Macaulay单项理想的局部上同调非零度的一个精确下界和k-Buchsbaum性的正整数k的一个精确下界.
Transversal Intersection of Monomial Ideals
本文证明了单项式理想横截交的条件，并给出了这一现象的一个简单刻画。
On the behavior of the size of a monomial ideal
本文研究了单项式理想在极化和一般形变下的尺寸行为。作为应用，我们推广了Herzog，Popescu和Vladoiu关于无平方根单项式理想的大小和Stanley深度的一个结果，以及Tang的一个平行结果.
On complete monomial ideals
在二维空间中，我们组合地研究了完备单项式理想及其Rees代数，并给出了有效的方法来寻找它们的定义方程。
Classes of sequentially Cohen-Macaulay squarefree monomial ideals
我们计算了完全无平方lexsegment理想的最小准素分解。我们证明了临界无平方根单项理想是序列Cohen-Macaulay理想。作为应用，我们给出了序列Cohen-Macaulay的完全无平方lexsegment理想的一个完整刻画，并导出了这类理想的一些同调不变量的计算公式.
Monomial ideals with regular quotients and some edge rings
本文引入并研究了具有正则商的单项式理想作为线性商的推广，并据此计算出各类边环的 toric ideal 的 Betti 数。
Cohen-Macaulayness of powers of two-dimensional squarefree monomial ideals
二维无平方根单项理想可以看作是图的Stanley-Reisner理想。本文的主要结果是这样一个理想的普通幂和符号幂的Cohen-Macaulay性的组合特征。
Monomial ideals with minimal generalized Barile-Macchia resolutions
研究识别了几类具有最小广义巴里-马奇亚解析的单项式理想，包括通用单项式理想、具有线性商的单项式理想及超树的边理想，并刻画了具有桥友边理想的连通单环图。
Stanley depth of quotient of monomial complete intersection ideals
本文计算了完全交单项式理想之商在特殊情形下的Stanley深度，给出了一般情形下的精确界，并证明了该情形满足Stanley猜想。
Regularity for certain classes of monomial ideals
我们引入了一类新的单项理想，称为强Borel型理想，并计算了主强Borel型理想的Mumford-Castelnouvo正则性。此外，我们描述了d-固定的理想所产生的权力的变量，我们计算他们的正则性。
Cotangent cohomology of quadratic monomial ideals
研究了多项式环的直子的二次单项式理想的变形理论。更精确地说，我们计算的第一余切上同调模这样的环。给出了二阶余切上同调模为零的一个判别准则。
Further results on monomial ideals of projective dimension one
本文证明了投射维数一的单项式理想等价于其极小生成元可排序使得连续商理想为主理想，并给出了此类理想中具有线性分解的平方自由单项式理想的部分分类。
The Bhattacharya function of complete monomial ideals in two variables
我们给出了二元m-准素完全单项理想的Bhattacharya函数关于Newton多面体顶点或关于理想分解为单理想的乘积的显式公式。
Combinatorial characterizations of generalized Cohen-Macaulay monomial ideals
我们给出了一个推广的Hochster公式的局部上同调的平方自由单项式理想的单项式理想，这不一定是平方自由的。利用这个公式，我们给出了广义Cohen-Macaulay单项式理想的组合特征。我们还给出了广义Hochster公式的其他应用。
LCM Duals of Monomial Ideals
给定域上多项式环中的单项式理想，定义了该理想的LCM-对偶。我们显示出良好的性能的LCM-STO。包括LCM-对偶的特殊纤维与给定的单项理想的特殊纤维之间的同构。我们证明了强稳定理想的LCM-Koszul域的特殊纤维是正规的Cohen-Macaulay-Koszul域。我们给出了强稳定理想的LCM-图的极小自由分解的一个明确的描述。
Results on the normality of square-free monomial ideals and cover ideals under some graph operations
在本文中，我们介绍的技术，生产正常的平方自由单项式理想从旧的理想。这些技巧被用来研究覆盖理想在某些图运算下的正规性。作为两个正规理想的线性组合的平方自由单项式理想被证明不一定是正规的;在这种情况下，我们研究这些理想的所有幂的积分封闭性。
Finite atomic lattices and resolutions of monomial ideals
本文主要通过研究与之相关的LCM格来研究单项理想及其极小自由分解。特别是，我们正式定义的概念，协调一个有限的原子格P产生一个单项式理想的LCM格是P，我们给出了一个完整的表征，所有这样的协调。证明了n个有序原子的有限原子格L（n）中的所有关系都可以作为单项式理想的指数的变形来实现。我们也给出了L（n）的结构结果。此外，我们证明了L（n）中的单项式理想M的极小自由分解的胞腔结构可以推广到其LCM格大于M的LCM格的某些单项式理想的极小分解.
Depth of powers of squarefree monomial ideals
我们得到了对应于超森林的无平方根单项理想的幂的深度的两个一般界。这些界推广了已知的无平方单项式理想的深度界，这些深度界是根据相应超图的边控制数和关于理想的初始正则序列的长度给出的.
A note on Stanley's conjecture for monomial ideals
证明了Stanley猜想对至多由$2n-1$单项式生成的单项式理想$I\subset K[x_1,...,x_n]$成立，即$sdepth(I)\geq depth(I)$ .
Hilbert's Syzygy Theorem for monomial ideals
本文给出了关于单项理想的Hilbert合点定理的一个新证明。此外，我们证明了以下内容。如果S=k[x_1，...，x_n]是域上的多项式环，M是S中的无平方单项式理想，且M的每个极小生成元的度都大于i，则S/M的投射维数至多为n-i.
Prime filtrations of monomial ideals and polarizations
证明了至多3个变量的多项式环中的所有单项理想都是相当干净的，并且任意单项理想$I$是相当干净的当且仅当它的极化$I^p$是干净的。这就给出了一个关于相当干净的单项式理想的算术次数的新刻画，并且它也意味着一个多重复形是可壳的，当且仅当对应于它的极化的单纯复形是（非纯）可壳的。我们还讨论了与素过滤有关的斯坦利分解。
Stanley depth of weakly polymatroidal ideals and squarefree monomial ideals
设$I$是多项式环$S$的弱多拟阵理想或无平方根的单项理想.本文给出了$I$和$S/I$的Stanley深度的一个下界.特别地，我们证明了：如果$I$是一个单次生成的无平方单项式理想，则有${\rm sdepth}(I)\geq n-\ell(I)+1$和${\rm sdepth}(S/I)\geq n-\ell(I)$，其中$\ell(I)$表示$I$的解析扩展.这证明了作者在特殊情况下的一个猜想。
Computing generalized Frobenius powers of monomial ideals
理想的广义弗罗贝纽斯幂在Hernández、Teixeira和Witt的工作中被引入，作为测试理想的特征依赖类似物。然而，很少有人知道的Frobenius权力和临界指数的具体理想，即使在单项的情况下。给出了计算单项理想临界指数的一个算法，并利用该算法证明了关于单项理想的Frobenius幂和临界指数的一些结果。而不是使用测试理想，我们的算法使用的技术从线性最优化。
Lefschetz properties of monomial ideals with almost linear resolution
通过研究$S=\mathbb{K}[x_1,\dots ,x_n]$中的Artin单项理想的极小自由分解，研究了它们的WLP和SLP.我们研究了此类理想的Lefschetz性质，其中$S/I$的最小自由分解至少对$n-2$步是线性的。对Eisenbud，Huneke和Ulrich关于具有几乎线性分解的Artin单项理想的一个猜想给出了肯定的回答.
Stanley depth of monomial ideals
设$I\supsetneq J$是$\geq d$度生成域上多项式代数的两个单项理想，分别为. $\geq d+1$。利用\cite{IKM}最近关于极化的结果，研究了Stanley猜想对$I/J$何时成立.
The arithmetical rank of a special class of monomial ideals
本文对J.He和A. Van Tuyl等证明了一个特殊的单项理想的算术秩等于相应的商模的投射维数。
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