Uniquely realisable graphs in polyhedral normed spaces
本文研究多面体赋范空间中框架的全局刚性问题，提出了判定算法、通用框架的必要条件，并在$\ell_\infty^d$空间中获得了更强的充分条件和二维精确刻画。
2025-04-02 math.CO math.MG
Maxwell-Laman counts for bar-joint frameworks in normed spaces
刚度矩阵是研究杆系结构无穷小刚度特性的基本工具。在本文中，我们推广了这个工具，并介绍了任意有限维实赋范向量空间中杆系框架的刚度矩阵。使用这个新的矩阵，我们得到必要的麦克斯韦-拉曼型计数条件的一个真正的赋范向量空间中的一个位置良好的酒吧联合框架是无穷小刚性。此外，我们推导出了具有非平凡对称群的杆-关节框架是均衡的（即，最小无穷小刚性）。这些条件意味着非常简单的限制，这些结构组件的数量是固定的各种对称操作的框架。最后，我们提供了一些意见和aesthetures关于2维对称，均衡杆联合框架的单位球是一个四边形的组合characterisations。
2014-06-04 math.CO math.MG
Finite and infinitesimal rigidity with polyhedral norms
我们讨论了R^d中杆-关节框架关于多面体范数（即单位球P为凸d维多面体的范数）的有限刚性和无穷小刚性。无穷小和连续刚性被证明是等价的有限框架在R^d中，这是很好的定位相对于P.由单位球的小平面和框架的位置确定的边标签是用来在单色生成树方面的R^d中的无穷小刚性。对于R^2上的所有多面体范数，得到了一个类似于拉曼定理的结果。
2014-01-07 math.CO math.MG
Infinitesimal rigidity of convex surfaces through the second derivative of the Hilbert-Einstein functional I: Polyhedral case
摘要给出了凸多面体无穷小刚性的一个新证明。证明是基于研究衍生物的离散希尔伯特-爱因斯坦功能的空间上的“翘曲多面体”与一个固定的度量的边界。这种方法在某种意义上是双重的使用衍生物的体积，以证明高斯无穷小刚性的凸多面体，它处理的变形，保持面法线和面面积。在球面和双曲-德西特空间中，希尔伯特-爱因斯坦泛函和体积之间以及两种刚性之间存在完美对偶。我们还讨论了未来的研究方向，包括双曲（锥）流形的无穷小刚性的初等证明和离散Bochner技术的发展。
2011-05-25 math.DG math.MG
Infinitesimal Rigidity of Symmetric Frameworks
提出了新的自适应刚度矩阵，用于分析任意维阿贝尔点群对称杆系的无穷小刚度。这些矩阵定义了群标商图上新的自适应刚性拟阵。使用这些新工具，我们建立了无限刚性二维杆件接头框架的组合特征，这些框架的接头位置尽可能通用，但受到平面内反射、半转或三重旋转施加的对称性约束。对于平面上任意一个循环点群都是通用的杆节点框架，我们给出了无穷小刚度的若干必要条件。
2014-02-04 math.CO math.MG
Infinitesimal rigidity for non-Euclidean bar-joint frameworks
在非欧几里得空间（R^2，||.||_ q）是用（2，2）-紧图刻画的。具体地说，平面上一般放置的杆-关节框架（G，p）关于非欧l^q范数是极小无穷小刚性的当且仅当基础图G =（V，E）包含2条|V| -2边且每个子图H=（V（H），E（H））至多包含2条|V（H）|-2个边缘。
2013-12-20 math.CO math.MG
Statics and kinematics of frameworks in Euclidean and non-Euclidean geometry
这是一篇关于欧几里得、双曲和球面几何中框架的无穷小刚性的综述文章。我们讨论的等价性的静态和运动学配方的无穷小刚度，静力学的投影解释（代表力作为bivectors），和无穷小Pogorelov地图，建立对应关系的无穷小运动的框架和它的测地线图像。此外，我们描述的麦克斯韦-克雷莫纳之间的对应平衡负载和多面体升降机，无论是欧几里德和非欧几里德框架。
2017-07-07 math.MG
Almost all circle polyhedra are rigid
证明了欧氏平面$\mathbb{E}^{2}$上几乎所有三角化圆多面体的无穷小逆刚性，以及$2$ -球面$\mathbb{S}^{2}$上切圆填充的无穷小逆刚性.由此，几乎所有的三角化圆多面体的刚性如下。证明适应格鲁克的证明在~ \cite{gluck75}的刚性几乎所有的欧几里得多面体的设置圆形多面体，其中反演距离取代欧几里得距离和莫比乌斯变换取代刚性欧几里得运动。
2018-07-24 math.MG
Generalised rigid body motions in non-Euclidean planes with applications to global rigidity
针对一般实赋范平面中杆-铰框架的全局刚性问题，本文引入由解析范数决定的广义刚体运动理论，并据此得出若干几何与组合结论。
2021-08-14 math.CO math.MG
Conic Frameworks Infinitesimal Rigidity
本文介绍了一种新的结构--圆锥框架及其刚度。它们由代理和代理对之间的一组有向约束组成。当结构在保持约束的同时不能弯曲时，它被称为刚性的。如果只考虑光滑变形，则刚性的充分条件称为无穷小刚性。在圆锥框架中，每个代理$u$具有空间位置$x_u$和由偏置$β_u$表示的时钟偏移。如果从代理$u$到代理$w$的约束在框架中，则设置从$u$到$w$的伪范围（定义为${\left\lVert{x_u - x_w}\right\rVert} + β_w - β_u$）。使用到达时间方法测量座席间距离时会出现伪距。本文完整地刻画了主体处于一般位置的锥框架的无穷小刚性。引入了两个刻画：一个用于一维框架，另一个用于多维框架。它们都依赖于约束图，并使用空间和偏差变量之间的解耦。在多维的情况下，这种新的圆锥范例大幅减少了所需的最小数量的约束，以保持相对于经典的双向测距方法的形成。
2022-07-07 math.CO math.MG
Pairing symmetries for Euclidean and spherical frameworks
本文在$\mathbb{R}^d$中考虑了对称性对杆件框架、球形框架和点超平面框架刚度的影响。特别是，我们表明，在强迫或偶然对称，无穷小刚度的球面框架与顶点在$X$的赤道和点超平面框架的顶点在$X$代表超平面是等价的。然后，我们表明，再次强迫或偶然的对称性，在某些对称群下的无穷小刚性属性可以配对，或集群，在反演的领域，使无穷小刚性与一个给定的组是等价的无穷小刚性下一个配对组。最基本的例子是镜面对称刚度等价于2-球面上的半圈对称刚度。有了这些结果在手，我们还推导出一些组合的对称杆节点和点线框架的刚度的后果。
2019-06-06 math.CO math.MG
Uniquely realisable graphs in analytic normed planes
欧几里德空间$\mathbb{E}^d$中的杆-关节框架$(G,p)$是全局刚性的，如果它是$G$在$\mathbb{E}^d$中具有$(G,p)$的边长的唯一实现，直到刚性同余。基于Hendrickson和Connelly的关键结果，Jackson和Jordán给出了$\mathbb{E}^2$中通用框架全局刚性的完整组合特征。我们证明了一个类似的结果时，欧几里德规范被替换为任何规范，是解析$\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$。更精确地说，我们证明了一个图$G=(V,E)$在一个非欧解析赋范平面上是全局刚性的当且仅当$G$是2-连通的，并且对于所有的$e\in E$，$G-e$包含2个边不相交的生成树。主要的技术工具是在解析赋范平面上递归构造2-连通冗余刚性图。作为主要结果的推论，我们还得到了整体刚性的一些充分条件，并证明了类似的必要条件在$d$维解析赋范空间中也成立.
2022-06-15 math.CO math.MG
On the infinitesimal rigidity of polyhedra with vertices in convex position
设$P \subset \R^3$为多面体。证明了如果$P$是弱凸的（即. e.它的顶点位于严格凸域的边界上）和可分解（即，e. $P$可以三角化而不添加新的顶点），则它是无穷小刚性的。我们证明了这个猜想下的一个弱额外的假设codecomposability。证明依赖于一个结果的独立利益有关的希尔伯特-爱因斯坦函数的三角形凸多面体。我们确定的签名的海森函数的内部边缘的变形。特别地，如果没有内部顶点，则Hessian是负定的。
2007-11-13 math.DG math.MG
Coning, symmetry and spherical frameworks
在本文中，我们结合单独的工作（a）转移的无穷小刚性结果从一个欧几里得空间下一个更高的维度锥，（b）进一步转移这些结果通过相关的刚性矩阵到球面空间，和（c）的预测有限运动的对称无穷小运动在正则点的轨道刚度矩阵。这些技术中的每一种都经过重新设计和简化，以应用于若干度量，包括闵可夫斯基度量$\M^{d}$和双曲度量$\H^{d}$。这导致了一组新的结果转移无穷小和有限的运动与相应的对称框架之间的$\E^{d}$，锥在$E^{d+1}$，$\SS^{d}$，$\M^{d}$，和$\H^{d}$。我们还考虑了与其他Cayley-Klein几何覆盖在共享的基础射影几何的进一步扩展。
2011-08-10 math.MG
Rigidity of Graph Joins and Hendrickson's Conjecture
Whiteley \cite{wh}给出了完备二部框架的无穷小弯曲的一个完整刻画。我们的工作推广了一个特定的无穷小伸缩，包括连接图，一个家庭的图，包含完全二部图。我们使用这个特性，以确定新的家庭的反例，包括无限的家庭，在$\R^5$和以上亨德里克森的猜想通用的全球刚性。
2010-12-31 cs.DM math.MG
Point-hyperplane frameworks, slider joints, and rigidity preserving transformations
$\mathbb{R}^d$和$\mathbb{S}^d$中的杆-关节框架的无穷小运动之间的一一对应是Pogorelov的经典观察，并且已经广泛地研究了各种不同空间中的不同刚度模型之间的进一步联系。在本文中，我们将扩展这条线的研究，包括无穷小刚度的框架组成的点和超平面。这使我们能够理解点超平面刚度，经典的杆连接刚度和场景分析之间的对应关系。在其他结果中，我们推导出一个组合表征的图形，可以实现为无穷小刚性框架在平面上与一组给定的点共线。这推广了Jackson和Jordán的一个结果，该结果处理了三个点共线的情况。
2017-03-20 math.CO math.MG
Algebraic connectivity in normed spaces
该研究针对赋范空间中图的代数连通度展开，分析其在多种图操作下的性质，给出通用界，重点研究ℓ_∞^d空间的相关结果并证明关键工具性质，同时关联了冗余刚性问题。
2025-07-31 math.CO math.MG math.SP
Rooted-tree Decompositions with Matroid Constraints and the Infinitesimal Rigidity of Frameworks with Boundaries
作为一个经典的树划分问题的扩展，我们考虑分解成边不相交（根）树与一个额外的拟阵约束的图。具体地说，假设我们给定一个图$G=(V,E)$，一个$V$中顶点的多集$R=\{r1,..., r_t\}$，以及一个$R$上的拟阵${\cal M}$。本文证明了$G$分解为$t$边不交子图$G_1=(V_1,T_1),..., G_t=(V_t,T_t)$的一个充要条件，使得（i）对于每个$i$，$G_i$是一个具有$r_i\in V_i$的树，（ii）对于每个$v\in V$，多重集$\{r_i\in R\mid v\in V_i\}$是${\cal M}$的一个基.若${\cal M}$是自由拟阵，则这是$t$边不交生成树的分解，因此，我们的结果是Nash-Williams树划分定理的适当推广.这种拟阵约束是由组合刚性理论激发的。作为我们的分解定理的直接应用，我们提出的无穷小刚度的框架与非通用的“边界”，这扩展了经典的拉曼定理的通用2-刚度的酒吧联合框架和Tay定理的通用$d$ -刚度的身体酒吧框架的特征。
2011-09-05 cs.DM math.CO math.MG
Generic symmetry-forced infinitesimal rigidity: translations and rotations
我们的特征组合类型的对称框架在平面上是最小的一般强迫无穷小刚性的对称群由旋转和平移。一路上，我们使用热带几何，以显示如何建设埃德蒙兹相关联的拟阵的次模函数可以用来给一个描述的代数拟阵的阿达玛产品的两个线性空间的拟阵的每个线性空间。这导致了新的，简短的，证明拉曼定理，和一个定理的Jord{á}n，Kaszanitzky，和Tanigawa，和Malestein和Theran特征的最小一般强制刚性图在平面上的对称群只包含旋转。
2021-12-08 math.AG math.CO math.MG
A short proof of rigidity of convex polytopes
给出了Dehn关于凸多胞体无穷小刚性定理的一个简化证明。我们的方法是基于Trushkina和Schramm的想法。
2006-02-25 math.CO math.MG
Rigid graphs in cylindrical normed spaces
本文刻画了圆柱范数空间中的刚性图，获得三维及四维情形下的纯组合刻画，并给出示例与算法讨论。
2023-05-15 math.CO math.MG
On Spaces of Infinitesimal Motions and Henneberg Extensions
我们调查的无限小运动自然产生的杆和联合框架的刚度理论的某些空间。我们证明了这些空间的一些结构定理，并因此能够推导出一些特殊情况下的一个长期存在的猜想的Graver，泰和Whiteley关于Henneberg扩展和一般刚性图。
2013-05-01 math.CO math.MG
The rigidity of infinite graphs
给出了R^d中可数无限单图关于l^p范数的欧几里德和非欧几里德配置的刚性理论，其中d>1且1<p< \infty .推广得到的Laman和Henneberg组合特征的一般无穷小刚性有限图在欧氏平面。此外，Tay的多图表征的刚性一般有限体杆框架在d维欧几里得空间推广到非欧lp范数和可数无限图。对所有维数和范数，证明了一般刚性可数单图是有限图的包含塔的直接极限，其中包含满足相对刚性性质.对于d>2，对于R^d中的一般位置是刚性的可数图可能会失去序列刚性的更强性质，而对于d=2，与序列刚性的等价性是从广义的拉曼特征得到的。应用程序给出的灵活性的非欧几里德凸多面体和无穷小和连续刚性紧凑的无限小面单纯多面体。
2013-10-07 math.CO math.MG
Infinitesimal affine geometry of metric spaces endowed with a dilatation structure
我们研究了具有伸缩结构的度量空间的代数和几何性质，这些伸缩结构是在通过越来越小的尺度时出现的。在极限中，我们得到了度量仿射几何的一个推广，赋予了一个非交换的向量加法运算和一个修正的共线三点比。这是赋范仿射群空间的几何学，一个包含齐次群、卡诺群或可收缩群的范畴。在这个范畴中，群运算不是基本的，而是派生的对象，并且仿射几何的推广不是基于关联关系。
2008-04-24 math.GR math.MG
Injective and non-injective realizations with symmetry
在本文中，我们介绍了一个自然的分类杆和关节框架，具有对称性。这种分类建立了数学基础，扩展了各种结果的刚度，以及无穷小或静态刚度，实现一定的对称性和关节可能会或可能不会被嵌入到空间的框架。特别是，我们引入了一个适应性的概念，“通用”框架相对于这种分类，并表明，“几乎所有”的实现在一个给定的对称类是通用的，所有通用的实现在这个类中共享相同的无穷小刚性属性。在这种分类中，我们还澄清在什么条件下，组表示论技术可以应用于进一步分析（不一定是内射）对称实现的刚性属性。
2008-08-13 math.CO math.MG
Symmetry as a sufficient condition for a finite flex
我们表明，如果一个杆和联合框架$(G,p)$的关节被定位为“一般”尽可能受到给定的对称约束和$(G,p)$拥有一个“完全对称”的无穷小的弯曲（即，无穷小弯曲的速度矢量在$(G,p)$的所有对称操作下保持不变），则$(G,p)$也具有有限弯曲，它在整个路径上保持$(G,p)$的对称性。Asimov和B. Roth在他们1978年的论文“The Rigidity Of Graphs”中，利用对称框架的刚性矩阵可以通过群表示论变换为块对角化形式的事实。用这些基于非对称性的方法可以检测到的有限挠曲通常不能用类似的非对称方法找到。
2009-11-12 math.MG
Crystal frameworks, symmetry and affinely periodic flexes
对称方程得到的刚性矩阵与各种形式的无穷小的灵活性的理想化键结晶体框架$\C$在$\bR^d$。利用这些方程推导出了周期性自应力和近似周期性无穷小机构的Maxwell-Calladine计数公式。对称方程还导致一般福勒-客人公式连接的字符列表的子表示的晶体空间和点群，与债券，节点，应力，弯曲和刚性运动。对Borcea-Streinu刚性矩阵及其零空间与无限周期无穷小弯曲空间的对应关系也给出了新的推导。
2014-07-11 math.CO math.MG
The infinitesimal and global Thurston geometry of Teichm{ü}ller space
本文系统研究了Thurston度量的无穷小几何，证明切球与余切球结构可恢复带标记双曲曲面的标记与几何，并由此导出全局几何刚性陈述。
2024-01-09 math.GT math.MG
Edge-length preserving embeddings of graphs between normed spaces
本文研究赋范空间之间图的扁平化性质，给出其蕴含刚性拟阵独立性的充分条件，并完整刻画了二维空间到无穷维空间的扁平化图。
2024-05-03 math.CO math.MG
Infinite Bar-Joint Frameworks, Crystals and Operator Theory
本文建立了一般无限杆系框架（G，p）的柔度和刚度理论。给出了柔度为零时不变形性的判定方法和可变形性的充分条件。无穷小柔度的形式定义在相关的无限刚度矩阵R（G，p）的算子理论。引入了抽象晶体框架的矩阵符号函数，它是$d$ -环面上的矩阵值函数，将R（G，p）表示为希尔伯特空间算子.符号函数与无穷小柔度、变形性和均衡性有关。各种处于麦克斯韦平衡的抽象晶体框架，如某些4-正则平面框架，被证明是平方和无穷刚性的，并且可以以无穷多种方式光滑变形。三维晶体框架的符号函数决定了材料晶体中低能振动模式（RUM）模型中的无限小波弯曲。对于具有反转对称性的晶体框架，它表明，RUMS出现在表面，推广F。韦格纳四面体晶体。
2011-04-20 math.CO math.FA math.MG
Non-Euclidean braced grids
得到了平面内支撑网格关于非欧范数具有无穷小刚度的充要条件。组成矩形的网格可以进行0，1或2对角括号，和组合的条件的一部分是由括号定义的双色二部多重图的拟阵。
2020-09-22 math.MG
Ma-Schlenker c-Octahedra in the 2-Sphere
我们提出的结构的灵感来自于~ \cite{Ma:2012hl}的Ma-Schlenker的例子，显示了非刚性的球形反演距离圆填充。与~ \cite{Ma:2012hl}中使用的无穷柔性欧氏多面体、deSitter空间中的嵌入和Pogorelov映射不同，我们的初等构造只使用了$2$ -球面的逆几何。
2016-07-02 math.DG math.MG
A Riemannian Variational and Spectral Framework for High-Dimensional Sphere Packing: Barrier-Dynamics Reconciliation, Periodic Rigidity, and Discrete-Time Guarantees
该文提出一个统一框架，调和周期球堆积的势垒几何模型与可证明收敛的离散动力学，证明势垒到KKT一致性、周期刚性及谱投影内部轨迹方法的局部线性收敛。
2025-09-25 math.MG math.OC
Double-distance frameworks and mixed sparsity graphs
在具有两类距离约束的度量空间中，建立了框架的刚度理论。混合稀疏图特征获得的无穷小和连续刚度的完全规则杆关节框架在各种这样的背景下。主要结果是组合特征（i）框架限制到表面的欧氏距离和测地线距离的约束，（ii）框架在平面上的欧氏距离和非欧氏距离的约束，和（iii）方向长度框架在非欧氏平面。
2019-08-23 math.CO math.MG
Rigidity of symmetric frameworks on the cylinder
本文研究三维空间中限制在圆柱面上运动的对称杆-铰框架的刚性问题，给出了有限点群对称下框架等静力的必要组合条件，并证明循环对称（反演、半转、反射）下该条件在通用假设下充分，得到对称等静力图的精确组合刻画。
2023-12-15 math.CO math.MG
The rigidity of sharp spectral gap in nonnegatively curved spaces
该研究将非负Ricci曲率下的第一尖锐谱隙刚性推广到紧RCD(0,N)空间，证明谱隙取极值等价于空间为一维常密度，所用的Sobolev理论与奇异一维局部化结合的新技术有独立价值，并导出几乎刚性结果。
2023-05-07 math.AP math.DG math.MG
Rigidity of symmetric linearly constrained frameworks in the plane
本文将Streinu和Theran的二维线性约束框架泛刚性刻画推广至对称情形，给出平面对称线性约束框架在有限点群对称下等静力的必要组合条件，并证明阶数为2或奇数的旋转对称群下该条件在泛性假设中充分。
2023-12-19 math.CO math.MG
