Infinitesimal rigidity for non-Euclidean bar-joint frameworks
在非欧几里得空间（R^2，||.||_ q）是用（2，2）-紧图刻画的。具体地说，平面上一般放置的杆-关节框架（G，p）关于非欧l^q范数是极小无穷小刚性的当且仅当基础图G =（V，E）包含2条|V| -2边且每个子图H=（V（H），E（H））至多包含2条|V（H）|-2个边缘。
2013-12-20 math.CO math.MG
Infinitesimal Rigidity of Symmetric Frameworks
提出了新的自适应刚度矩阵，用于分析任意维阿贝尔点群对称杆系的无穷小刚度。这些矩阵定义了群标商图上新的自适应刚性拟阵。使用这些新工具，我们建立了无限刚性二维杆件接头框架的组合特征，这些框架的接头位置尽可能通用，但受到平面内反射、半转或三重旋转施加的对称性约束。对于平面上任意一个循环点群都是通用的杆节点框架，我们给出了无穷小刚度的若干必要条件。
2014-02-04 math.CO math.MG
Equivalence of continuous, local and infinitesimal rigidity in normed spaces
从李群作用于光滑流形的角度出发，对一般有限维赋范空间的框架刚性进行了严格的研究。作为一个应用，我们证明了Asimow和Roth在1978/9年关于d维欧几里得空间中正则杆-关节框架的局部、连续和无穷小刚性等价的结果的推广.进一步，我们得到了框架平凡运动空间维数的上界，并建立了小框架在一般非欧赋范空间中的柔性。
2018-09-06 math.MG
Pairing symmetries for Euclidean and spherical frameworks
本文在$\mathbb{R}^d$中考虑了对称性对杆件框架、球形框架和点超平面框架刚度的影响。特别是，我们表明，在强迫或偶然对称，无穷小刚度的球面框架与顶点在$X$的赤道和点超平面框架的顶点在$X$代表超平面是等价的。然后，我们表明，再次强迫或偶然的对称性，在某些对称群下的无穷小刚性属性可以配对，或集群，在反演的领域，使无穷小刚性与一个给定的组是等价的无穷小刚性下一个配对组。最基本的例子是镜面对称刚度等价于2-球面上的半圈对称刚度。有了这些结果在手，我们还推导出一些组合的对称杆节点和点线框架的刚度的后果。
2019-06-06 math.CO math.MG
PyRigi -- a general-purpose Python package for the rigidity and flexibility of bar-and-joint frameworks
PyRigi是一个用于研究图和框架刚性性质的通用开源Python软件包，可实现有限嵌入判定、唯一性检验及去边鲁棒性分析，为刚性理论研究者提供高效计算工具。
2025-06-05 cs.CG cs.SC math.CO
The generic minimal rigidity of a partially triangulated torus
一个单图是$3$ -刚性的，如果它在$R^3$中的一般杆-关节框架是无穷小刚性的。本文给出了一个单图的最小$3$ -刚性的充要条件，该图是由三角化环面的$1$ -骨架通过删除三角化圆盘内部的边而得到的.
2015-09-02 math.CO math.MG
Rooted-tree Decompositions with Matroid Constraints and the Infinitesimal Rigidity of Frameworks with Boundaries
作为一个经典的树划分问题的扩展，我们考虑分解成边不相交（根）树与一个额外的拟阵约束的图。具体地说，假设我们给定一个图$G=(V,E)$，一个$V$中顶点的多集$R=\{r1,..., r_t\}$，以及一个$R$上的拟阵${\cal M}$。本文证明了$G$分解为$t$边不交子图$G_1=(V_1,T_1),..., G_t=(V_t,T_t)$的一个充要条件，使得（i）对于每个$i$，$G_i$是一个具有$r_i\in V_i$的树，（ii）对于每个$v\in V$，多重集$\{r_i\in R\mid v\in V_i\}$是${\cal M}$的一个基.若${\cal M}$是自由拟阵，则这是$t$边不交生成树的分解，因此，我们的结果是Nash-Williams树划分定理的适当推广.这种拟阵约束是由组合刚性理论激发的。作为我们的分解定理的直接应用，我们提出的无穷小刚度的框架与非通用的“边界”，这扩展了经典的拉曼定理的通用2-刚度的酒吧联合框架和Tay定理的通用$d$ -刚度的身体酒吧框架的特征。
2011-09-05 cs.DM math.CO math.MG
Infinitesimal rigidity and prestress stability for frameworks in normed spaces
本文将非光滑分析方法引入赋范空间框架刚性研究，通过约束导数加强一阶充分条件，并首次将预应力稳定性与二阶刚性概念从欧几里得空间推广到赋范空间。
2021-09-29 math.MG
Constructing isostatic frameworks for the $\ell^\infty$ plane
我们使用一种新的有色多图构造方法来证明，每个2-树分解都可以在平面上实现，作为相对于$\ell^1$或$\ell^\infty$距离约束具有最小刚性（均衡）的杆接头框架。我们将展示如何适应这种技术，将对称性，并指出几个相关的开放性问题的刚性，冗余刚性和强制对称刚性赋范空间。
2018-07-03 math.MG
Finite and infinitesimal rigidity with polyhedral norms
我们讨论了R^d中杆-关节框架关于多面体范数（即单位球P为凸d维多面体的范数）的有限刚性和无穷小刚性。无穷小和连续刚性被证明是等价的有限框架在R^d中，这是很好的定位相对于P.由单位球的小平面和框架的位置确定的边标签是用来在单色生成树方面的R^d中的无穷小刚性。对于R^2上的所有多面体范数，得到了一个类似于拉曼定理的结果。
2014-01-07 math.CO math.MG
Marked length rigidity for one dimensional spaces
任意两个标长谱相同的紧致完备一维测地空间都有等距$π_1$ -壳。目前的版本包含错误，特别是在引理2.2和2.3（路径抵消可能更复杂），然后通过纸张传播。主要的结果是正确的，如前所述，证明可以在与大卫康斯坦丁的联合论文中找到，arXiv：1209.3709
2012-09-18 math.GT math.MG
Injective and non-injective realizations with symmetry
在本文中，我们介绍了一个自然的分类杆和关节框架，具有对称性。这种分类建立了数学基础，扩展了各种结果的刚度，以及无穷小或静态刚度，实现一定的对称性和关节可能会或可能不会被嵌入到空间的框架。特别是，我们引入了一个适应性的概念，“通用”框架相对于这种分类，并表明，“几乎所有”的实现在一个给定的对称类是通用的，所有通用的实现在这个类中共享相同的无穷小刚性属性。在这种分类中，我们还澄清在什么条件下，组表示论技术可以应用于进一步分析（不一定是内射）对称实现的刚性属性。
2008-08-13 math.CO math.MG
Block-diagonalized rigidity matrices of symmetric frameworks and applications
在本文中，我们给出了一个完整的自包含的证明，刚度矩阵的对称杆和关节框架（以及其转置）可以转化为块对角化的形式，使用技术从组表示论。这个定理是一些有用的和有趣的结果对称框架的刚度和灵活性的基础。作为一个例子，我们使用这个定理来证明推广的福勒-客人对称扩展麦克斯韦规则，可以适用于内射和非内射实现在所有维度。
2009-06-18 math.CO math.MG
Rigidity of Frameworks Supported on Surfaces
一个定理的拉曼给出了一个组合特征的图形，承认实现为一个最低限度的刚性通用杆关节框架$\bR^2$。一个更一般的理论是在$\bR^3$中的框架，其顶点被约束到移动的二维光滑子流形$\M$。当$\M$为同心球并、平行平面并或同心圆柱并时，得到了一般框架最小刚度的充分必要组合条件.
2012-10-04 math.CO math.MG
Graph rigidity for unitarily invariant matrix norms
在具有酉不变范数的线性矩阵空间中，建立了杆系框架的刚度理论。麦克斯韦计数准则的类比得到，并显示最小刚性矩阵框架属于拟阵类的（k，l）-稀疏图适当的k和l。给出了乘积范数的无穷小刚性的一个刻画，并证明了K_6 - e（K_7）是具有迹范数的2 × 2对称（Hermitian）矩阵类的最小极小刚性图.
2017-09-26 math.CO math.FA math.MG
The generic rigidity of triangulated spheres with blocks and holes
一个单图G=（V，E）是3-刚性的，如果它在R3中的一般棒-关节框架是无穷小刚性的.块和孔图是从三角形的球体中删除边缘和添加最小刚性子图，称为块，在一些产生的孔。在单块多洞或单洞多块的情况下，得到了这类图的最小$3$ -刚性的组合刻画.这些结果证实了Whiteley在1988年提出的一个猜想，以及Finbow-Singh和Whiteley在2013年提出的一个更强猜想的特例。
2015-07-09 math.CO math.MG
Rigidity theory for matroids
组合刚性理论试图根据底层图G的结构来描述R^d中杆件连接框架的刚性或柔性。本文的目的是通过用任意可表示的拟阵M代替G来拓宽组合刚性理论的基础。刚性独立性和平行独立性的思想，以及Laman和Recski关于图的二维刚性的组合刻画，可以很自然地扩展到这个缠绕器设置。正如我们所解释的，这些基本概念中的许多实际上只依赖于与G（或其Tutte多项式）相关的拟阵，而与图拟阵或域R的特殊性质几乎没有关系。我们的主要结果是一个“嵌套定理”有关的各种独立性。直接推论包括推广的拉曼定理，以及平等的2-刚性和2-平行独立。在我们的研究中的一个关键工具是空间的照片M，一个自然的代数簇，其不可约性是密切相关的刚性独立性和平行独立的概念。当在有限域上工作时，这个簇上的点的数目被证明是一个有趣的Tutte多项式求值。
2005-12-01 math.CO math.MG
Symmetry as a sufficient condition for a finite flex
我们表明，如果一个杆和联合框架$(G,p)$的关节被定位为“一般”尽可能受到给定的对称约束和$(G,p)$拥有一个“完全对称”的无穷小的弯曲（即，无穷小弯曲的速度矢量在$(G,p)$的所有对称操作下保持不变），则$(G,p)$也具有有限弯曲，它在整个路径上保持$(G,p)$的对称性。Asimov和B. Roth在他们1978年的论文“The Rigidity Of Graphs”中，利用对称框架的刚性矩阵可以通过群表示论变换为块对角化形式的事实。用这些基于非对称性的方法可以检测到的有限挠曲通常不能用类似的非对称方法找到。
2009-11-12 math.MG
Second-order rigidity of coned polytope frameworks and the stress-flex conjecture from a vector-valued Schläfli formula
TU Wien（维也纳工业大学）；Autonomous University of Barcelona（巴塞罗那自治大学）；Max-Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进研究所数学系）
研究锥化多面体框架的刚性阶数问题，引入瓦克斯普雷斯应力，利用其证明CPF是预应力稳定及二阶刚性的，通过将应力 - 挠曲猜想对偶公式与向量值施莱夫利型公式关联并给出新证明。
2026-07-17 math.CO math.MG
On rigidity properties of unit-distance graphs
KU Leuven（荷语鲁汶大学）；Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics, Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院约翰·拉德纳计算与应用数学研究所）；Faculty of Information Technology, Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学信息技术学院）；School of Mathematical Sciences, Lancaster University, UK（兰开斯特大学数学科学学院）
本文研究单位距离图及其子类（便士图、弹珠图、火柴杆图）的刚性性质，回答了一个关于便士图和弹珠图刚性的开放问题，并建立了便士图与NAC着色之间的联系。
2026-10-06 math.CO math.MG
Infinite Bar-Joint Frameworks, Crystals and Operator Theory
本文建立了一般无限杆系框架（G，p）的柔度和刚度理论。给出了柔度为零时不变形性的判定方法和可变形性的充分条件。无穷小柔度的形式定义在相关的无限刚度矩阵R（G，p）的算子理论。引入了抽象晶体框架的矩阵符号函数，它是$d$ -环面上的矩阵值函数，将R（G，p）表示为希尔伯特空间算子.符号函数与无穷小柔度、变形性和均衡性有关。各种处于麦克斯韦平衡的抽象晶体框架，如某些4-正则平面框架，被证明是平方和无穷刚性的，并且可以以无穷多种方式光滑变形。三维晶体框架的符号函数决定了材料晶体中低能振动模式（RUM）模型中的无限小波弯曲。对于具有反转对称性的晶体框架，它表明，RUMS出现在表面，推广F。韦格纳四面体晶体。
2011-04-20 math.CO math.FA math.MG
Nucleation-free $3D$ rigidity
当在$\mathbb{R}^{d}$中实现为{ \em杆-关节框架}的图的所有非边距离一般地{ \em隐含}为杆（边）长度时，该图在$\mathbb{R}^{d}$中被称为{ \em刚性}。对于$d=3$，刻画刚性图，确定隐含的非边和{ \em相关}边集仍然是一个难以捉摸的，长期存在的开放问题。一个障碍是确定隐含的非边何时可以存在而没有非平凡刚性诱导子图，即，{ \em成核}，以及如何处理它们。本文给出了生成{ \em无核图}（即，没有任何成核的图）具有隐含的非边缘。因此，我们得到（a）$3D$中没有成核的依赖图;和（b）$3D$无成核{ \em刚性电路}，即，$d=3$中的最小依赖边集。它还遵循真正的刚性严格强于Sitharam和Zhou \cite{sitharam:zhou:tractableADG:2004}给出的基于归纳组合特征的对刚性的易处理的近似。作为一个独立有趣的副产品，我们得到了一个新的归纳构造的独立图在$3D$。目前，与$2D$相比，很少有这样的归纳结构是已知的。
2013-11-19 cs.CG math.CO math.MG
On generic universal rigidity on the line
本文研究一维情形下的一般意义下泛刚性图，通过构造反例否定Connelly的猜想性刻画，并引入两种保持或破坏泛刚性的新操作，从而得到泛刚性图规模的下界，部分回答了Jordán和Nguyen的公开问题。
2023-05-23 math.CO math.MG
Rigidity of symmetric frameworks on the cylinder
本文研究三维空间中限制在圆柱面上运动的对称杆-铰框架的刚性问题，给出了有限点群对称下框架等静力的必要组合条件，并证明循环对称（反演、半转、反射）下该条件在通用假设下充分，得到对称等静力图的精确组合刻画。
2023-12-15 math.CO math.MG
Rigidity of symmetric linearly constrained frameworks in the plane
本文将Streinu和Theran的二维线性约束框架泛刚性刻画推广至对称情形，给出平面对称线性约束框架在有限点群对称下等静力的必要组合条件，并证明阶数为2或奇数的旋转对称群下该条件在泛性假设中充分。
2023-12-19 math.CO math.MG
A tropical approach to rigidity: counting realisations of frameworks
该研究针对极小刚性图的复实现数问题，利用热带几何刻画其实现数为图拟阵Bergman扇的交集，推导得涉及Tutte多项式的组合上界，且计算表明该上界通常优于混合体积上界。
2025-02-14 math.AG math.CO math.MG
Double-distance frameworks and mixed sparsity graphs
在具有两类距离约束的度量空间中，建立了框架的刚度理论。混合稀疏图特征获得的无穷小和连续刚度的完全规则杆关节框架在各种这样的背景下。主要结果是组合特征（i）框架限制到表面的欧氏距离和测地线距离的约束，（ii）框架在平面上的欧氏距离和非欧氏距离的约束，和（iii）方向长度框架在非欧氏平面。
2019-08-23 math.CO math.MG
Quotient graphs of symmetrically rigid frameworks
Johannes Kepler University Linz, Research Institute for Symbolic Computation（林茨约翰·开普勒大学符号计算研究所）；Lancaster University（兰卡斯特大学）
本文将周期框架商图提升理论推广到任意维对称框架，刻画多类点群下商图提升为对称刚性框架的条件，并给出有限群标记概率结果。
2022-02-18 math.CO math.MG
