Infinitesimal rigidity for non-Euclidean bar-joint frameworks
在非欧几里得空间（R^2，||.||_ q）是用（2，2）-紧图刻画的。具体地说，平面上一般放置的杆-关节框架（G，p）关于非欧l^q范数是极小无穷小刚性的当且仅当基础图G =（V，E）包含2条|V| -2边且每个子图H=（V（H），E（H））至多包含2条|V（H）|-2个边缘。
2013-12-20 math.CO math.MG
Statics and kinematics of frameworks in Euclidean and non-Euclidean geometry
这是一篇关于欧几里得、双曲和球面几何中框架的无穷小刚性的综述文章。我们讨论的等价性的静态和运动学配方的无穷小刚度，静力学的投影解释（代表力作为bivectors），和无穷小Pogorelov地图，建立对应关系的无穷小运动的框架和它的测地线图像。此外，我们描述的麦克斯韦-克雷莫纳之间的对应平衡负载和多面体升降机，无论是欧几里德和非欧几里德框架。
2017-07-07 math.MG
Almost all circle polyhedra are rigid
证明了欧氏平面$\mathbb{E}^{2}$上几乎所有三角化圆多面体的无穷小逆刚性，以及$2$ -球面$\mathbb{S}^{2}$上切圆填充的无穷小逆刚性.由此，几乎所有的三角化圆多面体的刚性如下。证明适应格鲁克的证明在~ \cite{gluck75}的刚性几乎所有的欧几里得多面体的设置圆形多面体，其中反演距离取代欧几里得距离和莫比乌斯变换取代刚性欧几里得运动。
2018-07-24 math.MG
Conic Frameworks Infinitesimal Rigidity
本文介绍了一种新的结构--圆锥框架及其刚度。它们由代理和代理对之间的一组有向约束组成。当结构在保持约束的同时不能弯曲时，它被称为刚性的。如果只考虑光滑变形，则刚性的充分条件称为无穷小刚性。在圆锥框架中，每个代理$u$具有空间位置$x_u$和由偏置$β_u$表示的时钟偏移。如果从代理$u$到代理$w$的约束在框架中，则设置从$u$到$w$的伪范围（定义为${\left\lVert{x_u - x_w}\right\rVert} + β_w - β_u$）。使用到达时间方法测量座席间距离时会出现伪距。本文完整地刻画了主体处于一般位置的锥框架的无穷小刚性。引入了两个刻画：一个用于一维框架，另一个用于多维框架。它们都依赖于约束图，并使用空间和偏差变量之间的解耦。在多维的情况下，这种新的圆锥范例大幅减少了所需的最小数量的约束，以保持相对于经典的双向测距方法的形成。
2022-07-07 math.CO math.MG
Pairing symmetries for Euclidean and spherical frameworks
本文在$\mathbb{R}^d$中考虑了对称性对杆件框架、球形框架和点超平面框架刚度的影响。特别是，我们表明，在强迫或偶然对称，无穷小刚度的球面框架与顶点在$X$的赤道和点超平面框架的顶点在$X$代表超平面是等价的。然后，我们表明，再次强迫或偶然的对称性，在某些对称群下的无穷小刚性属性可以配对，或集群，在反演的领域，使无穷小刚性与一个给定的组是等价的无穷小刚性下一个配对组。最基本的例子是镜面对称刚度等价于2-球面上的半圈对称刚度。有了这些结果在手，我们还推导出一些组合的对称杆节点和点线框架的刚度的后果。
2019-06-06 math.CO math.MG
On the infinitesimal rigidity of polyhedra with vertices in convex position
设$P \subset \R^3$为多面体。证明了如果$P$是弱凸的（即. e.它的顶点位于严格凸域的边界上）和可分解（即，e. $P$可以三角化而不添加新的顶点），则它是无穷小刚性的。我们证明了这个猜想下的一个弱额外的假设codecomposability。证明依赖于一个结果的独立利益有关的希尔伯特-爱因斯坦函数的三角形凸多面体。我们确定的签名的海森函数的内部边缘的变形。特别地，如果没有内部顶点，则Hessian是负定的。
2007-11-13 math.DG math.MG
Rigidity of Graph Joins and Hendrickson's Conjecture
Whiteley \cite{wh}给出了完备二部框架的无穷小弯曲的一个完整刻画。我们的工作推广了一个特定的无穷小伸缩，包括连接图，一个家庭的图，包含完全二部图。我们使用这个特性，以确定新的家庭的反例，包括无限的家庭，在$\R^5$和以上亨德里克森的猜想通用的全球刚性。
2010-12-31 cs.DM math.MG
Coning, symmetry and spherical frameworks
在本文中，我们结合单独的工作（a）转移的无穷小刚性结果从一个欧几里得空间下一个更高的维度锥，（b）进一步转移这些结果通过相关的刚性矩阵到球面空间，和（c）的预测有限运动的对称无穷小运动在正则点的轨道刚度矩阵。这些技术中的每一种都经过重新设计和简化，以应用于若干度量，包括闵可夫斯基度量$\M^{d}$和双曲度量$\H^{d}$。这导致了一组新的结果转移无穷小和有限的运动与相应的对称框架之间的$\E^{d}$，锥在$E^{d+1}$，$\SS^{d}$，$\M^{d}$，和$\H^{d}$。我们还考虑了与其他Cayley-Klein几何覆盖在共享的基础射影几何的进一步扩展。
2011-08-10 math.MG
Point-hyperplane frameworks, slider joints, and rigidity preserving transformations
$\mathbb{R}^d$和$\mathbb{S}^d$中的杆-关节框架的无穷小运动之间的一一对应是Pogorelov的经典观察，并且已经广泛地研究了各种不同空间中的不同刚度模型之间的进一步联系。在本文中，我们将扩展这条线的研究，包括无穷小刚度的框架组成的点和超平面。这使我们能够理解点超平面刚度，经典的杆连接刚度和场景分析之间的对应关系。在其他结果中，我们推导出一个组合表征的图形，可以实现为无穷小刚性框架在平面上与一组给定的点共线。这推广了Jackson和Jordán的一个结果，该结果处理了三个点共线的情况。
2017-03-20 math.CO math.MG
Rooted-tree Decompositions with Matroid Constraints and the Infinitesimal Rigidity of Frameworks with Boundaries
作为一个经典的树划分问题的扩展，我们考虑分解成边不相交（根）树与一个额外的拟阵约束的图。具体地说，假设我们给定一个图$G=(V,E)$，一个$V$中顶点的多集$R=\{r1,..., r_t\}$，以及一个$R$上的拟阵${\cal M}$。本文证明了$G$分解为$t$边不交子图$G_1=(V_1,T_1),..., G_t=(V_t,T_t)$的一个充要条件，使得（i）对于每个$i$，$G_i$是一个具有$r_i\in V_i$的树，（ii）对于每个$v\in V$，多重集$\{r_i\in R\mid v\in V_i\}$是${\cal M}$的一个基.若${\cal M}$是自由拟阵，则这是$t$边不交生成树的分解，因此，我们的结果是Nash-Williams树划分定理的适当推广.这种拟阵约束是由组合刚性理论激发的。作为我们的分解定理的直接应用，我们提出的无穷小刚度的框架与非通用的“边界”，这扩展了经典的拉曼定理的通用2-刚度的酒吧联合框架和Tay定理的通用$d$ -刚度的身体酒吧框架的特征。
2011-09-05 cs.DM math.CO math.MG
Generic symmetry-forced infinitesimal rigidity: translations and rotations
我们的特征组合类型的对称框架在平面上是最小的一般强迫无穷小刚性的对称群由旋转和平移。一路上，我们使用热带几何，以显示如何建设埃德蒙兹相关联的拟阵的次模函数可以用来给一个描述的代数拟阵的阿达玛产品的两个线性空间的拟阵的每个线性空间。这导致了新的，简短的，证明拉曼定理，和一个定理的Jord{á}n，Kaszanitzky，和Tanigawa，和Malestein和Theran特征的最小一般强制刚性图在平面上的对称群只包含旋转。
2021-12-08 math.AG math.CO math.MG
A short proof of rigidity of convex polytopes
给出了Dehn关于凸多胞体无穷小刚性定理的一个简化证明。我们的方法是基于Trushkina和Schramm的想法。
2006-02-25 math.CO math.MG
Counting for rigidity under projective transformations in the plane
本文通过线性化点线关联的二次约束系统，引入射影刚性矩阵，用列相关刻画无穷小运动、行相关刻画自应力，并证明自应力由三重平衡刻画，从而研究平面射影变换下的刚性计数问题。
2025-03-10 math.CO math.MG
Projective rigidity of point-line configurations in the plane
本文提出“射影刚性矩阵”框架研究平面上点线构型的保关联运动，并引入对称自适应矩阵分析对称构型及其保对称运动。
2025-03-05 math.AG math.CO math.DG
Injective and non-injective realizations with symmetry
在本文中，我们介绍了一个自然的分类杆和关节框架，具有对称性。这种分类建立了数学基础，扩展了各种结果的刚度，以及无穷小或静态刚度，实现一定的对称性和关节可能会或可能不会被嵌入到空间的框架。特别是，我们引入了一个适应性的概念，“通用”框架相对于这种分类，并表明，“几乎所有”的实现在一个给定的对称类是通用的，所有通用的实现在这个类中共享相同的无穷小刚性属性。在这种分类中，我们还澄清在什么条件下，组表示论技术可以应用于进一步分析（不一定是内射）对称实现的刚性属性。
2008-08-13 math.CO math.MG
Crystal frameworks, symmetry and affinely periodic flexes
对称方程得到的刚性矩阵与各种形式的无穷小的灵活性的理想化键结晶体框架$\C$在$\bR^d$。利用这些方程推导出了周期性自应力和近似周期性无穷小机构的Maxwell-Calladine计数公式。对称方程还导致一般福勒-客人公式连接的字符列表的子表示的晶体空间和点群，与债券，节点，应力，弯曲和刚性运动。对Borcea-Streinu刚性矩阵及其零空间与无限周期无穷小弯曲空间的对应关系也给出了新的推导。
2014-07-11 math.CO math.MG
Infinite Bar-Joint Frameworks, Crystals and Operator Theory
本文建立了一般无限杆系框架（G，p）的柔度和刚度理论。给出了柔度为零时不变形性的判定方法和可变形性的充分条件。无穷小柔度的形式定义在相关的无限刚度矩阵R（G，p）的算子理论。引入了抽象晶体框架的矩阵符号函数，它是$d$ -环面上的矩阵值函数，将R（G，p）表示为希尔伯特空间算子.符号函数与无穷小柔度、变形性和均衡性有关。各种处于麦克斯韦平衡的抽象晶体框架，如某些4-正则平面框架，被证明是平方和无穷刚性的，并且可以以无穷多种方式光滑变形。三维晶体框架的符号函数决定了材料晶体中低能振动模式（RUM）模型中的无限小波弯曲。对于具有反转对称性的晶体框架，它表明，RUMS出现在表面，推广F。韦格纳四面体晶体。
2011-04-20 math.CO math.FA math.MG
