The isoperimetric inequality on asymptotically flat manifolds with nonnegative scalar curvature
本文考虑具有非负数量曲率的渐近平坦流形上的等周不等式，并利用Hawking质量改进了它.在具有非负数量曲率的渐近平坦流形上，我们还得到了经典等周不等式等式成立时的刚性结果。
2015-12-31 math.DG
Sharp isoperimetric and Sobolev inequalities in spaces with nonnegative Ricci curvature
利用最优质量输运理论，在体积在无穷远处渐近增长的假设下，证明了${\sf CD} (0,N)$度量测度空间中的一个尖锐的等周不等式.我们的结果将最近证明的赋范空间和黎曼流形上的等周不等式推广到非光滑框架下。在具有非负里奇曲率的$n$维黎曼流形的情形下，我们给出了S. Brendle（2021）.作为等周不等式的应用，在具有非负里奇曲率的黎曼流形中，利用适当的对称化技巧和最优体积的非坍缩性质，建立了Sobolev不等式和Rayleigh-Faber-Krahn不等式.在后面的不等式的等式情况下，其特征还在于，充分光滑，非零极值函数存在，当且仅当黎曼流形是等距的欧几里得空间。
2022-02-18 math.AP math.DG
Torsional Rigidity on Compact Riemannian Manifolds with lower Ricci Curvature Bounds
本文证明了紧致黎曼流形中具有里奇曲率下界的区域上狄利克雷问题的基本特征函数的逆赫尔德不等式.我们还证明了这类域的扭转刚度的一个等周不等式。
2015-04-10 math.DG
Maximizing torsional rigidity on Riemannian manifolds
设$\,(M,g)\,$是$n$维黎曼流形，$\,Ω\,$是$\,M$中的任意紧连通区域.我们研究了在规定体积$v$的所有域中找到功能性$\, {\mathcal E} (Ω)\,$（称为与$Ω$相关的{ \em扭转刚度}）的{ \em最大值}的问题。我们的结果表明，对于一个给定的黎曼流形，它是严格等周在它的一个点，这种功能的最大值是实现的测地线球中心在这一点。更一般地说，我们证明了估计的功能$\, {\mathcal E} (Ω)\,$通过比较对称域。我们还调查发现尖锐的上限的功能$\, {\mathcal E} (Ω)\,$，在一定条件下的几何形状的$\,(M,g)\,$和$Ω$。最后我们找到了$\, {\mathcal E} (Ω)\,$的等周Cheeger常数的一个普适上界。
2013-09-30 math.DG
Sharp and rigid isoperimetric inequalities in metric-measure spaces with lower Ricci curvature bounds
证明了如果$(X,\mathsf{d},\mathfrak{m})$是度量测度空间，且$\mathfrak{m}(X)=1$具有（在综合意义上）由$K>0$下有界的里奇曲率和由$N\in [1,\infty)$上有界的维数，则经典的Lévy-Gromov等周不等式（以及最近由E. Milman对于任何$K\in \mathbb{R}$、$N\geq 1$和直径上界）成立，即$(X,\mathsf{d},\mathfrak{m})$的等周轮廓函数由模型空间的等周轮廓从下方界定。此外，如果相等达到某些体积$v \in (0,1)$和$K$是严格正的，那么空间必须是一个球形悬浮液，在这种情况下，我们完全分类的等周区域。最后，我们还建立了几乎刚性：如果对于一定体积的$v \in (0,1)$几乎达到相等，且$K$是严格正的，则空间必须是mGH接近于球悬挂。据我们所知，这是第一个关于满足里奇曲率下界的非光滑测度空间的等周比较的结果。符合我们假设的空间的例子包括黎曼流形满足里奇曲率下界的测量Gromov-Hausdorff极限和曲率从下有界的Alexandrov空间;即使在这些著名的空间类中，结果似乎也是新的。
2016-10-24 math.DG math.FA math.MG
Higher order isoperimetric inequalities and rigidity for surfaces in $\R^n$
Jinan University（暨南大学）；University of Wollongong（伍伦贡大学）
该研究针对任意余维数欧氏空间的光滑紧致曲面建立高阶等周型不等式，刻画等号情形的刚性结构，推广了已有经典结果，还构造了无法分解为正交圆形模式的三阶等号曲线。
2026-10-14 math.DG
Isoperimetric Bounds for Eigenvalues of the Wentzell-Laplace, the Laplacian and a biharmonic Steklov Problem
本文证明了Wentzell-Laplace算子在欧几里得空间或Hadamard流形的有界域上的低阶特征值的等周界，Laplacian算子在欧几里得空间或Hadamard流形的闭超曲面上的低阶特征值的等周界，以及双调和Steklov问题在欧几里得空间的有界域上的低阶特征值的等周界.特别是，有趣的刚性结果，可以得到如果实现尖锐的界限。
2021-08-16 math.DG
Isoperimetric problem and structure at infinity on Alexandrov spaces with nonnegative curvature
研究非负曲率有限维Alexandrov空间的等周剖面、等周集存在性与无穷远渐近结构的关系，证明线性体积增长等条件的等价性，并给出2维情形下等周集的存在性与拓扑刻画。
2025-03-15 math.DG math.MG
Rigidity for critical points in the Levy-Gromov inequality
Levy-Gromov不等式指出，在里奇张量有一个固定的正下界的黎曼流形中，圆球具有最小的等周轮廓（用总体积归一化）。本文研究了Levy-Gromov不等式对应的临界度量，证明了在二维空间中，这个临界条件是严格的，因为它刻画了圆球和射影平面.
2016-12-13 math.DG math.OC
Rigidity and large volume residues in exterior isoperimetry for convex sets
本文利用“渐近维数”概念刻画了外部等周剖面与半空间相等的凸体，并证明了当渐近维数较低时大体积下剖面渐近于全空间，同时给出了相应误差的幂律估计。
2023-10-20 math.AP math.DG
Some rigidity properties for $λ$-self-expanders
在$\mathbb{R}^{n+1}$中的$Σ$是等周问题的解，它与研究自膨胀函数时的加权面积形式相同。本文主要将我们在\cite{ancari2020volum}中获得的关于自扩张器的结果推广到$λ$ -自扩张器。证明了超平面、球面和柱面是$λ$ -自扩张子的一些性质。我们还讨论了在中曲率增长控制下的面积增长和加权面积的有限性。
2022-08-20 math.DG
Isoperimetric inequalities involving Steklov eigenvalues on surfaces
本文研究了带边界曲面上涉及 Steklov 特征值的等周不等式最优常数，在 Riemann 曲面拓扑和共形类层面证明了相关不等式，提供了实现最优常数的拓扑圆盘新实例，并证明了环面和 Möbius 带上第一共形 Steklov 特征值的刚性。
2025-08-14 math.AP math.DG math.SP
Principal frequency of clamped plates on RCD(0,N) spaces: sharpness, rigidity and stability
本文研究了满足 RCD(0,N) 条件的度量测度空间中夹紧板主频率的精细性质，在 N 接近 2 或 3 时提出了包含渐近体积比的新等周不等式，并证明了其锐度、基于锥结构的刚性及稳定性，结果对黎曼流形亦属全新。
2024-09-06 math.AP math.DG math.MG
Torsional rigidity of submanifolds with controlled geometry
证明了具有极点p和截面曲率分别自上而下有界的环境黎曼流形N^n中具有受控径向中曲率的子流形P^m的外赋域的扭转刚性的上、下界.这些界限给出的扭曲的产品模型空间中的域相应的Schwarz对称化的扭转刚度。我们的主要结果是使用以前建立的等周不等式的方法得到的，如在[MP4]和[MP5]中发现的。在[MP4]中，我们还描述了这些情况下的几何特征，其中实际上达到了扭转刚度的界限，并研究了布朗运动的平均退出时间的所谓几何平均在无穷远处的行为。
2008-06-17 math.DG
On local rigidity theorems with respect to the scalar curvature
本文利用 Ricci flow 研究标量曲率、等周常数及对数 Sobolev 不等式最佳常数的局部刚性，证明了相关条件下的局部欧氏与球面/双曲刚性定理。
2024-04-29 math.DG
Rigidity of closed $λ$-self-expanders
Department of Mathematics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学系）
本文研究闭λ-自展形的刚性问题，证明在标量曲率、平均曲率及第二基本形式平方范数等曲率条件下，闭λ-自展形为中心在原点的圆球面。
2026-09-03 math.DG
Centroid bodies and the convexity of area functionals
在赋范向量空间上引入了一个新的体积定义。我们证明了对于所有的$k$，诱导的$k$ -面积泛函都是凸的.在特殊情况下$k=2$，我们的定理意味着Busemann的2-体积密度是凸的，这是最近由Burago-Ivanov证明的。我们还展示了新的体积定义是如何与质心体相关的，并证明了一些仿射等周不等式。
2013-10-21 math.DG
Poincaré type inequality for hypersurfaces and rigidity results
本文利用对称自同态散度公式建立一般 Poincaré 型不等式，并据此推导超曲面等周不等式、r-极小超曲面刚性及非线性曲率流自相似解的平坦性与不存在性。
2023-06-01 math.AP math.DG
Stability of the positive mass theorem and torus rigidity theorems under integral curvature bounds
D的工作。Stern和Bray-Kazaras-Khuri-Stern提供了微分几何恒等式，它将黎曼3-流形的数量曲率与整体不变量以调和函数的形式联系起来。这些定量公式是有用的稳定性的结果，并显示出更多的这种类型的应用前景。本文分析了平坦模型空间上的调和映射，讨论了正质量定理和Geroch猜想的几何稳定性。通过施加积分里奇曲率和等周边界，我们利用前面提到的公式建立这些调和映射的强控制。当渐进平坦流形的质量足够小时，或者当Riemannian torus具有几乎非负的数量曲率时，我们将映射升级为微分同胚，并给出模型空间的量化Hölder贴近度。
2022-10-09 math.DG
Equality in the logarithmic Sobolev inequality
本文研究正 $\mathrm{Ric}_{\infty}$ 加权 Riemann 流形上对数 Sobolev 不等式的等号刚性，借助 Klartag 的针状分解证明等号时必分裂出一维 Gaussian 空间，并给出相关开放问题。
2019-06-18 math.DG math.FA
Alexandrov-Fenchel type inequalities for convex hypersurfaces in hyperbolic space and in sphere
本文首先受Natário最近的工作\cite{Na}的启发，利用等周不等式得到了双曲空间$\H^{n+1}$和球面$\SS^{n+1}$中闭凸超曲面的Alexandrov-Fenchel型不等式.我们还得到了球壳的刚性。其次，我们利用球中的反中曲率流\cite{gerh,Mak-Sch}证明了球中闭凸超曲面的一个最优Sobolev型不等式。
2013-08-26 math.DG
Some rigidity results for Sobolev inequalities and related PDEs on Cartan-Hadamard manifolds
Cartan-Hadamard猜想指出，在每一个$n$维Cartan-Hadamard流形$ \mathbb{M}^n $上，等周不等式与欧几里德最优常数成立，并且任何达到相等的集合必然等距于欧几里德球。这个猜想得到了解决，得到了肯定的答案，为$n \le 4$。证明了它在$n$维上的有效性，从而保证了每个$p$ -Sobolev不等式（$ 1 < p < n $）在具有欧氏最优常数的$ \mathbb{M}^n $上成立.在本文中，我们解决的问题，分类所有Cartan-Hadamard流形支持一个最佳功能的Sobolev不等式。我们证明，$n$维Cartan-Hadamard猜想的有效性下，只有这样的流形是$ \mathbb{R}^n $，因此任何优化器是一个奥宾-塔伦蒂配置文件（等距）。特别地，这是维度$n \le 4$中的情况。Sobolev不等式的最优函数是临界$p$ -Laplace方程的弱解.因此，在本文的第二部分，我们解决了径向解决方案（不一定是优化器），这样的偏微分方程的分类。实际上，我们考虑更一般的临界或超临界方程\[ -Δ_p u = u^q \, , \quad u>0 \, , \qquad \text{on } \mathbb{M}^n \, , \]，其中$q \ge p^*-1$。证明了如果存在径向有限能量解，则$\mathbb{M}^n$必然等距于$…
2022-02-18 math.AP math.DG math.FA
On closed surfaces with nonnegative curvature in the spectral sense
研究了满足谱条件$λ_1(-Δ+βK)\geqλ\geq0$的闭可定向曲面，其中$β$为正常数，$K$为高斯曲率.对于具有正数量曲率的三维流形中的稳定极小曲面，这个条件自然出现。给出了此类曲面的等周不等式、面积增长定理和直径界。这些不等式的有效性受到$β$的某些界限的限制。与正的上解$Δφ\leqβKφ$相关联，共形度量$φ^{2/β}g$具有逐点非负曲率。利用几何的新度量，我们证明了Hölder预紧性和几乎刚性的结果有关的主要谱条件。
2023-03-16 math.DG
Fine Pólya-Szegő rearrangement inequalities in metric spaces and applications
研究支撑等周不等式的度量测度空间上 Sobolev 函数的精细 Pólya-Szegő 重排不等式，应用于合成 Ricci 下界空间刻画等式情形，并推导出多个几何与泛函不等式新结果。
2025-10-13 math.AP math.DG math.MG
Sharp log-Sobolev inequalities in ${\sf CD}(0,N)$ spaces with applications
本文在CD(0,N)非紧度量测度空间上证明了含渐近体积比的尖锐L^p-对数Sobolev不等式，并应用于Hopf-Lax半群超压缩性估计及RCD(0,N)空间的高斯型L^2不等式，推广了Ni的刚性结果。
2023-11-17 math.AP math.DG math.FA
