Sharp and rigid isoperimetric inequality in metric measure spaces with non-negative Ricci curvature
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
利用最优传输理论，在Lott-Sturm-Villani意义下非负Ricci曲率的度量测度空间中，证明了涉及体积熵的尖锐无维数等周不等式，并刻画了等号成立条件。
2026-06-09 math.FA math.MG
Sharp isoperimetric comparison on non-collapsed spaces with lower Ricci bounds
本文针对具有下Ricci曲率界的非光滑RCD空间，通过原创变分估计与渐近质量分解方法，证明了尖锐等周比较定理与等周轮廓的维数凹性，推广了紧流形及欧氏凸体上的经典结果。
2023-10-07 math.DG math.MG
Isoperimetric sets in spaces with lower bounds on the Ricci curvature
本文研究了$\sf RCD$空间中拟周长的体积约束极小元的正则性和拓扑性质，其中参考测度是Hausdorff测度.拟周长是由通常周长和适当的连续项之和给出的泛函。特别是，等周集是我们研究的一个特例。证明了在${\sf RCD}(K,N)$空间$({\rm X},{\sf d},\mathcal{H}^N)$上，有$K\in\mathbb R$，$N\geq 2$，单位球的体积有一致下界，拟周长的体积约束极小元是开有界集，其$(N-1)$ -Ahlfors正则拓扑边界与本质边界重合.证明是基于${\sf RCD}(K,N)$空间$({\rm X},{\sf d},\mathfrak m)$中有限周长集的一个新的形变引理和对拟周长的体积约束极小元的内点和外点的研究。该理论适用于光滑黎曼流形的体积约束极小，可能与边界，提供了一个一般的规则性结果，这样的极小在光滑设置。
2021-09-21 math.DG math.FA math.MG
Isoperimetry on manifolds with Ricci bounded below: overview of recent results and methods
本文综述了Ricci下界流形上等周问题的最新进展，重点介绍等周轮廓二阶微分不等式及其证明方法，并展示了其在等周不等式和等周集存在性等方面的应用，同时指出了若干开放问题。
2023-05-13 math.AP math.DG math.MG
The isoperimetric problem via direct method in noncompact metric measure spaces with lower Ricci bounds
在非紧$\mathsf{RCD}(K,N)$空间$(X,\mathsf{d},\mathcal{H}^N)$上建立了等周问题极小化序列的结构定理.唯一的（必要的）假设下，单位球的措施是一致有界远离零，我们证明了这样一个序列的极限是确定的有限收集的等周区域可能包含在点Gromov-Hausdorff限制的周围空间$X$沿发散序列的点。这样的区域的数量是有界的线性最小化序列的措施。这个结果来自一个新的广义紧性定理，它确定了具有一致有界测度和周长的集合序列$E_i\subset X_i$的极限，其中$(X_i,\mathsf{d}_i,\mathcal{H}^N)$是$\mathsf{RCD}(K,N)$空间的任意序列.本文还讨论了极小化序列在无穷远处不损失质量地收敛到等周集的一个抽象判据。后一个准则也是新的光滑黎曼空间。
2022-01-10 math.DG math.MG
A sharp isoperimetric-type inequality for Lorentzian spaces satisfying timelike Ricci lower bounds
本文在类时Ricci下界假设下，通过最优传输在Lorentzian预长度空间中建立了一个精确且刚性的等周型不等式，并给出了其在黑洞内部及宇宙学时空中无时序超曲面面积上界的新应用。
2025-02-03 math-ph math.DG math.MG
Uniqueness on average of large isoperimetric sets in noncompact manifolds with nonnegative Ricci curvature
该研究在具有非负Ricci曲率、欧几里得体积增长和二次曲率衰减的非紧完备黎曼流形中，证明了大体积等周集在体积趋于无穷时的平均唯一性及边界严格保体积稳定性，并构造反例说明无法对所有大体积都成立唯一性或严格稳定性。
2025-02-24 math.DG math.MG
Asymptotic isoperimetry on non collapsed spaces with lower Ricci bounds
该文研究N维${\rm RCD}(K,N)$空间的等周比较定理与渐近等周性质，得到几乎正则性定理及函数不等式推论，多数结论在光滑非紧流形经典框架下也为新结果，合成理论起关键作用。
2023-10-07 math.DG math.MG
Isoperimetric rigidity and distributions of 1-Lipschitz functions
证明了若测地线测度空间满足等周轮廓的比较条件，且可观测方差最大，则该空间被最短测地线划分，其中可观测方差定义为该空间上1-Lipschitz函数方差的上确界.我们的结果可以被认为是Cheeger-Gromoll分裂定理和Cheng最大直径定理的一个变体。作为应用，我们得到了具有正Bakry-Émery里奇曲率的完备加权黎曼流形的一个新的等距分裂定理.
2018-01-04 math.DG math.MG
Rigidities of Isoperimetric inequality under nonnegative Ricci curvature
本文在非负里奇曲率度量测度空间的一般框架下证明等周不等式等号仅由度量球取得，并由此导出加权黎曼流形、一般RCD空间及欧氏锥体中的新刚性结果。
2024-08-07 math.MG
Isoperimetric inequality under Measure-Contraction property
证明了如果$(X,\mathsf d,\mathfrak m)$是一个本质上无分支的度量测度空间，且具有$\mathfrak m(X)=1$，里奇曲率由$K$从下到上有界，维数由$N \in (1,\infty)$从上到下有界，理解为一个称为测度收缩性质的综合条件，则Lévy-Gromov的一个尖锐的等周不等式成立.同时也得到了理论刚度的测度.
2018-10-26 math.DG math.MG
Measure rigidity of synthetic lower Ricci curvature bound on Riemannian manifolds
本文研究了带边界的黎曼流形上的Lott-Sturm-Villani综合里奇曲率下界.我们证明了一些重要的泛函和几何不等式的测度刚性结果，这些结果完全刻画了带边界的黎曼流形上的${\rm CD}(K, \infty)$条件和非塌陷${\rm CD}(K, N)$条件.特别地，利用$L^1$ -最优运输理论，证明了${\rm CD}(K, \infty)$条件蕴涵测地线凸性.
2021-08-16 math.DG math.FA math.MG
Isoperimetric inequality in noncompact MCP spaces
证明了一类度量测度空间的一个尖锐的等周不等式，证明了合成里奇曲率下界$MCP(0,N)$，并在无穷远处具有欧氏体积增长。我们避免了经典的使用Brunn-Minkowski不等式，不适用于$MCP(0,N)$，和PDE的方法，不适用于奇异设置。我们的方法将通过使用本地化的缩放限制来进行。
2021-11-11 math.FA math.MG
Ricci Curvature on Alexandrov spaces and Rigidity Theorems
本文在Alexandrov空间上引入了一个新的里奇曲率下界的概念，并在此里奇曲率条件下将Cheeger-Gromoll分裂定理和Cheng最大直径定理推广到Alexandrov空间.
2010-09-26 math.DG math.MG
Sharp Isoperimetric Inequalities and Model Spaces for Curvature-Dimension-Diameter Condition
在具有概率测度的黎曼流形上，得到了新的尖锐的等周不等式，其广义里奇曲率是下有界的（可能是负的），广义维数和凸支撑的直径是上有界的（可能是无穷大的）.我们的不等式是尖锐的任何给定的措施，并对所有参数（曲率，尺寸和直径）的集合。此外，对于每个参数的选择，我们确定的模型空间是极值的等周问题。特别地，我们恢复了Gromov-Lévy和Bakry-Ledoux等周不等式，其中指出，当曲率从下严格有界时，这些模型空间是$n$ -球面和高斯空间，分别对应于广义维数为$n$和$\infty$。在所有其他情况下，即使对于经典的黎曼体积测度来说似乎也是新的，结果是没有单一的模型空间可以比较，并且需要同时与一个自然的单参数模型空间族进行比较，尽管如此，还是产生了一个尖锐的结果。
2012-08-29 math.DG math.FA math.MG
Almost rigidity results of Green functions with non-negative Ricci curvature
本文综述非光滑情形下 Green 函数的刚性与近刚性结果，并考察非负 Ricci 曲率 RCD 空间中的 Cheeger-Yau 不等式及其应用。
2024-02-29 math.DG math.MG
Quantitative rigidity of almost maximal volume entropy for both RCD spaces and integral Ricci curvature bound
紧致测度空间的体积熵是度量在无穷远处提升到其泛覆盖的指数增长性。对于具有负里奇曲率下界和直径上界的紧致黎曼$n$ -流形，已知它存在几乎极大体积熵当且仅当它是双纯的且Gromov-Hausdorff接近于双曲空间形式.证明了具有负里奇曲率下界的$\operatorname{RCD}$ -空间和具有负$L^p$ -积分里奇曲率下界的黎曼流形的几乎极大体积熵的定量刚性.
2022-11-02 math.DG math.MG
Topological regularity of isoperimetric sets in PI spaces having a deformation property
本文证明了具有形变性质的PI空间中等周集的拓扑正则性，揭示了其开集、边界密度估计及有界性，并推广至塌缩RCD空间，简化了经典欧几里得论证。
2023-09-09 math.DG math.FA math.MG
Isoperimetric control of the Steklov spectrum
设N是n+1维完备黎曼流形，其黎曼度量g共形等价于一个具有非负里奇曲率的度量. N中有界域的归一化Steklov特征值根据该域的等周比上界。因此，欧几里得空间、双曲空间或标准半球中有界区域的归一化Steklov特征值上一致有界。在带边界的紧致曲面上，正规化Steklov特征值按亏格一致有界。我们还得到了区域的Steklov特征值与Laplace-Beltrami算子在其边界超曲面上的特征值之间的关系。
2011-03-15 math.DG math.MG math.SP
Global Weak Rigidity of the Gauss-Codazzi-Ricci Equations and Isometric Immersions of Riemannian Manifolds with Lower Regularity
研究了黎曼流形上Gauss-Codazzi-Ricci（GCR）方程的整体弱刚性以及相应的黎曼流形到欧几里得空间的等距浸入.我们发展了一个统一的内在方法来建立全局弱刚性的GCR方程和等距浸入的黎曼流形，独立于当地的坐标，并提供进一步的见解以前的本地结果和论点。并对临界情况进行了分析。为了实现这一点，我们首先在黎曼流形上重新表达了具有div-curl结构的GCR方程，并发展了一个整体的，内在版本的div-curl引理和其他非线性技术来解决流形上的整体弱刚性。特别地，在巴拿赫空间上建立了一个一般的泛函-解析补偿紧性定理，其中包含了黎曼流形上的内蕴div-curl引理作为特例.建立了低正则性黎曼流形上整体等距浸入、Cartan形式和GCR方程的等价性。我们还证明了一个新的弱刚性结果，属于Cartan形式主义，黎曼流形具有较低的正则性，并推广了弱刚性结果的黎曼流形与不固定的度量。
2017-08-26 math.AP math.DG math.FA
Affine variational functionals, isoperimetric problems and stability
Universidad de Murcia（穆尔西亚大学）
本文研究三个仿射变分量的等周问题，证明椭球是唯一极值，并借助L_p Busemann--Petty质心不等式的稳定性获得定量等周不等式及仿射Kohler-Jobin不等式的稳定性结果。
2026-10-06 math.AP math.FA math.MG
Isoperimetric inequalities in unbounded convex bodies
考虑无界凸体$C\subset \mathbb{R}^{n+1}$在体积约束下的相对周长最小化问题，不假设$C$边界上有任何进一步的正则性.受一个等周轮廓为零的无界凸体例子的启发，我们引入了均匀几何无界凸体的概念。然后，我们提供了一个方便的一致的几何性质的表征，并利用$C$的渐近圆柱的概念，我们证明了在广义意义上的等周区域的存在。通过一个近似参数，我们显示严格的等周轮廓，因此，广义等周区域的连通性。我们还专注于小的情况下，以及大量的，特别是我们证明存在的等周区域足够大的体积，特殊类的无界凸体。最后，我们解决了一些问题的等周刚度和分析的渐近行为的等周轮廓的概念等周维数。
2016-06-23 math.DG math.MG
Sharp geometric inequalities for closed hypersurfaces in manifolds with nonnegative Ricci curvature
本文考虑具有非负里奇曲率和欧氏体积增长的完备非紧黎曼流形$(M, g)$，维数为$n \geq 3$ .证明了$M$中闭超曲面$\partial Ω$的一个尖锐的Willmore型不等式，等式成立当且仅当$(M{\setminus}Ω, g)$等距于$\partialΩ$上的截锥.利用这个结果得到了$3$ -流形上Huisken等周不等式的一个最优形式.最后，利用我们的技术的一个自然的推广到抛物流形的情况下，我们还推出了一个加强版本的Kasue的不存在的结果，在流形上的非负里奇曲率的封闭极小超曲面。
2019-02-06 math.AP math.DG math.MG
Rigidity and almost rigidity of Sobolev inequalities on compact spaces with lower Ricci curvature bounds
本文证明了：如果$M$是一个闭的$n$维黎曼流形$n \ge 3$，它具有${\rm Ric}\ge n-1$，并且它的临界Sobolev不等式中的最优常数等于$n$维球面$\mathbb{S}^n$中的最优常数，则$M$等距于$\mathbb{S}^n$ .还建立了几乎刚性的结果，即如果几乎达到相等，则$M$在Gromov-Hausdorff意义上接近于球形悬架。这些声明中获得的${\rm RCD}$ -设置（可能是非光滑的）度量测度空间满足合成的下里奇曲率界。我们的分析的一个独立的结果是Sobolev不等式的最佳常数的任何紧${\rm CD}$空间的特征，扩展到非光滑设置的经典结果由Aubin。我们的论证是基于${\rm RCD}$空间的mGH-收敛序列的一个新的集中紧性结果和${\rm CD}$空间的一个欧氏型Polya-Szego不等式.作为技术工具的应用，我们证明了Yamabe方程的存在性结果和广义Yamabe常数在测度格罗莫夫-豪斯多夫收敛下的连续性，在${\rm RCD}$ -设置。
2022-06-09 math.AP math.DG math.MG
Continuity and differentiability properties of the isoperimetric profile in complete noncompact Riemannian manifolds with bounded geometry
对于具有有界几何$M^n$的完备非紧连通黎曼流形，证明了等周轮廓函数$I_{M^n}$是连续的。在这里，对于有界几何，我们的意思是$M$有$Ricci$曲率，半径为$1$的球的体积，相对于它的中心一致有界。然后在对$M$几何的一个额外假设下，我们应用这个结果证明了$I_M$的一些可微性质和$I_M$满足的一个微分不等式，从而将紧流形的一些已知结果推广到这类具有有界几何的非紧完备黎曼流形.
2016-01-25 math.MG
Local Hölder continuity of the isoperimetric profile in complete noncompact Riemannian manifolds with bounded geometry
对具有有界几何$M^n$的完备非紧连通黎曼流形，证明了等周轮廓函数$M^n$是局部$\left(1-\frac{1}{n}\right)$ -Hölder连续函数，特别是它是连续的.在这里，对于有界几何，我们的意思是$M$有$Ricci$曲率在下面有界，半径为$1$的球的体积在下面相对于它的中心一致有界。我们还证明了完备黎曼流形中等周轮廓函数的弱形式和强形式的等价性，这是基于一个关于有限体积的有限周长集用相同体积的开有界光滑边界集逼近的引理。最后，上连续性的等周配置文件的每一个度量（不一定是完整的）。
2016-06-16 math.MG
An Information-Theoretic Route to Isoperimetric Inequalities via Heat Flow and Entropy Dissipation
本文提出基于热流下熵耗散的等周不等式信息论方法，将扩散视作含噪信道推导互信息衰减与边界测度的关联，证明欧氏等周不等式并拓展至黎曼流形场景，搭建几何分析与信息论的联系。
2025-11-19 cs.IT math.AP math.DG
