A topological version of Hedetniemi's conjecture for equivariant spaces
本文研究了 $G$-空间的 Hedetniemi 猜想拓扑版本，证明其对一般 $G$-空间对不成立，但在群 $G$ 为循环 $p$-群或大小为 2 的幂的广义四元数群时可能成立。
2023-02-13 math.CO
Smaller counterexamples to Hedetniemi's conjecture
Hedetniemi的猜想~ \cite{hedetniemi1966homomorphisms}对于$c$ -着色说明张量积$G \times H$是$c$ -可着色的当且仅当$G$或$H$是$c$ -可着色的。El-Zahar和Sauer~ \cite{El-ZaharS85}对$c = 3$证明了这一点。在最近的一次突破中，Shitov~ \cite{Shitov19}给出了大$c$的反例。虽然Shitov的证明已经非常简短，但朱\cite{Zhu20}简化了论证，并给出了$c=125$更明确的反例。Tardif \cite{Tardif20}表明，对参数的修改允许使用"宽着色“来获得$c=14$和$c=13$的反例，其中更多地涉及使用词典产品。本注释给出了另外两个小的修改，得到了$c=5$的反例（$G$和$H$分别有4686和30个顶点）。
2020-12-25 math.CO
Relatively small counterexamples to Hedetniemi's conjecture
Hedetniemi在1966年证明了$χ(G \times H) = \min\{χ(G), χ(H)\}$对所有的图$G$和$H$。这里$G\times H$是顶点集$ V(G)\times V(H)$的图，通过将$(x,y)$和$(x',y')$相邻来定义当且仅当$xx'\in E(G)$和$yy'\in E(H)$。这个猜想在过去的半个世纪里受到了很多关注。最近，希托夫驳斥了这一猜想。设$p$是具有奇数围长$7$且分数色数大于$3+4/(p-1)$的图的最小顶点数。Shitov的证明表明Hedetniemi猜想对某些图的色数约为$p^22^{p+1} $且顶点数约为$(p^22^{p+1})^{p^32^{p-1}} $的图是不成立的.在本文中，我们证明了猜想已经失败的一些图$G$和$H$的色数$3\lceil \frac {p+1}2 \rceil $和$p \lceil (p-1)/2 \rceil$和$3 \lceil \frac {p+1}2 \rceil (p+1)-p$顶点，分别。目前已知的$p$的上限是$148$。因此，Hedetniemi的猜想对某些图$G$和$H$是不成立的，这些图的色数分别是$225$，顶点分别是$10,952$和$33,377$。
2020-06-28 math.CO
Hedetniemi's conjecture is asymptotically false
推广了Shitov的一个新突破，证明了两个图的张量积的色数可以是比这两个图的最小色数小的常数因子.更精确地说，我们证明了存在一个绝对常数$δ>0$，使得对于所有足够大的$c$，存在图$G$和$H$的色数至少为$(1+δ)c$，其中$χ(G \times H) \le c$。
2020-03-09 math.CO
Hedetniemi's conjecture and adjoint functors in thin categories
我们调查的结果Hedetniemi猜想，这是连接到伴随函子的“薄”范畴的图，并揭示了障碍，以扩大这些结果。
2016-08-09 math.CO math.CT
Neighborhood complexes, homotopy test graphs and a contribution to a conjecture of Hedetniemi
图$G$的邻域复形$\N(G)$是L.在他的Kneser猜想的证明。他证明，对于任何图$G$，\begin{align} \label{abstract} χ(G) \geq conn(\N(G))+3. \end{align}在这篇文章中，我们表明，一类指数图的界限（\ref{abstract}）是尖锐的。进一步，我们证明了这些指数图的邻域复形在同伦下是球面。我们还能够找到一类指数图，这是同伦测试图。Hedetniemi猜想指出两个图的范畴积的色数是因子的色数的最小值。设$M(G)$表示图$G$的Mycielskian。我们证明了，对于任何含有$M(M(K_n))$作为子图的图$G$和任何图$H$，如果$χ(G \times H) = n+1$，则$\min\{χ(G), χ(H)\} = n+1$。因此，我们丰富了满足Hedetniemi猜想的图族。
2018-10-16 math.CO
Hedetniemi's conjecture for uncountable graphs
证明了在Godel的可构造宇宙中，对任意无穷后继基数k，存在大小和色数为k的图G和H，且其张量积图（G × H）是可数色的.
2013-07-25 math.CO math.LO
Z2-indices and Hedetniemi's conjecture
$\mathbb{Z}_2$ -CW-复合体$X$的$\mathbb{Z}_2$ -索引${\rm ind}(X)$是最小数$n$，使得存在从$X$到$S^n$的$\mathbb{Z}_2$ -映射。在这里，我们考虑$S^n$作为一个$\mathbb{Z}_2$ -空间的对映映射。Hedetniemi猜想是图论中关于有限图的张量积的图着色问题的一个长期存在的猜想。证明了如果Hedetniemi猜想成立，则对于有限$\mathbb{Z}_2$ -复形的每对$X$和$Y$，都有${\rm ind}(X \times Y) = \min \{ {\rm ind}(X) , {\rm ind}(Y)\}$.
2019-03-30 math.AT math.CO
A survey on Hedetniemi's conjecture
本文综述Hedetniemi猜想：该猜想关于图乘积的着色性，已被Shitov在2019年推翻，现已知对$n\ge4$不成立、对$n\le3$成立，文章总结了相关结果与反例构造思路。
2025-02-22 math.CO math.HO
On Hedetniemi's conjecture and the Poljak-Rodl function
Hedetniemi在1966年证明了对任意图G和H，都有$χ(G \times H) = \min\{χ(G), χ(H)\}$.这里$G\times H$是顶点集$ V(G)\times V(H)$通过将$(x,y)$和$(x',y')$相邻来定义的图当且仅当$xx'\in E(G)$和$yy'\in V(H)$。这个猜想在过去的半个世纪里受到了很多关注。这一点最近被希托夫推翻了。Poljak-Rödl函数定义为$f(n) = \min\{χ(G \times H): χ(G)=χ(H)=n\}$。Hedetniemi猜想等价于对所有整数$n$说$f(n)=n$。Shitov的结果表明，当$n$足够大时，$f(n)<n$。利用Shitov的结果，Tardif和Zhu证明了对于足够大的$n$，$f(n) \le n - (\log n)^{1/4}$。利用Shitov的方法，He-Wigderson证明了对于足够大的$ε\approx 10^{-9}$和$n$，$f(n) \le (1-ε)n$。在这份说明中，我们证明了一个轻微的修改证明文件中的朱和Tardif表明，$f(n) \le (\frac 12 + o(1))n$足够大的$n$。另一方面，不知道$f(n)$是否由常数限制。然而，我们知道，如果$f(n)$由一个常数限制，那么最小的常数至多是$9$。本课堂讲稿给出了上述结…
2019-12-05 math.CO
Hedetniemi's conjecture from the topological viewpoint
本文致力于研究著名的Hedetniemi猜想的一个拓扑版本，该猜想是：两个$\mathbb Z/2$ -空间的笛卡儿积的$\mathbb Z/2$ -指数等于它们的$\mathbb Z/2$ -指数的最小值。通过建立$\mathbb Z/2$ -空间的并的同调指数的一个更强的公式，充分证实了这个猜想的同调指数版本。此外，我们证实了原来的猜想的情况下，其中一个因素是一个$n$ -球。对$\mathbb Z/p$ -空间也给出了类似的结果。此外，我们回答了Marcin Wrochna提出的关于计算一些非平凡产品的指数的问题。最后，给出了范畴积（超）图的色数的一些新的拓扑下界。
2019-09-23 math.AT math.CO
On inverse powers of graphs and topological implications of Hedetniemi's conjecture
我们考虑一个自然图操作$Ω_k$，它是取图的k次幂的某种逆（形式上：右伴随）。我们表明，它保留了拓扑（$\mathbb{Z}_2$ -同伦型）的盒复杂，拓扑组合学的基本工具。证明了图G的盒复形允许图H的盒复形有一个$\mathbb{Z}_2$ -映射（一个等变的连续映射）当且仅当对足够高的k，图$Ω_k(G)$允许图H有一个同态.这允许表明，如果Hedetniemi的猜想色数的图产品是真实的n-着色，然后下面类似的猜想在拓扑也将是真实的：如果X，Y是$\mathbb{Z}_2$ -空间（有限$\mathbb{Z}_2$ -单纯复形），使X x Y承认一个$\mathbb{Z}_2$ -映射到（n-2）维领域，然后X或Y本身承认这样的地图。我们讨论这一点和其他影响，争论的重要性的拓扑猜想。
2019-05-13 math.AT math.CO
Sabidussi Versus Hedetniemi for Three Variations of the Chromatic Number
从图同态的角度研究了向量色数、补图的Lovasz θ和量子色数.我们证明了一个类似的Sabidussi定理的每个参数，即对于每个参数，图的笛卡儿积的值等于因子的值的最大值。我们还证明了一个类似的Hedetniemi的猜想Lovasz θ的补充，即它的值的范畴产品的图是等于其值的最小因素。我们猜想类似的结果对向量和量子色数也成立，并证明了对某些特殊的图类也是如此。
2013-05-23 math.CO quant-ph
Hedetniemi's Conjecture for Uncountable Complementary Graphs
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文研究无限图的 Hedetniemi 互补问题，证明在特定条件下顶点数为 ω₁，并在 ◇ 假设下构造满足色数条件的图，同时引入 c.c.c. 力迫，但 ZFC 下存在性仍开放。
2026-10-07 math.CO math.LO
A counterexample to the quantum Hedetniemi conjecture
Institute for Quantum Information, RWTH Aachen University（亚琛工业大学量子信息研究所）
本文构造显式有限图，否证量子 Hedetniemi 猜想，证明其量子色数乘积小于因子最小值，并给出更小反例及 Lean 4 形式化验证。
2026-09-18 math.CO quant-ph
Square-free graphs are multiplicative
一个图K是无平方的，如果它不包含四圈作为子图。一个图K是乘法的，如果对所有的图G，H，GxH -> K蕴涵G -> K或H -> K.这里GxH是张量（或范畴）图积，G -> K表示存在从G到K的图同态。Hedetniemi猜想指出所有团K_n都是乘法的。然而，已知是乘法的唯一非平凡图是K_3，奇圈，更一般地，是2 <= p/q < 4的循环团$K_{p/q}$。我们没有取得进展的团，但表明，所有的平方免费图是乘法。特别地，这给出了第一个色数大于4的乘法图。推广，在盒子复杂的，拓扑洞察力背后现有的证明奇循环，我们也给出了一个不同的证明循环集团。
2016-08-23 math.CO
The ratio of domination and independent domination numbers on trees
设$γ(G)$和$i(G)$分别为$G$的控制数和独立控制数. 1977年，Hedetniemi和Mitchell开始比较$i(G)$和$γ(G)$，最近Rad和Republmann提出了一个猜想，即$i(G)/ γ(G) \leq Δ(G)/2$，其中$Δ(G)$是$G$的最大度。本文证明了关于树的猜想，并给出了图达到尖界的证明。
2016-10-05 math.CO
On a List Variant of the Multiplicative 1-2-3 Conjecture
1-2-3猜想询问是否几乎所有的图都可以用$1,2,3$（边）标记，使得没有两个邻顶点与相同的标记之和关联。在过去的几十年里，这个问题的几个方面已经在文献中进行了研究，包括更一般的版本和轻微的变化。值得注意的这种变体包括列表1-2-3猜想变体，其中边缘必须从三个标签的专用列表中分配标签，以及乘法1-2-3猜想变体，其中标签$1,2,3$必须分配给边缘，使得邻顶点与标签的不同乘积关联。对这两个变种获得的几个结果导致观察到一些行为是远离那些原来的猜想。在这项工作中，我们考虑乘法1-2-3猜想的列表版本，提出了第一个专门研究这个问题。特别地，给定任何图$G$，我们想知道最小的~ $k$，使得当它的边必须从大小为~ $k$的专用列表中分配标签时，$G$可以根据需要被标记。利用我们的问题和列表1-2-3猜想之间的关系，当$G$属于特定的图类时，我们给出了~ $k$的上界。我们通过专门的参数进一步改进了其中的一些界限。
2021-02-16 math.CO
On a Vizing-type integer domination conjecture
给定一个简单图$G$，$G$中的支配集是一个顶点$S$的集合，使得每个不在$S$中的顶点都有一个邻居。用$γ(G)$表示$G$的控制数，它是$G$的任何最小控制集的大小。对于任何整数$k\ge 1$，函数$f : V (G) \rightarrow \{0, 1, . . ., k\}$称为\emph{$\{k\}$-dominating function}，如果它的函数值在任何封闭邻域上的和至少是$k$。$\{k\}$ -支配函数的权是它在所有顶点上的值之和。定义$G$的$\{k\}$ -控制数$γ_{\{k\}}(G)$为所有$\{k\}$ -控制函数的最小权. Brešar，Henning和Klavžar（关于图中的整数支配和Vizing类问题。\emph{Taiwanese J. Math.} {10（5）}（2006）pp. 1317--1328）询问是否存在整数$k\ge 2$使得$γ_{\{k\}}(G\square H)\ge γ(G)γ(H)$。在本注记中，我们使用罗马$\{2\}$ -支配数，Chellali，Haynes，Hedetniemi和McRae的$γ_{R2}$（罗马$\{2\}$ -支配数。\emph{Discrete Applied Mathematics} {204}（2016）pp.（第22至28段）证明了若$G$是无爪图，$H$是任意图，则…
2020-07-08 math.CO
A proof of the Multiplicative 1-2-3 Conjecture
我们证明了Skowronek-Kazi{ó}w在2012年提出的1-2-3猜想的乘积版本是正确的。也就是说，对于每一个阶至少为3的连通图，我们证明了我们可以分配标签1，2，3的边，在这样的方式，没有两个相邻的顶点是关联到相同的标签的产品。
2022-05-18 cs.DM math.CO
The Path Partition Conjecture is True and its Validity Yields Upper Bounds for Detour Chromatic Number and Star Chromatic Number
图$G$的迂回顺序，记为$τ(G)$，是$G$中最长路径的顺序。$V(G)$的分区$(A, B)$使得$τ(\langle A \rangle) \leq a$和$τ(\langle B \rangle) \leq b$被称为$G$的$(a, b)$ -分区。一个图$G$称为$τ$ -可分图，如果$G$对每对正整数$(a, b)$都有一个$(a, b)$ -可分图，使得$a + b = τ(G)$ .著名的路径划分猜想指出，每个图都是$τ$ -可划分的。在\cite{df07}中Dunber和Frick证明了如果每个2-连通图都是$τ$ -可分的，那么每个图都是$τ$ -可分的。本文证明了2-连通图是PDMATHAMT-可分图。因此，我们的结果肯定地解决了路径划分猜想。我们证明了以下两个定理作为路划分猜想有效性的推论。{ \bf定理1：}对每个图$G$，$χ_s(G) \leq τ(G)$，其中$χ_s(G)$是图$G$的星色数.图$G$的$n^{th}$迂回色数，记作$χ_n(G)$，是给$G$的顶点着色所需的最小颜色数，使得没有阶数大于$n$的路是单色的。这些色数是由Chartrand，Gellar和Hedetniemi引入的\cite{cg68}作为点色数$χ(G)$的推广。{ \bf定理2：}对每个图$G$和每个$n \geq 1$，有$χ_n(G) \leq \left\…
2014-09-15 math.CO
A note on multiplicative automatic sequences
我们证明了任何$q$ -自动完全乘性函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$本质上与一个Dirichlet特征标一致。这回答了J. P. Allouche和L. Goldmakher的一个猜想，证实了J. Bell，N. Bruin和M.完全乘性函数的Coons。此外，假设在数论中有两个标准假设，这些方法允许去除完备性的假设。
2019-04-08 math.CO math.NT
Multiplicative irreducibility of shifted multiplicative subgroups
Universität Basel（巴塞尔大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Institute for Basic Science（基础科学研究所）
本文基于Sárközy的猜想，证明了Kalmynin结果的乘法类比，证明了移位后的乘法子群无法非平凡表示为乘积集，并且非零移位的陪集不是比集。
2026-03-13 math.CO math.NT
Further Evidence Towards the Multiplicative 1-2-3 Conjecture
由Skowronek-Kazi{ó}w在2012年引入的1-2-3猜想的乘积版本指出，除了一些明显的例外，所有的图都可以是3-边标号的，这样没有两个相邻的顶点与同一个标号的乘积关联。迄今为止，这一猜想主要在完全图和3-列图中得到验证。作为对猜想的有力支持，还证明了所有图都允许这样的4-标号。在这项工作中，我们研究如何最近证明的多集版本的1-2-3猜想Vu{ \v c}kovi{ć}可以适应证明结果的产品版本。我们证明了4-色图验证了1-2-3猜想的乘积版本。我们还证明了，对于所有的图，我们可以设计3-标号，几乎有所需的属性。这导致了一个新的问题，我们解决了一些图类。
2020-04-20 cs.DM math.CO
Multiplicative irreducibility of small perturbations of the set of shifted $k$-th powers
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本文研究了移位k次幂在小扰动下的乘法不可约性，验证了关于非平凡乘积集的猜想。
2025-11-25 math.CO math.NT
Additive and multiplicative Sidon sets
给出了一个集$A \subset \mathbb N$的构造，使得任何具有$|A'| \gg |A|^{2/3}$的子集$A' \subset A$既不是加性西顿集，也不是乘性西顿集.在这样做时，我们反驳了Klurman和Pohoata的一个猜想。
2021-03-24 math.CO math.NT
A note on multiplicative automatic sequences, II
我们证明了任何$q$ -自动乘性函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$要么本质上符合狄利克雷字符，或消失的所有足够大的素数。这证实了J. Bell，N. Bruin和M.浣熊侠
2019-05-26 math.CO math.NT
Multiplicative irreducibility of shifted multiplicative subgroups in the extremal case
Institute for Basic Science（基础科学研究院）
研究素域中平移乘法子群乘法不可约性问题，在\(\lambda\in\mathbb{F}_p^*\setminus G\)时，借助素域中的斯捷潘诺夫界，于等式情形完全解决该问题，此前金、叶和柳已有相关研究基础。
2026-07-28 math.CO math.NT
A Multiplicative Fourier Proof of the Length-Four Index Conjecture
School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Foreign Studies（广东外语外贸大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, South China Normal University（华南师范大学数学科学学院）；School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University（广州大学数学与信息科学学院）
该研究基于乘法傅里叶分析，结合有限群支撑不确定性不等式与Shen-Xia-Li定理的极小模归约，对所有与6互素的n证明了零和理论中的长度四指标猜想。
2026-08-25 math.CO math.NT
A Tutte polynomial inequality for lattice path matroids
令$M$是一个没有循环或环的拟阵，并令$T(M;x,y)$是它的Tutte多项式。1999年，Merino和Welsh证明了$$\max(T(M;2,0), T(M;0,2))\geq T(M;1,1)$$对图拟阵成立。十年后，孔德和梅里诺提出了一个乘法版本的猜想，这意味着原来的一个。本文证明了格路拟阵族的乘法猜想（推广了以前关于一致拟阵和Catalan拟阵的结果）。为了做到这一点，我们介绍和研究特定的格路径拟阵，称为蛇，作为建筑砖，确实建立一个加强的乘法猜想，以及一个完整的表征的情况下，平等持有。
2016-10-27 cs.DM math.CO
Restricted sumsets in multiplicative subgroups
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本文研究了有限域上乘法子群及整数完美幂中的受限和集，扩展了Shkredov的结果，并提出了一个受限和集的van Lint-MacWilliams猜想的类比。
2024-10-01 math.CO math.NT
On variants of Chowla's conjecture
Beijing Institute of Mathemtical Sciences and Applications（北京数学与交叉科学研究院）
该研究针对取值为±1的完全积性函数的移位卷积和展开，用组合方法证明了Chowla猜想方向的两项新成果，并确定了相应的谱。
2025-03-10 math.CO math.NT
A multiplicative analogue of Schnirelmann's theorem
Schnirelmann的经典定理指出素数是整数的加法基。本文考虑循环群$\left(\mathbb{Z}/ q\mathbb{Z}\right)^{\times}$的类乘法集，证明了一个类似的结果。对于所有适当大的素数$q$，我们定义$P_η$为小于$ηq$的素数的集合，自然地被视为$\left(\mathbb{Z}/ q\mathbb{Z}\right)^{\times}$的子集。考虑$k$ -倍产品集$P_η^{(k)}=\{p_1p_2\cdots p_k:p_i\in P_η\}$，我们表明，对于$η\gg q^{-\frac{1}{4}+ε}$存在一个常数$k$只依赖于$ε$，使$P_η^{(k)}=\left(\mathbb{Z}/ q\mathbb{Z}\right)^{\times}$。Erdalos解释说，对于$η= 1$，值$k=2$应该足够了：虽然我们还不能证明这个猜想，但我们确实确定$P_1 ^{(2)}$的密度至少为$\frac{1}{64}(1+o(1))$。我们还制定了一个类似的定理几乎素数，改善现有的结果。
2016-02-25 math.CO math.NT
Quasi-isometries between graphs with variable edge lengths
本文研究可变边长图之间的拟等距映射，并否定了 Nguyen、Scott 和 Seymour 关于通过调整目标图边长和加性畸变常数即可消除乘性畸变因子的猜想。
2025-03-10 math.CO math.MG
Diameter and radius of an additive-multiplicative graph
Microsoft Research（微软研究院）
该研究定义了正整数上由差1或素数商连接相邻顶点的图G，证明了其直径在6到7之间、半径在4到5之间，并在迪克森猜想下精确确定了直径和半径分别为6和4。
2026-10-01 math.CO math.NT
Shannon capacity and the categorical product
图的Shannon OR容量$C_{\rm OR}(G)$，即传统上比较常用的互补图的Shannon AND容量$G$，是对每对图都满足$C_{\rm OR}(F\times G)\le\min\{C_{\rm OR}(F),C_{\rm OR}(G)\}$的同态单调图参数，其中$F\times G$是图$F$和图$G$的范畴积.在这里，我们开始研究这样一个问题：在这种不平等中，我们什么时候可以期待平等。使用最近的一个强有力的结果Zuiddam，我们表明，如果这种“Hedetniemi型”的平等是不满足某些对图，然后类似的平等也不满足这个图对的一些其他的图形不变量，有一个更好的“行为”关于一些不同的图形操作。特别是，不像香农容量或色数，这另一个不变量是乘法下的OR-产品和加法下的连接操作，而它也是非减少沿图同态。我们还提出了一个自然的下界$C_{\rm OR}(F\times G)$和详细说明的问题，如何找到图形对，它是已知的严格小于，比上界$\min\{C_{\rm OR}(F),C_{\rm OR}(G)\}$。我们提出这样的图对使用佩利图的性质。
2019-11-03 cs.CC cs.IT math.CO
Sarnak's Conjecture for nilsequences on arbitrary number fields and applications
对任意数域$K$提出了广义Sarnak的Möbius不交性猜想，并证明了$K$的整数环$\mathcal{O}_{K}$上多项式零序列$(Φ(g(n)Γ))_{n\in\mathbb{Z}^{D}}$与非周期乘法函数之间的一个定量不交性结果.这里$D=[K\colon\mathbb{Q}]$，$X=G/Γ$是一个流形，$g\colon\mathbb{Z}^{D}\to G$是一个多项式序列，而$Φ\colon X\to \mathbb{C}$是一个Lipschitz函数。证明使用的工具，从多维高阶傅立叶分析，多线性分析，轨道性质的nilmanifold，和正交准则的Kátai在$\mathcal{O}_{K}$。我们也利用这个结果的变形来导出在数论和组合学中的应用：（1）我们证明了$K$上乘法函数的一个结构定理，即每一个有界乘法函数都可以分解为一个概周期函数的和（结构部分）和具有任何次数的小Gowers一致性范数的函数（2）给出了$\mathcal{O}_{K}$中有界乘性函数的Gowers范数为零的充要条件;（3）给出了$K$上一大类三元齐次方程的划分正则性结果.例如，对于$a,b\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$，我们证明了对于每个$\mathcal{O}_{K}$划分为多个细胞，其中$K=\mathbb{Q}(\sqrt{a},\sqrt{b},\sq…
2023-01-13 math.CO math.DS math.NT
