Hedetniemi 猜想在不可数互补图上的情形
Hedetniemi's Conjecture for Uncountable Complementary Graphs
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中文总结 AI 辅助
本文研究无限图的 Hedetniemi 互补问题，证明在特定条件下顶点数为 ω₁，并在 ◇ 假设下构造满足色数条件的图，同时引入 c.c.c. 力迫，但 ZFC 下存在性仍开放。
中文摘要 AI 辅助
我们研究无限图的 Hedetniemi 问题的互补版本。我们证明，如果一个图 G 及其补图 \\(\overline{G}\\) 都是不可数色数的，而它们的范畴积是可数色数的，那么 \\(|V(G)|=\omega_1\\)。假设 \\(\diamondsuit\\) 成立，我们在 \\(\omega_1\\) 上构造一个图 G，使得 \\(\chi(G)=\chi(\overline{G})=\omega_1\\) 且 \\(\chi(G\times\overline{G})=\omega\\)；该构造使用了两个适当选取的极小 Countryman 线。我们还定义了一个基数为 \\(\omega_1\\) 的 c.c.c. 力迫，它添加一个具有相同性质的图。ZFC 单独是否能证明这种图的存在性仍然开放。
英文摘要
We study the complementary version of Hedetniemi's problem for infinite graphs. We prove that if a graph $G$ and its complement $\overline{G}$ are both uncountably chromatic while their categorical product is countably chromatic, then $|V(G)|=ω_1$. Assuming $\diamondsuit$, we construct a graph $G$ on $ω_1$ such that $χ(G)=χ(\overline{G})=ω_1$ and $χ(G\times\overline{G})=ω$; the construction uses two suitably chosen minimal Countryman lines. We also define a c.c.c. forcing of cardinality $ω_1$ that adds a graph with the same properties. It remains open whether ZFC alone proves the existence of such a graph.
发表机构
- HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
