Smaller counterexamples to Hedetniemi's conjecture
Hedetniemi的猜想~ \cite{hedetniemi1966homomorphisms}对于$c$ -着色说明张量积$G \times H$是$c$ -可着色的当且仅当$G$或$H$是$c$ -可着色的。El-Zahar和Sauer~ \cite{El-ZaharS85}对$c = 3$证明了这一点。在最近的一次突破中，Shitov~ \cite{Shitov19}给出了大$c$的反例。虽然Shitov的证明已经非常简短，但朱\cite{Zhu20}简化了论证，并给出了$c=125$更明确的反例。Tardif \cite{Tardif20}表明，对参数的修改允许使用"宽着色“来获得$c=14$和$c=13$的反例，其中更多地涉及使用词典产品。本注释给出了另外两个小的修改，得到了$c=5$的反例（$G$和$H$分别有4686和30个顶点）。
2020-12-25 math.CO
Relatively small counterexamples to Hedetniemi's conjecture
Hedetniemi在1966年证明了$χ(G \times H) = \min\{χ(G), χ(H)\}$对所有的图$G$和$H$。这里$G\times H$是顶点集$ V(G)\times V(H)$的图，通过将$(x,y)$和$(x',y')$相邻来定义当且仅当$xx'\in E(G)$和$yy'\in E(H)$。这个猜想在过去的半个世纪里受到了很多关注。最近，希托夫驳斥了这一猜想。设$p$是具有奇数围长$7$且分数色数大于$3+4/(p-1)$的图的最小顶点数。Shitov的证明表明Hedetniemi猜想对某些图的色数约为$p^22^{p+1} $且顶点数约为$(p^22^{p+1})^{p^32^{p-1}} $的图是不成立的.在本文中，我们证明了猜想已经失败的一些图$G$和$H$的色数$3\lceil \frac {p+1}2 \rceil $和$p \lceil (p-1)/2 \rceil$和$3 \lceil \frac {p+1}2 \rceil (p+1)-p$顶点，分别。目前已知的$p$的上限是$148$。因此，Hedetniemi的猜想对某些图$G$和$H$是不成立的，这些图的色数分别是$225$，顶点分别是$10,952$和$33,377$。
2020-06-28 math.CO
Hedetniemi's conjecture is asymptotically false
推广了Shitov的一个新突破，证明了两个图的张量积的色数可以是比这两个图的最小色数小的常数因子.更精确地说，我们证明了存在一个绝对常数$δ>0$，使得对于所有足够大的$c$，存在图$G$和$H$的色数至少为$(1+δ)c$，其中$χ(G \times H) \le c$。
2020-03-09 math.CO
Hedetniemi's conjecture and adjoint functors in thin categories
我们调查的结果Hedetniemi猜想，这是连接到伴随函子的“薄”范畴的图，并揭示了障碍，以扩大这些结果。
2016-08-09 math.CO math.CT
Neighborhood complexes, homotopy test graphs and a contribution to a conjecture of Hedetniemi
图$G$的邻域复形$\N(G)$是L.在他的Kneser猜想的证明。他证明，对于任何图$G$，\begin{align} \label{abstract} χ(G) \geq conn(\N(G))+3. \end{align}在这篇文章中，我们表明，一类指数图的界限（\ref{abstract}）是尖锐的。进一步，我们证明了这些指数图的邻域复形在同伦下是球面。我们还能够找到一类指数图，这是同伦测试图。Hedetniemi猜想指出两个图的范畴积的色数是因子的色数的最小值。设$M(G)$表示图$G$的Mycielskian。我们证明了，对于任何含有$M(M(K_n))$作为子图的图$G$和任何图$H$，如果$χ(G \times H) = n+1$，则$\min\{χ(G), χ(H)\} = n+1$。因此，我们丰富了满足Hedetniemi猜想的图族。
2018-10-16 math.CO
Hedetniemi's conjecture for uncountable graphs
证明了在Godel的可构造宇宙中，对任意无穷后继基数k，存在大小和色数为k的图G和H，且其张量积图（G × H）是可数色的.
2013-07-25 math.CO math.LO
Z2-indices and Hedetniemi's conjecture
$\mathbb{Z}_2$ -CW-复合体$X$的$\mathbb{Z}_2$ -索引${\rm ind}(X)$是最小数$n$，使得存在从$X$到$S^n$的$\mathbb{Z}_2$ -映射。在这里，我们考虑$S^n$作为一个$\mathbb{Z}_2$ -空间的对映映射。Hedetniemi猜想是图论中关于有限图的张量积的图着色问题的一个长期存在的猜想。证明了如果Hedetniemi猜想成立，则对于有限$\mathbb{Z}_2$ -复形的每对$X$和$Y$，都有${\rm ind}(X \times Y) = \min \{ {\rm ind}(X) , {\rm ind}(Y)\}$.
2019-03-30 math.AT math.CO
A survey on Hedetniemi's conjecture
本文综述Hedetniemi猜想：该猜想关于图乘积的着色性，已被Shitov在2019年推翻，现已知对$n\ge4$不成立、对$n\le3$成立，文章总结了相关结果与反例构造思路。
2025-02-22 math.CO math.HO
On Hedetniemi's conjecture and the Poljak-Rodl function
Hedetniemi在1966年证明了对任意图G和H，都有$χ(G \times H) = \min\{χ(G), χ(H)\}$.这里$G\times H$是顶点集$ V(G)\times V(H)$通过将$(x,y)$和$(x',y')$相邻来定义的图当且仅当$xx'\in E(G)$和$yy'\in V(H)$。这个猜想在过去的半个世纪里受到了很多关注。这一点最近被希托夫推翻了。Poljak-Rödl函数定义为$f(n) = \min\{χ(G \times H): χ(G)=χ(H)=n\}$。Hedetniemi猜想等价于对所有整数$n$说$f(n)=n$。Shitov的结果表明，当$n$足够大时，$f(n)<n$。利用Shitov的结果，Tardif和Zhu证明了对于足够大的$n$，$f(n) \le n - (\log n)^{1/4}$。利用Shitov的方法，He-Wigderson证明了对于足够大的$ε\approx 10^{-9}$和$n$，$f(n) \le (1-ε)n$。在这份说明中，我们证明了一个轻微的修改证明文件中的朱和Tardif表明，$f(n) \le (\frac 12 + o(1))n$足够大的$n$。另一方面，不知道$f(n)$是否由常数限制。然而，我们知道，如果$f(n)$由一个常数限制，那么最小的常数至多是$9$。本课堂讲稿给出了上述结…
2019-12-05 math.CO
Hedetniemi's conjecture and strongly multiplicative graphs
一个图K是乘法的，如果从任意积G × H到K的同态蕴涵从G或从H的同态。Hedetniemi猜想指出所有的团都是乘法的。为了探索现有方法的局限性，我们研究了强乘法图，我们定义强乘法图为K，使得对于任意具有奇圈C，C '的连通图G，H，从$(G \times C') \cup (C \times H) \subseteq G \times H$到K的同态蕴涵从G或H的同态. K的强乘法性还包含以下性质：如果G是非二部图，H是顶点为h的连通图，并且存在一个同态$ϕ\colon G \times H \to K$使得$ϕ(-,h)$是常数，则H允许与K同态。目前已知的所有乘法图都是强乘法图。我们重新审视的证据，在不同的角度覆盖图的基础上，取代片段与更多的组合参数。这使得我们可以找到新的（强）乘法图：所有每条边至多为正方形的图，以及围长>12的任何图的三次幂。虽然更多的图是服从我们的方法，他们仍然没有取得进展的情况下集团。相反，我们希望了解它们的局限性，也许暗示进一步扩展它们的方法。
2018-08-14 math.CO
Hedetniemi's conjecture from the topological viewpoint
本文致力于研究著名的Hedetniemi猜想的一个拓扑版本，该猜想是：两个$\mathbb Z/2$ -空间的笛卡儿积的$\mathbb Z/2$ -指数等于它们的$\mathbb Z/2$ -指数的最小值。通过建立$\mathbb Z/2$ -空间的并的同调指数的一个更强的公式，充分证实了这个猜想的同调指数版本。此外，我们证实了原来的猜想的情况下，其中一个因素是一个$n$ -球。对$\mathbb Z/p$ -空间也给出了类似的结果。此外，我们回答了Marcin Wrochna提出的关于计算一些非平凡产品的指数的问题。最后，给出了范畴积（超）图的色数的一些新的拓扑下界。
2019-09-23 math.AT math.CO
On inverse powers of graphs and topological implications of Hedetniemi's conjecture
我们考虑一个自然图操作$Ω_k$，它是取图的k次幂的某种逆（形式上：右伴随）。我们表明，它保留了拓扑（$\mathbb{Z}_2$ -同伦型）的盒复杂，拓扑组合学的基本工具。证明了图G的盒复形允许图H的盒复形有一个$\mathbb{Z}_2$ -映射（一个等变的连续映射）当且仅当对足够高的k，图$Ω_k(G)$允许图H有一个同态.这允许表明，如果Hedetniemi的猜想色数的图产品是真实的n-着色，然后下面类似的猜想在拓扑也将是真实的：如果X，Y是$\mathbb{Z}_2$ -空间（有限$\mathbb{Z}_2$ -单纯复形），使X x Y承认一个$\mathbb{Z}_2$ -映射到（n-2）维领域，然后X或Y本身承认这样的地图。我们讨论这一点和其他影响，争论的重要性的拓扑猜想。
2019-05-13 math.AT math.CO
Hedetniemi's Conjecture for Uncountable Complementary Graphs
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文研究无限图的 Hedetniemi 互补问题，证明在特定条件下顶点数为 ω₁，并在 ◇ 假设下构造满足色数条件的图，同时引入 c.c.c. 力迫，但 ZFC 下存在性仍开放。
2026-10-07 math.CO math.LO
A counterexample to the quantum Hedetniemi conjecture
Institute for Quantum Information, RWTH Aachen University（亚琛工业大学量子信息研究所）
本文构造显式有限图，否证量子 Hedetniemi 猜想，证明其量子色数乘积小于因子最小值，并给出更小反例及 Lean 4 形式化验证。
2026-09-18 math.CO quant-ph
The ratio of domination and independent domination numbers on trees
设$γ(G)$和$i(G)$分别为$G$的控制数和独立控制数. 1977年，Hedetniemi和Mitchell开始比较$i(G)$和$γ(G)$，最近Rad和Republmann提出了一个猜想，即$i(G)/ γ(G) \leq Δ(G)/2$，其中$Δ(G)$是$G$的最大度。本文证明了关于树的猜想，并给出了图达到尖界的证明。
2016-10-05 math.CO
On topological relaxations of chromatic conjectures
关于色数有几个著名的未解定理，它们被放松并已被证明对分数色数成立。讨论了色数的拓扑下界的类似松弛。特别是，我们证明了这样一个放松的版本是真实的Behzad-Vizing猜想，并讨论了Hedetniemi和Hadwiger的代数从这个角度来看。对于后者，第一作者与G.塔尔多斯，我们在这里主要关心的是，所谓的奇哈德维格猜想在这方面看起来要困难得多。证明了奇Hadwiger猜想对任意固定色数的足够大的Kneser图和Schrijver图成立。
2010-02-24 math.CO
Equivariant maps related to the topological Tverberg conjecture
利用等变阻塞理论，构造了循环群、初等阿贝尔群和二面体群的乘积的从一定分类空间到表示球面的等变映射.将它们限制在有限的空间中，可以构造出与拓扑Tverberg猜想相关的空间之间的等变映射。这否定地回答了奥扎伊丁提出的关于同一猜想的较弱版本的问题。此外，它还具有循环和二面体群表示的Borsuk-Ulam性质的后果。
2016-07-21 math.AT math.CO
Equivariant K-theory of Grassmannians II: The Knutson-Vakil conjecture
2005年，A.克努森河Vakil给出了Grassmannian等变K-理论的一个谜题规则。我们解决这个猜想。在给出一个修正后，我们建立了一个修改的规则，通过组合连接到作者最近证明的tableau规则相同的舒伯特微积分问题。
2015-08-03 math.AG math.CO
The equivariant Ehrhart theory of the permutahedron
等变Ehrhart理论列举了关于群作用的多面体中的格点。针对Stapledon的一个问题，我们描述了置换面体的等变Ehrhart理论，并在此特殊情况下证明了他的有效性猜想。
2020-07-17 math.CO
Equivariant log concavity and representation stability
本文推广了等变对数代数的概念，并对拟阵的Orlik-Solomon代数、定向拟阵的Cordovil代数和超平面排列的Orlik-Terao代数作了等变对数代数的刻划.在李代数$\mathfrak{sl}_n$的Coxeter排列的情况下，我们利用表示稳定性理论给出了这些排列的低次计算机辅助证明。
2021-10-29 math.CO math.RT
A Schubert basis in equivariant elliptic cohomology
我们解决的问题，定义舒伯特类独立于一个减少的字在等变椭圆上同调，基于相应的Hecke代数的Kazhdan-Lusztig基础。我们研究了这些类的一些基本性质，并对它们作了两个重要的证明：一个正性猜想，以及在光滑情形下与拓扑定义的Schubert类的一致性。我们证明了这些图的一些特殊情况。
2016-02-06 math.AG math.CO math.RT
Equivariant Chern character operators and Okounkov's conjecture
本文研究复仿射平面点Hilbert概型等变上同调的陈特征算子，借助形变顶点算子与对称函数的联系，部分验证了Okounkov猜想。
2025-05-20 math.AG math.CO math.NT
On the equivariant log-concavity for the cohomology of the flag varieties
研究了旗簇上同调的$S_n$ -等变对数环，也称为$S_n$的共不变环.利用表示稳定性理论，我们给出了低次和高次等变对数正态分布的计算机辅助证明，并猜想它对所有次数都成立。此外，我们提出了一个更强的单峰猜想，它蕴涵了等变对数的概念。
2022-05-12 math.AT math.CO math.RT
Equivariant log concavity and the $\operatorname{FI^\sharp}$-module structure on $H^i(\operatorname{Conf}(n,\mathbb{R}^d))$
University of Oregon（俄勒冈大学）
本文通过表示稳定性理论证明了 $H^i(\operatorname{Conf}(n,\mathbb{R}^d);\mathbb{Q})$ 上的 $\operatorname{FI^\sharp}$-模结构的等变对数凹性，并推测该性质在所有度数上成立。
2026-02-25 math.CO math.RT
Additive Combinatorics Using Equivariant Cohomology
本文引入等变上同调这一几何方法研究加性组合问题，重新证明并改进了Dias da Silva-Hamidoune定理与Erdős-Heilbronn猜想线性扩展，推广了Grashopper问题，并证明了二者的带符号版本。
2024-09-26 math.AG math.AT math.CO
Equivariant Ehrhart Theory of Hypersimplices
本文研究超超面在对称群作用下的等变埃赫拉特理论，证明了其多项式评估与装饰有序集划分的置换特征关系，并提供了反例以反驳其他猜想。
2025-03-03 math.CO math.RT
Convex Equipartitions via Equivariant Obstruction Theory
我们描述了一个规则的胞腔复形模型的配置空间F（\R^d，n）。在此基础上，利用等变阻塞理论证明了Nandakumar和Ramana Rao猜想的素数幂情形，即每个多边形都可以划分为n个面积和周长相等的凸部分.
2013-07-04 math.AT math.CO math.MG
