On local presentability of T/A
Patricia Johann, Andrew Polonsky
证明了：如果$\mathcal{A}$是局部$λ$ -可表示范畴，且$T : \mathcal{A} \to \mathcal{A}$是$λ$ -可达函子，则$T/\mathcal{A}$是局部$λ$ -可表示范畴.
We prove that if $\mathcal{A}$ is a locally $λ$-presentable category and $T : \mathcal{A} \to \mathcal{A}$ is a $λ$-accessible functor then $T/\mathcal{A}$ is locally $λ$-presentable.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Cocompactness and Presentability
本文证明可表示范畴中余紧对象为子终对象，并推广至无穷范畴，得出对偶可表示无穷范畴为小完备格，同时证明幻映射幂零性，并关联加强版本与可测基数存在性。
Enriched purity and presentability in Banach spaces
该研究探讨Banach空间范畴的可表现性问题，证明其在完备度量空间的富集意义下是局部有限可表现的，明确该意义下纯态射对应Banach空间理想，并刻画了特定态射集下的近似内射Banach空间类。
Monadic forgetful functors and (non-)presentability for $C^*$- and $W^*$-algebras
我们证明了从$C^*$ -代数和$W^*$ -代数范畴到Banach $*$ -代数、巴拿赫代数或Banach空间的遗忘函子都是一元的，回答了J. Rosicklett的一个问题，并且证明了单位元（交换）$C^*$ -代数范畴不是局部等距生成的$\aleph_0$，无论是作为纯范畴还是作为度量富集范畴，回答了I.迪·利伯蒂和罗西茨基我们还证明了一些负面的可呈现性结果的范畴的冯诺依曼代数：不仅是这一类不是局部可呈现的，但事实上，其唯一可呈现的对象是两个代数的尺寸$\le 1$。基于同样的原因，对于局部紧阿贝尔群$\mathbb{G}$，$\mathbb{G}$ -分次von Neumann代数范畴不是局部可表示的。
Local presentability and monadicity of forgetful functors for operator algebraic categories
本研究将完备算子空间范畴的局部可数可表现性结论推广到非完备情形，证明算子系统等范畴的该性质，厘清多类算子代数相关范畴间遗忘函子的伴随性与单子性，并借助Kadison对偶定理研究函数论子范畴的相关性质。
Accessibility and presentability in 2-categories
本研究在配备KZ语境的2-范畴中定义可达与可表现对象，统一处理类Gabriel-Ulmer定理，提出KZ语境的Gabriel-Ulmer包络概念以构建对偶，给出低维范畴论示例并展望高维与同伦论方向。
Presentability and topoi in internal higher category theory
该研究发展了任意∞-topos ℬ内部的可表现范畴与topoi理论，给出相关经典结果的内部对应版本，建立结构性结果并比较内外概念，证明嵌入与等价关系，还给出若干范畴论应用。
Homotopy locally presentable enriched categories
我们发展了一个同伦理论的丰富的monoidal模型类别V。特别是，我们处理同伦加权极限和colimits，同伦局部presentability。主要的结果，这是已知的简单丰富的范畴，链接同伦局部表示V-范畴与组合模型V-范畴，在的情况下，V的所有对象是凝聚的。
Parametrised Presentability over Orbital Categories
本文在轨道范畴上的参数化同伦理论框架下发展了可表现性概念，通过相关拉直刻画参数化可表现范畴，推导出参数化伴随函子定理与局部化结果，并应用于等变代数K-理论中参数化非交换动机范畴的构造。
Categorical Algebra of Atomic Monoids: Presentability, Regularity, and Pretorsion Theories
研究原子幺半群范畴$\mathsf{AtoMon}$，证明其局部有限可表示，指出其允许特定分解但非正则范畴，建立单位群伴随关系并构造余自由原子幺半群，还展示了将$\mathsf{Grp}$挠理论提升到$\mathsf{AtoMon}$预挠理论的方法。
On categories of monads and comonads in double categories
本文研究双范畴中单子范畴的幺半性、余完备性和局部可表现性，并推广到余单子情形，主要依赖于平行和稳定局部余极限等概念。
Nearly locally presentable categories
我们引入了一类新的范畴，推广了局部可表示范畴。这种区别在阿贝尔情形中并不明显，而假定沃彭卡原理，在正规情形中也会发生同样的情况。完全偏序范畴是几乎局部可表示范畴的一个自然例子，但它不是局部可表示范畴。
On coslices and commas of locally finitely presentable categories
我们给出了一个明确的描述的生成元的局部可表示范畴的余切片的可表示的对象在一个给定的对象，作为组成的所有推出的可表示的地图在这个对象。然后证明了在局部可表示范畴的态射的直象部分下的逗号范畴仍然是局部可表示的，并给出了它的可表示对象生成元的一个显式刻画.最后我们推出2-范畴$\LFP$具有在$\Cat$中计算的逗号对象。
Locally class-presentable and class-accessible categories
我们推广了局部可表示范畴和可接近范畴的概念。我们的框架包括这样的类别，小presheaves在大类和ind-category。这种推广是为了在抽象同伦理论中的应用。
On reflective subcategories of locally presentable categories
在极限和$λ$ -过滤的上极限下封闭的局部可表示范畴的所有子范畴是否也是局部可表示的？对于满子范畴，答案是肯定的。Makkai和皮茨证明，在案件$λ=\aleph_0$的答案是肯定的，也为所有iso-满子范畴，\emph{i.\thinspace e.}，那些包含与每一对对象之间的所有同构。我们讨论了一个可能的推广，这从$\aleph_0$到任意的$λ$。
Duality for Clans: an Extension of Gabriel-Ulmer Duality
本文将 Gabriel-Ulmer 对偶性扩展到 clans，建立其与配备特定弱分解系统的局部有限可展示范畴之间的对偶理论，以保留广义代数理论表示中的额外信息。
Higher presentable categories and limits
本文基于κ-紧生成概念给出可表现(∞,n)-范畴的新描述，证明(∞,2)情形有极限，但(∞,3)情形无极限，否定Stefanich猜想。
Covers, envelopes, and cotorsion theories in locally presentable abelian categories and contramodule categories
证明了局部可表示的阿贝尔范畴上的余挠理论的完备性和覆盖与包络的存在性的一般结果，推广了模范畴和Grothendieck范畴的完备性理论.这些结果被应用到拓扑环上的逆模范畴，提供了例子和反例。
Filtered bicolimit presentations of locally presentable linear categories, Grothendieck categories and their tensor products
本文提出两种将Grothendieck范畴恢复为滤过双余极限的方法，证明第一种与张量积相容而第二种一般不相容，并将Kelly张量积的性质推广到局部可表现线性范畴。
Left determined model structures for locally presentable categories
我们扩展的结果Cisinski建设cofibrantly生成的模型结构从（Grothendieck）toposes局部可呈现的类别和从单态更一般的cofibrations。在原始的情况下，在额外的条件下，所得到的模型结构是“左确定的”在罗西基和托伦的意义。
Finitely Presentable Algebras For Finitary Monads
对于局部可表示范畴上的有限正则单子T，我们用一般代数中已知的方式刻画了T-代数范畴中的可表示对象：它们正是可由多个生成元和多个关系表示的代数。
A representability theorem for some huge abelian categories
我们定义拟局部可表示范畴为局部可表示的上反射子范畴的大并集。在适当的假设下，证明了取值于阿贝尔群的拟局部可表示范畴上的正合反变函子的一个表示定理。证明了良生成的三角范畴的阿贝尔化是拟局部可表示的，并给出了Brown可表示性定理的一个新证明。还给出了不可表示的函子的例子。
Colimit-Dense Subcategories
在余完备范畴中，局部可表示范畴可以定义为具有由可表示对象组成的强生成元的范畴。在Vop{godinerma}nka原理的假设下，证明了一个余完备范畴是局部可表示的当且仅当它有一个上极限稠密子范畴和一个由可表示对象组成的生成元.进一步证明了$3$ -元集在$\Set^{\op}$中是上极限稠密的，可数维空间在$\Vec^{op}$中是上极限稠密的.
Higher Theories and Monads
我们将Bourke和Garner的单子和前理论之间的幂等连接推广到$\infty$范畴的框架中，并利用它在$\infty$范畴框架中证明了许多关于单子的经典结果.除其他事项外，我们表明，一个可访问的单子上的局部可表示的$\infty$ -类别$\mathcal{E}$代数的范畴是再次局部可表示的，并表示一个图的可访问的单子上的局部可表示的$\infty$ -类别承认一个colimit。我们的结果也提供了一个新的和更简单的方法来构建和描述单子的理论。
Derived, coderived, and contraderived categories of locally presentable abelian categories
对于具有投射生成元的局部可表示阿贝尔范畴$\mathsf B$，我们构造了复范畴上的投射导和反导模型结构，特别证明了投射对象的同伦投射复的存在性.我们还表明，导出范畴$\mathsf D(\mathsf B)$生成，作为一个三角范畴的余积，由$\mathsf B$的投射生成元。对于Grothendieck阿贝尔范畴$\mathsf A$，我们构造了复形上的内射导子和上导子模型结构.在Vopenka原理的假设下，我们证明了导出范畴$\mathsf D(\mathsf A)$是由$\mathsf A$的内射余生成元生成的，是一个带积的三角范畴.更一般地，我们定义的概念，一个确切的范畴与对象大小的功能，并证明了任何这样的确切范畴与确切的$κ$ -定向余极限链的容许单态有Hom集。特别地，任何局部可表示的阿贝尔范畴的导出范畴都有Hom集。
Univalence in locally cartesian closed infinity-categories
在发展了可表示的局部carriage闭无穷范畴的局部carriage局部化的基本理论之后，我们建立了等价的可表示性，并证明了Voevodsky意义下的单叶族与Lurie意义下的有界局部类的偏序集同构。由此可见，每一个无穷拓扑都有一个由正则基数索引的“泛”单价族的层次结构，而n拓扑也有分类（n-2）-截断映射的单价族。我们发现，单价家庭被保存（和检测）的右伴随，以本地carbohydrate本地化，并利用这展示某些典型的单价家庭在无限拟拓扑（某些无限范畴的“分离的预层”，这里介绍）。我们还展示了一些更奇特的例子，单价家庭，说明一个单价家庭在一个n-topos不需要（n-2）-截断，以及一些单价家庭的Morel-Voevodsky无穷大范畴的motivic空间，一个实例的局部carnival封闭的无穷大范畴，这不是一个n-topos任何$0\leq n\leq\infty$。最后，我们证明了任何可表示的局部Carnival闭无穷范畴都可以用组合类型论模型范畴来建模，反之，组合类型论模型范畴所对应的无穷范畴也是可表示的局部Carnival闭的。在这种对应下，可表示的局部Carnival闭无穷范畴中的单叶族对应于组合类型论模型范畴中的单叶纤维化。
The categories of corings and coalgebras over a ring are locally countably presentable
本文证明任意交换环上的余代数及结合环上的余环范畴具有局部 $\aleph_1$-可展示性，并刻画相应平坦对象范畴的 $\aleph_1$-可达性。
The presentable stable envelope of an exact category
本文证明了精确∞-范畴的Gabriel-Quillen嵌入定理的类比，构造了精确∞-范畴的可呈现稳定包络，并讨论了其对称单子结构及乘法性质。
Relativized universal algebra via partial Horn logic
本文基于部分Horn理论，将传统代数理论等价关系推广至任意局部可呈现范畴，提出相对代数理论概念，并推广Birkhoff定理构建相对普遍代数框架。
Coderived and contraderived categories of locally presentable abelian DG-categories
本文在局部可表示阿贝尔DG范畴框架下构造了反导出范畴与余导出范畴及其模型结构，证明了这些导出范畴的良生成性，并在局部凝聚情形下证明了余导出范畴由有限可表示对象的绝对导出范畴紧生成，推广了DG环上分次内射DG模及拟凝聚矩阵分解的相关结果。
On Finitary Functors
给出了一个函子有限性的简单判据：如果对所有对象$X$，$FX$的每个有界生成子对象都通过$X$的有界生成子对象的$F$ -像进行因式分解，则称$F$有界.这等价于$F$对于“合理的”局部可表示范畴之间的所有函子都是有限的，只要$F$保持单态。我们还讨论了什么时候可以放弃最后一个假设的问题。答案是肯定的函子之间的范畴，如集，K-Vec（向量空间），布尔代数，以及任何有限群的行动，无论是对集或K-Vec域K的特征0。所有这些推广到局部$λ$ -可表示范畴、$λ$ -可达函子和$λ$ -可表示代数。作为应用，我们得到完全度量空间范畴上的Hausdorff函子是$\aleph_1$ -可达的一个简单证明.
Approximate injectivity
在局部$λ$ -可表示范畴中，当$λ$是正则基数时，对于定义域和上定义域都是$λ$ -可表示的态射族是单射的对象类，已知它们在乘积、$λ$ -有向共极限和$λ$ -纯子极限下的闭包是其特征。本文用“交换性可达$\varepsilon$“来代替图的严格交换性，为丰富于度量空间的范畴提供了这一刻画的“近似版本”.它需要详细讨论所需的$\varepsilon$ -$λ$ -纯度概念的推广。范畴理论被应用于Banach空间的局部$\aleph_1$ -可表示范畴及其范数至多为1的线性算子，最终得到了所谓Gurarii巴拿赫空间存在性的一个主要范畴证明。
Complete Segal Objects
我们定义了完整的Segal对象，它扮演着内部高阶范畴对象的角色。然后，我们研究他们使用可表示的笛卡尔纤维化，特别是定义完整的Segal对象的约束和限制。最后，我们使用Segal对象来定义一个局部笛卡尔闭范畴中的univalence，这是不presentable和推广以前的一些结果的非presentable设置。
A Finitary Adjoint Functor Theorem
本文引入分级局部有限可表示范畴，证明其间有限函子为右伴随当且仅当保持可数极限，并指出向量空间与带点集合情形可放宽至可数乘积，且集合函子存在唯一例外。
On continuity of accessible functors
我们证明了对于每个局部$α$ -可表示范畴$\mathcal K$，存在一个正则基数$γ$，使得任何$α$ -可达函子出$\mathcal K$（到另一个局部$α$ -可表示范畴）是连续的当且仅当它保持$γ$ -小极限;因此，我们得到了一个新的伴随函子定理特定于$α$ -可达函子出$\mathcal K$。之后，我们推广这些结果的丰富的设置和推断，除其他事项外，一个小的$\mathcal V$范畴是可访问的当且仅当它是柯西完全的。
Gabriel-Ulmer duality for topoi and its relation with site presentations
该文研究正则基数下限制到κ-可展示Grothendieck拓扑斯时的Gabriel-Ulmer对偶，刻画了对应表示2-范畴的结构，分析其与场表示的关联并证明了相关反射子双范畴结论。
Semantics of higher inductive types
高阶归纳类型（英语：Higher inductive types）是一类类型形成规则，用来提供基本（和不那么基本）的同伦理论构造。他们已被证明是非常富有成效的“综合”发展同伦理论内的类型论，以及在形式化的普通集合层次数学的类型论。在这篇文章中，我们在相当广泛的设置中构建了各种各样的更高归纳类型的模型。我们引入细胞单子的概念与参数：一个语义定义的计划，指定同伦行为良好的结构概念。然后，我们表明，任何合适的模型类别有 * 弱稳定型初始代数 * 的任何细胞单子的参数。当与局部宇宙构造结合以获得严格稳定性时，它专门给出特定的更高归纳类型的模型，包括球体、环面、推出类型、截断、詹姆斯构造和一般局部化。我们的结果适用于任何足够好的Quillen模型范畴，包括任何右真的，单纯局部carrier-closed，单纯Cisinski模型范畴（如单纯集）和任何局部可表示的局部carrier-closed范畴（如集），其平凡模型结构。特别地，任何局部可表示的局部Carnival闭$(\infty,1)$ -范畴都由我们的结果所适用的模型范畴表示。
Nerves of generalized multicategories
本文研究了广义多范畴的神经构造及其在范畴理论中的应用，展示了T- simplicial对象的性质以及相关范畴的局部有限可现性。
Graduated categories of presheaves
本文研究预层范畴中有限生成对象为有限可表现的条件，并刻画三类小范畴上预层范畴的分级性质，同时探讨降链条件与群预层的关系。
Class-combinatorial model categories
我们扩展了组合模型范畴的框架，使得大索引范畴和索引范畴上的小预层范畴将被称为类组合模型范畴的新机制所包含。新的模型范畴类的定义是基于在同伴论文[arXiv：1110.0605]中发展的局部可表示和可接近范畴理论的相应扩展，在那里我们引入了局部类可表示和类可接近范畴的概念。在这项工作中，我们证明了一个很好的类组合模型范畴的弱等价范畴是类可达的。我们推广了J.Smith局部化定理，并证明了一个上解集条件.最深层次的结果是，（左Bousfield）本地化的类组合模型范畴的强类可达本地化函子是类组合了。
Accessible model categories
证明了局部可表示范畴上的弱分解系统是可达的当且仅当它是R意义下的小生成系统。加纳此外，我们讨论了一个类比的史密斯定理可访问的模型类别。
Directed algebraic topology and higher dimensional transition system
Cattani-Sassone的高维转移系统概念被解释为弱高维转移系统的局部可表示拓扑范畴的小正交类。特别地，与标号n-立方体相关联的高维跃迁系统原来是由一个n维跃迁生成的自由高维跃迁系统。作为这个构造的第一个应用，证明了高维转移系统范畴的局部化等价于标号对称预立方集范畴的局部可表示的反射满子范畴.第二个应用程序是米尔纳的演算的通信系统（CCS）：映射采取进程名称在CCS流是因式分解通过类别的高维过渡系统。该方法也适用于其他进程代数和拓扑模型的并发流以外。
Are chain-complete posets co-wellpowered?
该研究针对链完备偏序集范畴的余良幂性问题，证明其几乎局部可表现，给出强满同态刻画并提供余良幂性的新证法。
Flat model structures for accessible exact categories
本文为可达正合范畴上的链复形构造模型结构，证明在闭对称幺半、局部可展示且具有足够多平坦对象的正合范畴中，平坦余挠对可诱导正合模型结构，并进一步揭示其在有理充实下构成同伦代数语境且具有 Koszul 对偶定理。
Accessible categories with a class of limits
本文通过引入伴随概念，统一刻画了具有指定类极限的可达范畴，并推广了局部可表示范畴的相关定理。
Remarks on combinatorial and accessible model categories
利用可达函子的全象，我们证明了关于组合和可达模型范畴的一些结果。特别是，我们给出了一个例子，弱分解系统的局部可表示的范畴是不可访问的。
Unstable independence from the categorical point of view
本文在局部有限可表示范畴中构造简单型和NSOP$_1$型独立性关系，通过识别单态射类性质使拉回方块形成所需关系，将稳定情形推广到不稳定情形。
Cellular categories
本文研究了局部可表示范畴，它具有一个协纤维生成的弱分解系统。我们的主要结果是，这些范畴是封闭的2-限制，特别是在pseudopullbacks。我们给应用程序的解构类Grothendieck范畴。我们讨论了组合模型范畴的伪拉回。
Lifting accessible model structures
利用一对相互作用的弱因子分解系统给出了Quillen模型的结构。我们证明，在局部可表示范畴的世界中，任何具有可达函子因子分解的弱因子分解系统都可以沿着左伴随或右伴随提升。由此可见，局部可表示范畴上的可达模型结构--允许可达函子分解的范畴，包括所有组合模型结构和其他结构的范畴--可以沿着左或右伴随提升，当且仅当一个基本的“非循环性”条件成立。类似的结果声称在一份文件的赫斯Kedziorek Riehl希普利，但证明有不正确的。本文对这一错误进行了解释和修正，并给出了一个新的陈述和定理的另一种证明，使之在同伦理论中的应用更容易处理。
Higher weak (co)limits, adjoint functor theorems, and higher Brown representability
证明了弱（余）完备$n$ -范畴的一般伴随函子定理。这类$n$ -范畴包含了（共）完备$\infty$ -范畴的同伦$n$-范畴，所以这些$n$ -范畴一般不允许所有的小（共）极限.我们还引入了（同伦）$n$ -范畴的Brown可表示性，并证明了紧生成的$n$ -范畴的局部化的Brown可表示性定理.这类$n$ -范畴包括可表示$\infty$-范畴的同伦$n$-范畴（如果$n \geq 2$）和可表示稳定$\infty$ -范畴的同伦$n$-范畴（对于任何$n \geq 1$）.
Presentations and algebraic colimits of enriched monads for a subcategory of arities
我们开发了一个通用的框架，用于研究签名，演示文稿和代数colimits丰富的单子的一个子类别的arities，即使当基地的丰富$\mathcal{V}$是不是本地presentable。当$\mathcal{V}$满足较弱的局部有界性要求时，所得到的框架足够一般，可以应用于Lack和Rosicklett的$Φ$ -可访问单子和第一作者的$\mathcal{J}$ -ary单子，而即使没有局部有界性，我们的框架也能完全概括地捕捉到Lack和Kelly的强有限单子的表示，以及Wolff的$\mathcal{V}$的表示。按生成器和关系分类。给定丰富范畴$\mathcal{C}$中的任意小子范畴$j : \mathcal{J} \hookrightarrow \mathcal{C}$，满足一定的假设，证明了自由$\mathcal{J}$ -元单子的存在性，$\mathcal{J}$ -签名上$\mathcal{J}$ -元单子的单子性，以及$\mathcal{J}$ -元单子的代数余极限的存在性.我们研究了$\mathcal{J}$元单子的表示的概念，并证明了每个这样的表示都表示一个$\mathcal{J}$元单子。我们的某些结果推广了Kelly，Power和Lack关于局部可表示的有限丰富单子的早期结果，以及Kelly和Lack关于carbohydrate闭范畴上强有限单子的类似结果。…
Module des diff{é}rentielles
本文通过Beck模与阿贝尔群对象定义局部可表范畴中的余切模（即微分模），并证明其性质推广了交换代数中K{ä}hler微分模的经典结果。
Internal Coalgebras in Cocomplete Categories: Generalizing the Eilenberg-Watts-Theorem
余完备范畴$\mathcal{C}$关于簇$\mathcal{V}$的内部余代数范畴等价于从$\mathcal{V}$到$\mathcal{C}$的左伴随函子范畴。当考虑这样的余代数作为从$\mathcal{T}_\mathcal{V}^\mathsf{op}$（$\mathcal{V}$的Lawvere理论的对偶）到$\mathcal{C}$的有限余积保持函子时，这一点可以看得最清楚：余代数是左伴随的限制，任何这样的左伴随都是沿着$\mathcal{T}_\mathcal{V}^\mathsf{op}$嵌入到$\mathsf{Alg}\mathcal{T}$中的余代数的左Kan扩张。由于环$R$和$S$的簇${_R\mathit{Mod}}$中的${_S\mathit{Mod}}$ -余代数只不过是左$S$ -、右$R$ -双模，所以上面的等价推广了Eilenberg-Watts定理及其所有以前的推广。推广并加强了Bergman关于内部余代数范畴的完备性结果，证明了局部可表示范畴$\mathcal{C}$中的余代数范畴在$\mathcal{C}$上是局部可表示的和余单进的，因此是完备的.此外，我们表明，Freyd的规范建设内部余代数在各种定义左伴随函子。相应的右伴随的特殊实例出现在各种代数上下文中，并且在$\mathcal{V}$是交换簇的情况下，是从范畴$\mathsf{Coa…
The Monadic Tower for $\infty$-Categories
每一个右伴随函子之间的presentable $\infty$ -范畴分解规范作为一个coreflection，其次是，可能transmantically许多，monadic函子。此外，给出了上反射部分的函子迭代余极限表示。背景材料，例子，以及同源定位和完成的关系进行了讨论。
Final coalgebras in accessible categories
本文给出了可达范畴的有限内函子允许一个最终余代数存在的条件。我们的条件总是适用于局部可表示（l.f.p.）的有限内函子的情况。在这种情况下，它们带来了最终余代数的显式构造。另一方面，有一些有趣的例子，最终余代数超出了我们的结果适用的l.f.p.范畴。我们依赖于汤姆Leinster的思想发展的研究自相似对象的拓扑结构。
Constructing spectra using cone injectivity
本文将交换环的谱构造推广到局部有限可表示范畴中的锥内射性类，研究谱函子全忠实的充分条件，并在全忠实假设下推广点函子概念，证明两种概形定义的等价性。
Accessible aspects of 2-category theory
该研究针对范畴结构及其伪映射难构成局部可展示2-范畴的问题，证明足够弱的范畴结构对应的2-范畴具有可达性，并探究了这类2-范畴的柔性极限及其与滤过余极限的相互作用，丰富了2-范畴论的可达性相关结论。
Flow does not model flows up to weak dihomotopy
我们证明了流范畴不能是模型范畴的底层范畴，而模型范畴的同伦类型是直到弱双同伦的流。最后给出了克服这一问题的一些建议。特别地，提出了一种新的包含适当小范畴上的单纯预层的双同伦方法。这个小范畴是通过取流范畴的局部可表示形式的一个满子范畴而得到的。
Locally bounded enriched categories
本文定义并研究了局部有界对称monoidal闭范畴上的局部有界丰富范畴的概念，推广了Freyd和Kelly的局部有界普通范畴.除了证明几个一般性的结果，构造局部有界的丰富的范畴和局部有界的封闭范畴的例子，我们证明了局部有界的丰富的范畴承认充分丰富的类似物的许多方便的结果享有局部有界的普通范畴。特别是，我们证明了充分丰富的Freyd和凯利的反射率和局部有界性结果的正交子类别和类别的模型草图和理论。我们还提供了丰富的预层范畴的局部有界丰富范畴的特征结果，我们表明，局部有界丰富范畴承认有用的伴随函子定理和表示定理。我们还定义并研究了$α$ -有界小加权极限在局部$α$ -有界闭范畴中的富集概念，它与Kelly的$α$ -小加权极限在局部$α$ -可表示闭范畴中的富集概念相似，并且证明了$α$ -有界小加权极限理论模型的富集范畴是局部$α$ -有界的.
Universes for category theory
格罗滕迪克宇宙公理断言，每个集合都是某个集合论宇宙U的成员，而U本身就是一个集合。这样就可以处理所有U-集的范畴，甚至所有局部U-小范畴的范畴，其中U是一个“任意但固定的”论域，而不用担心哪些集合论运算可以合法地应用于这些实体。不幸的是，一旦我们允许改变U的可能性，我们就不得不面对这样一个事实，即诸如极限或伴随或Kan扩张之类的泛构造原则上可能依赖于参数U。我们将证明这不是局部可表示范畴之间的可达函子的伴随的情况（因此，极限和Kan扩张），明确的想法，“有界”的建设不依赖于U的选择。
Continuous six-functor formalism on locally compact Hausdorff spaces
本文证明了将局部紧 Hausdorff 空间映射到谱层 $\infty$-范畴的函子是连续六函子形式体系的初始对象，并将 Efimov 的代数 $K$-理论计算推广至所有局部化不变量。
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