Regularity of Solutions of the Parabolic Normalized p-Laplace Equation
Fredrik Arbo Høeg, Peter Lindqvist
研究了抛物型归一化p-Laplace方程。证明了黏性解在Sobolev意义下具有局部属于$L^2$的时间导数。
The parabolic normalized p-Laplace equation is studied. We prove that a viscosity solution has a time derivative in the sense of Sobolev belonging locally to $L^2$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Optimal in tail Hölder estimates for weak solutions of the nonlocal parabolic p-Laplace equations on the Heisenberg group
本文研究了海森堡群上非局部抛物p-拉普拉斯方程弱解的最优尾Hölder估计问题，通过引入最优尾条件证明了弱解的Hölder连续性。
Improved regularity for the parabolic normalized p-Laplace equation
我们推导了抛物型规范化p-Laplace方程的黏性解的正则性估计。通过对规范化的p-抛物算子使用逼近方法和标度参数，证明了当$p$充分接近2时，有界黏性解的梯度是局部渐近Lipschitz连续的.另外，我们在索伯列夫空间中建立了正则性估计.
Hölder regularity for mixed local and nonlocal $p$-Laplace parabolic equations
本文给出了具有指数$1<p<\infty$的局部和非局部混合$p$-Laplace型抛物型方程弱解的Hölder正则性的统一证明.我们的证明是基于积极性的扩展与能量估计和De Giorgi型引理。
On the second order regularity of solutions to the parabolic $p$-Laplace equation
本文研究抛物型$p$ -Laplace方程解的二阶Sobolev正则性.对任意$p$ -抛物函数$u$，证明了$D(|Du|^{\frac{p-2+s}{2}}Du)$作为一个函数存在，且属于$L^{2}_{\text{loc}}$，具有$s>-1$和$1<p<\infty$ . $s$的范围是尖锐的。
A mean value formula of sub-p-Laplace parabolic equations on the Heisenberg group
给出了Heisenberg群上齐次p-Laplace抛物型方程粘性解的两个等价定义，并利用渐近均值公式刻画了其黏性解.此外，我们构造了一个例子，以表明这些公式不成立的非渐近意义。
Regularity theory for mixed local and nonlocal parabolic p-Laplace equations
研究了局部和非局部抛物型$p$ -Laplace方程\begin{align*} \partial_t u(x,t)-Δ_p u(x,t)+\mathcal{L}u(x,t)=0, \end{align*}，其中$Δ_p$是局部$p$ -Laplace算子，$\mathcal{L}$是非局部$p$ -Laplace算子.基于适当的Caccioppoli型不等式和对数引理与De Giorgi-Nash-Moser迭代的结合，我们建立了这类方程的弱解的局部有界性和Hölder连续性.
Some local properties of subsolutons and supersolutions for a doubly nonlinear nonlocal parabolic $p$-Laplace equation
建立了一类双非线性抛物型分数阶$p$ -Laplace方程弱子解的局部有界性估计.我们的论点依赖于能量估计和De Giorgi方法的抛物非局部版本。利用一个新的代数不等式，证明了正的弱上解满足一个逆的赫尔德不等式.最后，我们还证明了正上解的对数衰减估计。
Boundary Hölder gradient estimates for parabolic $p$-Laplace type equations
本文研究了抛物 $p$-Laplace 型方程粘性解的边界正则性，获得了边界逐点和全局 $C^{1,α}$ 正则性。
A control problem related to the parabolic dominative $p$-Laplace equation
本文证明了在抛物边界上具有连续支付$F$的$Ω\times (0,T)$中的一类时变控制问题的值函数一致收敛于具有边界数据$F$的抛物型控制$p$方程$$2(n+p)u_t=Δu+(p-2)λ_n(D^2 u),$$的黏性解.这里是$2\leq p< \infty$，而$λ_n(D^2 u)$是Hessian $D^2 u$的最大特征值。
Lower semicontinuity and pointwise behavior of supersolutions for some doubly nonlinear nonlocal parabolic $p$-Laplace equations
讨论了一类双非线性抛物型分数阶$p$ -Laplace方程弱上解的逐点行为，其中包括分数阶抛物型$p$ -Laplace方程和分数阶多孔介质方程。更精确地说，我们证明了弱上解具有较低的连续代表性。我们还证明了在一个时刻的连续代表是由在以前的时间的值。这给出了在每一点上弱上解的逐点解释。相应的结果也适用于弱下解。我们的结果推广了最近的结果在局部抛物的情况下，在非局部椭圆的情况下，非局部抛物的情况下。我们证明了所需的能量估计和测量理论的De Giorgi型引理的分数设置。
Hölder gradient regularity for the inhomogeneous normalized $p(x)$-Laplace equation
证明了非齐次规范$p(x)$-Laplace方程$$ -Δu-(p(x)-2)\frac{\left\langle D^{2}uDu,Du\right\rangle }{\left|Du\right|^{2}} = f(x), $$黏性解的局部梯度Hölder正则性，其中$p$是Lipschitz连续的，$\inf p>1$，$f$是连续有界的.
Global UCP For Parabolic Fractional $p$-Laplace Equation With Very Rough Potentials
研究抛物分数$p$-拉普拉斯方程在非常粗糙势函数下的全局唯一持续原理，提出新方法避免扩展技术和Carleman估计，解决局部问题仍存开放性。
Gradient Holder regularity for parabolic normalized p(x,t)-Laplace equation
我们考虑归一化$p(x,t)$ -Laplace方程$$ u_t=\left(δ_{ij}+(p(x,t)-2)\frac{u_i u_j}{|Du|^2}\right)u_{ij} $$的黏性解的空间梯度的内部Hölder正则性，并对$p(x,t)$作了适当的假设，它自然地产生于一个概率依赖于空间和时间的两人零和随机微分对策.
Note on time-regularity for weak solutions to parabolic systems of p-Laplace type
我们证明了p-Laplace型抛物方程组的局部弱解在时间上是H{<$}lder连续的，且其值在空间Lebesgue空间中，且H{<$}lder在几乎所有时间线上都是连续的.我们在Kinnunen和Lewis的局部高阶可积性结果的基础上给出了一个初等的、完备的证明。
Gradient continuity for the parabolic $(1,\,p)$-Laplace system
本文针对抛物型$(1,p)$-拉普拉斯方程组，克服算子在梯度退化区一致椭圆性失效的难点，通过近似方程组与经典正则性方法证明截断梯度的局部赫尔德连续性，最终得到空间梯度的时空连续性，还拓展到带Uhlenbeck结构的广义方程组。
Time-dependent tug-of-war games and normalized parabolic $p$-Laplace equations
本文研究了不定常拔河游戏的价值函数。我们首先证明了价值函数的存在性和唯一性，并验证了这些博弈值满足一个动态规划原则。利用博弈值存在性证明中的论证，我们还可以推导出当$T \to \infty$。此外，我们还研究了博弈值的边界正则性。然后，基于值函数的正则性结果，我们推导出博弈值收敛于规范化抛物型$p$ -Laplace方程的黏性解。
Higher regularity of solutions to the singular p-Laplacean parabolic system
研究了有界区域上奇异$Ω$-Laplacean抛物方程组解的存在性和正则性。主要目的是证明解的空间二阶导数和时间二阶导数的整体$L^r(\varepsilon,T;L^q(Ω))$、$\varepsilon\geq0$、可积性。因此，对于适当的$p$和指数$r,\,q$，利用Sobolev嵌入定理，我们得到了$u$和$\nabla u$在Hölder空间中的全局正则性.最后在$p>\frac{2n}{n+2}$的假设下证明了解的整体逐点有界性.
Time derivative estimates for parabolic $p$-Laplace equations and applications to optimal regularity
本文利用 Bernstein 技巧结合近似方法，证明了抛物 $p$-Laplace 方程解的时间导数有界性，获得了最优正则性结果并关联 $C^{p'}$-猜想，同时将方法推广至完全非线性和拟线性退化抛物问题的全局正则性。
$C^{1, α}$-regularity for functions in solution classes and its application to parabolic normalized $p$-Laplace equations
本文在椭圆性常数足够接近时证明解类函数的全局$C^{1, α}$正则性，并借助紧性论证与迭代过程，将其应用于$p$接近2时的抛物型规范化$p$-Laplace方程，得到全局正则性结果。
Second-order regularity for parabolic p-Laplace problems
在索伯列夫空间中，对右端为平方可积的非线性抛物型方程和$p$ -Laplacian型方程组的Cauchy-狄利克雷问题的解，建立了空间变量的最优二阶正则性.结果表明，广义解是强解。域的边界上的最小正则性是必需的，虽然结果是新的，即使光滑域。特别地，它们在任意有界凸区域中成立。
Gradient estimates for singular parabolic $p$-Laplace type equations with measure data
研究了一类具测度的奇异拟线性抛物型方程解的梯度估计，其原型是抛物型$p$方程$u_t-Δ_p u=μ$，其中有$p\in (1,2)$ . [15]中研究了$p\in \big(2-\frac{1}{n+1},2\big)$的情况。本文将文献[15]中的结果推广到当$p\in \big(\frac{2n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\big]$若$n\geq 2$，$p\in(\frac{5}{4}, \frac{3}{2}]$若$n=1$时的开放情形.更具体地说，在一个更奇异的范围内的$p$如上所述，我们建立逐点梯度估计通过线性抛物Riesz势和梯度连续性的结果通过某些假设抛物Riesz势。
Hölder regularity for degenerate parabolic double-phase equations
本文证明了p-Laplace型退化抛物双相方程的有界弱解具有局部Hölder连续性，其核心方法是通过相位分析判断方程局部类似于p-Laplace还是q-Laplace方程。
Marcinkiewicz regularity for singular parabolic $p$-Laplace type equations with measure data
考虑具有可测系数的拟线性抛物型方程，当右端为具有有限总质量的符号Radon测度时，具有$p$ -Laplace型：$$u_t - \textrm{div} \, \mathbf{a}(Du,x,t) = μ\quad \textrm{in} \ Ω\times (0,T) \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}.$$在奇异值域$\frac{2n}{n+1} <p \le 2-\frac{1}{n+1}$内，在右端测度的适当密度条件下，建立了Marcinkiewicz空间中解的空间梯度的正则性估计.
Time derivative estimates for normalized parabolic $p$-Laplace equations
本文建立了归一化抛物型$p$-Laplace方程有界粘性解时间导数的局部有界性，并通过构造反例表明$p=1$时解在时间上非Hölder连续。
Boundary behavior of solutions to the parabolic p-Laplace equation II
本文是关于$p$ -抛物型方程解的边界表现的系列论文的第二部分。在本文中，我们感兴趣的解决方案，这是在与大多数文献，其中所有的结果需要一个等待时间的短时间行为。证明了圆柱形$C^{1,1}$区域中非负解在侧边消失的衰减率的二分法。此外，我们连接到支持的边界型Riesz措施有关的$p$ -抛物型方程在NTA域，这有后果的解决方案的延续。
Supercaloric functions for the parabolic $p$-Laplace equation in the fast diffusion case
研究抛物型$p$ -Laplace方程的一类广义上解，即所谓的$p$ -超热函数.这类函数被定义为在稠密集上有限且满足抛物比较原理的下连续函数。对于$p\geq 2$，它们的性质相对较好理解，但对于快速扩散情况$1<p<2$知之甚少。每一个有界的$p$ -超热函数都属于自然索伯列夫空间，并且在整个$1<p<\infty$范围内都是抛物型$p$ -拉普拉斯方程的弱上解.我们的主要结果表明，无界$p$ -超热函数分为两个相互排斥的类尖锐的局部可积性估计的功能和它的弱梯度在超临界情况下$\frac{2n}{n+1}<p<2$。Barenblatt解和无限点源解表明这两种情况都发生了。巴伦布拉特解决方案不存在于亚临界情况下$1<p\leq \frac{2n}{n+1}$和理论尚未得到很好的理解。
Lipschitz regularity for parabolic fractional $p$-Laplace equations
研究抛物分数 $p$-拉普拉斯方程局部弱解的空间局部利普希茨连续性，证明在 $sp > p-1$ 时的均匀时间正则性，适用于对称、平移不变核，包括可能不连续的核。
Local behavior of solutions to inhomogeneous singular parabolic $p$-Laplace equations
本文通过时间重标度与$L^\infty$比较估计，将非齐次奇异抛物$p$-Laplace方程解的正则性证明归结为空间水平集测度的椭圆型衰减估计，从而克服了内蕴尺度方法中的主要困难。
Equivalence of viscosity and weak solutions for the normalized $p(x)$-Laplacian
当$p$为Lipschitz且$\inf p>1$时，我们证明了规范化$p(x)$-Laplace方程的黏性解与强$p(x)$-Laplace方程的分布弱解一致.这产生了归一化$p(x)$ -拉普拉斯方程的黏性解的$C^{1,α}$规律性。作为一个补充应用，我们证明了一个Radó-型可去性定理.
Square function estimates for the evolutionary p-Laplace equation
我们证明了新的（本地）平方函数/Carleson措施估计的非负解的发展$p$ -Laplace方程的补充抛物Ahlfors-David正则集。在热方程的情况下，拉普拉斯方程以及$p$ -拉普拉斯方程，相应的平方函数估计已被证明是基本的对称性和反/自由边界型问题，特别是在研究（抛物）一致可求长。虽然平方函数估计的影响是不太清楚的发展$p$ -拉普拉斯方程，主要是由于其缺乏同质性，我们给了一些初步的应用，抛物均匀可求长性，边界行为和Fatou型定理$\nabla_Xu$。
Boundary behavior of solutions to the parabolic p-Laplace equation
在退化区域$p>2$上建立了p-抛物型方程非负解的边界估计.我们的主要结果包括新的抛物型固有的Harnack链在圆柱形的NTA域与尖锐的边界衰减估计。如果区域是$C^{1,1}$ -正则的，我们建立了一个相对完整的边界表现理论，包括边界Harnack原理和两解之比的Hölder连续性，以及相关边界测度的优良性质.有一个内在的等待时间的现象，在整个文件中发挥了重要作用。特别是，这些等待时间的条件排除了众所周知的例子，明确的解决方案违反边界Harnack原则。
On the normalized $p$-parabolic equation in arbitrary domains
研究了规范化$p$ -抛物型方程$u_t =\frac{1}{p}|Du|^{2-p}Δ_pu$的边界正则性. Perron方法用于构造任意区域的解。我们利用障碍函数对正则边界点进行了分类，并证明了一个外球面结果。确定了一个基本解。建立了一个Petrovsky准则，并以$p \to \infty$形式检验了解的收敛性.
The tusk condition and Petrovski criterion for the normalized $p\mspace{1mu}$-parabolic equation
研究了规范化$p\mspace{1mu}$ -抛物型方程在任意有界区域上的边界正则性。Effros和Kazdan（Indiana Univ. Math. J. 20（1970），683-693）证明了所谓的tusk条件保证了热方程的正则性。我们把这个结果推广到规范化的$p\mspace{1mu}$ -抛物型方程，并且得到了Hölder连续性. tusk条件是外锥条件的抛物线形式。我们还得到了一个尖锐的Petrovski准则的正则性域的最后时刻。这个准则意味着，如果方程的一侧乘以一个常数，则边界点的规则性会受到影响。
Hölder regularity for the gradient of the inhomogeneous parabolic normalized $p$-Laplacian
本文研究了一个包含规范化$p$ -Laplacian算子和有界连续源项的发展方程。归一化的$p$ -拉普拉斯算子是非散度型的，并且例如从具有噪声的随机拔河游戏中产生。我们证明了局部$C^{α, \fracα{2}}$正则性的空间梯度的黏性解。证明是基于改进的平坦性和收益的迭代。
A systematic approach on the second order regularity of solutions to the general parabolic $p$-Laplace equation
针对退化或奇异抛物型方程，提出验证系数矩阵正定性的系统方法，证明特定参数范围内解的二阶导数存在且属于局部平方可积空间，并推得粘性解具有Sobolev时间导数。
Local Hölder regularity for nonlocal parabolic $p$-Laplace equations
本文针对一类非局部抛物型 $p$-Laplace 方程，在 $p\in (1,\infty)$ 且 $s \in (0,1)$ 的条件下，证明了其解具有局部 Hölder 正则性。
The Parabolic Infinite-Laplace Equation in Carnot groups
利用Carnot抛物型最大值原理，证明了一类以抛物型无穷Laplace方程为模型的方程在Carnot群中的黏性解的存在唯一性.我们显示的类内的解决方案的稳定性，并检查的限制，t趋于无穷大。
Hölder regularity for quasilinear parabolic equations with anisotropic $p$-Laplace nonlinearity -- Announcement
本文给出了拟线性抛物型方程弱解的Hölder连续性的一些新结果，其原型为$$u_t - div (|\nabla u|^{p-2}\nabla u)= 0 \qquad \text{or} \qquad u_t - div (|u_{x_1}|^{p_1-2}u_{x_1},|u_{x_2}|^{p_2-2}u_{x_2},\ldots |u_{x_N}|^{p_N-2}u_{x_N})=0$$和$1<\{p_1,p_2,\ldots,p_N\}<\infty$ .我们开发了一种新的技术，这是独立的“方法的内在标度”开发的E.DiBenedetto在退化的情况下（$p\geq 2$）和E.DiBenedetto和Y. Z.陈在奇异的情况下（$p\leq 2$），而是使用一个新的和基本的线性化过程来处理的非线性。
Thin-film limit of the parabolic $p$-Laplace equation in a moving thin domain
本文研究了在移动薄域中抛物体$p$-拉普拉斯方程的薄片极限问题，推导出一个非线性偏微分方程与代数方程组成的系统，揭示了新的局部质量守恒定律。
Harnack Inequality for Parabolic Fractional $p$-Laplace Equations
本文为抛物型分数阶 p-Laplace 方程建立了带最优尾项的内在 Harnack 不等式，采用非局部比较与障碍方法，并得到无需时间间隙的更强结论，结果在线性情形亦为新。
Regularity for solutions to inhomogeneous degenerate parabolic $p$-Laplace equations
本文针对非齐次退化 $p$-Laplace 方程，通过建立时间 Lipschitz 估计直接推导水平集测度向前传播，绕开能量不等式，证明 Hölder 正则性，并给出时空 $W^{1,\infty}$ 估计及反例说明正等待时间条件的尖锐性。
A continuous time tug-of-war game for parabolic $p(x,t)$-Laplace type equations
我们制定了一个随机微分对策在连续时间，代表了唯一的黏性解方案的一个抛物型偏微分方程的终值问题，涉及规范化的$p(x,t)$ -拉普拉斯算子。我们的游戏是制定的方式，涵盖了全方位的$1<p(x,t)<\infty$。在适当的假设下，证明了该方程的黏性解在整个空间中的唯一性。
Hölder regularity for the parabolic perturbed fractional 1-Laplace equations
本文研究了一类抛物型扰动分数1-拉普拉斯方程弱解的正则性，结合差分商、能量估计和迭代方法，通过分解非局部积分处理其贡献，证明弱解在抛物域内局部Hölder连续，建立Sobolev正则性以推导Hölder连续性。
On regularity of the time derivative for degenerate parabolic systems
证明了一类非线性抛物型偏微分方程组时间导数的正则性估计。这包括非定常（对称）p-Laplace系统和幂律或Carreau类型的非牛顿流体模型。利用与变分结构相适应的特殊的弱微分算子，我们得到了$u_t$在时间和空间方向上的分数阶导数的界。虽然这里提出的估计是有效的非常一般的假设下，他们是一个新奇的抛物型p-Laplace方程。
On nonnegative solutions of the parabolic differential inequality with $(p,q)$-Laplace on Riemannian manifolds
本文研究了Riemannian流形上带有$(p,q)$-拉普拉斯算子的抛物型微分不等式中的Liouville型定理，通过测试函数方法，在合适的加权体积增长假设下得出非存在性结果，扩展了抛物型不等式的非存在性结论。
Concentration and homogenization in electrical conduction in heterogeneous media involving the Laplace-Beltrami operator
我们研究的浓度和均匀化问题建模的复合材料中的导电。该问题的新颖性是由于表征复合材料的介电组分的物理量的特定缩放。这导致了由Laplace-Beltrami伪抛物型方程控制的特殊位移电流的出现。这个伪抛物字符也存在于均匀化方程，这是通过展开技术得到的。
Gradient continuity for the parabolic $(1,\,p)$-Laplace equation under the subcritical case
本文研究抛物 $(1,\\,p)$-Laplace 方程在次临界情形下的梯度连续性，在弱解满足特定可积性条件下，通过 Moser 迭代证明解及其梯度的局部有界性，进而确立梯度连续性。
Weak solutions to the parabolic $p$-Laplace equation in a moving domain under a Neumann type boundary condition
本文研究了移动域中抛物体p-拉普拉斯方程的弱解存在性与唯一性，通过Galerkin方法和单调性论证，并解决了非线性梯度项的弱极限问题。
Estimates of solutions for the parabolic $p$-Laplacian equation with measure via parabolic nonlinear potentials
对于右手边带有含时Radon测度的发展$p$ -Laplace方程的弱解，我们通过非线性抛物势得到了点态估计.
Schauder estimates for parabolic $p$-Laplace systems
本文针对系数关于空间变量 Hölder 连续的抛物型 $p$-Laplace 方程组，建立了有界弱解空间梯度的局部 Hölder 正则性，并将其应用于超临界快速扩散区域中双重非线性抛物型方程的梯度估计。
Calculations for a general maximum principle: 1993 notes on the normalized parabolic $p$-Laplacian
本文以传真形式公开1993年手写笔记，其内容为一般拟线性抛物型方程（含归一化$p$-拉普拉斯算子）的Bochner型最大值原理计算，该方案近期被用于推导尖锐Li-Yau不等式。
Global comparison principles for the $p$-Laplace operator on Riemannian manifolds
我们证明了$p$ -抛物流形上的$p$ -Laplacian的整体比较结果。这些涉及实值和向量值映射与有限的$p$ -能量。
Regularity and Separation for $p$-Laplace operators
本文研究退化椭圆系数下的 $p$-Laplace 及 Grušin 型算子，揭示弱解的分离与跳跃间断，并证明抛物方程 mild 解的全局 $L^1$-$L^\infty$ 正则化及衰减估计。
Time regularity and long-time behavior of parabolic $p$-Laplace equations on infinite graphs
我们考虑所谓的\emph{discrete $p$-Laplacian}，一个非线性的差分算子，作用于定义在一个可能无限的图的节点上的函数。研究了相应的非线性柯西问题，并确定了相应的非线性半群的生成元。我们证明了高阶时间正则性的解决方案。我们调查的长期行为的解决方案，并特别讨论有限的消亡时和质量守恒。即，对于小$p$，如果无限图满足某个等周不等式，则抛物型$p$ -Laplace方程的解在有限时间内为零;另一方面，对于大$p,$，抛物型$p$ -Laplace方程总是质量守恒.
Second order Sobolev regularity for normalized parabolic $p(x)$-Laplace equations via the algebraic structure
该研究通过证明$ΔvΔ_\infty v$相关的基本代数不等式，建立了抛物型正规化$p(x)$-拉普拉斯方程粘性解的二阶Sobolev正则性结果，明确了空间与时间变量对应的局部正则性空间。
Borderline gradient continuity for the normalized $p$-parabolic operator
在本文中，我们证明了$Δ_{p}^N u- u_t= f$的粘性解的梯度连续性估计的缩放临界$L(n+2,1 )$范数的$f$，其中$Δ_{p}^N$是博弈论规范化的$p-$拉普拉斯算子定义在下面的（1.2）。我们的主要结果，定理2.5，根据下面（2.8）中定义的修正抛物Riesz势$\mathbf{P}^{f}_{n+1}$，构成了$u$的边界梯度连续性估计。此外，对于具有$m>n+2$的$f \in L^{m}$，我们还获得解$u$的空间梯度的Hölder连续性，参见下面的定理2.6。这改进了[3]中考虑有界$f$的梯度Hölder连续性结果。我们的主要结果定理2.5和定理2.6是文[9]中结果的抛物型类似。与文献[3]不同的是，本文的方法不依赖于文献[3]中用于求齐次扰动方程Lipschitz估计的Ishii-Lions方法.
Asymptotic mean value properties for the elliptic and parabolic double phase equations
给出了双相椭圆型方程$$ -{\rm div}(\lvert \nabla u \rvert^{p-2}\nabla u+ a(x)\lvert\nabla u \rvert^{q-2}\nabla u)=0 $$和规范双相抛物型方程$$ u_t=\lvert\nabla u \rvert ^{2-p}{\rm div}(\lvert \nabla u \rvert^{p-2}\nabla u+ a(x,t)\lvert\nabla u \rvert^{q-2}\nabla u), \quad 1<p\leq q<\infty. $$在粘性意义下的渐近均值公式.这是这类非一致椭圆型和抛物型方程的第一个均值结果.此外，所得结果还可应用于$p(x)$ -Laplace方程和变系数$p$ -Laplace型方程.
Parabolic theory of the discrete p-Laplace operator
我们研究离散版本的$p$ -拉普拉斯算子。基于它的变分性质，我们讨论了相关抛物问题的一些特征。我们的方法使我们反过来获得有趣的信息，积极性和比较原则，以及兼容性的对称性的图形。最后，我们简要地讨论了几个非线性广义拉普拉斯算子出现在不同的抛物型方程的变分性质。
Normalized solutions to 1-Laplace equations with critical growth term
该研究针对带临界增长项的1-拉普拉斯方程，建立Pohozaev型恒等式，通过非光滑临界点理论证明归一化解存在性，其核心是证明Lipschitz连续泛函在Lipschitz连续约束下存在Palais-Smale序列，与此前 $C^2$ 约束问题的方法论有显著差异。
Eigenfunction expansions for a fundamental solution of Laplace's equation on $\R^3$ in parabolic and elliptic cylinder coordinates
三维拉普拉斯方程的一个基本解被展开为在抛物或椭圆柱面坐标中分离的调和函数。在每种情况下都有两个展开式，它们简化为贝塞尔函数$J_0(kr)$或$K_0(kr)$、$r^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2$在抛物线和椭圆柱面谐波中的展开式。利用$K_0(kr)$是欧氏平面上偏微分方程的基本解和$J_0(kr)$是黎曼函数的事实。
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