发表机构
Central South University; Shenzhen University（中南大学; 深圳大学）
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该研究针对带临界增长项的1-拉普拉斯方程，建立Pohozaev型恒等式，通过非光滑临界点理论证明归一化解存在性，其核心是证明Lipschitz连续泛函在Lipschitz连续约束下存在Palais-Smale序列，与此前 $C^2$ 约束问题的方法论有显著差异。
AI 中文摘要
我们研究1-拉普拉斯方程 $-\mbox{div}\left(\frac{Du}{|Du|}\right)+\lambda \frac{u}{|u|}=f(u)+|u|^{1^*-2}u$（定义在 $\mathbb{R}^N$ 上，其中 $N\geq2$，$1^*=\frac{N}{N-1}$ 是BV空间到 $L^p$ 嵌入的临界Sobolev指数，$\lambda, m\in\mathbb{R}^+$，$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 是连续非线性扰动项）在约束 $\int_{\mathbb{R}^N}|u| \\, \mbox{d}x=m$ 下的归一化解。我们首先为该方程建立Pohozaev型恒等式，并用其研究相关的临界能量，随后通过非光滑临界点理论证明归一化解的存在性。本方法的关键特征是证明了Lipschitz连续泛函在Lipschitz连续约束下存在Palais-Smale序列，这与此前具有 $C^2$ 约束的问题在方法论上存在显著差异。
英文摘要
We study normalized solutions to the 1-Laplace equation \[ -\mbox{div}\left(\frac{Du}{|Du|}\right)+λ\frac{u}{|u|}=f(u)+|u|^{1^*-2}u,\quad\mbox{in}~ \mathbb{R}^N \] subject to the constraint $\int_{\mathbb{R}^N}|u| \, \mbox{d}x=m$, where $N\geq2$, $1^*=\frac{N}{N-1}$ is the critical Sobolev exponent for the embedding from BV into $L^p$, $λ, m\in\mathbb{R}^+$ and $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ is a continuous nonlinear perturbation. We first establish a Pohozaev-type identity for the equation and use it to study the associated critical energy, and then prove the existence of normalized solutions via nonsmooth critical point theory. A key feature of our approach is the proof of the existence of a Palais-Smale sequence for a Lipschitz continuous functional under a Lipschitz continuous constraint. This is significantly different in methodology from previous problems with $C^2$ constraint.
Comments38 pages
