Counting rational points and lower bounds for Galois orbits
Harry Schmidt
本文给出了一种新的方法，得到了一维群簇扭点的Galois轨道的多项式下界。
In this article we present a new method to obtain polynomial lower bounds for Galois orbits of torsion points of one dimensional group varieties.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On counting rings of integers as Galois modules
设$K$是数域，$G$是有限阿贝尔群.本文研究了$K$在固定可实现类的整数环为Galois模的情况下的弱分歧$G$ -扩张的个数的渐近性态。
Counting nilpotent Galois extensions
我们获得了强有力的信息的渐近行为的计数函数的幂零伽罗瓦扩展与有界判别任意数域。这扩展了以前对阿贝尔群的研究。特别是，该结果证实了第二作者的猜想，这个功能的任意群在幂零的情况下。进一步证明了该猜想与2阶循环群的圈积的相容性，并给出了8阶以下的例子。
Counting wildly ramified quartic extensions with prescribed discriminant and Galois closure group
本文针对2进数域上具有指定判别式赋值与Galois闭包群的完全分歧四次扩张建立计数公式，并据此改进Serre质量公式，为数域算术统计提供工具。
Counting Galois ${\mathbb U}_4({\mathbb F}_p)$-extensions using Massey products
我们使用Massey产品和他们的关系，幂幺表示参数化，并找到一个明确的公式的伽罗瓦扩展的数量与指定的伽罗瓦组${\mathbb U}_4({\mathbb F}_p)$组成的四乘四幂幺矩阵${\mathbb F}_p$的局部域。该方法的进一步应用包括计算某些有限分支的伽罗瓦扩张的个数，以及计算某些其它域的伽罗瓦${\mathbb U}_4({\mathbb F}_p)$ -扩张的个数.对于每一个Demushkin亲$p$ -群，我们发现一个非常简单的版本的条件时，$n$ -折叠梅西产品的一维上同调元素的$G$系数在${\mathbb F}_p$，被定义。作为一个简单的结果，我们确定这些${\mathbb U}_n({\mathbb F}_p)$发生作为一个epimorphic图像的任何给定的Demushkin组。
Galois characterization of Endoscopy for rational Siegel modular forms
对于亏格为2的Siegel尖点形式，我们建立了Galois约化与Endoscopy之间的关系，这些Siegel形式具有有理特征值，且在3处是非分歧的
Specializations of Iterated Galois Groups of PCF Rational Functions
本文给出了PCF有理函数迭代伽罗瓦群特殊化达到最大（即等于泛迭代伽罗瓦群）的判定准则。
Counting Polynomials via Galois Actions on Root Subsets
本文研究了高度不超过H的单项整系数多项式数量，其伽罗华群在根上的作用同构于给定的置换群(G,Ω)。针对多种群族获得了新的上界。
Classifying Galois groups of small iterates via rational points
我们建立了$c\in\mathbb{Q}$的$ϕ_c(x)=x^2+c$的小迭代的伽罗瓦群的满射性定理。为了做到这一点，我们使用明确的技术，从理论的有理点的曲线，包括方法的Chabauty-Coleman和Mordell-Weil筛。例如，我们成功地找到所有有理点的超椭圆曲线的属$7$，秩$5$雅可比，其点参数化二次多项式与一个“新的小”伽罗瓦群在第五阶段的迭代。
Galois groups over rational function fields over skew fields
设$H$是中心$k$上的有限维除环.本文解决了$k$上多项式函数环的分式域$H(X)$上的Galois逆问题，如果$H$包含一个充分域.
Torsion of rational elliptic curves over quartic Galois number fields
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且令$K$是作为$\mathbb{Q}$上的伽罗瓦的四次数域。本文的目的是对$E(K)_{\text{tors}}$的不同同构类型进行分类。
Bertrand's and Rodriguez Villegas' conjecture for real multi-quadratic Galois extensions of the rationals
Bertrand和Rodriguez Villegas的猜想断言数域单位的外幂中非零元的1-范数有一定的下界。我们证明了这个猜想的外部平方的情况下，数域是一个真正的多二次伽罗瓦扩张的任何程度的有理数。
Non-parametricity of rational translates of regular Galois extensions
推广了F. Legrand关于给定群$G$的非参数伽罗瓦扩张的存在性。更准确地说，对于$K$ -正则伽罗瓦扩张$F|K(t)$，我们考虑将$F(s)|K(s)$转化为有理函数域的扩张$K(s)|K(t)$（换句话说，$s$是某个有理函数$g\in K(X)$的$g(X)-t$的根）。证明了如果$F|K(t)$是数域$K$上的具有群$G$的$K$正则伽罗瓦扩张，则对于任意次数$k\ge 2$和几乎所有次数$k$的有理函数$g$，$F$通过$g(X)-t$在$K(t)$上的根域的平移是非$G$参数的，即并非所有具有群$G$的$K$的伽罗瓦扩展都是作为$F(s)|K(s)$的专门化而出现的。
Galois uniformity in quadratic dynamics over rational function fields
我们证明了树实伽罗瓦表示附加到一个大类的二次多项式定义在一个域上的有理函数在特征零有有限的指数在相关的原像树的全自同构群。此外，我们表明，该指数是有界的，在大多数情况下，独立的多项式。
Minimal ramification and the inverse Galois problem over the rational function field $\mathbb{F}_p(t)$
逆伽罗瓦问题是关于给定伽罗瓦群的域$K$的伽罗瓦扩张问题。在本文中，我们考虑的特殊情况下，基本字段是$K=\F_p(t)$。本文给出了$K$的$G$ -扩张中分歧的有限和无限素数的最小个数的一个公式，并对这一猜想的许多情形给出了理论和计算证明.
Dynatomic Galois groups for a family of quadratic rational maps
本文研究具有周期 2 临界点的二次有理映射族，并对其第三和第四个动力原子 Galois 群给出显式结构描述。
Counting extensions of number fields with Frobenius Galois group
设$G$是具有交换Frobenius核$F$的Frobenius群，$k$是$\mathbb{Q}$的有限扩张.我们得到了具有伽罗瓦群$G$的$|F|$代数扩张$K/k$的次数的一个上界，其判别式$\mathcal{N}_{k/\mathbb{Q}}(d_{K/k})$的范数由$X$上界.我们将此方法推广到任何具有阿贝尔正规子群的群$G$。若$G$有一个阿贝尔正规子群，则我们得到了判别式范数有界的伽罗瓦群$G$的$|G|$扩张次数的上界.马勒提出了一个猜想，这个数量的数量级应该是什么程度的扩展$d$和基础伽罗瓦群$G$变化。我们表明，根据$\ell$ -扭转猜想，上界，我们实现了某些对$d$和$G$同意与预测的Malle。无条件地证明了伽罗瓦群$A_4$的6次扩张数的上界也满足Malle的弱猜想.
The asymptotics of nilpotent Galois groups
证明了具有幂零伽罗瓦群的数域上计数函数的渐近性的一个上界。
On projective linear groups over finite fields as Galois groups over the rational numbers
思想和技术从哈雷的和温滕伯格的文章证明塞尔的猜想奇导体被用来建立一个固定的素数l无限多的群体PSL_2（F_{l^r}）（为r运行）发生的伽罗瓦群的有理数，使相应的号码领域是unramified以外的一组组成的l，无限的地方，只有一个其他总理。
Non-abelian arboreal Galois groups associated to PCF rational maps
本文证明了对于PCF有理映射和非预周期基点，数域的树状Galois扩张绝非阿贝尔的，为多项式确立了Andrews-Petsche猜想的新已知情形，并指出反例若存在必稀疏。
Lower bounds for counting $A_4$-quartic fields
针对 Malle 猜想，本文给出了伽罗瓦群为 $A_4$ 的四次域计数下界，与猜想匹配。
The Distribution of Number Fields with Wreath Products as Galois Groups
令$G$是形式为$C_2 \wr H$的圈积，其中$C_2$是2阶循环群。在较弱的条件下，我们确定了数域$H$的计数函数的渐近性态，该数域具有Galois群$G$和有界判别式.这些计数函数与判别式的范数线性增长，这一结果与Malle的一个猜想相吻合。直到一个常数因子，这些群有相同的渐近行为作为对称群的限制。
Rational pullbacks of Galois covers
证明了${\rm PGL}_2(\mathbb{C})$的有限子群是唯一具有此性质的有限群$G$：对于某个整数$r_0$（依赖于$G$），通过沿非常数有理映射$\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \rightarrow \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$拉回至多有$r_0$分支点的那些，可以得到群$G$的所有Galois覆盖$X\rightarrow \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$.对于$G\subset {\rm PGL}_2(\mathbb{C})$来说，实际上只需拉回一个精心选择的覆盖，其中最多包含$3$分支点。逆伽罗瓦理论的逆结果是，对于$G\not \subset {\rm PGL}_2({\mathbb{C}})$，让分支点数增长提供了$G$的真正新的伽罗瓦实现$F/{\mathbb{C}}(T)$。另一个应用是“贝克曼-布莱克”性质，即“具有相同群$G$的$\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$的任何两个伽罗瓦覆盖总是群$G$的另一个伽罗瓦覆盖的拉回”，仅当$G\subset {\rm PGL}_2({\mathbb{C}})$成立。
Computation of Galois groups of rational polynomials
计算伽罗瓦论，特别是计算给定多项式的伽罗瓦群的问题是一个非常古老的问题。目前，最好的算法解决方案是Stauduhar的方法。在计算上，应用Stauduhar方法的关键挑战之一是对于给定的一对群H<G，找到一个G-相对H-不变量，即H-不变量但不是G-不变量的多元多项式F。虽然通用的理论方法已知可以找到这样的F，但通常它们会产生不切实际的答案。我们给出了一个计算大次数不变量的一般方法，它改进了以前已知的方法，以及各种特殊的不变量，来自组的结构。然后，我们将我们的新的不变量的任务计算的伽罗瓦群的多项式的有理数，从而在第一个实用的度独立算法。
Galois families of modular forms and application to weight one
我们引入了模形式的伽罗瓦族。它们是由有理域上的有理函数域的绝对伽罗瓦群的伽罗瓦表示而来的一类新的族。我们给出了一些例子，并给出了F_p（p在{3，5，7，11}中）的一个代数闭包上的不可提升权为1的Katz模本征形的无限Galois族.
Constructing and counting number fields
本文综述了近年来关于给定Galois闭包的伽罗瓦群的数域的渐近计数和精确计数的方法。特别是，在理论和实践中，学位最高为4的领域的问题现在几乎完全解决了。同样的方法也允许建设相应的完整的数域表的判别式到一个给定的界限。
Galois groups over rational function fields and explicit Hilbert irreducibility
该文研究有理系数二元多项式在有理函数域上的伽罗瓦群，提出计算该群及显式刻画使特化多项式伽罗瓦群或因式分解异常的有理数的方法，通过实例验证并将其应用于证明算术动力学的新结论。
Bertrand's and Rodriguez Villegas' Conjecture for real quartic Galois extensions of the rationals
本文研究有理数全实四次扩张单位外平方中元素的 1-范数下界问题，并在 Galois 扩张条件下将 Costa–Friedman 的 0.802 界改进为 1.134。
Points on Elliptic Curves Parametrizing Dynamical Galois Groups
我们展示了如何有理点对某些品种参数化现象所产生的伽罗瓦论的迭代二次多项式。作为一个例子，我们通过确定某些椭圆曲线上的有理点，完全刻画了第三阶多项式具有“小”伽罗瓦群的二次多项式集合$x^2+c$.由此推论，唯一具有此属性的整数值是$c=3$，回答了Rafe Jones的问题。利用Granville关于超椭圆曲线的二次扭曲有理点的一个结果，说明了ABC猜想如何蕴涵一个有限指标结果，并给出了这个问题的一个几何解释.
The Inverse Galois Problem for p-adic fields
基于Jannsen和Wingberg对$\mathbb{Q}_p$的绝对Galois群的描述，我们描述了一种计算$\mathbb{Q}_p$在给定Galois群$G$下的扩张数的方法.因为这种描述只适用于奇数$p$，所以我们的结果不适用于$\mathbb{Q}_2$。我们报告的结果计数这样的扩展$G$的顺序高达$2000$（除了那些可被$512$整除），为$p=3,5,7,11,13$。特别是，我们强调了一个相对较短的最小$G$列表，这些列表不是作为伽罗瓦群出现的。受此启发，我们证明了关于$\mathbb{Q}_p$逆Galois问题的两个定理：一个给出了$\mathbb{Q}_p$在$\mathbb{Q}_p$上可实现的必要条件，另一个给出了一个充分条件.
Enumerative Galois theory for number fields
本文通过确定方法为偶数伽罗瓦群提供上界，解决了数域计数难题，拓展了算术统计领域。
Average Frobenius distribution for elliptic curves defined over finite Galois extensions of the rationals
设$K$是一个固定的数域，假设是$\mathbb Q$上的伽罗瓦。设$r$和$f$是固定整数，其中$f$为正。给定定义在$K$上的椭圆曲线$E$，考虑了Frobenius迹等于$r$的$K$的$f$素理想的次数的计数问题.除了在$f=2$的情况下，我们表明，“平均”的数量，这样的素理想的范数小于或等于$x$满足一个渐近恒等式，是按照标准的数学。这项工作涉及到经典的Lang-Trotter猜想，并扩展了几位作者的工作。
Computing the mod-3 Galois image of a principally polarized abelian surface over the rationals
针对有理数域上主极化阿贝尔曲面的mod-3伽罗瓦表示像的计算问题，提出以GSp(4,F₃)子群共轭类分布为关键要素的算法，用多种技术解决ℓ=3时Gassmann等价子群的区分难题，且无需已知自同态信息。
Galois points and rational functions with small value sets
本研究建立了Galois点与有限域上小值集有理函数的联系，证明含双Galois点的平面曲线定义多项式的相关性质，打通了两个研究方向的关联。
The completed finite period map and Galois theory of supercongruences
周期是一个复数，它是一个具有代数数系数的有理函数在一个有理定义区域上的积分。虽然周期是典型的超越数，但有一个来自动机理论的周期理论伽罗瓦论。本文形式化了一类称为多重zeta值的周期与有理数模素数幂的同余（称为超同余）之间的类比。我们构造了一个类似于在超同余下的运动周期映射，并利用它定义了一个超同余的伽罗瓦论。我们描述了一个算法，使用我们的周期图来寻找和证明超同余，我们提供了实现该算法的软件。
Computing finite Galois groups arising from automorphic forms
通过约化附加在自守表示上的p-adic表示，构造了有理数域在伽罗瓦群G_2（F_p）上的扩张.
Galois theory of quadratic rational functions
对于具有绝对伽罗瓦群G_K的数域K，考虑G_K在二次有理函数φ作用下在K中点的原像无限树上的作用，特别注意φ与非平凡Mobius变换交换的情形.从某种意义上说，这是一个动力系统的模拟l-adic伽罗瓦表示附加到一个椭圆曲线，特别注意CM的情况。利用一个关于phi迭代分子判别式的结果，给出了动作象尽可能大的一个判据。这个判据是用φ的两个临界点的前向轨道的算术表示的。在这种情况下，φ与一个非平凡的莫比乌斯置换，实际上只有一个临界轨道，我们给我们的极大性准则的修改版本。我们证明了Serre型有限指标的结果在许多情况下，后者的设置。
Mass formulas for local Galois representations to wreath products and cross products
Bhargava证明了一个公式计数，一定的权重，度n etale扩展的一个局部域，或等价的，当地的伽罗瓦表示S_n。这个公式是他关于S_n数域的判别式的稠密性的理论的基础。我们证明了有类似的“质量公式”，计数局部伽罗瓦表示的任何组，可以形成从对称群的圈积和向量积，对应计数塔和直和的etale扩展。作为推论，我们得到上述群具有有理特征标表。我们的结果意味着D_4具有一定权重的质量公式，但我们证明了当D_4的局部伽罗瓦表示以与S_4的表示在Bhargava质量公式中相同的方式加权时，D_4不具有质量公式.
Uniformly counting rational points on conics
本文给出了有理数域上非奇异二次曲线上有界高的有理点个数的一个渐近估计。该估计在基本二次型的系数中是一致的。
The minimal ramification problem for rational function fields over finite fields
研究了具有给定有限伽罗瓦群的有限域上的有理函数域的伽罗瓦扩张中分歧素数的最小个数.特别是，我们得到了一个一般的猜想类比研究的情况下，数域，我们建立了交换，对称和交替群在许多情况下。
On the Galois structure of units in totally real $p$-rational number fields
本文研究全实 $p$-有理数域单位群的 Galois 模结构，给出因子等价于标准循环模的类数判据，证明非交换 $p$-扩张无 Minkowski 单位，并建立相对扩张中 $\mathbb{Z}_p[G]$-格的有限分类。
The conductor density of local function fields with abelian Galois group
本文给出了有限阿贝尔群$G$的局部函数域$\mathbb{F}_q((t))$到导体界的$G$ -扩张个数的精确公式。作为应用，我们利用判别式给出了相应计数问题的一个下界。
Counting $D_4$-field extensions by multi-invariants
本文按 Gundlach 引入的多变元计数具有固定 Galois 群 $D_4$ 的 Galois 扩张，验证了 Malle 猜想的渐近行为，并将主项常数与 Loughran 和 Santens 的近期预测进行了比较。
Counting rational points on a Grassmannian
证明了有界扭曲高度的Grassmannian簇上的有理点个数的一个估计，改进了Schmidt（[12]）和Thunder（[20]）在有理域上的经典结果：最重要的是，我们的公式计算了所有的点.在这些结果中，有几个新的含义，对经典的计算旗品种上的有理点的问题。
Principally polarized abelian surfaces with surjective galois representations on l-torsion
给定一个定义在$K$上的有理簇$V$，我们考虑一个定义在$V$上的维数为$g$的主极化阿贝尔簇$A$.对于每个素数l，我们考虑$A_t$的$l$ -挠上的伽罗瓦表示，其中$t$是$V$的$K$ -有理点。最大可能的图像是$GSp_{2g}(\mathbb{F}_l)$，在情况$g=1$和2中，我们能够得到所有$l$和几乎所有$t$的满射性。在$g=1$的情况下，这恢复了最初由威廉·杜克证明的定理。
Counting elliptic curves over the rationals with a 7-isogeny
本文按高度计数了有理数域上具有7次循环同源的椭圆曲线数量，分别考虑了有理数域及其代数闭包上的同构类。
Counting rational points on the sphere with bounded denominator
本文研究 n 维球面上分母有界的有理点计数问题，并对任意 n≥2 证明了计数余项的最优界。
Counting rational points in non-singular curves
本文应用全局行列式法，给出了非奇异曲线中高度有界的有理点数量的统一上界。
A family of polynomials with Galois group $PSL_5(2)$ over $\mathbb{Q}(t)$
我们计算了一类定义在$\mathbb{Q}$上的具有正则伽罗瓦群$PSL_5(2)$的具有四个分歧点的覆盖。一方面，这是（据我所知）第一个明确的多项式与组$PSL_5(2)$在$\mathbb{Q}(t)$。另一方面，它也肯定地回答了$PSL_5(2)$是否是$\mathbb{Q}$上有理函数的单值群的问题。至少这并不是从考虑$PSL_5(2)$中的类三元组得出的，因为没有严格的、合理的亏格零三元组。此外，对于4元组，我们的家族是唯一一个具有亏格为零的Hurwitz曲线的家族（然而，如果没有明确的计算，似乎并不立即清楚该曲线是否可以定义为$\mathbb{Q}$上的有理曲线）。也有亏格为零的族有五个分支点，也许它们的Hurwitz空间可以被证明有有理点;然而，到目前为止，我还没有看到这样的论点。
Progress Towards Counting D_5 Quintic Fields
设$N(5,D_5,X)$是Galois闭包具有伽罗瓦群$D_5$且判别式以$X$为界的五次数域的个数.根据Malle的一个猜想，我们期望对于某个常数$C$，$N(5,D_5,X) \sim C X^{1/2}$.最有名的上限是$N(5,D_5,X)\ll X^{3/4 + ε}$，我们表明，这可以提高计数点上的一定品种定义的规范方程，计算机计算给出了有力的证据，这个数字是$\ll X^{2/3}$。最后，我们展示了如何这样的范数方程可以是有益的，通过重新解释早期的证明黄上界$A_4$四次领域在一个类似的范数方程。
Lower bounds for Galois orbits of special points on Shimura varieties: a point-counting approach
设$S$是Shimura簇，$h$是$S$上的Weil高度函数.我们猜想$S$中特殊点的高度是判别可忽略的。假设这个猜想是真的，我们证明了特殊点的伽罗瓦轨道的大小增长作为其判别式的固定功率（我们将在文本中定义的不变量）。在交换型Shimura簇的情形下，高度界由最近证明的平均Colmez公式成立，我们的定理给出了Tsimerman的Galois下界的一个新证明.主要的新颖之处在于，我们的方法避免了使用的Masser-Wüstholz isolation估计，取代他们的点计数参数，并建立了下界伽罗瓦轨道的高度范围为条件的\emph{arbitrary}志村品种。特别是，根据皮拉-赞尼尔策略（和高的工作在混合的情况下），这意味着安德烈-奥尔特猜想的任意（混合）志村品种如下从相应的猜想高度的特殊点。
Counting rational points on biquadratic hypersurfaces
建立了充分多变量的任意光滑双二次超曲面的某个Zebrski开子集上有界反正则高的有理点个数的渐近公式.证明使用Hardy-Littlewood圆方法。
Multi-quadratic $p$-rational Number Fields
对每个奇素数$p$，证明了存在无穷多个实二次域是$p$ -有理的.对于每个素数$p$，给出了虚和实双二次$p$ -有理域.利用Greenberg最近提出的一种方法，我们证明了$\mathbf{Q}$的Galois扩张的存在性，其中Galois群同构于$GL_n(\mathbf{Z_p})$的一个开子群，对于$n =4$和$n =5$，至少对于所有的素数$p <192.699.943$ .
Counting rational points on the Cayley ruled cubic
我们计数有理点的有界高度的凯莱规则的三次曲面和解释的背景下，由于Batyrev和Tschinkel的一般结构的结果。
Galois Groups Via Atkin-Lehner Twists
利用Serre对Shih定理的补充，我们得到了Q上至少614个新素数p的伽罗瓦群PSL_2（F_p）.在奇解析秩的有理椭圆曲线秩为正的假设下，我们得到了3/8个未被前人结果覆盖的素数的Galois实现;假设一个关于二次域类数的（似乎合理的，也许易于处理的）猜想也就足够了。关键问题是理解X_0（N）的Atkin-Lehner扭曲上的有理点。在附录中，我们探讨这些曲线上的局部点的存在性。
The inverse Galois problem for PSL_2(F_p)
证明了对p>3的素数，单群PSL_2（F_p）是有理数扩张的伽罗瓦群.通过研究椭圆曲面的二阶上同调群上的Galois作用，得到了我们的Galois扩张。
Counting rational points on del Pezzo surfaces with a conic bundle structure
对任意数域k，给出了定义在k上的非奇异del Pezzo曲面上有界高的k-有理点个数的上界，这些曲面具有适当的锥丛结构.
Counting Rational Points on Cubic Curves
我们证明了有理数上定义的非奇异三次曲线上的有理点个数的上界。边界在曲线中是一致的，并且涉及相应雅可比矩阵的秩。证明中使用的方法是“行列式方法”与曲线上的m-下降的组合。
On rational connectedness and parametrization of finite Galois extensions
该研究围绕有理数域的$G$-伽罗瓦扩张的$R$-等价关系展开，确定了基本群族$G$的$R$-等价类，在$G$无通用扩张的情况下实现了对应伽罗瓦扩张的参数化。
Galois criterion for torsion points of Drinfeld modules
在本文中，我们制定的Drinfeld模模拟的一个问题，提出了由Lang和Katz研究的存在有理点的阿贝尔簇在数域上。给定一个极大理想$\fl$的$\F_q[T]$，问题本质上是问，是否，直到Isabel，一个Drinfeld模块$ϕ$在$\F_q(T)$包含一个合理的$\fl$ -扭点，如果减少$ϕ$在几乎所有素数的$\F_q[T]$包含一个合理的$\fl$ -扭点。类似的情况下，阿贝尔簇，我们表明，答案是积极的，如果Drinfeld模块的秩是$2$，但负的，如果秩是$3$。此外，对于秩$3$ Drinfeld模块，我们分类的情况下，答案是肯定的。
Mass formulas for local Galois representations and quotient singularities I: a comparison of counting functions
本文研究局部伽罗瓦表示中 Artin 导子与野 Deligne-Mumford 栈 motivic 积分权的关系，并借此证明 McKay 对应的一种形式，将 Bhargava 质量公式与点的 Hilbert 概型联系起来。
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