Updated estimate of the number of edges in induced subgraphs of a special distance graph
Philipp Pushnyakov
本文提出了一种估计特殊距离图的诱导子图的边数的新方法。作者显著改进了以前的估计，并提出了一种新的方法来获得更好的。
In this article, the author proposes a new approach for the estimating of the number of edges in induced subgraphs of a special distance graph. Author significantly improves previous estimates and suggests a new approach to obtaining better ones.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Improved estimate of the number of edges in subgraphs of the special distance graph
在这项工作中，作者显着提高了以前的估计的特殊距离图的子图中的边缘数。
An updated survey on 2-Factors of Regular Graphs
该综述聚焦正则图的2-因子结构领域，梳理汇总了近年多位研究者在该方向取得的相关研究成果，为相关领域研究提供参考。
The Total Coloring Conjecture holds for planar graphs without three special subgraphs
本文证明全染色猜想对最大度为六且不含蘑菇、帐篷和锥体三种子结构的平面图成立，从而推广了此前关于禁止4-扇的结果。
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. XII. Distant stars
Gyarfas-Sumner猜想认为，如果H是树，则每一个团数有界且色数很大的图都包含H作为诱导子图.这仍然是开放的，虽然它已经证明了一些简单的家庭的树，包括树的半径2，一些特殊的树的半径3，和细分的明星。这些树都有这样的性质，即它们的度大于2的顶点非常紧密地聚集在一起。本文证明了两个树族的猜想不受此限制。作为特殊情况，这些族包含所有双头扫帚和两条腿的毛毛虫。
Partitions of Graphs into Special Bipartite Graphs
本文研究了在禁止子图约束下将完全图边集划分为双图的问题，证明了χ'_{2K_2}(n)的界，并探讨了其他禁止子图的边界情况。
On the number of edges in the special distance graph
本文给出了特殊距离图的子图的边数的新估计。参考书目：21项。
On reconstruction of graphs from the multiset of subgraphs obtained by deleting $\ell$ vertices
Ulam的重构猜想断言，对于$n\geq 3$，每个$n$ -顶点图都由它的导出子图的多集决定，导出子图的顶点数为$n-1$.该猜想被认为适用于各种特殊类别的图，但仍然是开放的。我们调查的结果更一般的猜想凯利从1957年，对每一个正整数$\ell$存在$M_\ell$（与$M_1=3$），使当$n\geq M_\ell$每一个$n$ -顶点图是由它的诱导子图的多集与$n-\ell$顶点。
Tensor networks and the enumeration of regular subgraphs
我们提出了一个通用的方法来解决一系列的图中的计数问题。关键点是收缩适当选择的对称张量，这些张量放置在图的顶点处，沿着边。特别地，这导致了一个算法，该算法计算任意图的d-正则子图的数量，包括d-因子的数量（之前我们考虑了d=2的情况，特别强调了哈密顿圈的枚举;参见图1）。math.CO/0403339).我们简要地讨论了该算法的计算复杂性问题。
On coloring digraphs with forbidden induced subgraphs
本文证明了Aboulker，Charbit和Naserasr的一个猜想，证明了每个定向图的每个顶点的外邻域诱导一个传递竞赛图时，该图可以被划分为两个无圈诱导子有向图.我们证明了这一结果的多种扩展到更大类的有向图定义的有限列表禁止诱导子有向图。因此，我们解决了著名的Gyárfás-Sumner猜想的有向图由Aboulker等人的扩展的几个特殊情况。
The Alon-Tarsi Number of Cartesian product and Corona product of Hypercube Graph and Special Graphs
本文研究了图的Alon-Tarsi数，基于n-立方体特殊性质求得了该数，并推导出特殊二部图笛卡尔积及图Corona积的Alon-Tarsi数，最终得出超立方体图与特殊图两种乘积的该数值。
The local metric dimension of subgraph-amalgamation of graphs
如果从$v$到$x$的距离不同于从$v$到$y$的距离，则称顶点$v$区分非平凡连通图G的另外两个顶点$x$和$y$。一个集合$S\subseteq V(G)$是$G$的一个局部度量集，如果$G$的每两个邻顶点被$S$的某个顶点区分。具有最小基数的局部度量集称为$G$的局部度量基，其基数称为$G$的局部度量维数，记为$\dim_l(G)$。本文给出了图的子图合并的局部度量维数的紧界，特别强调了子图是等距嵌入的情况。
A Conjecture on Induced Subgraphs of Cayley Graphs
在本文中，我们提出了以下猜想，它推广了黄[华19]在他最近的灵敏度猜想的突破性证明中证明的一个定理。我们推测，对于群$G$上的任何凯莱图$X = Γ(G,S)$和任何生成集$S$，如果$U \subseteq G$具有$|U| > |G|/2$大小，则$X$在$U$上的导出子图的最大度至少为$\sqrt{|S|/2}$。利用Alon和Zheng [AZ20]最近的一个想法，他们证明了这个猜想的特殊情况下，$G = Z_2^n$，我们证明了这个猜想是正确的，只要$G$是交换的。我们还观察到，这个猜想成立的图$X$，一些对称性是必需的：它是不够的，$X$只是正则和二部。
Caterpillars with $n$ vertices are reconstructible from subgraphs with at most $n/2+1$ vertices
该研究证明了对于n≥48，任何n个顶点的毛虫可以由其m-图重建，且结果对Nýdl关于树的猜想提供了特例证明。
On decomposing graphs of large minimum degree into locally irregular subgraphs
一个\emph{locally irregular graph}是一个图，其邻顶点具有不同的度。我们说一个图$G$可以分解成$k$局部不规则子图，如果它的边集可以划分成$k$子集，每个子集诱导$G$中的一个局部不规则子图。已经证明，除了不允许这种分解的例外族之外，即，奇路、奇圈和一类特殊的最大度图$3$，每个连通图都可以分解为$3$局部不正则子图.结合概率的方法和一些已知的定理的程度限制的子图的一个给定的图，我们证明了这是持有足够大的最小程度的图，$δ(G)\geq 10^{10}$。这个问题是强烈相关的边缘着色区分其入射颜色的调色板和1-2-3猜想的邻居。特别是，本文的贡献构成了Addario-Berry，Aldred，Dalal和Reed [J. Combin.理论系列B 94（2005）237-244]。
Odd induced subgraphs in graphs with treewidth at most two
一个长期存在的猜想断言，存在一个常数$c>0$，使得每一个不含孤立点的$n$阶图都包含一个阶至少为$cn$且度都为奇数的导出子图. Scott（1992）证明了每个图$G$都有一个阶至少为$|V(G)|/(2χ(G))$且度全为奇数的导出子图，其中$χ(G)$是$G$的色数，这就暗示了对具有{有界}色数的图的猜想.但因子$1/(2χ(G))$似乎不是最佳可能的，例如Radcliffe和Scott（1995）证明了树的$c=\frac 23$，Berman，Wang和Wargo（1997）证明了具有最大度$3$的图的$c=\frac 25$，因此确定特殊图族的$c$的精确值是有趣的。本文利用$c=\frac{2}{5}$进一步证明了树宽不大于2的猜想，并且得到了最佳可能界.
Rainbow subgraphs of star-coloured graphs
本文针对星着色图的彩虹子图问题，确定了不含给定图彩虹副本的大型完全图星着色的最大颜色数，拓展了Axenovich与Iverson在广义拉姆齐数相关问题上的结果。
Maximal $k$-Edge-Colorable Subgraphs, Vizing's Theorem, and Tuza's Conjecture
证明了：如果$M$是重图$G$的极大$k$ -边可着色子图，且如果$F = \{v \in V(G) : d_M(v) \leq k-μ(v)\}$，则对所有$v \in F$，有$d_F(v) \leq d_M(v)$. (When $G$是一个单图，集合$F$只是$M$中度小于$k$的顶点的集合。）这意味着Vizing定理以及图扎猜想的一个特殊情况下包装和覆盖的三角形。我们的结果的一个更详细的版本也意味着Vizing的邻接引理的单图。
A note on estimating global subgraph counts by sampling
本文给出了Sidorenko（1994）关于同态数的一个不等式的推广的一个简单证明.我们的不等式的一个特殊情况是，如果$d_v$表示图$G$中的顶点$v$的度，并且$\textrm{Hom}_Δ(H, G)$表示从$h$顶点上的连通图$H$到$G$的同态的数目，这些同态将$H$的特定顶点映射到具有$d_v \ge Δ$的$G$中的顶点$v$，然后$ \textrm{Hom}_Δ(H,G) \le \sum_{v\in G} d_v^{h-1}\mathbf{1}_{d_v\ge Δ} $我们利用这个不等式研究了通过随机抽样$G$的顶点来估计$G$中$H$的拷贝数所需的最小样本量。
Induced Subgraphs in Strongly Regular Graphs
本论文主要研究强正则图中诱导子图个数的理论和算法，以及这些个数的进一步应用。我们更详细地考虑这些图的一类限制，特别是那些没有三角形。在这种特殊情况下，SRG有无穷多个可行的参数集。尽管如此，已知的这种图的例子只有七个。我们开发了一种算法，该算法产生描述SRG中阶$o$和$o-1$的诱导子图的数量之间的各种关系的线性方程。我们也将我们的结果应用于$srg(3250,57,0,1)$（它的存在性是一个著名的公开问题）。在这种情况下，在$10$顶点上同构于给定图的诱导子图的数目仅取决于诱导Petersen图的数目。此外，我们提供了新的见解的自同构的$srg(3250,57,0,1)$以及在一般的三角形自由SRG的诱导$K_{3,3}$的数量的界限。在论文的最后，我们讨论了我们的方法的可能的扩展，所谓的$t$ -顶点条件的研究。
Extremal $G$-free induced subgraphs of Kneser graphs
Kneser图${\rm KG}_{n,k}$是一个图，其顶点集是$[n]$的所有$k$ -子集的族，并且如果两个顶点的对应子集不相交，则两个顶点相邻。经典的Erdens-Ko-Rado定理决定了${\rm KG}_{n,k}$中最大导出无$K_2$子图的基数和结构。作为Erdens-Ko-Rado定理的推广，Erdenses提出了一个关于${\rm KG}_{n,k}$的导出$K_{s+1}$ -free子图的最大阶的猜想.作为关于这个猜想的最著名的结果，Frankl [Journal of Combinatorial Theory，Series A，2013]，当$n\geq(2s+1)k-s$，给了这个猜想一个肯定的答案，也确定了这样一个子图的结构。本文推广了Erdens-Ko-Rado定理和Erd{ \H o}s匹配猜想，研究了当${\rm KG}_{n,k}[\mathcal{A}]$没有子图同构于给定图$G$时，极大族$\mathcal{A}$的结构问题.在这方面，我们确定这样一个家庭的大小和结构，提供$n$是足够大的$G$和$k$。此外，对于$G=K_{1,t}$的情况下，我们提出了一个Hilton-Milner型定理关于上述问题，专门改进了Gerbner等人的结果[SIAM Journal on Discrete Mathematics，2012]。
Shorter Tours by Nicer Ears: 7/5-approximation for graphic TSP, 3/2 for the path version, and 4/3 for two-edge-connected subgraphs
我们证明了新的结果近似的图形TSP和一些相关的问题。我们得到改进的近似保证多项式时间算法。对于图形TSP本身，我们将近似比提高到7/5。对于一个推广，连接- $T$ -连接问题，我们得到了第一个非平凡的近似算法，比例为3/2。其中包含图形$s$ - $t$ -path-TSP作为特例。我们改进了求最小2-边连通生成子图的近似保证为4/3。我们所有算法的关键新成分是一种特殊的耳朵分解优化使用森林超图表示。同样的方法也提供了我们用来推导近似比的下界（由LP松弛引起）。
The Maximum Degree-and-Diameter-Bounded Subgraph in the Mesh
在\cite{maxddbs}中，作为度-直径问题的推广，引入了在最大度$Δ$和直径$D$的约束下寻找给定无向主图的最大连通子图的问题.特别感兴趣的情况是，当主机图是一个常见的并行架构。在这里，我们讨论的情况下，主机图是一个$k$维网格。本文给出了任意维$k$中最大子图的阶的一般界，并对$k=3, Δ= 4$和$k=2, Δ= 3$的特殊情况给出了更清晰的下界的构造.
Snarks with special spanning trees
设$G$是一个三次图，它可以分解为生成树$T$和$2$正则子图$C$，即$E(T) \cup E(C) = E(G)$和$E(T) \cap E(C) = \emptyset$ .我们提供了以下问题的答案：如果$G$是一个snark，那么$C$的圈可以有什么长度？注意，$T$是一个hist（即没有2度顶点的生成树），并且每个具有hist的立方图都具有上述分解。
The Parameterised Complexity of Counting Connected Subgraphs and Graph Motifs
本文引入了一类图的参数化计数问题--具有性质（Φ）的p-#诱导子图，它推广了一些已有的问题.本文主要讨论Φ定义了一个图族，其边极小元素都具有有界树宽的情况;这包括Φ描述连通性的特殊情况。我们证明了在n-顶点图中精确计算k-顶点诱导子图的连通数是#W[1]-困难的，但另一方面，这个问题存在一个FPTRAS;更一般地说，当Φ是单调的且满足Φ的极小图都有界树宽时，我们证明了具有性质（Φ）的p-#诱导子图存在一个FPTRAS.然后，我们将这些结果应用到图图案问题的计数版本。
Induced subgraphs of graphs with large deficiency
受大色数图中特殊洞研究的启发，该文研究大亏度且局部独立数有界的图中的特殊bone（骨图），改进了不含特定bone的连通图的亏度极值界，并给出构造大匹配与亏度上界的算法。
Edge Clique Covers in Graphs with Independence Number Two: a Special Case
图$G$的边团覆盖数$ecc(G)$是其并集覆盖$G$的所有边的完全子图的最小集合的大小。证明了所有独立数为2的单图都满足$ecc(G)\leq n$ .首先，我们提出了一类图包含难以覆盖的边缘，但满足猜想。其次，我们描述了一个大类的图$G$，使$ecc(G)\leq \frac{3}{2}n$。这个类很容易描述。
A Characterization On Potentially $K_{2,5}$-graphic Sequences
对于给定的图$H$，如果存在包含$H$作为子图的$π$的实现，则称图序列$π=(d_1,d_2,...,d_n)$是潜在$H$ -图的.设$K_m-H$是从$K_m$通过去除边集$E(H)$而获得的图，其中$H$是$K_m$的子图。本文刻画了潜在$K_{2,5}$ -可图序列.这一特征意味着Yin等人[26]的定理的特殊情况。
A generalization of Kuo condensation
Kuo在2003年为二部可平面图引入了他的4点凝聚。在2006年，Kuo将这个4点凝聚推广到不一定是二部的可平面图。他的公式表示的产品之间的完美匹配的原始图$G$和子图的数量之间的产品从$G$通过删除四个显着的顶点作为一个4阶的Pfumerian，其条目是完美匹配的数量的子图的$G$通过删除各种对中选择的四个显着的顶点。这一公式引人注目的优雅吸引了人们的普遍性。在特殊假设下，Kuo将其推广到$2k$点，即通过删除$2k$顶点的某个子集而获得的子图恰好有一个完美匹配。本文证明了该公式在一般情况下成立。我们还介绍了几个应用程序。
Improvements on induced subgraphs of given sizes
给定整数$m$和$f$，设$S_n(m,f)$由所有整数$e$组成，使得每个具有$e$边的$n$ -顶点图都包含一个具有$f$边的$m$ -顶点导出子图，设$σ(m,f)=\limsup_{n\rightarrow\infty} |S_n(m,f)|/\binom{n}{2}$ .作为一个自然延伸的极值问题的埃尔德什，这是调查埃尔德什，Füredi，罗斯柴尔德和索斯二十年前。他们的主要结果表明，$S_n(m,f)$中的整数对于大多数$(m,f)$对来说是罕见的，尽管他们也发现了无穷多个$(m,f)$对的$σ(m,f)$是一个固定的正常数。在这里，我们的目的是提供一些改进这项研究。我们的第一个结果表明，$σ(m,f)\leq \frac12$适用于所有，但许多对$(m,f)$和常数$\frac12$不能提高。这回答了一个问题的Erdés等。我们的第二个结果考虑了无穷多对特殊形式的$(m,f)$，它们的$σ(m,f)$的精确值已由Erdenses et.我们部分解决了这个猜想（只留下两个开放的情况下），取得进展的一些建设，这是与数论。我们的证据是基于研究Erdés等。al和涉及数论中的不同论点。并对相关问题进行了讨论。
Partitioning Complete Geometric Graphs on Dense Point Sets into Plane Subgraphs
该研究针对稠密点集（点集最大最小距离比为Θ(√n)）的完全几何图，证明存在小于1的正常数c，使得其可划分为至多cn个无交叉平面子图，解决了特定情形下的相关公开问题。
On $4$-chromatic Schrijver graphs: their structure, non-$3$-colorability, and critical edges
给出了$4$ -色Schrijver图的非$3$ -可染性的一个初等证明，从而也为$4$ -色Kneser图提供了这样的证明.为此，我们使用一个完整的描述结构的$4$ -色Schrijver图，已经给出了布劳恩，甚至更早的未发表的手稿李。我们还处理连接到表面四边形。特别地，我们证明了$4$ -色Schrijver图的一个生成子图使克莱因瓶四边化，而另一个生成子图使射影平面四边化.后者是Kaiser和Stehl 'ık的一个结果的特例。我们刻画了$4$ -色Schrijver图的色临界边，并对高色数Schrijver图的色临界边的刻画给出了初步的结果.最后，我们表明（除了两种情况下的小参数），我们提出的四边形的克莱因瓶的子图是边色临界的。类似的结果，子图的四边形的射影平面是一个直接的后果，早期的结果由金贝尔和Gimassen，并已注意到凯泽和Stehl 'ık。
Induced subgraphs and tree decompositions X. Towards logarithmic treewidth for even-hole-free graphs
本文证明了无大团且无广义 $t$-棱锥导出子图的偶洞无图树宽至多为 $c(t)\log{n}$，解决了 Sintiari-Trotignon 猜想特例，并使多个 NP-难问题在此类图上有多项式时间算法。
Interval Graphs with Containment Restrictions
一个区间图是真的当且仅当它有一个表示，其中没有一个区间包含另一个区间。Fred Roberts将真区间图刻画为不含诱导星$K_{1,3}$的图。Proskurowski和Telle研究了$q$ -proper图，这是一种区间图，其表示中没有区间被适当地包含在多于$q$的其他区间中。像罗伯茨一样，他们发现他们的图类的特征在于，每个图都有一个最小的禁止子图。本文首次研究了$p$ -反常区间图，其中没有一个区间包含多于$p$的其它区间.本文主要研究一类特殊的$p$ -不当区间图，它的最小禁止子图是容易描述的。即使在这种情况下，很明显，各种各样的最小禁止子图是可能的。
On Cui-Kano's Characterization Problem on Graph Factors
图$G$的$H_n$ -因子被定义为$G$的生成子图$F$，使得每个顶点具有属于$F$中的集合$\{1,3,5,...,2n-1,2n\}$的度。利用Lovász对度规定子图问题的结构描述，研究了图的$H_n$ -因子.本文给出了图的$H_n$ -因子存在的一些充分条件。特别是，我们取得了进展的一个特殊的家庭提出的图的特征化问题，崔和卡诺在1988年。
Degree Game for Special Regular Graphs
本文针对超立方体图、网格图等无限图族，改进了Maker-Breaker度数博弈中Breaker的度数下界，将原d/4的界限提升至至少⌊d/3⌋
Black-and-white threshold graphs
设k为自然数。我们引入了k-阈值图。我们证明了对于每个自然数k，存在一个O（n^3）的算法来识别k-阈值图. k-阈值图的特征在于有限的禁止诱导子图的集合。对于k=2的情形，我们用禁止诱导子图刻画了划分的2-阈值图.我们引入限制，和特殊的2-阈值图。我们用禁止诱导子图刻画了这两类图。限制2-阈值图与阈值图的切换类一致。这为阈值图的切换类提供了一个分解定理。
Trees, ladders and graphs
介绍了一种由非特殊树和梯系统构造不可数色图的新方法。提出了P. Erdens和A. Hajnal从1985年开始，我们构造了色数为$ω_1$且不含不可数$ω$ -连通子图的图.其次，我们构造了色数$ω_1$的无三角图，它不含同构于$H_{ω,ω+2}$的子图。
The chromatic discrepancy of graphs
对于图$G$的一个正常顶点着色$c$，令$φ_c(G)$表示$G$的所有诱导子图$H$上的色数$χ(H)$与$c$着色$H$所用颜色数之差的最大值.定义图$G$的色差为图$G$的所有真染色$c$中的最小值$φ_c(G)$，记作$φ(G)$.若$H$仅限于连通诱导子图，则用$\hatφ(G)$表示相应的参数.这些参数的目的是研究在图及其所有诱导子图中使用尽可能少的颜色的图着色。我们研究了参数$φ(G)$和$\hatφ(G)$，并得到了它们的界。我们得到一般的界限，以及某些特殊类别的图，包括随机图的界限。我们给出了具有$φ(G) = 0$的图和具有$\hatφ(G) = 0$的图的结构刻画。我们还表明，计算这些参数是NP-难的。
Antidirected subgraphs of oriented graphs
本文研究有向图中反向子图的存在性，证明在最小半度超过 $(1+η)k/2$ 的稠密有向图中，可以找到所有具有线性规模和有界最大度的平衡反向树、反向细分及反向圈，并渐近证实了相关猜想。
A note on fractional covers of a graph
图$G$的分数着色是一个函数，该函数将非负实值分配给包含$G$的任何顶点的$G$的所有可能的色类，使得这些值的和对于每个顶点至少为1。分数色数是在所有可能的$G$着色上由分数着色分配的值的最小和。分数覆盖是由Bosica和Tardif提出的，分数覆盖是分数着色的一种推广，其中实值函数作用于属于给定图类的$G$的所有可能的子图。分数色数是分数覆盖数的一个特例。在这项工作中，我们研究了分数覆盖作用在$(k+1)$ -无冠子图的$G$，虽然共享一些相似之处分数覆盖作用在$k$ -冠子图的$G$，他们表现出一些特殊性。首先证明了如果简单图$G_2$是简单图$G_1$的同态像，则定义在$G_1$的$(k+1)$ -无偶子图上的分数覆盖数被相应的$G_2$的分数覆盖数上界.我们利用这个结果来获得相关的分数覆盖数的图，无论是$n$ -college或$a\!\!:\!\!b$ -college的界限。
Characterizing the forbidden pairs for graphs to be super-edge-connected
本文刻画了当禁止子图集合大小为1或2时，使得所有不含这些诱导子图的图均为超边连通的所有禁止子图集合（除特殊图外）。
An Alternative Proof of the $H$-Factor Theorem
设$H: V(G) \rightarrow 2^{\mathbb{N}}$是图$G$的集合映射。给定$G$的一个生成子图$F$，如果对每个顶点$x\in V(G)$都有$d_{F}(x)\in H(x)$，则称$F$为$G$的{ \it一般因子}或$H$ -{ \it因子}. $H$ -因子问题通常是$NP$ -完全问题，并且隐含许多众所周知的因子问题（例如，完美匹配、$f$ -因子问题和$(g, f)$ -因子问题）。Lovász [图的因子分解（II），数学学报，匈牙利，23（1972），223- 246]给出了$H$ -最优子图的结构描述，并得到了一个亏数公式。本文利用广义交替路径方法给出了Lovász亏量公式的一个结构特征，并给出了另一种较短的证明.
Index 3 biembeddings of the complete graphs
证明了$24s+21$顶点上的完全图可分解为两个边不交的子图，每个子图三角化一个可定向曲面.两个曲面同胚的特殊情况解决了该曲面的广义地月问题。与以前的构造不同，这些三角嵌入对来自索引3电流图。
Induced subgraph density. III. Cycles and subdivisions
本研究证明无两个指定环（及其补图）的图满足Erdős-Hajnal猜想的多项式团/稳定集下界，将结论推广到细分图情形，采用迭代稀疏化框架，还给出Fox-Sudakov定理的简化证明。
Edge coloring graphs with large minimum degree
设$G$是一个具有最大度$Δ(G)$的简单图.如果$|E(H)|>Δ(G)\lfloor |V(H)|/2 \rfloor$是$G$的一个子图$H$，则它是过满的. Chetwynd和Hilton在1985年证明了具有$Δ(G)>|V(G)|/3$的图$G$有色指数$Δ(G)$当且仅当$G$不含过满子图. 1-因子分解猜想是这个过满猜想的一个特例，它指出对于偶数$n$，每个度至少约为$n/2$的正则$n$ -顶点图都有1-因子分解，并且在2014年被证明是大型图。本文证明了对任意给定的$0<\varepsilon <1$，存在一个正整数$n_0$，使得如下命题成立：如果$G$是$2n\ge n_0$顶点上最小度至少为$(1+\varepsilon)n$的图，则$G$有色指数$Δ(G)$当且仅当$G$不含过满子图.
Fourientation activities and the Tutte polynomial
一个图$G$的fourientation是一个选择，为每一个边缘的图是否定向该边缘在任何一个方向上，让它无向，或bireoriented它。我们可以自然地查看fourientation作为一个混合的子图和图的方向，其中无向和bireoriented边的角色缺席和目前的子图的边缘，分别。在Backman和Hopkins（2015）的工作的基础上，我们证明了给定边集的线性阶和参考方向，可以定义$G$的四个表示的活动，这允许Tutte多项式$T_G$的新的12变量扩展。我们的公式既适用于Tutte多项式的Las Vergnas（1984）定向活度展开式，也适用于Gordon和Traldi（1990）的广义活度展开式。
Online Ramsey Numbers and the Subgraph Query Problem
该$(m,n)$ -在线拉姆齐游戏是一个组合游戏之间的两名球员，建设者和画家。从一组无限的孤立顶点开始，Builder在每个转弯处绘制一条边，Painter立即将其绘制为红色或蓝色。Builder的目标是迫使Painter使用尽可能少的旋转次数创建红色$K_m$或蓝色$K_n$。在线Ramsey数$\tilde{r}(m,n)$是生成器确保在$(m,n)$ -在线Ramsey游戏中获胜所需的最小边数。通过分析Painter随机博弈的特殊情形，得到了对角在线Ramsey数下界的指数改进\[ \tilde{r}(n,n) \ge 2^{(2-\sqrt{2})n + O(1)} \]，以及非对角情形下相应的改进\[ \tilde{r}(m,n) \ge n^{(2-\sqrt{2})m + O(1)} \]，其中$m\ge 3$是固定的，而$n\rightarrow\infty$ .使用不同的随机画家策略，我们证明了$\tilde{r}(3,n)=\tildeΘ(n^3)$，确定这个函数的多对数因子。我们还改进了非对角情况下的上界$m \geq 4$。在与在线拉姆齐游戏与随机画家，我们研究的问题，找到一个副本的目标图$H$在一个足够大的未知Erdens-Rényi随机图$G(N,p)$使用尽可能少的查询，其中每个查询揭示了是否有一个特定的一对顶点相邻。我们称这个问题为子图查询问题。我们…
Counting subgraphs of coloring graphs using shadow graphs
本文提出利用影子图色多项式显式构造着色图中诱导子图计数多项式的方法，给出超立方体情形公式，并以同色对多项式、不同色多项式的图对反驳相关猜想。
A special case of Hadwiger's conjecture
本文研究了不存在大小为3的独立集的图的Hadwiger猜想。这样一个至少有2 t-1个顶点的图不是t-1可着色的，因此被证明有一个$K_t$子图。在这种情况下，Hadwiger猜想得到了加强，它指出，总有一个子图，其中$K_t$的顶点的原像是大小为1或2的连通子图。我们证明了这个加强版的补充图的顶点数为偶数和分数色数小于3。我们调查了几种可能的推广，并获得反例，从别人和改进的结果。我们还表明，对于足够大的$n=|V(G)|$，没有独立集的大小为3的图有一个$K_{1/9 n^{4/5}}$未成年人只使用集的大小为一个或两个顶点的原像。
Some hard families of parameterised counting problems
我们考虑以下形式的参数化子图计数问题：给定一个图G，它的顶点有多少个k-元组具有给定的属性？一些这样的问题是已知的#W[1]-完全的，在这里，我们基本上概括了这些现有的一些结果，证明硬度为两个大家庭这样的问题。我们证明了当标号子图的不同边密度数为o（k^2）时，计算具有任何性质的k-顶点子图的个数是#W[1]-困难的.在特殊的情况下，该属性的问题只取决于在子图的边缘数，我们给这个结果，导致我们的第二个家庭的硬问题的加强。
Fibonacci-run graphs II: Degree sequences
Fibonacci立方体是超立方体图的诱导子图，它是通过将顶点集限制为不包含连续1的二元串而得到的。这类图已经被广泛研究，并在许多不同的方向推广。以有限游程长度为顶点的二元串上的超立方体的诱导子图定义了Fibonacci游程图。这些图具有与斐波那契立方体相同的顶点数，但较少的边和不同的图论性质。Fibonacci运行图的基本性质在一个配套文件中，而在本文中，我们考虑的性质的度序列的Fibonacci运行图。我们得到的生成函数是度序列的生成函数的一个改进，并且有一些推论，作为专门化而得到。我们还得到了Fibonacci游程图作为偏序集的几个性质，并讨论了它的嵌入性质。
Pairs of disjoint matchings and related classes of graphs
本文研究有限图中不相交匹配对对应的最大 2-边可着色子图及比值 μ(G)/ν(G)，证明该比值在 4/5 到 1 间的任意有理数均可由连通图实现，并刻画比值小于 1 的图所必含的特殊子图。
Fibonacci-run graphs I: basic properties
互连网络的经典模型包括超立方体和斐波那契立方体。Fibonacci立方体是超立方体的诱导子图，它是通过将顶点集限制为不包含连续1的二进制串而得到的，用斐波那契数计数。另一组由斐波那契数计数的二进制字符串是那些对游程长度有限制的字符串。超立方体的诱导子图在后面的字符串作为顶点定义Fibonacci运行图。它们与斐波那契立方体具有相同的顶点数，但边数较少，连通性不同。我们得到了Fibonacci运行图的性质，包括边的数量，基本递归的模拟，顶点的平均度，Hamilton性，特殊度序列，以及它们所包含的超立方体的数量。一个详细的研究度序列的斐波那契运行图是有趣的，在其本身的权利，并报告在一个配套文件。
Negative association in uniform forests and connected graphs
我们考虑三个概率测度的边缘子集的一个给定的有限图$G$，即那些管理，分别是一个统一的森林，一个统一的生成树，和一个统一的连通子图。讨论了一致森林中关于两条边的负结合的一个猜想，并对一致连通子图提出了一个相关猜想。本文利用本文所总结的计算机算法，对所有顶点数不超过8，或顶点数不超过9，边数不超过18的图$G$，用数值方法证明了前一个猜想。已知负关联对于统一生成树是有效的。均匀森林、均匀生成树和均匀连通子图这三种情况是由统计力学的随机簇模型产生的更一般的猜想的特例。
An NP-hardness result for the colored constrained maximum 2-edge-colorable subgraph problem in bipartite graphs
本文研究最大$k$-边可着色子图问题，证明了在顶点带有颜色约束的版本中，即使在最大度为三的二分图中该问题也是NP困难的。
The point-thicknesses of complete multipartite graphs
本文研究了完全多部图的点厚度，确定了其计算方法，并作为特殊情况探讨了完全图的点厚度。
The action of the Weyl group on the $E_8$ root system
设$Γ$是$E_8$根系的根上的图，其中任何两个不同的顶点$e$和$f$由颜色等于$e$和$f$的内积的边连接。对于任何颜色集合$c$，设$Γ_c$是$Γ$的子图，它由所有$240$顶点和颜色位于$c$中的所有边组成。我们认为集团，即，$Γ$的完全子图，其是单色的，或者其大小至多为$3$，或者对于某些颜色集$c$是$Γ_c$中的最大团，或者其顶点是$E_8$根多面体的面的顶点。我们证明了，除了两个例外，两个这样的团是共轭下的自同构群的$Γ$当且仅当它们是同构的着色图。此外，对于从一个这样的团$K$到另一个团的同构$f$，我们给出了$f$扩展到$Γ$的自同构的充分必要条件，根据$f$的某些特殊的$K$的大小为7的子图的限制。
Chromatic number of ordered graphs with forbidden ordered subgraphs
已知不含给定图H的图有界色数当且仅当H是无圈图。在这里，我们考虑有序图，即，图的顶点集上具有线性序，函数f（H）= sup{chi（G）|G in Forb（H）}其中Forb（H）表示不包含H的副本的所有有序图的集合。如果H包含一个圈，则与无序图的情况一样，f（H）是无穷大。然而，与无序图相反，我们描述了一个具有无限f（H）的有序森林H的无限族。一个有序图是交叉的，如果有两条边uv和u 'v'，且u < u' < v <v'。对于连通的交叉有序图H，我们将确定f（H）是否有限的问题归结为一族所谓的单调交错树。对于非交叉的H，我们证明了f（H）是有限的当且仅当H是非循环的，并且不包含四个或五个顶点上的五个特殊有序森林中的任何一个的副本，我们称之为bonnets。对于这样的森林H，我们证明f（H）<= 2^|V（H）|且f（H）<= 2| V（H）|-3如果H已连接。
Anti-Ramsey theory problems, lattice point counts on polytopes, and Hodge structures on the cohomology of toric varieties
我们发现图族$G$和$G$的子图$H$，使得避免$H$的单色着色的$G$的边着色的数目由格点计数或某一环面簇上同调的Hodge结构决定。一般来说，这给出了一类具有几何结构的“反拉姆齐理论问题”。例如，我们发现一个拉姆齐数类这样的图。关键的观察是，我们以前的结果表示的辅助单纯复形的$h$ -向量的单纯色多项式可以重新解释为一个边染色的图避免单色染色指定的禁用子图。专门单纯复形所产生的三角形的多面体（如单模三角），我们得到家庭的图形和禁止的子图，避免单色着色的禁止的子图的边着色取决于格点计数或霍奇结构上同调的环面品种。
Hypercubes and Isometric Words based on Swap and Mismatch Distance
维数为n的超立方体是这样的图，其顶点是长度为n的2^n个二进制字，如果它们之间的汉明距离为1，则它们之间存在一条边。我们考虑基于交换和不匹配的编辑距离，我们称之为波浪线距离，并定义波浪线超立方体，其边以波浪线距离1连接单词。然后，我们引入并研究了波浪线超立方体的一些等距子图，这些子图是由波浪线等距字得到的。子图只保留避免给定波浪线等距字的顶点作为因子。在字11的情况下，子图被称为波浪线-斐波那契立方体，作为经典斐波那契立方体的推广。波浪线超立方体和波浪线斐波那契立方体可以递归地定义;这同样适用于它们的边数。这允许渐进估计波浪线-斐波那契立方体中的边的数量，与波浪线-超立方体中的总数相比。
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