Locally finite $p$-groups with a left 3-Engel element whose normal closure is not nilpotent
对任何奇素数$p$，我们给出一个局部有限$p$ -群$G$包含一个左3-Engel元$x$的例子，其中$\langle x \rangle^G$不是幂零的.
2020-07-20 math.GR
Engel elements in weakly branch groups
研究了球齐性有根树的自同构群中弱分枝群中Engel元的性质。更确切地说，我们证明了有界左恩格尔元素的集合总是平凡的弱分支群。在分支群的情况下，非平凡的左恩格尔元的存在意味着它们都是$p$ -元，并且对于某个素数$p$，该群实际上是一个$p$ -群（因此是周期的）。我们还证明了弱支群的右Engel元的集合在一个相对较弱的条件下是平凡的。此外，我们将这些结果应用到著名的家庭的弱支群，如多GGS组。
2019-10-16 math.GR
Right 4-Engel elements of a group
证明了群$G$的右4-Engel元的集合是不含2阶、3阶或5阶元的局部幂零群$G$的子群，并且对于$G$的每个右4-Engel元$x$，正规闭包$<x>^G$是至多7类幂零的.
2010-01-23 math.GR
On the right and left 4-Engel elements
本文研究了群的左、右4-Engel元。特别地，当$a$是任意元素，$b^{\pm 1}$是右4-Engel元素或$a^{\pm 1}$是左4-Engel元素，$b$是$G$的任意元素时，证明了$<a, a^b>$是至多4类幂零的.进一步证明了对任意素数$p$和任意有限$p$ -幂阶的元$a$，在群$G$中使得$a^{\pm 1}\in L_4(G)$，$a^4$，如果$p=2$，和$a^p$，如果$p$是奇素数，在$G$的Baer根中.
2009-06-11 math.GR
Left $3$-Engel elements in groups of exponent $60$
令$G$是一个群，令$x\in G$是一个左$3$元素，其阶除$60$。进一步假设$\langle x\rangle^{G}$没有顺序为$8$、$9$和$25$的元素。证明了$x$包含在$G$的局部幂零根中.特别地，一个指数为$60$的群的所有左$3$ -Engel元素都包含在局部幂零根中.
2020-01-17 math.GR
Sandwich groups and (strong) left 3-Engel elements in groups
本文证明了Kostrikin和Zel'manov关于三明治李代数的局部零解定理的一个群论类似定理。引入群G的强左3-Engel元的概念，并证明它们总是在群G的局部幂零根中.这推广了Jabara和Traustason以前的一个结果，该结果表明群G的左3-Engel元a在G的局部幂零根中，只要a是奇数阶。
2023-03-29 math.GR
Profinite groups and centralizers of coprime automorphisms whose elements are Engel
设$q$是素数，$n$是正整数，$A$是阶为$q^r$的初等阿贝尔群，且$r\geq2$作用于有限$q'$ -群$G$ .证明了以下结果。我们证明了如果对于任何$a\in A^\#$，$γ_{r-1}(C_G(a))$中的所有元素都是$n$ -Engel in $G$，那么对于某个$\{n,q,r\}$有界数$k$，$γ_{r-1}(G)$是$k$-Engel，并且如果对于某个整数$d$使得$2^d\leq r-1$，对于任何$a\in A^\#$，$C_G(a)$的$d$ th导出群中的所有元素都是$n$ -Engel in $G$，则$d$次导出群$G^{(d)}$对于某个$\{n,q,r\}$ -有界数$k$是$k$-Engel。假设$r\geq 3$，我们证明如果对于任何$a\in A^\#$，$γ_{r-2}(C_G(a))$中的所有元素都是$n$ -Engel，则对于某个$\{n,q,r\}$有界数$k$，$γ_{r-2}(G)$是$k$ -Engel，并且如果对于某个整数$d$，使得$2^d\leq r-2$，在$C_G(a)$的$d$次导出群中的所有元素是$n$ -Engel在$C_G(a)$中对于任何$a\in A^\#,$，则$d$次导出群$G^{(d)}$是$k$ -Engel对于某些$\{n,q,r\}$ -有界数$k$ .还得到了投射有限群的非定量结果。
2017-07-20 math.GR
When right n-Engel elements of a group form a subgroup?
令$R_n(G)$表示群$G$的所有右$n$ -Engel元素的集合。证明了在任何下中心列第5项不含2阶元的群$G$中，$R_3(G)$是子群.进一步证明了$R_4(G)$是不含2、3或5阶元素的局部幂零群$G$的子群，并且在这种情况下，对于每个$x\in R_4(G)$，正规闭包$<x >^G$至多是7阶幂零群.使用一组构造的纽曼和镍，我们还表明，对于每个$n\geq 5$，存在一个幂零群类$n+2$包含一个右$n$ -恩格尔元素$x$和一个元素$a\in G$，使$[x^{-1},_n a]$和$[x^{k},_n a]$是无限的顺序为所有整数$k\geq 2$。本文的最后一个结论是：（1）对于某个正整数$k$和某个2-幂数$n$，存在一个指数为$n$的无限生成的$k$-Engel群. (2)有一个群是由许多有界左Engel元生成的，它不是Engel群。
2009-06-13 math.GR
On groups with automorphisms whose fixed points are Engel
我们完成了有限和profinite群的研究，承认一个行动的基本阿贝尔群下的中心化的自同构组成的恩格尔元素。特别地，我们证明了以下定理。设$q$是素数，$A$是阶至少为$q^2$的初等交换$q$ -群，它与一个profinite群$G$互素.假设$C_{G}(a)$中的所有元素都是每个$a\in A^{\#}$的$G$中的Engel。则$G$是局部幂零的（定理B2）。设$q$是素数，$n$是正整数，$A$是与有限群$G$互素作用的$q^3$阶初等阿贝尔群.假设对于每个$a\in A^{\#}$，$C_{G}(a)$的每个元素都是$C_{G}(a)$中的$n$ -Engel。则对于某个$\{n,q\}$ -有界数$k$，群$G$是$k$-Engel（定理A3）.
2017-02-09 math.GR
Bounded Engel elements in residually finite groups
设$q$为素数。设$G$是满足一个恒等式的剩余有限群.设对每个$x \in G$，存在一个$q$ -幂$m=m(x)$使得元素$x^m$是有界Engel元素.证明了$G$是局部虚幂零的.此外，设$d,n$为正整数，而$w$为非换位子字。设$G$是一个$d$生成元剩余有限群，其中所有$w$ -值都是$n$-Engel.证明了动词子群$w(G)$具有$\{d,n,w\}$ -有界幂零类.
2018-12-11 math.GR
Finite groups with Engel sinks of bounded rank
对于组$G$的元素$g$，恩格尔宿是子集${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的转发器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。一个~有限群是幂零群当且仅当每个元素都有一个平凡的Engel汇。证明了：若有限群$G$中每个元素都有Engel sink生成秩为~ $r$的子群，则$G$有秩按$r$有界的正规子群$N$，使得$G/N$是幂零的.
2017-07-13 math.GR
Compact groups all elements of which are almost right Engel
我们说一个群$G$的元素$g$是几乎右恩格尔，如果存在一个有限集${\mathscr R}(g)$使得对于每个$x\in G$，所有足够长的分解子$[...[[g,x],x],\dots ,x]$都属于${\mathscr R}(g)$，也就是说，对于每个$x\in G$，存在一个正整数$n(x,g)$使得如果$x$至少重复$n(x,g)$次，则$[...[[g,x],x],\dots ,x]\in {\mathscr R}(g)$。因此，当我们可以选择${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$时，$g$恰好是一个右恩格尔元素。证明了：若紧（Hausdorff）群$G$的所有元素几乎都是右Engel，则$G$有有限正规子群$N$，使得$G/N$局部幂零.如果另外存在对应集合的阶的一致界$|{\mathscr R}(g)|\leq m$，则子群$N$可以被选择为根据$m$有界的阶。证明使用威尔逊-Zelmanov定理说，恩格尔profinite群是局部幂零和以前的结果，作者对紧凑的群体，其中所有的元素几乎离开恩格尔。
2018-07-14 math.GR
Compact groups with countable Engel sinks
组$G$的元素$g$的恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个恩格尔元素，正好当我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$时。）证明了：如果紧（Hausdorff）群$G$的每个元素都有可数（或有限）Engel汇，则$G$有有限正规子群$N$使得$G/N$局部幂零.这解决了J. S.威尔逊
2020-04-14 math.GR
Left 3-Engel Elements in Locally Finite 2-Groups
我们给出了一个无限家庭的例子，推广arXiv：1811.12074中给出的建设的局部有限的2-组$G$包含一个左3-恩格尔元素$x$其中${\langle x \rangle}^G$，正规封闭的$x$在$G$，是不是幂零的。该结构是基于一个家庭的李代数是感兴趣的，在自己的权利，并利用一个经典的定理卢卡斯，关于当$\binom{m}{n}$是甚至。
2021-10-29 math.GR
On finite groups containing an element whose Engel sink is small
University of Lincoln（林肯大学）；University of Brasilia（巴西利亚大学）
本文利用有限简单群分类证明，若有限群G中存在元素g使得G=[G,g]，则G的阶数受g的右Engel sinks和左Engel sinks限制。
2026-09-01 math.GR
Compact groups in which all elements have countable right Engel sinks
本文证明了若紧致群的每个元素具有可数右Engel汇，则该群存在有限正规子群使其商群局部幂零。
2020-04-21 math.GR
Finite groups with a soluble group of coprime automorphisms whose fixed points have bounded Engel sinks
设有限群$G$允许一个互素自同构的可解群$A$。证明了：如果对某个正整数$m$，中心化子$C_G(A )$的每个元素的左Engel汇的基数至多为$m$（或右Engel汇的基数至多为$m$），则$G$有$(|A|,m)$有界指数的子群的Fitting高度至多为$2α(A)+2$，其中$α(A)$是$A$的合成长度.我们还证明了，如果对某个正整数$r$，中心化子$C_G(A )$的每个元素都有秩至多为$r$的左Engel汇（或秩至多为$r$的右Engel汇），则$G$有$(|A|,r)$有界指数的子群，其Fitting高度至多为$4^{α(A)}+4α(A)+3$ .这里，组$G$的元素$g$的左恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的子$[...[[x,g],g],\dots ,g]$属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个左恩格尔元素，正好在我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$的时候。）组$G$的元素$g$的右恩格尔宿是集合${\mathscr R}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[g,x],x],\dots ,x]$属于${\mathscr R}(g)$。(Thus，$g$是一个正确的恩格尔元素，正好当我们可以选择${\mathscr R}(g…
2023-01-29 math.GR
On profinite groups with automorphisms whose fixed points have countable Engel sinks
组$G$的元素$g$的恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个恩格尔元素，正好当我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$时。）证明了：如果一个profinite群$G$对于一个素数$q$，允许一个互质阶自同构的初等交换群$A$，使得对于每个$a\in A\setminus\{1\}$，中心化子$C_G(a)$的每个元素都有一个可数的（或有限的）Engel汇，则$G$有一个有限正规子群$N$，使得$G/N$局部幂零.
2020-06-10 math.GR
Linear groups with almost right Engel elements
设G是一个线性群，使得对G中的每一个g，存在一个有限集R（g），其性质是：对G中的每一个x，所有充分长的算子[g，x，x，..，x]属于R（g）。证明了G是超中心有限的。
2018-01-23 math.GR
Profinite groups with an automorphism whose fixed points are right Engel
如果对于每个$x\in G$都有一个数$n=n(g,x)$使得$[g,{}_{n}x]=1$，则称群$G$的元素$g$是右恩格尔。证明了：如果一个投射有限群$G$存在一个素数阶互素自同构$φ$，使得$φ$的每个不动点都是右Engel元，则$G$是局部幂零的.
2018-08-14 math.GR
Profinite groups with an automorphism of prime order whose fixed points have finite Engel sinks
组$G$的元素$g$的右恩格尔宿是集合${\mathscr R}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[g,x],x],\dots ,x]$都属于${\mathscr R}(g)$。(Thus，$g$是一个正确的恩格尔元素，正好当我们可以选择${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$。）证明了若一个profinite群$G$有一个素数阶互素自同构$φ$，使得$φ$的每个不动点都有一个有限右Engel汇，则$G$有一个开的局部幂零子群.组$G$的元素$g$的左恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个左恩格尔元素，正好在我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$的时候。）证明了：若一个profinite群$G$有一个素数阶互素自同构$φ$，使得$φ$的每个不动点都有一个有限左Engel汇，则$G$有一个开的幂零幂零子群.
2021-01-09 math.GR
On finite groups with an automorphism of prime order whose fixed points have bounded Engel sinks
组$G$的元素$g$的左恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个左恩格尔元素，正好在我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$的时候。）证明了：如果有限群$G$有一个与$|G|$互质的素数阶自同构$φ$，使得对某个正整数$m$，中心化子$C_G(φ)$的每个元素的左Engel汇的基数至多为$m$，则第二Fitting子群$F_2(G)$的指数是有界的.组$G$的元素$g$的右恩格尔宿是集合${\mathscr R}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[g,x],x],\dots ,x]$都属于${\mathscr R}(g)$。(Thus，当我们可以选择${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$时，$g$正是合适的恩格尔元素。）证明了：如果有限群$G$有一个与$|G|$互质的素数阶自同构$φ$，使得对某个正整数$m$，中心化子$C_G(φ)$的每个元素的右Engel势汇至多为$m$，则Fitting子群$F_1(G)$的指数依$m$有界.
2020-10-16 math.GR
Finite and profinite groups with small Engel sinks of p-elements
本文证明有限群和profinite群中p-元素具有有界或有限Engel汇时，存在正规子群使得商群为p'-群，且指数或结构受控。
2025-07-08 math.GR
On finite groups with automorphisms whose fixed points are Engel
本文的主要结果是下面的定理。设$q$是素数，$n$是正整数，$A$是$q^2$阶初等阿贝尔群.设$A$与有限群$G$互质作用，且对每个$a\in A^{\#}$，$C_{G}(a)$的每个元素都是$G$中的$n$ -Engel.则群$G$是$k$-Engel，对于某个$\{n,q\}$ -有界数$k$ .
2016-02-04 math.GR
Engel sinks of fixed points in finite groups
对于组$G$的元素$g$，恩格尔宿是子集$\mathscr{E}(g)$，使得对于每个$ x\in G $，所有足够长的转发器$ [x,g,g,\ldots,g] $都属于$\mathscr{E}(g)$。设$q$是素数，$m$是正整数，$A$是$q^2$阶的初等阿贝尔群，它与有限群$G$互素.证明了如果对$ A$中的每个非平凡元素$a$和每个元素$g\in C_{G}(a)$，最小恩格尔汇$\mathscr{E}(g)$的基数至多为$m$，则$γ_\infty(G)$的阶仅以$m$为界.证明了如果对每个$a\in A\setminus \{1\}$和每个元素$g\in C_{G}(a)$，最小Engel汇$\mathscr{E}(g)$生成秩至多为$m$的子群，则$γ_\infty(G)$的秩仅以$m$和$q$有界.
2018-09-08 math.GR
Notes on Engel groups and Engel elements in groups. Some generalizations
50年代，恩格尔集团和恩格尔分子开始流行。本文研究了更一般的群中的诣零群和诣零元。所有这些概念都与群中的幂零群和幂零根有关。这些概念产生的问题是平行的伯恩赛德问题的周期群。本文的前三个定理是专门针对诣零群和恩格尔群的，而其他结果与进一步的推广有关。这些推广将理论扩展到可解群和群中的可解根。本文分为两部分。第一部分（第2-4节）涉及旧的想法，而第二部分（第5-9节）则致力于概括。
2004-06-06 math.AC math.GR
Centralizer-like Subgroups Associated with the $n$-Engel Words Inside of Direct Product Groups
本文研究直积群中与 $n$-Engel 字相关的类中心化子子群，证明两个群的直积的右 $n$-Engel 元素集合等于各直积因子的右 $n$-Engel 元素集合的直积，并提出后续研究问题。
2021-03-15 math.GR
Engel-like conditions in fixed points of automorphisms of profinite groups
设$q$是素数，$A$是初等交换$q$ -群，它充当一个profinite群$G$上自同构的互素群.我们证明了如果$A$是$q^2$阶的，并且对于任意$a\in A^{\#}$，$C_G(a)$中每个元素的某个幂是Engel in $G$，则$G$是局部虚幂零的.假设$A$是$q^3$阶的，我们证明了：如果对任何$a\in A^{\#}$，$C_G(a)$中每个元素的某个幂在$C_G(a)$中是Engel，则$G$是局部虚幂零的.也得到了有限群的一些定量性质的类似结果。
2019-02-21 math.GR
On groups in which Engel sinks are cyclic
对于组$G$的元素$g$，恩格尔宿是子集$\mathcal{E}(g)$，使得对于每个$ x\in G $，所有足够长的转发器$ [x,g,g,\ldots,g] $都属于$\mathcal{E}(g)$。我们猜想，如果$G$是一个投射有限群，其中每个元素都有一个原循环子群，那么$G$是局部幂零的.我们在两种情况下证明了该猜想--当$G$是有限群或可解亲$p$群时。
2019-05-17 math.GR
Engel groups with an identity
对满足恒等式的剩余有限恩格尔群是否局部幂零的问题给出了肯定的回答。更一般地，对于具有单位元的剩余有限群G，我们证明了G的右Engel元的集合包含在G的Hirsch-Plotkin根中.给定任意一个字w，我们还证明了所有群G的类是一个簇，其中w-值是右n-Engel且w（G）是局部幂零的。
2018-05-31 math.GR
Iterated identities and iterational depth of groups
给定$n$字母上的单词，我们研究满足“迭代恒等式”$w$的群，这意味着对于所有$x_1, \dots, x_n$，存在$m$，使得$m$-恩格尔型$w$的迭代，应用于$x_1, \dots, x_n$，等于恒等式。我们定义了有界群和关于恒等式是分形的群。这种分形的概念可以被看作是一组恒等式的自相似条件，由一个组满足。与挠群和恩格尔群相反，关于恒等式是分形的群出现在非线性生成的基本顺从群中。我们证明了任何多环，以及任何亚阿贝尔群是有界的，我们计算各种圈积的迭代深度。我们研究了一个给定的群所满足的迭代恒等式的集合，它不一定是自由群的子群，也不一定是共轭不变的，与通常的恒等式相反。最后，我们讨论了另一个概念的迭代身份的群体，我们称之为可解型迭代身份，其关系到基本类的品种的群体。
2014-09-21 math.GR
An automaton group with undecidable order and Engel problems
对于每一个图灵机，我们构造一个自动机群来模拟它。准确地说，从图灵机的初始配置开始，我们显式地构造群的一个元素，使得当且仅当这个元素是有穷级的时，图灵机停止。如果图灵机是通用的，则相应的自动机群具有不可判定的阶问题。这解决了Grigorchuk提出的一个问题。上面的群也有一个不可判定的恩格尔问题：没有算法，给定g，h在群中，决定是否存在一个整数n，使得n-迭代交换子[. [[g，h]，h]，...，h]$是身份或不是。这解决了Bartholdi提出的一个问题。
2017-11-29 math.GR
On finite groups in which commutators are covered by Engel subgroups
设$m,n$为正整数，$w$为多线性换位子字.假设$G$是一个有限群，它有子群$G_1,\ldots,G_m$，子群的并集包含$G$中的所有$w$ -值。进一步假设子组$G_1,\ldots,G_m$的所有元素是$G$中的$n$ -Engel。证明了对于某些$\{m,n,w\}$ -有界数$s$，动词子群$w(G)$是$s$ -Engel.
2019-01-03 math.GR
Algorithmic decidability of Engel's property for automaton groups
我们认为可判定性问题与恩格尔的身份（$[\cdots[[x,y],y],\dots,y]=1$足够长的换向器序列）在由自动机产生的群体。我们给出了一个部分算法，决定，给定$x,y$，恩格尔恒等式是否满足。重要的是，它成功地证明了Grigorchuk的$2$ -群不是Engel。接下来，我们考虑识别恩格尔元素，即元素$y$，使得映射$x\mapsto[x,y]$吸引到$\{1\}$的问题。虽然这个问题似乎棘手的一般情况下，我们证明，它是可判定的Grigorchuk的组：恩格尔元素正是那些为了最多$2$。我们的计算是使用计算机代数系统GAP中的FR包实现的。
2015-12-06 cs.FL math.GR
On profinite groups with Engel-like conditions
设$G$是一个投射有限群，其中对于每个元素$x\in G$，存在一个自然数$q=q(x)$使得$x^q$是Engel.证明了$G$是局部虚幂零的.进一步，设$p$是素数，$G$是一个素数生成的投射有限群，其中对于每个$γ_k$ -值$x\in G$，存在一个自然的$p$ -幂$q=q(x)$，使得$x^q$是Engel.证明了$γ_k(G)$是局部虚幂零的.
2015-01-22 math.GR
The Engel graph of a finite group
对于有限群$G,$，我们研究了顶点为$G$的非超中心元的有向图$Γ(G),$，其中有边$x\mapsto y$当且仅当$[x,_ny]=1$对于某些$n \in \mathbb N.$，我们证明了当$G/Z_{\infty}(G)$既不是Frobenius也不是几乎单的时，$Γ(G)$总是弱连通和强连通的.
2022-02-28 math.GR
On residually finite groups with Engel-like conditions
设$m,n$为正整数。设$G$是一个剩余有限群，其中对于每个元素$x \in G$，存在一个正整数$q=q(x) \leqslant m$，使得$x^q$是$n$ -Engel.证明了$G$是局部虚幂零的.进一步，设$w$是多线性交换子，$G$是剩余有限群，其中对于至多$896$ $w$ -值$x$的每个乘积，存在正整数$q=q(x)$除以$m$，使得$x^q$是$n$ -Engel。则$w(G)$是局部虚幂零的.
2015-05-17 math.GR
On finitely generated Engel branch groups
本文构造了有限生成的Engel分支群，回答了相关存在性问题，并提供了继Golod之后第二类有限生成非幂零Engel群的例子，方法基于根树作用与词长快速收缩。
2023-11-13 math.GR
Engel-like characterization of radicals in finite dimensional Lie algebras and finite groups
R. Baer将有限群G的幂零根描述为所有恩格尔元素的集合，即G中的元素y使得对于G中的任何x，第n个交换子[x，y，.，y]等于1，因为n足够大。我们得到了定义在特征为零的域上的有限维李代数的可解根的一个特征。我们提出了一个将有限群的可解根描述为Engel-like元的集合的猜想，并将这个猜想推广到有限单群的情形。
2004-11-21 math.GR math.RA
Right Engel-type subgroups and length parameters of finite groups
设$g$是有限群$G$的一个元素，$R_{n}(g)$是由$x\in G$上所有右Engel值$[g,{}_{n}x]$生成的子群.在$G$是可溶的情况下，我们证明，如果对于某些$n$，$R_{n}(g)$的拟合高度等于$k$，则$g$属于$(k+1)$第拟合子群$F_{k+1}(G)$。对于不可解的$G$，证明了如果对某些$n$，$R_n(g)$的广义Fitting高度等于$k$，则$g$属于广义Fitting子群$F^*_{f(k,m)}(G)$，其中$f(k,m)$仅依赖于$k$和$m$，其中$|g|$是$m$素数计数重数的乘积.本文还证明了，如果对某些$n$，$R_n(g)$的不可解长度等于$k$，则$g$属于正规子群，其不可解长度依$k$和$m$有界.贝尔定理（即有限群的恩格尔元属于Fitting子群）的早期类似推广是由前两位作者根据左恩格尔型子群得到的。
2018-07-26 math.GR
Compact groups in which commutators have finite right Engel sinks
该群论研究证明，满足k重换位子均有有限右Engel沉的紧群存在局部幂零开子群，且当右Engel沉基数不超过m时，该子群的有限指数仅由m界定。
2024-10-08 math.GR
The Engel graph of almost simple groups
给定一个有限群$G$，$G$的恩格尔图是一个有向图，它对满足某个恩格尔字的元素对进行编码.从Detomi，Lucchini和Nemmi的工作出发，将任意群$G$的Engel图的强连通性归结为对非交换单群的Engel图的强连通性的理解.本文研究了有限非交换单群的Engel图的强连通性。
2022-05-30 math.CO math.GR
On the strong connectivity of the 2-Engel graphs of almost simple groups
本文针对几乎单群的2-Engel图，细化Lucchini等人关于其强连通性的已有分析结果。
2023-04-19 math.CO math.GR
Almost Engel finite and profinite groups
令$g$是群$G$的元素。对于正整数$n$，令$E_n(g)$是由$x\in G$上的所有迭代器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$生成的子群，其中$g$重复$n$次。证明了：若$G$是一个profinite群，使得对每个$g\in G$，存在$n=n(g)$，使得$E_n(g)$是有限的，则$G$有一个有限正规子群$N$，使得$G/N$是局部幂零的.证明使用威尔逊-Zelmanov定理说，恩格尔投射有限群是局部幂零的。在有限群$G$的情形下，证明了：如果对某些$n$，对所有$g\in G$都有$|E_n(g)|\leq m$，则幂零剩余$γ_{\infty}(G)$的阶在$m$中是有界的.
2016-05-31 math.GR
Orderable groups with Engel-like conditions
设x是群G中的元素。对于正整数n，设E_n（x）是由所有分解子[. [[y，x]，x]，...，x]在G中的y上，其中x重复n次。最近的一些结果表明，具有小子群E_n（x）的群的某些性质与Engel群的性质接近。本文研究了一类可序群，其中对某些n，子群E_n（x）是循环的.设h，n是正整数，G是一个可序群，其中E_n（x）是多环的，且对G中的每一个x，其Hirsch长度不超过h.证明了存在（h，n）-有界数h* 和c* 使得G有一个n-生成正规幂零子群N，且h（N）<h*，类G/N幂零至多c*.
2017-07-19 math.GR
On the diameter of Engel graphs
本文研究有限群 Engel 有向图在强连通情形下的直径，并给出一个不依赖具体群的绝对上界。
2023-11-08 math.CO math.GR
Engel graph associated with a group
设$G$是一个非Engel群，$L(G)$是$G$的所有左Engel元素的集合。将$G$与图$\mathcal{E}_G$关联如下：取$G\backslash L(G)$作为$\mathcal{E}_G$的顶点，并连接两个不同的顶点$x$和$y$，只要$[x,_k y]\not=1$和$[y,_k x]\not=1$对所有正整数$k$。我们称之为$\mathcal{E}_G$，即$G$的恩格尔图。本文研究了$\mathcal{E}_G$的图论性质。
2007-08-16 math.CO math.GR
5-Engel Lie algebras II
本文研究了5-Engel Lie algebra中由元素生成的理想，证明了特征$p>3$时该理想幂零并给出最佳幂零类界限，指出特征2和3时不一定幂零。
2024-10-15 math.GR math.RA
Decidability problems in automaton semigroups
我们考虑自相似半群的可判定性问题，特别是在$X^*$的自动变换半群。我们描述的算法回答的字问题，并限制其复杂性下的一些额外的假设。我们给出了一个部分算法，决定在一个自动机，给定$x,y$，是否恩格尔身份（$[\cdots[[x,y],y],\dots,y]=1$足够长的换向器序列）所产生的一组是满意的。这个算法成功地证明了Grigorchuk的$2$ -群不是Engel群。接下来，我们考虑识别恩格尔元素，即元素$y$，使得映射$x\mapsto[x,y]$吸引到$\{1\}$的问题。虽然这个问题似乎棘手的一般情况下，我们证明，它是可判定的Grigorchuk的组：恩格尔元素正是那些为了最多$2$。我们在正文中包括了大量的未决问题。我们的计算是使用计算机代数系统“Gap”中的软件包“Fr”实现的。
2017-05-11 cs.LO math.GR
Nil-automorphisms of groups with residual properties
根据Plotkin，我们说群$G$的自同构$x$是一个零自同构，如果对于每个$g\in G$，存在$n=n(g)$使得$[g,_n x]=1$。如果整数$n$可以独立于$g$来选择，则称$x$是幂单的。零自同构和幂单自同构可以看作Engel元概念的自然扩张，因为零自同构$x$就是$G < x >$中的左Engel元.本文研究了具有剩余性质的群即局部分次群、剩余有限群和投射有限群的诣零自同构。我们证明的第一个结果是：局部分次群的诣零自同构的有限群必为幂零群。接下来，我们把注意力转向剩余有限群和投射有限群的幂单自同构群。我们表明，这样的群体是局部幂零的，作为一个副产品，我们获得了一个著名的威尔逊定理的替代证明关于n-恩格尔剩余有限群。
2012-05-22 math.GR
n-quasi-isotopy: III. Engel conditions
在第一部分中，我们证明了对于每个k>0，广义Sato-Levine不变量检测到链路的k-拟合痕与其基本群的最细商G_k的保持同构的外围结构之间的间隙，在k-拟合痕下是“函”不变的。在这里，我们证明了Cochran导出的不变量β^k（假设k>2）和一系列\bar μ-不变量（从\bar μ（111112122）（k=3）开始）也落在这个间隙中。事实上，所有的\bar μ-不变量，其中每个索引最多出现k+1次，除了可能出现k+2次之外，都可以从G_k中提取出来，如果它们消失，G_k就与未链接的G_k相同。我们还研究了由环境合痕生成的链环（称为“精细k-拟合痕”）上的等价关系以及第（k+1）个Milnor链环的第二个分量的内连通和的运算，其中第一个分量的补嵌入链环补中.本文证明了在细k-拟合痕下函子不变的基本群的最细商是由基本群通过强迫所有子午线为（k+2）-Engel元得到的.证明了由两个3-Engel元生成的群都有长度<6的下中心序列.
2003-08-15 math.GR math.GT
Surjectivity of Engel Words on $\mathrm{SL}_2(\mathcal{O})$ and $\mathrm{PSL}_2(\mathcal{O}_2)$
Indian Institute of Science Education and Research Pune（印度科学教育研究所浦那分校）
研究局部环上SL_2和PSL_2群的Engel词映射，证明在剩余域特征≠2且q足够大时，SL_2(k)的非标量元提升在SL_2(O)的m次Engel词像中，且所有Engel词映射在PSL_2(O_2)上满射，推广了域上的结果。
2026-06-18 math.GR math.RA
Engel-type subgroups and length parameters of finite groups
设$g$是有限群$G$的元素。对于正整数$n$，令$E_n(g)$为$x\in G$上所有迭代器$[...[[x,g],g],\dots,g]$生成的子群，其中$g$重复$n$次。根据Baer定理，如果$E_n(g)=1$，则$g$属于Fitting子群$F(G)$。我们推广这个定理的$E_n(g)$的某些长度参数。对于可解的$G$，证明了如果对某些$n$，$E_n(g)$的Fitting高度等于$k$，则$g$属于$(k+1)$的第th Fitting子群$F_{k+1}(G)$ .对于不溶性$G$，结果是根据不溶性长度和广义拟合高度。有限群$H$的广义Fitting高度$h^*(H)$是使得$F^*_h(H)=H$的最小数$h$，其中$F^*_0(H)=1$和$F^*_{i+1}(H)$是广义Fitting子群$F^*(H/F^*_{i}(H))$的逆像。令$m$为$|g|$计数多重性的素因子的数目。本文证明了：对于某些$n$，若$E_n(g)$的广义拟合高度等于$k$，则$g$属于$F^*_{f(k,m)}(G)$，其中$f(k,m)$仅依赖于$k$和$m$ .有限群$H$的不可解长度$λ(H)$定义为正规级数中不可解因子的最小数目，其中每个因子都是可解的或者是非交换单群的直积。证明了：若$λ(E_n(g))=k$，则$g$属于正规子群，其不可解长度依$k$和$m$有界.我们…
2017-12-06 math.GR
A generalization of a question asked by B. H. Neumann
令$w \in F_2$是一个字，令$m$和$n$是两个正整数。我们说一个有限群$G$具有$w_{m,n}$ -性质，如果然而，选择一个群的$m$元素的集合$M$和一个群的$n$元素的集合$N$，存在至少一个$x \in M$元素和至少一个$y \in M$元素，使得$w(x,y)=1.$假设存在一个常数$γ< 1$，使得每当$w$不是有限群$X$中的恒等式时，然后概率$w(x_1,x_2)=1$在$X$中至多是$γ.$如果$m\leq n$和$G$满足$w_{m,n}$ -性质，那么或者$w$是$G$中的恒等式或者$|G|$根据$γ, m$和$n$有界。我们把这个结果应用于2-恩格尔词。
2022-01-28 math.GR
