Finite and profinite groups with small Engel sinks of p-elements
本文证明有限群和profinite群中p-元素具有有界或有限Engel汇时，存在正规子群使得商群为p'-群，且指数或结构受控。
2025-07-08 math.GR
Profinite groups and centralizers of coprime automorphisms whose elements are Engel
设$q$是素数，$n$是正整数，$A$是阶为$q^r$的初等阿贝尔群，且$r\geq2$作用于有限$q'$ -群$G$ .证明了以下结果。我们证明了如果对于任何$a\in A^\#$，$γ_{r-1}(C_G(a))$中的所有元素都是$n$ -Engel in $G$，那么对于某个$\{n,q,r\}$有界数$k$，$γ_{r-1}(G)$是$k$-Engel，并且如果对于某个整数$d$使得$2^d\leq r-1$，对于任何$a\in A^\#$，$C_G(a)$的$d$ th导出群中的所有元素都是$n$ -Engel in $G$，则$d$次导出群$G^{(d)}$对于某个$\{n,q,r\}$ -有界数$k$是$k$-Engel。假设$r\geq 3$，我们证明如果对于任何$a\in A^\#$，$γ_{r-2}(C_G(a))$中的所有元素都是$n$ -Engel，则对于某个$\{n,q,r\}$有界数$k$，$γ_{r-2}(G)$是$k$ -Engel，并且如果对于某个整数$d$，使得$2^d\leq r-2$，在$C_G(a)$的$d$次导出群中的所有元素是$n$ -Engel在$C_G(a)$中对于任何$a\in A^\#,$，则$d$次导出群$G^{(d)}$是$k$ -Engel对于某些$\{n,q,r\}$ -有界数$k$ .还得到了投射有限群的非定量结果。
2017-07-20 math.GR
Finite groups with Engel sinks of bounded rank
对于组$G$的元素$g$，恩格尔宿是子集${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的转发器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。一个~有限群是幂零群当且仅当每个元素都有一个平凡的Engel汇。证明了：若有限群$G$中每个元素都有Engel sink生成秩为~ $r$的子群，则$G$有秩按$r$有界的正规子群$N$，使得$G/N$是幂零的.
2017-07-13 math.GR
Compact groups with countable Engel sinks
组$G$的元素$g$的恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个恩格尔元素，正好当我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$时。）证明了：如果紧（Hausdorff）群$G$的每个元素都有可数（或有限）Engel汇，则$G$有有限正规子群$N$使得$G/N$局部幂零.这解决了J. S.威尔逊
2020-04-14 math.GR
On groups in which Engel sinks are cyclic
对于组$G$的元素$g$，恩格尔宿是子集$\mathcal{E}(g)$，使得对于每个$ x\in G $，所有足够长的转发器$ [x,g,g,\ldots,g] $都属于$\mathcal{E}(g)$。我们猜想，如果$G$是一个投射有限群，其中每个元素都有一个原循环子群，那么$G$是局部幂零的.我们在两种情况下证明了该猜想--当$G$是有限群或可解亲$p$群时。
2019-05-17 math.GR
Finite groups with a soluble group of coprime automorphisms whose fixed points have bounded Engel sinks
设有限群$G$允许一个互素自同构的可解群$A$。证明了：如果对某个正整数$m$，中心化子$C_G(A )$的每个元素的左Engel汇的基数至多为$m$（或右Engel汇的基数至多为$m$），则$G$有$(|A|,m)$有界指数的子群的Fitting高度至多为$2α(A)+2$，其中$α(A)$是$A$的合成长度.我们还证明了，如果对某个正整数$r$，中心化子$C_G(A )$的每个元素都有秩至多为$r$的左Engel汇（或秩至多为$r$的右Engel汇），则$G$有$(|A|,r)$有界指数的子群，其Fitting高度至多为$4^{α(A)}+4α(A)+3$ .这里，组$G$的元素$g$的左恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的子$[...[[x,g],g],\dots ,g]$属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个左恩格尔元素，正好在我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$的时候。）组$G$的元素$g$的右恩格尔宿是集合${\mathscr R}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[g,x],x],\dots ,x]$属于${\mathscr R}(g)$。(Thus，$g$是一个正确的恩格尔元素，正好当我们可以选择${\mathscr R}(g…
2023-01-29 math.GR
On finite groups containing an element whose Engel sink is small
University of Lincoln（林肯大学）；University of Brasilia（巴西利亚大学）
本文利用有限简单群分类证明，若有限群G中存在元素g使得G=[G,g]，则G的阶数受g的右Engel sinks和左Engel sinks限制。
2026-09-01 math.GR
Compact groups in which commutators have finite right Engel sinks
该群论研究证明，满足k重换位子均有有限右Engel沉的紧群存在局部幂零开子群，且当右Engel沉基数不超过m时，该子群的有限指数仅由m界定。
2024-10-08 math.GR
On finite groups with an automorphism of prime order whose fixed points have bounded Engel sinks
组$G$的元素$g$的左恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个左恩格尔元素，正好在我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$的时候。）证明了：如果有限群$G$有一个与$|G|$互质的素数阶自同构$φ$，使得对某个正整数$m$，中心化子$C_G(φ)$的每个元素的左Engel汇的基数至多为$m$，则第二Fitting子群$F_2(G)$的指数是有界的.组$G$的元素$g$的右恩格尔宿是集合${\mathscr R}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[g,x],x],\dots ,x]$都属于${\mathscr R}(g)$。(Thus，当我们可以选择${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$时，$g$正是合适的恩格尔元素。）证明了：如果有限群$G$有一个与$|G|$互质的素数阶自同构$φ$，使得对某个正整数$m$，中心化子$C_G(φ)$的每个元素的右Engel势汇至多为$m$，则Fitting子群$F_1(G)$的指数依$m$有界.
2020-10-16 math.GR
Engel sinks of fixed points in finite groups
对于组$G$的元素$g$，恩格尔宿是子集$\mathscr{E}(g)$，使得对于每个$ x\in G $，所有足够长的转发器$ [x,g,g,\ldots,g] $都属于$\mathscr{E}(g)$。设$q$是素数，$m$是正整数，$A$是$q^2$阶的初等阿贝尔群，它与有限群$G$互素.证明了如果对$ A$中的每个非平凡元素$a$和每个元素$g\in C_{G}(a)$，最小恩格尔汇$\mathscr{E}(g)$的基数至多为$m$，则$γ_\infty(G)$的阶仅以$m$为界.证明了如果对每个$a\in A\setminus \{1\}$和每个元素$g\in C_{G}(a)$，最小Engel汇$\mathscr{E}(g)$生成秩至多为$m$的子群，则$γ_\infty(G)$的秩仅以$m$和$q$有界.
2018-09-08 math.GR
Compact groups in which all elements have countable right Engel sinks
本文证明了若紧致群的每个元素具有可数右Engel汇，则该群存在有限正规子群使其商群局部幂零。
2020-04-21 math.GR
On groups with automorphisms whose fixed points are Engel
我们完成了有限和profinite群的研究，承认一个行动的基本阿贝尔群下的中心化的自同构组成的恩格尔元素。特别地，我们证明了以下定理。设$q$是素数，$A$是阶至少为$q^2$的初等交换$q$ -群，它与一个profinite群$G$互素.假设$C_{G}(a)$中的所有元素都是每个$a\in A^{\#}$的$G$中的Engel。则$G$是局部幂零的（定理B2）。设$q$是素数，$n$是正整数，$A$是与有限群$G$互素作用的$q^3$阶初等阿贝尔群.假设对于每个$a\in A^{\#}$，$C_{G}(a)$的每个元素都是$C_{G}(a)$中的$n$ -Engel。则对于某个$\{n,q\}$ -有界数$k$，群$G$是$k$-Engel（定理A3）.
2017-02-09 math.GR
Nil-automorphisms of groups with residual properties
根据Plotkin，我们说群$G$的自同构$x$是一个零自同构，如果对于每个$g\in G$，存在$n=n(g)$使得$[g,_n x]=1$。如果整数$n$可以独立于$g$来选择，则称$x$是幂单的。零自同构和幂单自同构可以看作Engel元概念的自然扩张，因为零自同构$x$就是$G < x >$中的左Engel元.本文研究了具有剩余性质的群即局部分次群、剩余有限群和投射有限群的诣零自同构。我们证明的第一个结果是：局部分次群的诣零自同构的有限群必为幂零群。接下来，我们把注意力转向剩余有限群和投射有限群的幂单自同构群。我们表明，这样的群体是局部幂零的，作为一个副产品，我们获得了一个著名的威尔逊定理的替代证明关于n-恩格尔剩余有限群。
2012-05-22 math.GR
Almost Engel compact groups
我们说一个群$G$几乎是Engel，如果对于每个$g\in G$，存在一个有限集${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的分解子$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$，也就是说，对于每个$x\in G$，存在一个正整数$n(x,g)$，使得如果$g$至少重复$n(x,g)$次，则$[...[[x,g],g],\dots ,g]\in {\mathscr E}(g)$。(Thus，恩格尔群正好是几乎恩格尔群，我们可以为所有$g\in G$选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$。）证明了：若紧（Hausdorff）群$G$几乎Engel，则$G$有有限正规子群$N$使得$G/N$局部幂零.如果另外存在对应集合的阶的一致界$|{\mathscr E}(g)|\leq m$，则子群$N$可以被选择为根据$m$有界的阶。证明使用威尔逊-Zelmanov定理说，恩格尔profinite群是局部幂零的。
2017-05-12 math.GR
Compact groups all elements of which are almost right Engel
我们说一个群$G$的元素$g$是几乎右恩格尔，如果存在一个有限集${\mathscr R}(g)$使得对于每个$x\in G$，所有足够长的分解子$[...[[g,x],x],\dots ,x]$都属于${\mathscr R}(g)$，也就是说，对于每个$x\in G$，存在一个正整数$n(x,g)$使得如果$x$至少重复$n(x,g)$次，则$[...[[g,x],x],\dots ,x]\in {\mathscr R}(g)$。因此，当我们可以选择${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$时，$g$恰好是一个右恩格尔元素。证明了：若紧（Hausdorff）群$G$的所有元素几乎都是右Engel，则$G$有有限正规子群$N$，使得$G/N$局部幂零.如果另外存在对应集合的阶的一致界$|{\mathscr R}(g)|\leq m$，则子群$N$可以被选择为根据$m$有界的阶。证明使用威尔逊-Zelmanov定理说，恩格尔profinite群是局部幂零和以前的结果，作者对紧凑的群体，其中所有的元素几乎离开恩格尔。
2018-07-14 math.GR
Engel probability in wreath products of $p$-groups
Euskal Herriko Unibertsitatea（巴斯克大学）；Università degli Studi di Milano-Bicocca（米兰比可卡大学）；Università degli Studi di Firenze（佛罗伦萨大学）
研究群\(W_k=(C_p\wr C_{p^k})^2\)中方程\(e_n(x,y)=g\)解的数量上下界，得出推论，证明了关于\(W_k\)中 Engel 字的更强猜想，表明其在特定有限群中不是概率恒等式，并构造相关闭子集。
2026-07-14 math.GR
Strong conciseness in profinite groups
在投射有限群的类$\mathcal{C}$中，一个群词$w$被称为强简洁的，如果对于$\mathcal{C}$中的每个群$G$，使得$w$在$G$中取小于$2^{\aleph_0}$的值，动词子群$w(G)$是有限的。Detomi，Morigi和Shumyatsky建立了多线性换位子词--以及特定的词$x^2$和$[x^2,y]$ --具有这样的性质，即当词在$G$中取至多可数个值时，相应的动词子群在profinite群$G$中是有限的。他们强调，事实上，这对每个单词都应该是正确的。特别是，他们的猜想包括作为开放的情况下，权力的话和恩格尔的话。在本文中，我们采取了一种新的方法，通过参数化的话，导致更强的结果。首先证明了多线性交换子字在所有投射有限群类中是强简洁的。证明了在幂零投射有限群类中，每个群字都是强简洁的。由此我们可以推出，例如，如果$w$是组词$x^2$、$x^3$、$x^6$、$[x^3,y]$或$[x,y,y]$之一，则$w$在所有投射有限群的类中是强简洁的。事实上，对于无限族$[x^m,z_1,\ldots,z_r]$和$[x,y,y,z_1,\ldots,z_r]$的所有字都可以得到相同的结论，其中$m \in \{2,3\}$和$r \ge 1$。
2020-03-25 math.GR
Engel-like Identities Characterizing Finite Solvable Groups
本文用二元恒等式刻划了有限可解群类，其刻划方法类似于用Engel恒等式刻划有限幂零群.更确切地说，如果组$G$中的$u_k\equiv 1$对于所有$m>k$都意味着组$G$中的$u_m\equiv 1$，则单词序列$u_1,...,u_n,... $被称为正确的。我们正在寻找一个明确的正确序列的话$u_1(x,y),...,u_n(x,y),...$，使一个组$G$是可解的，当且仅当某些$n$的字$u_n$是一个身份在$G$。设$u_1=x^{-2}y\min x$和$u_{n+1} = [xu_nx\min,yu_ny\min]$。主要结果表明：有限群$G$是可解的当且仅当对某些$n$，恒等式$u_n(x,y)\equiv 1$在$G$中成立.在profinite群的语言，这一结果意味着prosolvable群的provariety是由一个单一的显式proidentity在两个变量。主要定理的证明依赖于J.Thompson的最小不可解单群列表的简化，依赖于算术几何的广泛使用（Lang - Weil边界，Deligne机器，Betti数的估计等）。以及计算机代数和几何（奇异、MAGMA）。
2003-03-13 math.GR
Compact groups with many elements of bounded order
Lévai和Pyber提出了以下猜想：设$G$是一个投射有限群，使得方程$x^n=1$的解集具有正Haar测度。然后$G$有一个开子群$H$和一个元素$t$，使得陪集$tH$的所有元素都有顺序划分$n$（参见[The Kourovka Notebook，No. 19，2019]的问题14.53）。该猜想的有效性已在[Arch. Math.（Basel）75（2000）1-7]中对$n=2$得到证明。在这里，我们研究的猜想，紧群$G$不一定profinite和$n=3$，我们表明，在后一种情况下，该集团$G$包含一个开放的正常$2$ -恩格尔子群。
2020-01-17 math.GN math.GR
