Engel Elements in Groups
Alireza Abdollahi
我们给出了一个调查结果的结构，左，右恩格尔元素的一组。我们也提出了一些新的结果在这个主题。
We give a survey of results on the structure of right and left Engel elements of a group. We also present some new results in this topic.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Engel elements in generalized FC-groups
我们推广到FC*，即[F. de Giovanni，A. Russo，G. J. 28（2002），241-254]，Baer关于Engel元素的一个结果。更精确地说，我们证明了FC*-群G的左Engel元和有界左Engel元的集合与Fitting子群重合，而G的右Engel元和有界右Engel元的集合是子群，并且前者与超中心重合.我们还给出了一个FC*-群的例子，其中右Engel元的集合适当地包含有界右Engel元的集合。
A note on Engel elements in the first Grigorchuk group
设$Γ$是第一个Grigorchuk群。根据Bartholdi的一个结果，$Γ$的唯一左Engel元是对合.这意味着$Γ$的左恩格尔元素的集合不是子群。特别感兴趣的是想知道这是否也发生在$Γ$的有界左恩格尔元素、右恩格尔元素和有界右恩格尔元素的集合上。受此启发，我们证明了$Γ$的这三个子集与单位子群重合。
Left $3$-Engel elements in groups: A survey
该论文为一篇综述类研究，聚焦群论领域中的左3-Engel元相关内容，对该方向的研究情况进行了梳理总结。
A left $3$-Engel element whose normal closure is not nilpotent
给出了一个局部幂零群$G$包含一个左$3$ -Engel元$x$的例子，其中$\langle x\rangle^{G}$不是幂零的.
Left 3-Engel elements in groups
本文研究了群中的左3-恩格尔元。特别地，我们证明了对于群$G$中的任意素数$p$和任意有限$p$ -幂阶的左3-Engel元$x$，$x^p$在$G$的Baer根中.证明了对于群$G$中的每两个左3-Engel元，$<x,y>$是4类幂零的.
Locally finite $p$-groups with a left 3-Engel element whose normal closure is not nilpotent
对任何奇素数$p$，我们给出一个局部有限$p$ -群$G$包含一个左3-Engel元$x$的例子，其中$\langle x \rangle^G$不是幂零的.
Engel elements in weakly branch groups
研究了球齐性有根树的自同构群中弱分枝群中Engel元的性质。更确切地说，我们证明了有界左恩格尔元素的集合总是平凡的弱分支群。在分支群的情况下，非平凡的左恩格尔元的存在意味着它们都是$p$ -元，并且对于某个素数$p$，该群实际上是一个$p$ -群（因此是周期的）。我们还证明了弱支群的右Engel元的集合在一个相对较弱的条件下是平凡的。此外，我们将这些结果应用到著名的家庭的弱支群，如多GGS组。
Right 4-Engel elements of a group
证明了群$G$的右4-Engel元的集合是不含2阶、3阶或5阶元的局部幂零群$G$的子群，并且对于$G$的每个右4-Engel元$x$，正规闭包$<x>^G$是至多7类幂零的.
Powerful 3-Engel groups
本文研究了幂3-Engel群。特别地，我们发现了幂零3-Engel群类和幂亚交换3-Engel群子类的精确上界.
On the right and left 4-Engel elements
本文研究了群的左、右4-Engel元。特别地，当$a$是任意元素，$b^{\pm 1}$是右4-Engel元素或$a^{\pm 1}$是左4-Engel元素，$b$是$G$的任意元素时，证明了$<a, a^b>$是至多4类幂零的.进一步证明了对任意素数$p$和任意有限$p$ -幂阶的元$a$，在群$G$中使得$a^{\pm 1}\in L_4(G)$，$a^4$，如果$p=2$，和$a^p$，如果$p$是奇素数，在$G$的Baer根中.
Left $3$-Engel elements in groups of exponent $60$
令$G$是一个群，令$x\in G$是一个左$3$元素，其阶除$60$。进一步假设$\langle x\rangle^{G}$没有顺序为$8$、$9$和$25$的元素。证明了$x$包含在$G$的局部幂零根中.特别地，一个指数为$60$的群的所有左$3$ -Engel元素都包含在局部幂零根中.
Sandwich groups and (strong) left 3-Engel elements in groups
本文证明了Kostrikin和Zel'manov关于三明治李代数的局部零解定理的一个群论类似定理。引入群G的强左3-Engel元的概念，并证明它们总是在群G的局部幂零根中.这推广了Jabara和Traustason以前的一个结果，该结果表明群G的左3-Engel元a在G的局部幂零根中，只要a是奇数阶。
Profinite groups and centralizers of coprime automorphisms whose elements are Engel
设$q$是素数，$n$是正整数，$A$是阶为$q^r$的初等阿贝尔群，且$r\geq2$作用于有限$q'$ -群$G$ .证明了以下结果。我们证明了如果对于任何$a\in A^\#$，$γ_{r-1}(C_G(a))$中的所有元素都是$n$ -Engel in $G$，那么对于某个$\{n,q,r\}$有界数$k$，$γ_{r-1}(G)$是$k$-Engel，并且如果对于某个整数$d$使得$2^d\leq r-1$，对于任何$a\in A^\#$，$C_G(a)$的$d$ th导出群中的所有元素都是$n$ -Engel in $G$，则$d$次导出群$G^{(d)}$对于某个$\{n,q,r\}$ -有界数$k$是$k$-Engel。假设$r\geq 3$，我们证明如果对于任何$a\in A^\#$，$γ_{r-2}(C_G(a))$中的所有元素都是$n$ -Engel，则对于某个$\{n,q,r\}$有界数$k$，$γ_{r-2}(G)$是$k$ -Engel，并且如果对于某个整数$d$，使得$2^d\leq r-2$，在$C_G(a)$的$d$次导出群中的所有元素是$n$ -Engel在$C_G(a)$中对于任何$a\in A^\#,$，则$d$次导出群$G^{(d)}$是$k$ -Engel对于某些$\{n,q,r\}$ -有界数$k$ .还得到了投射有限群的非定量结果。
Almost Engel linear groups
证明了若线性群$G$几乎Engel，则$G$是超中心有限群.如果$G$几乎为零，则$G$是幂零有限的。
Lie methods for countably categorical Engel groups: the Wilson conjecture for 4-Engel 5-groups
该研究运用李方法，结合计算机代数系统，证明了可数范畴的3-Engel群、4-Engel 5-群等满足Wilson猜想相关结论，还探讨了三类代数结构间幂零性结果的转移。
When right n-Engel elements of a group form a subgroup?
令$R_n(G)$表示群$G$的所有右$n$ -Engel元素的集合。证明了在任何下中心列第5项不含2阶元的群$G$中，$R_3(G)$是子群.进一步证明了$R_4(G)$是不含2、3或5阶元素的局部幂零群$G$的子群，并且在这种情况下，对于每个$x\in R_4(G)$，正规闭包$<x >^G$至多是7阶幂零群.使用一组构造的纽曼和镍，我们还表明，对于每个$n\geq 5$，存在一个幂零群类$n+2$包含一个右$n$ -恩格尔元素$x$和一个元素$a\in G$，使$[x^{-1},_n a]$和$[x^{k},_n a]$是无限的顺序为所有整数$k\geq 2$。本文的最后一个结论是：（1）对于某个正整数$k$和某个2-幂数$n$，存在一个指数为$n$的无限生成的$k$-Engel群. (2)有一个群是由许多有界左Engel元生成的，它不是Engel群。
Algorithmic problems in Engel groups and cryptographic applications
Engel群理论在群论中起着重要的作用，因为这些群与Burnside问题密切相关。在这项调查中，我们考虑了几个经典的和新的算法问题恩格尔组，并提出了几个开放的问题。我们研究这些问题，以期应用到密码学。
On groups with automorphisms whose fixed points are Engel
我们完成了有限和profinite群的研究，承认一个行动的基本阿贝尔群下的中心化的自同构组成的恩格尔元素。特别地，我们证明了以下定理。设$q$是素数，$A$是阶至少为$q^2$的初等交换$q$ -群，它与一个profinite群$G$互素.假设$C_{G}(a)$中的所有元素都是每个$a\in A^{\#}$的$G$中的Engel。则$G$是局部幂零的（定理B2）。设$q$是素数，$n$是正整数，$A$是与有限群$G$互素作用的$q^3$阶初等阿贝尔群.假设对于每个$a\in A^{\#}$，$C_{G}(a)$的每个元素都是$C_{G}(a)$中的$n$ -Engel。则对于某个$\{n,q\}$ -有界数$k$，群$G$是$k$-Engel（定理A3）.
Bounded Engel elements in residually finite groups
设$q$为素数。设$G$是满足一个恒等式的剩余有限群.设对每个$x \in G$，存在一个$q$ -幂$m=m(x)$使得元素$x^m$是有界Engel元素.证明了$G$是局部虚幂零的.此外，设$d,n$为正整数，而$w$为非换位子字。设$G$是一个$d$生成元剩余有限群，其中所有$w$ -值都是$n$-Engel.证明了动词子群$w(G)$具有$\{d,n,w\}$ -有界幂零类.
Finite groups with Engel sinks of bounded rank
对于组$G$的元素$g$，恩格尔宿是子集${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的转发器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。一个~有限群是幂零群当且仅当每个元素都有一个平凡的Engel汇。证明了：若有限群$G$中每个元素都有Engel sink生成秩为~ $r$的子群，则$G$有秩按$r$有界的正规子群$N$，使得$G/N$是幂零的.
Compact groups all elements of which are almost right Engel
我们说一个群$G$的元素$g$是几乎右恩格尔，如果存在一个有限集${\mathscr R}(g)$使得对于每个$x\in G$，所有足够长的分解子$[...[[g,x],x],\dots ,x]$都属于${\mathscr R}(g)$，也就是说，对于每个$x\in G$，存在一个正整数$n(x,g)$使得如果$x$至少重复$n(x,g)$次，则$[...[[g,x],x],\dots ,x]\in {\mathscr R}(g)$。因此，当我们可以选择${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$时，$g$恰好是一个右恩格尔元素。证明了：若紧（Hausdorff）群$G$的所有元素几乎都是右Engel，则$G$有有限正规子群$N$，使得$G/N$局部幂零.如果另外存在对应集合的阶的一致界$|{\mathscr R}(g)|\leq m$，则子群$N$可以被选择为根据$m$有界的阶。证明使用威尔逊-Zelmanov定理说，恩格尔profinite群是局部幂零和以前的结果，作者对紧凑的群体，其中所有的元素几乎离开恩格尔。
Groups generated by a finite Engel set
如果对于所有$x,y\in S$，存在非负整数$n=n(x,y)$使得$[x,\,_n y]=1$，则群$G$的子集$S$称为恩格尔集.在本文中，我们感兴趣的是寻找一个由有限恩格尔集生成的群是幂零的条件。特别是，我们专注于我们的调查组所产生的恩格尔集的大小为2。
Compact groups with countable Engel sinks
组$G$的元素$g$的恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个恩格尔元素，正好当我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$时。）证明了：如果紧（Hausdorff）群$G$的每个元素都有可数（或有限）Engel汇，则$G$有有限正规子群$N$使得$G/N$局部幂零.这解决了J. S.威尔逊
Left 3-Engel Elements in Locally Finite 2-Groups
我们给出了一个无限家庭的例子，推广arXiv：1811.12074中给出的建设的局部有限的2-组$G$包含一个左3-恩格尔元素$x$其中${\langle x \rangle}^G$，正规封闭的$x$在$G$，是不是幂零的。该结构是基于一个家庭的李代数是感兴趣的，在自己的权利，并利用一个经典的定理卢卡斯，关于当$\binom{m}{n}$是甚至。
Engel groups with an identity
对满足恒等式的剩余有限恩格尔群是否局部幂零的问题给出了肯定的回答。更一般地，对于具有单位元的剩余有限群G，我们证明了G的右Engel元的集合包含在G的Hirsch-Plotkin根中.给定任意一个字w，我们还证明了所有群G的类是一个簇，其中w-值是右n-Engel且w（G）是局部幂零的。
On finite groups containing an element whose Engel sink is small
本文利用有限简单群分类证明，若有限群G中存在元素g使得G=[G,g]，则G的阶数受g的右Engel sinks和左Engel sinks限制。
Compact groups in which all elements have countable right Engel sinks
本文证明了若紧致群的每个元素具有可数右Engel汇，则该群存在有限正规子群使其商群局部幂零。
Finite groups with a soluble group of coprime automorphisms whose fixed points have bounded Engel sinks
设有限群$G$允许一个互素自同构的可解群$A$。证明了：如果对某个正整数$m$，中心化子$C_G(A )$的每个元素的左Engel汇的基数至多为$m$（或右Engel汇的基数至多为$m$），则$G$有$(|A|,m)$有界指数的子群的Fitting高度至多为$2α(A)+2$，其中$α(A)$是$A$的合成长度.我们还证明了，如果对某个正整数$r$，中心化子$C_G(A )$的每个元素都有秩至多为$r$的左Engel汇（或秩至多为$r$的右Engel汇），则$G$有$(|A|,r)$有界指数的子群，其Fitting高度至多为$4^{α(A)}+4α(A)+3$ .这里，组$G$的元素$g$的左恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的子$[...[[x,g],g],\dots ,g]$属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个左恩格尔元素，正好在我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$的时候。）组$G$的元素$g$的右恩格尔宿是集合${\mathscr R}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[g,x],x],\dots ,x]$属于${\mathscr R}(g)$。(Thus，$g$是一个正确的恩格尔元素，正好当我们可以选择${\mathscr R}(g…
Profinite groups with an automorphism whose fixed points are right Engel
如果对于每个$x\in G$都有一个数$n=n(g,x)$使得$[g,{}_{n}x]=1$，则称群$G$的元素$g$是右恩格尔。证明了：如果一个投射有限群$G$存在一个素数阶互素自同构$φ$，使得$φ$的每个不动点都是右Engel元，则$G$是局部幂零的.
On profinite groups with automorphisms whose fixed points have countable Engel sinks
组$G$的元素$g$的恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个恩格尔元素，正好当我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$时。）证明了：如果一个profinite群$G$对于一个素数$q$，允许一个互质阶自同构的初等交换群$A$，使得对于每个$a\in A\setminus\{1\}$，中心化子$C_G(a)$的每个元素都有一个可数的（或有限的）Engel汇，则$G$有一个有限正规子群$N$，使得$G/N$局部幂零.
On finite groups with automorphisms whose fixed points are Engel
本文的主要结果是下面的定理。设$q$是素数，$n$是正整数，$A$是$q^2$阶初等阿贝尔群.设$A$与有限群$G$互质作用，且对每个$a\in A^{\#}$，$C_{G}(a)$的每个元素都是$G$中的$n$ -Engel.则群$G$是$k$-Engel，对于某个$\{n,q\}$ -有界数$k$ .
Linear groups with almost right Engel elements
设G是一个线性群，使得对G中的每一个g，存在一个有限集R（g），其性质是：对G中的每一个x，所有充分长的算子[g，x，x，..，x]属于R（g）。证明了G是超中心有限的。
Profinite groups with an automorphism of prime order whose fixed points have finite Engel sinks
组$G$的元素$g$的右恩格尔宿是集合${\mathscr R}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[g,x],x],\dots ,x]$都属于${\mathscr R}(g)$。(Thus，$g$是一个正确的恩格尔元素，正好当我们可以选择${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$。）证明了若一个profinite群$G$有一个素数阶互素自同构$φ$，使得$φ$的每个不动点都有一个有限右Engel汇，则$G$有一个开的局部幂零子群.组$G$的元素$g$的左恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个左恩格尔元素，正好在我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$的时候。）证明了：若一个profinite群$G$有一个素数阶互素自同构$φ$，使得$φ$的每个不动点都有一个有限左Engel汇，则$G$有一个开的幂零幂零子群.
On finite groups with an automorphism of prime order whose fixed points have bounded Engel sinks
组$G$的元素$g$的左恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个左恩格尔元素，正好在我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$的时候。）证明了：如果有限群$G$有一个与$|G|$互质的素数阶自同构$φ$，使得对某个正整数$m$，中心化子$C_G(φ)$的每个元素的左Engel汇的基数至多为$m$，则第二Fitting子群$F_2(G)$的指数是有界的.组$G$的元素$g$的右恩格尔宿是集合${\mathscr R}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[g,x],x],\dots ,x]$都属于${\mathscr R}(g)$。(Thus，当我们可以选择${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$时，$g$正是合适的恩格尔元素。）证明了：如果有限群$G$有一个与$|G|$互质的素数阶自同构$φ$，使得对某个正整数$m$，中心化子$C_G(φ)$的每个元素的右Engel势汇至多为$m$，则Fitting子群$F_1(G)$的指数依$m$有界.
Finite and profinite groups with small Engel sinks of p-elements
本文证明有限群和profinite群中p-元素具有有界或有限Engel汇时，存在正规子群使得商群为p'-群，且指数或结构受控。
On locally graded groups with a word whose values are Engel
设m，n是正整数，v是多线性换位子字，w = v^m.证明了：若G是局部分次群，且其中所有w-值都是n-Engel，则动词子群w（G）是局部幂零的.
An Engel condition for orderable groups
设m，n是正整数，v是多线性换位子字，w=v^m.证明了：如果G是一个可序群，且其中所有w-值都是n-Engel，则动词子群v（G）是局部幂零的.我们还证明了在v=x的特殊情况下，群G是幂零的（而不仅仅是局部幂零的）。
Engel elements in some fractal groups
设$p$是素数，并且设$G$是$p$ -进树的自同构群的Sylow pro- $p$子群的子群。证明了如果$G$是分形的，且$|G':\mathrm{st}_G(1)'|=\infty$是分形的，则$G$的左Engel元的集合$L(G)$是平凡的.这一结果适用于具有无挠阿贝尔化的分形非阿贝尔群，如Basilica群，Brunner-Sidki-Vieira群，也适用于具有常数定义向量的GGS-群。我们还提供了两个例子，表明$|G':\mathrm{st}_G(1)'|=\infty$和分形的要求都不能被丢弃。
Engel sinks of fixed points in finite groups
对于组$G$的元素$g$，恩格尔宿是子集$\mathscr{E}(g)$，使得对于每个$ x\in G $，所有足够长的转发器$ [x,g,g,\ldots,g] $都属于$\mathscr{E}(g)$。设$q$是素数，$m$是正整数，$A$是$q^2$阶的初等阿贝尔群，它与有限群$G$互素.证明了如果对$ A$中的每个非平凡元素$a$和每个元素$g\in C_{G}(a)$，最小恩格尔汇$\mathscr{E}(g)$的基数至多为$m$，则$γ_\infty(G)$的阶仅以$m$为界.证明了如果对每个$a\in A\setminus \{1\}$和每个元素$g\in C_{G}(a)$，最小Engel汇$\mathscr{E}(g)$生成秩至多为$m$的子群，则$γ_\infty(G)$的秩仅以$m$和$q$有界.
On profinite groups with Engel-like conditions
设$G$是一个投射有限群，其中对于每个元素$x\in G$，存在一个自然数$q=q(x)$使得$x^q$是Engel.证明了$G$是局部虚幂零的.进一步，设$p$是素数，$G$是一个素数生成的投射有限群，其中对于每个$γ_k$ -值$x\in G$，存在一个自然的$p$ -幂$q=q(x)$，使得$x^q$是Engel.证明了$γ_k(G)$是局部虚幂零的.
On finitely generated Engel branch groups
本文构造了有限生成的Engel分支群，回答了相关存在性问题，并提供了继Golod之后第二类有限生成非幂零Engel群的例子，方法基于根树作用与词长快速收缩。
On finite groups in which commutators are covered by Engel subgroups
设$m,n$为正整数，$w$为多线性换位子字.假设$G$是一个有限群，它有子群$G_1,\ldots,G_m$，子群的并集包含$G$中的所有$w$ -值。进一步假设子组$G_1,\ldots,G_m$的所有元素是$G$中的$n$ -Engel。证明了对于某些$\{m,n,w\}$ -有界数$s$，动词子群$w(G)$是$s$ -Engel.
Notes on Engel groups and Engel elements in groups. Some generalizations
50年代，恩格尔集团和恩格尔分子开始流行。本文研究了更一般的群中的诣零群和诣零元。所有这些概念都与群中的幂零群和幂零根有关。这些概念产生的问题是平行的伯恩赛德问题的周期群。本文的前三个定理是专门针对诣零群和恩格尔群的，而其他结果与进一步的推广有关。这些推广将理论扩展到可解群和群中的可解根。本文分为两部分。第一部分（第2-4节）涉及旧的想法，而第二部分（第5-9节）则致力于概括。
Almost Engel compact groups
我们说一个群$G$几乎是Engel，如果对于每个$g\in G$，存在一个有限集${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的分解子$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$，也就是说，对于每个$x\in G$，存在一个正整数$n(x,g)$，使得如果$g$至少重复$n(x,g)$次，则$[...[[x,g],g],\dots ,g]\in {\mathscr E}(g)$。(Thus，恩格尔群正好是几乎恩格尔群，我们可以为所有$g\in G$选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$。）证明了：若紧（Hausdorff）群$G$几乎Engel，则$G$有有限正规子群$N$使得$G/N$局部幂零.如果另外存在对应集合的阶的一致界$|{\mathscr E}(g)|\leq m$，则子群$N$可以被选择为根据$m$有界的阶。证明使用威尔逊-Zelmanov定理说，恩格尔profinite群是局部幂零的。
On groups in which Engel sinks are cyclic
对于组$G$的元素$g$，恩格尔宿是子集$\mathcal{E}(g)$，使得对于每个$ x\in G $，所有足够长的转发器$ [x,g,g,\ldots,g] $都属于$\mathcal{E}(g)$。我们猜想，如果$G$是一个投射有限群，其中每个元素都有一个原循环子群，那么$G$是局部幂零的.我们在两种情况下证明了该猜想--当$G$是有限群或可解亲$p$群时。
Centralizer-like Subgroups Associated with the $n$-Engel Words Inside of Direct Product Groups
本文研究直积群中与 $n$-Engel 字相关的类中心化子子群，证明两个群的直积的右 $n$-Engel 元素集合等于各直积因子的右 $n$-Engel 元素集合的直积，并提出后续研究问题。
On residually finite groups with Engel-like conditions
设$m,n$为正整数。设$G$是一个剩余有限群，其中对于每个元素$x \in G$，存在一个正整数$q=q(x) \leqslant m$，使得$x^q$是$n$ -Engel.证明了$G$是局部虚幂零的.进一步，设$w$是多线性交换子，$G$是剩余有限群，其中对于至多$896$ $w$ -值$x$的每个乘积，存在正整数$q=q(x)$除以$m$，使得$x^q$是$n$ -Engel。则$w(G)$是局部虚幂零的.
On residually finite groups satisfying an Engel type identity
设$ n, q $为正整数。证明了若$ G $是一个满足恒等式$ [x,_ny^q]\equiv 1, $的非生成剩余有限群，则存在一个函数$ f(n) $使得$ G $有一个至多为$ f(n) $类的有限指数幂零子群.我们也将这个结果推广到局部分次群。
Engel-like conditions in fixed points of automorphisms of profinite groups
设$q$是素数，$A$是初等交换$q$ -群，它充当一个profinite群$G$上自同构的互素群.我们证明了如果$A$是$q^2$阶的，并且对于任意$a\in A^{\#}$，$C_G(a)$中每个元素的某个幂是Engel in $G$，则$G$是局部虚幂零的.假设$A$是$q^3$阶的，我们证明了：如果对任何$a\in A^{\#}$，$C_G(a)$中每个元素的某个幂在$C_G(a)$中是Engel，则$G$是局部虚幂零的.也得到了有限群的一些定量性质的类似结果。
On groups admitting a word whose values are Engel
设m，n是正整数，v是多线性换位子字，w = v^m.证明了：如果G是剩余有限群，且其中所有w-值都是n-Engel，则动词子群w（G）是局部幂零的.我们还研究的问题，这是否是真的情况下，G是局部分级，而不是剩余有限的。在m = 1的情况下，我们肯定地回答这个问题。进一步证明了如果u是非换位子字，G是局部分次群且u-值都是n-Engel，则动词子群u（G）是局部幂零的.
Non-solvable groups generated by involutions in which every involution is left $2$-Engel
下面的问题在D. V. Lytkina：设$G$是由对合生成的有限$2$ -群，其中对每一个$x \in G$和每一个对合$u \in G$有$[x, u, u] = 1$. $G$的导出长度有界吗？这个问题是问的可解性长度的上界有限$2$ -群所产生的对合，其中每一个对合（不仅是发电机）也离开$2$ -恩格尔。我们否定地回答这个问题。
Compact groups in which commutators have finite right Engel sinks
该群论研究证明，满足k重换位子均有有限右Engel沉的紧群存在局部幂零开子群，且当右Engel沉基数不超过m时，该子群的有限指数仅由m界定。
Words of Engel type are concise in residually finite groups
给定一个群字w和一个群G，动词子群w（G）是由G中所有w值生成的子群。称词w是简洁的，如果w（G）是有限的，只要G中的w-值的集合是有限的。在六十年代，霍尔问过是否每个词都很简洁，但后来伊万诺夫回答这个问题是否定的。另一方面，霍尔的问题仍然是广泛开放的类剩余有限群。在本文中，我们表明，各种推广的恩格尔字是简洁的剩余有限群。
An automaton group with undecidable order and Engel problems
对于每一个图灵机，我们构造一个自动机群来模拟它。准确地说，从图灵机的初始配置开始，我们显式地构造群的一个元素，使得当且仅当这个元素是有穷级的时，图灵机停止。如果图灵机是通用的，则相应的自动机群具有不可判定的阶问题。这解决了Grigorchuk提出的一个问题。上面的群也有一个不可判定的恩格尔问题：没有算法，给定g，h在群中，决定是否存在一个整数n，使得n-迭代交换子[. [[g，h]，h]，...，h]$是身份或不是。这解决了Bartholdi提出的一个问题。
The Engel graph of a finite group
对于有限群$G,$，我们研究了顶点为$G$的非超中心元的有向图$Γ(G),$，其中有边$x\mapsto y$当且仅当$[x,_ny]=1$对于某些$n \in \mathbb N.$，我们证明了当$G/Z_{\infty}(G)$既不是Frobenius也不是几乎单的时，$Γ(G)$总是弱连通和强连通的.
The Engel graph of almost simple groups
给定一个有限群$G$，$G$的恩格尔图是一个有向图，它对满足某个恩格尔字的元素对进行编码.从Detomi，Lucchini和Nemmi的工作出发，将任意群$G$的Engel图的强连通性归结为对非交换单群的Engel图的强连通性的理解.本文研究了有限非交换单群的Engel图的强连通性。
Strong conciseness of Engel words in profinite groups
在投射有限群的类$\mathscr C$中，一个群词$w$被称为强简洁的，如果对于$\mathscr C$中的任何群$G$，或者$w$至少取$G$中的连续统值，或者动词子群$w(G)$是有限的。证明了在所有的投射有限群类中所有的字都是强简洁的。早些时候，Detomi，Klopsch和Shumyatsky证明了这个猜想的多线性换向器的话，以及其他一些特殊的话。证明了在幂零投射有限群类中，每个群字都是强简洁的。本文证明了对任何$n$，$n$-Engel字$[...[x,y],y],\dots y]$（其中$y$重复$n$次）在可生成的投射有限群类中是强简洁的.
On varieties of groups satisfying an Engel type identity
设m，n是正整数，v是多线性换位子字，w = v^m.用v（G）和w（G）表示群G中分别对应于v和w的动词子群。本文证明了群G的w-值为n-Engel且w（G）局部幂零的类是一个簇（定理A）。进一步，我们证明了在m是素数幂的情形下，所有群G的w-值是n-Engel且v（G）有升正规列且其幂元是局部可解的或局部有限的类是一个簇（定理B）.我们研究的问题是否后者的结果仍然有效，允许m是一个任意的正整数。在这个方向上，我们证明了：如果m，n是正整数，u是多线性换位子字，v是896个u-字的乘积，则群G中v^m-值是n-Engel且动词子群u（G）有一个升正规列且其列元是局部可解的或局部有限的类是一个簇（定理C）.
Orderable groups with Engel-like conditions
设x是群G中的元素。对于正整数n，设E_n（x）是由所有分解子[. [[y，x]，x]，...，x]在G中的y上，其中x重复n次。最近的一些结果表明，具有小子群E_n（x）的群的某些性质与Engel群的性质接近。本文研究了一类可序群，其中对某些n，子群E_n（x）是循环的.设h，n是正整数，G是一个可序群，其中E_n（x）是多环的，且对G中的每一个x，其Hirsch长度不超过h.证明了存在（h，n）-有界数h* 和c* 使得G有一个n-生成正规幂零子群N，且h（N）<h*，类G/N幂零至多c*.
Almost Engel finite and profinite groups
令$g$是群$G$的元素。对于正整数$n$，令$E_n(g)$是由$x\in G$上的所有迭代器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$生成的子群，其中$g$重复$n$次。证明了：若$G$是一个profinite群，使得对每个$g\in G$，存在$n=n(g)$，使得$E_n(g)$是有限的，则$G$有一个有限正规子群$N$，使得$G/N$是局部幂零的.证明使用威尔逊-Zelmanov定理说，恩格尔投射有限群是局部幂零的。在有限群$G$的情形下，证明了：如果对某些$n$，对所有$g\in G$都有$|E_n(g)|\leq m$，则幂零剩余$γ_{\infty}(G)$的阶在$m$中是有界的.
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。