三明治群与群中的（强）左3-Engel元

在右侧和左侧4-Engel元件上

On the right and left 4-Engel elements

本文研究了群的左、右4-Engel元。特别地，当$a$是任意元素，$b^{\pm 1}$是右4-Engel元素或$a^{\pm 1}$是左4-Engel元素，$b$是$G$的任意元素时，证明了$<a, a^b>$是至多4类幂零的.进一步证明了对任意素数$p$和任意有限$p$ -幂阶的元$a$，在群$G$中使得$a^{\pm 1}\in L_4(G)$，$a^4$，如果$p=2$，和$a^p$，如果$p$是奇素数，在$G$的Baer根中.

2009-06-11math.GR

局部有限2-群中的左3-Engel元

Left 3-Engel Elements in Locally Finite 2-Groups

我们给出了一个无限家庭的例子，推广arXiv：1811.12074中给出的建设的局部有限的2-组$G$包含一个左3-恩格尔元素$x$其中${\langle x \rangle}^G$，正规封闭的$x$在$G$，是不是幂零的。该结构是基于一个家庭的李代数是感兴趣的，在自己的权利，并利用一个经典的定理卢卡斯，关于当$\binom{m}{n}$是甚至。

2021-10-29math.GR

由每个对合都是左对合生成的不可可解群$2$ -Engel

Non-solvable groups generated by involutions in which every involution is left $2$-Engel

下面的问题在D. V. Lytkina：设$G$是由对合生成的有限$2$ -群，其中对每一个$x \in G$和每一个对合$u \in G$有$[x, u, u] = 1$. $G$的导出长度有界吗？这个问题是问的可解性长度的上界有限$2$ -群所产生的对合，其中每一个对合（不仅是发电机）也离开$2$ -恩格尔。我们否定地回答这个问题。

2014-04-17math.GR

广义FC-群中的Engel元

The Engel elements in generalized FC-groups

我们推广到FC*，即[F. de Giovanni，A. Russo，G. J. 28（2002），241-254]，Baer关于Engel元素的一个结果。更精确地说，我们证明了FC*-群G的左Engel元和有界左Engel元的集合与Fitting子群重合，而G的右Engel元和有界右Engel元的集合是子群，并且前者与超中心重合.我们还给出了一个FC*-群的例子，其中右Engel元的集合适当地包含有界右Engel元的集合。

2014-12-19math.GR

具有素数阶自同构且其不动点具有有限Engel汇的投射有限群

Profinite groups with an automorphism of prime order whose fixed points have finite Engel sinks

组$G$的元素$g$的右恩格尔宿是集合${\mathscr R}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[g,x],x],\dots ,x]$都属于${\mathscr R}(g)$。(Thus，$g$是一个正确的恩格尔元素，正好当我们可以选择${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$。）证明了若一个profinite群$G$有一个素数阶互素自同构$φ$，使得$φ$的每个不动点都有一个有限右Engel汇，则$G$有一个开的局部幂零子群.组$G$的元素$g$的左恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个左恩格尔元素，正好在我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$的时候。）证明了：若一个profinite群$G$有一个素数阶互素自同构$φ$，使得$φ$的每个不动点都有一个有限左Engel汇，则$G$有一个开的幂零幂零子群.

2021-01-09math.GR

具有互素自同构可解群且其不动点有界Engel汇的有限群

Finite groups with a soluble group of coprime automorphisms whose fixed points have bounded Engel sinks

设有限群$G$允许一个互素自同构的可解群$A$。证明了：如果对某个正整数$m$，中心化子$C_G(A )$的每个元素的左Engel汇的基数至多为$m$（或右Engel汇的基数至多为$m$），则$G$有$(|A|,m)$有界指数的子群的Fitting高度至多为$2α(A)+2$，其中$α(A)$是$A$的合成长度.我们还证明了，如果对某个正整数$r$，中心化子$C_G(A )$的每个元素都有秩至多为$r$的左Engel汇（或秩至多为$r$的右Engel汇），则$G$有$(|A|,r)$有界指数的子群，其Fitting高度至多为$4^{α(A)}+4α(A)+3$ .这里，组$G$的元素$g$的左恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的子$[...[[x,g],g],\dots ,g]$属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个左恩格尔元素，正好在我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$的时候。）组$G$的元素$g$的右恩格尔宿是集合${\mathscr R}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[g,x],x],\dots ,x]$属于${\mathscr R}(g)$。(Thus，$g$是一个正确的恩格尔元素，正好当我们可以选择${\mathscr R}(g…

2023-01-29math.GR

Engel元素的分组

Engel Elements in Groups

我们给出了一个调查结果的结构，左，右恩格尔元素的一组。我们也提出了一些新的结果在这个主题。

2010-02-01math.GR

弱分支群中的Engel元

Engel elements in weakly branch groups

研究了球齐性有根树的自同构群中弱分枝群中Engel元的性质。更确切地说，我们证明了有界左恩格尔元素的集合总是平凡的弱分支群。在分支群的情况下，非平凡的左恩格尔元的存在意味着它们都是$p$ -元，并且对于某个素数$p$，该群实际上是一个$p$ -群（因此是周期的）。我们还证明了弱支群的右Engel元的集合在一个相对较弱的条件下是平凡的。此外，我们将这些结果应用到著名的家庭的弱支群，如多GGS组。

2019-10-16math.GR

具有素数阶自同构且其不动点有界Engel汇的有限群

On finite groups with an automorphism of prime order whose fixed points have bounded Engel sinks

组$G$的元素$g$的左恩格尔宿是集合${\mathscr E}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[x,g],g],\dots ,g]$都属于${\mathscr E}(g)$。(Thus，$g$是一个左恩格尔元素，正好在我们可以选择${\mathscr E}(g)=\{ 1\}$的时候。）证明了：如果有限群$G$有一个与$|G|$互质的素数阶自同构$φ$，使得对某个正整数$m$，中心化子$C_G(φ)$的每个元素的左Engel汇的基数至多为$m$，则第二Fitting子群$F_2(G)$的指数是有界的.组$G$的元素$g$的右恩格尔宿是集合${\mathscr R}(g)$，使得对于每个$x\in G$，所有足够长的移位器$[...[[g,x],x],\dots ,x]$都属于${\mathscr R}(g)$。(Thus，当我们可以选择${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$时，$g$正是合适的恩格尔元素。）证明了：如果有限群$G$有一个与$|G|$互质的素数阶自同构$φ$，使得对某个正整数$m$，中心化子$C_G(φ)$的每个元素的右Engel势汇至多为$m$，则Fitting子群$F_1(G)$的指数依$m$有界.

2020-10-16math.GR

关于包含一个Engel sinks较小元素的有限群

On finite groups containing an element whose Engel sink is small

University of Lincoln（林肯大学）；University of Brasilia（巴西利亚大学）

本文利用有限简单群分类证明，若有限群G中存在元素g使得G=[G,g]，则G的阶数受g的右Engel sinks和左Engel sinks限制。

2026-09-01math.GR

群论中任意函数的三明治结构

Sandwich Structures from Arbitrary Functions in Group Theory

群之间具有所有函数共轭都保持逆的性质的函数称为三明治态射。这些地图保存了一个结构在该集团被称为三明治结构。夹层构造是左分配幂等左对合岩浆。这些提供了一种我们称之为三明治的群体的概括。本文探讨了三明治及其与群体的关系。

2017-12-07math.GR

某些分形群中的Engel元

Engel elements in some fractal groups

设$p$是素数，并且设$G$是$p$ -进树的自同构群的Sylow pro- $p$子群的子群。证明了如果$G$是分形的，且$|G':\mathrm{st}_G(1)'|=\infty$是分形的，则$G$的左Engel元的集合$L(G)$是平凡的.这一结果适用于具有无挠阿贝尔化的分形非阿贝尔群，如Basilica群，Brunner-Sidki-Vieira群，也适用于具有常数定义向量的GGS-群。我们还提供了两个例子，表明$|G':\mathrm{st}_G(1)'|=\infty$和分形的要求都不能被丢弃。

2018-03-31math.GR

关于杨-巴克斯特方程和左幂零左括号

On the Yang-Baxter equation and left nilpotent left braces

研究了杨-巴克斯特方程的非退化对合集理论解（X，r），称之为简单解.证明了有限非平凡解（X，r）的结构群G（X，r）不可能是Engel群.已知有限多置换解（X，r）的结构群G（X，r）是poly-Z群，从而给出了辫群和左括号G（X，r）是poly-Z群而不是Engel群的丰富例子.我们还证明了杨-巴克斯特方程的有限解可以方便地嵌入到有限支撑和有限辫群中。对于左大括号A，我们探讨了与之相关的解的多重排列水平与Rump引入的根链$A^{(n+1)}=A^{(n)}* A$之间的密切关系。

2016-01-26math.GR

几乎右元素的紧群

Compact groups all elements of which are almost right Engel

我们说一个群$G$的元素$g$是几乎右恩格尔，如果存在一个有限集${\mathscr R}(g)$使得对于每个$x\in G$，所有足够长的分解子$[...[[g,x],x],\dots ,x]$都属于${\mathscr R}(g)$，也就是说，对于每个$x\in G$，存在一个正整数$n(x,g)$使得如果$x$至少重复$n(x,g)$次，则$[...[[g,x],x],\dots ,x]\in {\mathscr R}(g)$。因此，当我们可以选择${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$时，$g$恰好是一个右恩格尔元素。证明了：若紧（Hausdorff）群$G$的所有元素几乎都是右Engel，则$G$有有限正规子群$N$，使得$G/N$局部幂零.如果另外存在对应集合的阶的一致界$|{\mathscr R}(g)|\leq m$，则子群$N$可以被选择为根据$m$有界的阶。证明使用威尔逊-Zelmanov定理说，恩格尔profinite群是局部幂零和以前的结果，作者对紧凑的群体，其中所有的元素几乎离开恩格尔。

2018-07-14math.GR

当群的右n-Engel元构成子群时？

When right n-Engel elements of a group form a subgroup?

令$R_n(G)$表示群$G$的所有右$n$ -Engel元素的集合。证明了在任何下中心列第5项不含2阶元的群$G$中，$R_3(G)$是子群.进一步证明了$R_4(G)$是不含2、3或5阶元素的局部幂零群$G$的子群，并且在这种情况下，对于每个$x\in R_4(G)$，正规闭包$<x >^G$至多是7阶幂零群.使用一组构造的纽曼和镍，我们还表明，对于每个$n\geq 5$，存在一个幂零群类$n+2$包含一个右$n$ -恩格尔元素$x$和一个元素$a\in G$，使$[x^{-1},_n a]$和$[x^{k},_n a]$是无限的顺序为所有整数$k\geq 2$。本文的最后一个结论是：（1）对于某个正整数$k$和某个2-幂数$n$，存在一个指数为$n$的无限生成的$k$-Engel群. (2)有一个群是由许多有界左Engel元生成的，它不是Engel群。

2009-06-13math.GR

有限群和profinite群中p-元素的Engel汇

Finite and profinite groups with small Engel sinks of p-elements

本文证明有限群和profinite群中p-元素具有有界或有限Engel汇时，存在正规子群使得商群为p'-群，且指数或结构受控。

2025-07-08math.GR

与群相关联的恩格尔图

Engel graph associated with a group

设$G$是一个非Engel群，$L(G)$是$G$的所有左Engel元素的集合。将$G$与图$\mathcal{E}_G$关联如下：取$G\backslash L(G)$作为$\mathcal{E}_G$的顶点，并连接两个不同的顶点$x$和$y$，只要$[x,_k y]\not=1$和$[y,_k x]\not=1$对所有正整数$k$。我们称之为$\mathcal{E}_G$，即$G$的恩格尔图。本文研究了$\mathcal{E}_G$的图论性质。

2007-08-16math.COmath.GR

右Engel型子群与有限群的长度参数

Right Engel-type subgroups and length parameters of finite groups

设$g$是有限群$G$的一个元素，$R_{n}(g)$是由$x\in G$上所有右Engel值$[g,{}_{n}x]$生成的子群.在$G$是可溶的情况下，我们证明，如果对于某些$n$，$R_{n}(g)$的拟合高度等于$k$，则$g$属于$(k+1)$第拟合子群$F_{k+1}(G)$。对于不可解的$G$，证明了如果对某些$n$，$R_n(g)$的广义Fitting高度等于$k$，则$g$属于广义Fitting子群$F^*_{f(k,m)}(G)$，其中$f(k,m)$仅依赖于$k$和$m$，其中$|g|$是$m$素数计数重数的乘积.本文还证明了，如果对某些$n$，$R_n(g)$的不可解长度等于$k$，则$g$属于正规子群，其不可解长度依$k$和$m$有界.贝尔定理（即有限群的恩格尔元属于Fitting子群）的早期类似推广是由前两位作者根据左恩格尔型子群得到的。

2018-07-26math.GR

具有剩余性质的群的诣零自同构

Nil-automorphisms of groups with residual properties

根据Plotkin，我们说群$G$的自同构$x$是一个零自同构，如果对于每个$g\in G$，存在$n=n(g)$使得$[g,_n x]=1$。如果整数$n$可以独立于$g$来选择，则称$x$是幂单的。零自同构和幂单自同构可以看作Engel元概念的自然扩张，因为零自同构$x$就是$G < x >$中的左Engel元.本文研究了具有剩余性质的群即局部分次群、剩余有限群和投射有限群的诣零自同构。我们证明的第一个结果是：局部分次群的诣零自同构的有限群必为幂零群。接下来，我们把注意力转向剩余有限群和投射有限群的幂单自同构群。我们表明，这样的群体是局部幂零的，作为一个副产品，我们获得了一个著名的威尔逊定理的替代证明关于n-恩格尔剩余有限群。

2012-05-22math.GR

Engel 词在 $\mathrm{SL}_2(\mathcal{O})$ 和 $\mathrm{PSL}_2(\mathcal{O}_2)$ 上的满射性

Surjectivity of Engel Words on $\mathrm{SL}_2(\mathcal{O})$ and $\mathrm{PSL}_2(\mathcal{O}_2)$

Indian Institute of Science Education and Research Pune（印度科学教育研究所浦那分校）

研究局部环上SL_2和PSL_2群的Engel词映射，证明在剩余域特征≠2且q足够大时，SL_2(k)的非标量元提升在SL_2(O)的m次Engel词像中，且所有Engel词映射在PSL_2(O_2)上满射，推广了域上的结果。

2026-06-18math.GRmath.RA