The Loop-Tree Duality: Progress Report
G. Chachamis, G. Rodrigo
我们回顾了循环树对偶方法的最新发展，重点讨论了第一个数值实现及其在多支费曼积分的直接数值计算中的应用。非平凡的例子。
We review the recent developments of the Loop-Tree Duality method, focussing our discussion on the first numerical implementation and its use in the direct numerical computation of multi-leg Feynman integrals. Non-trivial examples are presented.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Multigluon Tree Amplitudes and Self-Duality Equation
构造了一类多胶子振幅的生成函数作为自对偶方程的特解。
Tree-Loop Duality Relation beyond simple poles
我们开发的树环对偶关系的两个和三个循环积分与多个相同的传播（多极）。这是在以前的出版物中导出的单极和多回路积分的对偶关系的延伸。我们证明了一个推广的单极多极子的公式，我们开发了一种策略，用于处理高阶极点积分减少到单极积分，使用集成部件。
Amplitudes within causal loop-tree duality
我们研究了因果循环树对偶中大规模$ϕ^3$ -理论中的标量单圈振幅。我们推导出振幅的被积函数的递推关系。被积函数是由建设免费的虚假奇异H-曲面。在考虑重整化和轮廓变形的情况下，通过Monte Carlo积分得到了积分振幅.我们已经检查了多达七点，我们的结果与分析结果一致。
Causality and loop-tree duality at higher loops
我们将一个$l$ -圈费曼积分与一个相空间积分之和联系起来，其中被积函数由原始$l$ -圈图的生成树决定。因果关系要求树的传播者有一个修改的$iδ$处方，我们提出了一个简单的公式，正确的$iδ$处方。
A new formulation of the loop-tree duality at higher loops
我们提出了一个新的配方的循环树对偶定理的高回路图有效的无质量和大量的情况下。$l$ -循环积分表示为从切割循环图的$l$内部传播子获得的树的加权和。此外，未切割的传播子得到一个修改的$i δ$ -处方，称为双传播子。在这个新的框架中，人们可以超越图形，并计算作为树图，形成一个树状对象的加权和的环路振幅的被积函数。这些对象可以通过递归关系有效地计算。
Integrands of loop amplitudes within loop-tree duality
使用环树对偶，我们涉及到一个重整$n$ -点$l$ -环振幅在量子场论的相空间积分的正则化$l$ -倍向前限制的UV减去$(n+2l)$ -点树振幅的对象。我们表明，最多三个循环后一个对象是很容易计算的递归关系。这定义了一个被积函数的环路振幅与一个整体定义的环路动量。场和质量重整在壳方案中进行。
Towards a Loop-Tree Duality at Two Loops and Beyond
我们提出了对偶定理，以前定义的S。Catani等人在单回路水平上，到更高的回路阶数。对偶定理提供了回路积分和树级相空间积分之间的关系。在这里，一个循环的关系是重新推导的方式，这是更适合其扩展到更高的循环订单。通过考虑两个回路的N-腿主图和对三个回路的四个主图的简短讨论，详细地展示了这一点，在此勾画了对偶定理在更高回路阶的一般结构。
A Tree-Loop Duality Relation at Two Loops and Beyond
单圈积分和相空间积分之间的对偶关系，在以前的工作中开发，推广到高阶回路。对偶关系是通过修改Feynman传播子的习惯+i0规定来实现的，它补偿了Feynman树定理中出现的多切割贡献的缺失。我们重新推导的对偶定理在一个循环秩序的形式，更适合其迭代扩展到更高的循环订单。我们明确显示其应用程序的两个和三个循环的标量主积分，我们讨论的结构发生的削减和随后的结果详细。
A stroll through the loop-tree duality
Loop-Tree Duality（LTD）定理是一种处理多圈散射振幅的创新技术，导致了欧氏空间上的积分级表示。在这篇文章中，我们回顾了最新的发展有关这一框架，重点是多圈费曼积分和散射振幅的显着因果表示，并定义了双本地计数器项，以消除红外奇异性。
Open loop amplitudes and causality to all orders and powers from the loop-tree duality
描述高能散射过程中量子涨落的多圈散射振幅是微扰量子场论的主要瓶颈。循环树对偶是一种新的方法，旨在克服这一瓶颈，通过开放的循环振幅树，并结合他们在被积函数级的实发射矩阵元素。在这封信中，我们推广的回路树对偶的所有订单的微扰展开使用复杂的洛伦兹协变处方的原始单回路配方。我们引入了一系列的多回路拓扑结构与任意内部配置，并得出非常紧凑和可分解的表达式，其开树表示的循环树对偶形式主义。此外，这些表达式是完全独立的被积函数的初始分配的动量流在费曼表示和显着的非因果奇点。这些属性，我们猜想持有其他拓扑结构在所有的订单，提供被积函数表示的散射振幅，表现出明显的因果奇异结构和更好的数值稳定性比其他表示。
Causality and Unitarity via the Tree-Loop Duality Relation
树环对偶关系被用作一个出发点，推导出的因果关系和酉约束。具体来说，Bogoliubov因果关系条件是从头开始在个人图的水平。它导致一个图的表示在低阶割图。提取吸收部分给出了一般的么正关系（Cutkosky规则）。推导，直接在动量空间中进行，适用于任何局部（多项式）厄米相互作用顶点。这与基于最大时间方程的时空方法中接触项所产生的技术困难形成对比。
Loop-tree duality and quantum field theory in four dimensions
环树对偶允许表达虚拟贡献的相空间积分，从而导致直接比较与真正的辐射条款。在这次演讲中，我们回顾了该方法的基础，并描述了它在正则化费曼积分中的应用。执行实和虚项的整数级组合，我们得到有限的贡献，可以在四维计算。此外，这种方法提供了一个自然的物理解释红外奇点，他们的起源和方式，他们在完整的计算中取消。
Computation of NLO Processes Involving Heavy Quarks Using Loop-Tree Duality
我们提出了一种新的方法来计算高阶修正的物理截面，在次主导顺序和超越。这种方法，基于循环树对偶，导致在四维的局部可积表达式。通过引入一个物理动机的动量映射之间的动量参与的真实和虚拟的贡献，红外奇点自然取消被积函数的水平，而不需要引入减法计数器项。紫外奇异性处理使用对偶表示合适的计数器条款，与一些微妙的自能贡献。作为一个例子，我们应用这种方法来计算$1\to2$衰变率的标量玩具模型的背景下，有质量的粒子。
On the interplay between the loop-tree duality and helicity amplitudes
旋量-螺旋度方法在量子场论中计算散射振幅的振幅时被证明是非常有效的，而多圈积分的圈树对偶（LTD）表示相对于其他方法具有吸引力和有趣的优点。鉴于LTD的最新发展，我们利用与旋量螺旋形式主义的协同作用来分析说明性的一个和两个循环的散射过程。我们专注于我们的讨论本地UV重整化的IR和UV有限振幅，并提出了一个完全自动化的数值实现，提供了有效的表达式，直接在四个时空维度是可积的。
Causality, unitarity thresholds, anomalous thresholds and infrared singularities from the loop-tree duality at higher orders
我们提出了第一个全面的分析的unitarity阈值和异常阈值的散射振幅在两个循环和超越的基础上的循环树对偶，并显示如何非因果的非物理阈值局部取消时，所有的双壳切割森林被认为是一个有效的方式。我们还证明了软和共线奇点在两个循环和超越被限制到一个紧凑的区域的循环三动量，这是一个必要条件，实现本地取消的循环红外奇异性与那些出现在真正的发射，而不依赖于减法形式主义。
Analysis of symmetries in the Causal Loop-Tree Duality representations
本文通过图论分析研究单圈N点函数因果环-树对偶表示中的对称性，揭示不同因果表示间的变换关联及其与代数约束的联系，为加速费曼积分计算提供新途径。
From multileg loops to trees (by-passing Feynman's Tree Theorem)
我们说明了单圈积分和单切相空间积分之间的对偶关系。对偶关系是通过修改习惯的+i0处方的费曼传播。新的处方正规化的传播，我们写在洛伦兹协变的形式，弥补了缺乏多切割的贡献，出现在费曼树定理。对偶关系可以推广到一般的单圈量，如格林函数，在任何相对论，局部和酉场论。
Universal four-dimensional representation of $H \to γγ$ at two loops through the Loop-Tree Duality
我们扩展有用的属性的$H\toγγ$未整合的双振幅从一个到两个循环的水平，使用循环树对偶形式主义。特别是，我们表明，普遍性的功能形式-无论内部粒子的性质-仍然保持在这个顺序。我们还提出了一种算法的方法来重新归一化两个回路的振幅，通过局部取消紫外线奇点在被积函数的水平，从而允许一个完整的四维数值实现的方法。我们的研究结果与文献中已有的解析表达式进行了比较，找到了一个完美的数值协议。这种计算的成功对于发展一个完全局部的四维框架来计算下至下至主导阶及更高阶的物理观测量起着至关重要的作用。
Recent Progress in Applying Gauge/Gravity Duality to Quark-Gluon Plasma Physics
我们给出了一个简单的概述背后的规范/重力对偶性的重离子物理问题的基本哲学。最近的进展，关于粘度，反常流体力学，能量损失，以及热化将进行审查。
Lotty -- The loop-tree duality automation
阐述了新的制定的循环树的对偶性，我们介绍了Mathematica软件包Lotty，后者在多循环级别自动化。通过研究Lotty的特点和回顾前人的研究，我们讨论了任意多圈振幅的表示都可以在被积函数的层次上以一种只显示物理信息的形式出现，我们称之为多圈Feynman被积函数的因果表示.为了阐明Lotty在这一自动化中的作用，我们回顾了被积函数的对偶表示的计算结果，直到四个循环。同样，在Lotty框架内，我们提供了支持的全循环因果表示最近由同一作者。在双环平面和非平面拓扑中研究了Lotty生成的被积函数的数值稳定性，并进行了数值积分，与已知结果进行了比较.
Numerical Loop-Tree Duality: contour deformation and subtraction
我们介绍了一种新的构造轮廓变形的框架内的循环树对偶的数值计算的循环积分具有阈值奇异的动量空间。我们的轮廓变形的函数形式自动满足所有约束，而无需微调。我们证明，我们的建设是系统的和有效的，将其应用到100多个例子的有限标量积分具有多达6个循环。我们还展示了处理不可积奇点的第一步，通过将我们的工作应用于单圈红外发散标量积分和单圈振幅的有序生产的两个和三个光子。这就需要我们的轮廓变形与当地的反调节软，共线和紫外发散相结合。这项工作是一个重要的一步，计算高阶修正相关的散射截面在一个完全数值的方式。
Feynman's Tree Theorem and Loop-Tree Dualities
我们讨论了对偶定理，它提供了一个循环积分和相空间积分之间的关系。我们重新推导的对偶关系的一个循环的情况下，并将其扩展到两个和更高阶的循环。我们明确地表明其应用程序的两个和三个循环的标量主积分，并讨论发生削减的结构。
Recent developments from the loop-tree duality
在这次演讲中，我们回顾了四维非减法（FDU）和循环树对偶（LTD）方法的最新发展。特别是，我们强调的优点，有限公司形式主义关于渐近展开的循环被积。
Towards a Numerical Implementation of the Loop-Tree Duality Method
本文综述了用Loop-Tree对偶方法（LTDM）计算散射振幅的最新进展。一个中心点是被积函数的奇异性分析。在LTDM的框架中，这些奇点中的一些被抵消。剩下的部分则通过轮廓变形处理。我们介绍了如何实现这一目标的细节以及初步结果。
Local renormalisation from causal loop-tree duality
本文提出基于因果圈-树对偶性的局域重整化方法，通过紫外展开构造反项并在壳能量层面结合因果表示，成功在三圈拓扑中抵消紫外发散，为绕过DREG的四维数值重整化方案奠定基础。
From Feynman integrals to quantum algorithms: the Loop-Tree Duality connection
针对高能物理中多圈费曼积分经典计算的瓶颈问题，本研究依托Loop-Tree Duality将圈被积函数转化为相空间积分，通过编码构建相关哈密顿量实现量子算法优化，在多圈拓扑计算中取得了有前景的结果。
Loop-tree duality from vertices and edges
因果关系表示的多圈散射振幅，从应用得到的循环树对偶形式主义，全面阐明，在被积函数的水平，只有物理奇点的行为。这种表示被发现，以体现紧凑的表达式具有相同数量的\textit{vertices}的多回路拓扑结构。有趣的是，在以前的研究中考虑的被积体，多达六个顶点和$L$内部线，显示相同的结构，多达四个循环的。前者是一种见解，即顶点和内部线的集合\textit{edges}之间应该存在对应关系，该集合表示多环拓扑。借助于这种关系，在本文中，我们拥抱一种方法来正确分类的多回路拓扑结构，根据顶点和边缘。与以前的研究不同，我们考虑了最一般的拓扑结构，通过以所有可能的方式连接顶点和边。同样，我们提供了一个程序来生成因果表示的多回路拓扑结构，考虑因果传播。明确的因果关系表示循环拓扑与多达九个顶点。
Attacking One-loop Multi-leg Feynman Integrals with the Loop-Tree Duality
我们简要地讨论了循环树对偶（LTD）方法的第一个数值实现。我们应用LTD方法计算紫外和红外有限多支单圈费曼积分。我们攻击标量和张量积分多达六个腿（六边形）。LTD方法显示出独立于外部引脚数量的优异性能。
From loops to trees by-passing Feynman's theorem
我们得到了一个对偶关系之间的单圈积分和相空间积分出现从他们通过单切割。对偶关系是通过修改Feynman传播子的习惯+i0处方来实现的。新的处方正规化的传播，我们写在洛伦兹协变的形式，弥补了缺乏多切割的贡献，出现在费曼树定理。对偶关系可以应用于任何相对论性、局域性和酉场论中的一般单圈量。它适用于单圈散射振幅的解析计算和次领先级截面的数值计算。我们详细讨论了二元性，涉及一个循环和树级格林函数。我们评论的应用程序的分析计算的单圈散射振幅，并在下一个领先的顺序的横截面的数值计算。
The loop-tree duality at work
本文综述了环树对偶方法的最新发展，着重讨论了单圈积分和散射振幅对偶表示的环被积函数的奇异性。我们表明，在循环树对偶方法中，在被积函数级，对应的对偶表示的不同组成部分之间的奇异性是部分抵消的。剩余的阈值和红外奇异性被限制在回路动量空间的有限区域内，该区域的大小与外部动量相同，并且可以映射到实修正的相空间以消除软发散和共线发散。
Monopole-Particle Duality at Strong Electric Coupling
提交人撤回了这一请求。目前正在重写一些材料。
First Numerical Implementation of the Loop-Tree Duality Method
Loop-Tree Duality（LTD）是QFT中的一种新的微扰方法，它建立了Loop-Tree和Tree-Level振幅之间的关系，从而产生了在一个普通的Monte Carlo中同时处理它们的想法。最初介绍了单圈标量积分，有限责任公司的适用性已扩大到高阶回路和费曼图超越简单的极点。这是第一次，一个依赖于有限公司的数值实现实现的计算机程序的形式，计算单回路散射振幅。我们提出的细节，以及标量和张量积分的结果轮廓变形。
Causal representation of multi-loop Feynman integrands within the loop-tree duality
费曼表示中多圈散射振幅的数值计算通常需要同时处理物理（因果）和非物理（非因果）奇点。循环树对偶（LTD）提供了一个强大的框架，可以很容易地识别和区分这两种类型的奇点，然后简化分析的基础表达式。在本文中，我们的工作明确的对偶表示的多回路费曼积分产生的三个父拓扑，我们称之为极大，次极大和次极大次极大回路拓扑。特别是，我们的目标是表达这些双重贡献，独立的循环和内部配置的数量，仅在因果传播。因此，提供了非常紧凑和因果被积函数表示的所有订单。为了做到这一点，我们重建他们的解析表达式从有限域上的数值计算。这个过程隐含地抵消了所有非物理奇点。我们还解释了纠缠的因果阈值的结果。鉴于对偶表达式的简单结构，我们将它们数值积分到整数时空维度的四个循环，利用它们在被积函数级的光滑行为。
Asymptotic expansions through the loop-tree duality
第一个结果对一个一般的方法渐近展开的费曼振幅的循环树对偶（LTD）形式主义。渐近展开发生在圈三动量的欧氏空间中的积分级，其中内部和外部尺度之间的层次是明确定义的。此外，UV行为的个人贡献的渐近展开出现在第一项的扩展，并在四个时空维度的局部重整化。这两个属性表示优于区域扩展（EbR）方法。我们探索不同的方法，在不同的运动学限制，并得出一般准则与几个基准的例子。
Numerical implementation of the Loop-Tree Duality method
我们提出了第一个数值实现的Loop-Tree对偶（LTD）方法的直接数值计算的多腿单圈费曼积分。我们详细讨论了对偶被积函数的奇异结构，并在圈三动量空间中定义了一个合适的轮廓变形来进行数值积分。然后，我们应用LTD方法计算紫外和红外有限积分，并提出明确的结果，标量积分与多达五个外部腿（五边形）和张量积分与多达六个腿（六边形）。LTD方法的特点是具有与外部引脚数量无关的出色性能。
Understanding IR singularities in the Loop-Tree Duality
该研究围绕圈树对偶的红外奇点展开，综述奇点产生与抵消的进展，提出有限积分构造新策略，并给出用量子比特和量子电路编码因果与奇异结构的互补视角。
From five-loop scattering amplitudes to open trees with the Loop-Tree Duality
描述多圈拓扑结构是量子场论发展高微扰阶数新方法的重要一步。在这篇文章中，我们利用Loop-Tree Duality（LTD）形式主义来分析首次出现在五个循环中的多循环拓扑。解释，我们打开循环连接树，并根据它们的拓扑特性分组。然后，我们确定一个内核生成器，所谓的N $^7$ MLT通用拓扑结构，使我们能够描述任何散射振幅多达五个循环。此外，我们提供因式分解和递归关系，使我们能够写这些多回路拓扑结构的更简单的子拓扑结构，包括几个子集的费曼图与任意数量的循环。我们的方法利用了许多对称性存在于原始的基本五回路拓扑结构的图形描述。本文中获得的结果可能揭示了更有效地确定高阶校正的运行耦合，这是至关重要的，在当前和未来的精密物理程序。
Manifestly Causal Loop-Tree Duality
Loop-Tree Duality（LTD）是一个框架，其中Feynman积分的所有圈动量的能量分量使用留数定理积分出来，导致在树状结构上求和。最初，LTD表达式展示了被加数之间的非因果阈值的抵消，也称为双重抵消。其结果是，该表达式表现出数值不稳定性的非因果阈值附近，并为大回路动量。在这项工作中，我们得到了一个新的，一般适用的，明显的因果有限公司（CLTD）表示，其唯一的阈值是因果阈值，即它显然实现了双重取消。因此，这一结果也可作为对偶消去的一般证明。我们表明，有限责任公司，cLTD，和来自时间有序微扰理论（TOPT）的表达式是局部等价的。TOPT和cLTD都只具有因果阈值奇异性，但是LTD具有更好的传播子数量缩放。在我们的代表提供的新的理论观点之上，它具有有用的属性，即原始4D被积函数的紫外线（UV）行为对于每个被加数都保持不变。我们表明，由此产生的LTD被积函数的表达式是完全稳定的UV区域，这是关键的LTD的振幅和截面的计算的实际应用。我们提出了明确的例子，各种多达四个循环积分的LTD表达式，并表明其增加的计算复杂性可以有效地减轻优化其数值实现。最后，我们提供了计算机代码，自动生成的LTD表达式为任意拓扑结构。
Loop Tree Duality for multi-loop numerical integration
Loop Tree Duality（LTD）为直接在动量空间中对多圈积分进行数值积分提供了一条很有前途的途径。它在一个循环中得到了很好的建立，但在两个循环中只有稀疏的数值结果。我们提供了一个新的多回路LTD表达式的形式推导，并研究其阈值奇异结构。我们将我们的研究结果数值上的一组不同的多达四个循环的有限拓扑运动学，没有轮廓变形是必要的。我们也为构造这样的变形打下了基础。我们的研究结果作为一个重要的垫脚石，对一个普遍的和有效的数值实现有限公司，适用于计算的虚拟修正。
Towards multiloop local renormalization within Causal Loop-Tree Duality
本文基于 Loop-Tree Duality 的因果表示提出被积函数层面的局域抵消项策略，在最高三圈 Feynman 图上实现平滑的紫外发散抵消，推动 QFT 完全局域重整化。
QED and QCD self-energy corrections through the loop-tree duality
回路树对偶（LTD）定理建立了回路对散射振幅的贡献可以通过对偶积分来计算，对偶积分是从虚图的单个切割建立的。为了建立一个完整的LTD表示的截面，并实现一个本地取消的奇异性，这是至关重要的，包括重整化自能修正的非积分形式。在本文中，我们计算了量子电动力学和量子色动力学中与自能修正相关的标量函数，并明确地提取了它们的紫外行为。
Color-Kinematics Duality for QCD Amplitudes
我们表明，色运动学的对偶性是目前在树级振幅的量子色动力学与质量味夸克。本文从QCD的颜色结构出发，在原振幅的约化基上给出了一种新的n点树振幅的颜色分解。这些基元，有k个夸克-反夸克对和（n-2k）个胶子，在（n-2）！/国王啊！Melia基，和在色代数Kleiss-Kuijf关系下是独立的.这将Del Duca，Dixon和Maltoni的色分解推广到任意数量的夸克。新分解中的色系数由对任意规范群和表象有效的紧致表达式给出。考虑到运动学结构，我们通过显式计算表明，色运动学的对偶持有一般配置的胶子和大质量夸克的振幅。新的（大质量）振幅关系，从对偶可以映射到一个定义良好的子集熟悉的胶子BCJ关系。它们将振幅基础进一步限制到（n-3）！（2k-2）/k！基元，对于两个或多个夸克线。我们给出了在该基中的全振幅的分解。这些结果提供了强有力的证据，证明QCD至少在树的水平上服从色-运动学对偶。这些结果也适用于QCD的超对称和D维扩展。
Vacuum amplitudes and time-like causal unitary in the loop-tree duality
本文首次将LTD因果幺正性应用于高阶微扰衰变过程，详细展示了从多圈真空振幅生成微分衰变率贡献的方法，并提供了对各类奇异性局部抵消与重整化的物理解释及数值验证。
Explicit Quark-hadron Duality in Heavy-light Meson Weak Decays in the 't Hooft Model
我们计算了1+1时空维中具有大量QCD色的重-轻介子的非轻子弱衰变宽度（t Hooft模型）作为重夸克质量的函数。在这个极限下，QCD是完全可解的，并且衰变模式由两粒子末态主导。为了检验这个宇宙中的夸克-强子二象性，我们将结果与重夸克的树能级部分子衰变宽度进行了比较。我们发现，这种对偶性是令人惊讶的，很好地满足重夸克的限制，在排他性的部分宽度和树水平的部分宽度之间的差异接近一个常数M ->无穷大，和偏差是很好的适合一个小的1/M修正。我们评论的意义，这一结论和它的影响，在强子物理学中使用夸克强子对偶。
Theoretical foundations and applications of the Loop-Tree Duality in Quantum Field Theories
Loop-Tree Duality（LTD）是QFT中一种新的微扰方法，它建立了环层和树层散射振幅之间的关系。这是通过将留数定理直接应用于环路能量积分来实现的。结果是在修改的相空间上积分的费曼图的所有可能的单切割的总和。这些单切积分，称为对偶贡献，实际上是树级对象，因此产生了将循环和树贡献结合在一起的机会，在一个共同的蒙特卡罗事件发生器中同时处理它们。最初介绍了单圈标量积分，LTD的适用范围已扩大至今。在这篇论文中，我们展示了如何利用分部积分（IBP）关系来处理简单极点之外的费曼图。此外，我们还研究了对偶贡献之间以及实修正和虚修正之间的奇异性抵消。第一次，有限责任公司的数值实现是以计算单圈散射图的计算机程序的形式完成的。我们提出的细节轮廓变形的结果，标量积分的五边形和张量积分的六边形水平。
Four-dimensional unsubtraction from the loop-tree duality
本文提出了一种新的算法来构造一个纯四维表示的高阶微扰修正的物理截面在次领先阶（NLO）。该算法基于环树对偶（Loop-tree duality，LTD），通过引入虚散射振幅的外动量和环动量与实辐射修正的外动量之间的映射来实现。通过这种方式，在被积函数水平上对简并红外态进行求和，并且在局部发生红外发散的抵消，而无需引入减法计数项来处理软和最终态共线奇点。还详细讨论了紫外计数器项的双重表示，特别是自能贡献。该方法首先说明了与标量三点函数，在进行计算的物理截面$γ^* \to q \bar{q}(g)$，其推广到多腿过程。本文简要地评述了次-次-首序的推广（NNLO）。
Loop Tree Duality with generalized propagator powers: numerical UV subtraction for two-loop Feynman integrals
本文提出双圈费曼积分的显式环树对偶公式，并结合 $\mathcal{R}$ 算子与 Hopf 代数结构发展递归紫外减除算法，实现了含二次发散的双圈紫外发散积分的数值计算。
Applications of the loop-tree duality
我们描述了一种新的方法来执行非线性光学计算，结合实和虚拟振幅在被积函数的水平，与一个完全本地补偿它们之间的IR，和虚拟的被积函数和适当定义的计数器之间的条款在UV，在这样一种方式，物理观测值可以计算在4维。该方法的优点之一是，所有的散射振幅的积分同时进行，而不需要张量减少，或投影到主积分集。因此，它可以在NLO计算的自动化方面提供很大的进步，其中实际的瓶颈是多分支过程的分析计算的复杂性和结果的数值稳定性。
Recent Progress in the Heavy Quark Theory
本文简要回顾了重夸克理论的一些新进展。重点阐述了HQET和OPE之间的相互关系。对偶性的概念和偏离对偶性进行了详细讨论。
Supersymmetry and Duality in Field Theory and String Theory
这是在99' Cargese暑期学校给出的一组讲座：粒子物理学：思想和最新发展。它们包含了一个行人的非微扰场论和弦论的基础上的对偶思想的最新理论进展的阐述。
Interplay of colour kinematics duality and analytic calculation of multi-loop scattering amplitudes: one and two loops
在这次演讲中，我们回顾了最近的发展对多圈散射振幅的计算。特别是，我们讨论了如何颜色运动学的对偶可以提供新的积分关系，通过循环树对偶形式主义在一个循环的水平。另一方面，为了计算散射振幅在一个和两个循环的水平，数值和分析，我们描述的自适应被积函数分解算法的初步自动化。我们展示了初步的结果上的分析减少的$μe$弹性散射在一个和两个循环的水平。
Four-dimensional representation of scattering amplitudes and physical observables through the application of the Loop-Tree Duality theorem
在这篇论文中，我们提出了一种新的方法来计算高阶修正的物理截面，绕过更传统的方法。这种技术，四维非减（FDU），是基于循环树对偶（LTD）定理，并旨在建立纯四维表示的散射振幅在更高的订单微扰理论。这是通过在高能量下对虚贡献进行局部重正化，然后映射对应的实贡献的运动学，使其在软和共线极限中与虚贡献匹配来完成的。这使得紫外线和红外线的奇异性在取两者贡献之和时在被积函数级消失，这意味着可以在积分之前取四维极限，从而允许直接的数值实现。我们首次应用这种方法计算了虚光子到两个无质量夸克的衰变，然后将这种方法推广到有质量粒子。我们还展示了LTD形式主义所提供的新优势。其中之一是可以在被积函数水平上以通用形式写出单圈和双圈散射振幅，而不管在圈内运行的粒子的性质如何。另一种方法是利用积分域的欧几里德性质，在内部质量中执行积分级渐近展开-而不必依赖于按区域展开技术。最后，我们提出了一种新的算法，局部重正化两个回路的振幅，其中重正化方案可以很容易地固定通过紫外区域的子领导的贡献。
Quark-Hadron Duality in the 't Hooft Model for Meson Weak Decays: Different Quark Diagram Topologies
在大N_c极限下，比较了不同夸克图拓扑结构对轻重介子弱强子宽度的影响。我们列举了各种拓扑结构，并指出在N_c的幂中，唯一占优势（甚至可以与之相比）的是“湮灭”图，在这种图中，价夸克-反夸克对微弱地湮灭。我们在强子水平上计算了t Hooft模型（1+1维时空中具有大量颜色N_c的QCD）中该图的振幅，并与玻恩项部分子水平进行了比较。我们发现，夸克-强子对偶性是不满意的，即使在应用涂抹程序的强子结果。一些有趣的微妙之处缺席的树形图的情况下出现在湮灭图的情况下，并详细描述。
Duality and Chiral Restoration from Low-Mass Dileptons at the CERN-SpS
本文综述了CERN-SpS能区低质量双轻子产生的最新理论进展。讨论了计算热/密强子物质中矢量关联子的各种强子方法，并进行了比较。手性恢复的性质可能的后果表明。
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