An extension problem and trace Hardy inequality for the sublaplacian on $H$-type groups
L. Roncal, S. Thangavelu
本文研究了$H$型群上的次拉普拉斯算子的扩张问题，并利用其解证明了次拉普拉斯算子的迹Hardy不等式和次拉普拉斯算子的分数次幂的Hardy不等式.
In this paper we study the extension problem for the sublaplacian on a $H$-type group and use the solutions to prove trace Hardy and Hardy inequalities for fractional powers of the sublaplacian.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hardy's inequality for fractional powers of the sublaplacian on the Heisenberg group
证明了Heisenberg群$\mathbb{H}^n$上次拉普拉斯算子的共形不变分数幂的Hardy不等式.我们证明了两个版本的不等式取决于所涉及的权重是否是非齐次或齐次。在第一种情况下，哈迪不等式中的常数是最优的。为了得到我们的结果，我们将使用基态表示。得到后者的关键是次拉普拉斯算子的分数幂的显式整表示和M. Cowling和U.哈格鲁普证明整表示的方法是通过半群的语言。作为Hardy不等式的结果，我们还得到了分数阶次拉普拉斯算子的海森堡不确定性不等式。
Hardy's Inequality for the fractional powers of Grushin operator
证明了广义次拉普拉斯算子的分数幂和Grushin算子的分数幂的Hardy不等式。我们还找到了广义次拉普拉斯算子的分数幂的整表示和基态表示。
Sharp trace inequalities for conformally invariant fractional powers of the sublaplacian on the Heisenberg group and the CR sphere
本文在Heisenberg群和CR球上建立了精确的Sobolev迹不等式，扩展了Einav-Loss、Beckner和Bez-Machihara-Sugimoto在欧几里得空间的结果，并在极限情况下得到了CR球上的精确迹Beckner-Onofri不等式。
Non-existence of radial eigenfunctions for the perturbed Heisenberg sublaplacian
本文利用乘子法和 Hardy 不等式证明 Heisenberg 群上次拉普拉斯算子径向解的加权 L^2 一致预解式估计，并据此给出复径向势条件，证明受扰动算子不存在径向特征函数。
Non self-adjoint perturbations of the Heisenberg sublaplacian
本文利用乘子方法和水平 Hardy 不等式证明了 Heisenberg 群上亚拉普拉斯算子在加权 L² 空间中的一致预解式估计，并由此给出复位势的小性与排斥性条件，确保扰动算子无特征值。
Hardy-Littlewood-Sobolev Type Inequality and Stein-Wiess Type Inequality on Carnot Groups
通过证明一个积分算子的有界性，建立了Carnot群上的Stein-Weiss型不等式，并导出了Carnot群上的Hardy-Littlewood-Sobolev型不等式.
Multilinear Embedding and Hardy's Inequality
对于Hardy不等式，得到了多线性迹限制不等式.更一般地，给出了Young卷积不等式的新的多重线性型的详细发展，多重线性Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的新证明及其在双曲空间上的实现.
Reverse integral Hardy inequality on metric measure spaces
本文得到了度量测度空间上积分Hardy不等式的一个逆形式.并给出了加权逆Hardy不等式成立的充要条件。我们证明的主要工具是反向Minkowski不等式的连续形式。同时，给出了所得到的逆Hardy不等式在齐次群、双曲空间和Cartan-Hadamard流形上的一些结果.
Hardy's Inequality from a Logarithmic Caccioppoli Estimate
基于多元p-上调和函数的对数Caccioppoli估计，给出了Hardy不等式的一个简单证明.
Some Hardy and Rellich type inequalities for affine connections
该文研究完备非紧黎曼流形上仿射联络的多种Hardy型及相关不等式，所得结果改进并包含了诸多已有结果作为特例。
The role of the mean curvature in a Hardy-Sobolev trace inequality
利用Stein和Weiss加权Hardy-Littlewood-Sobolev不等式在半空间上的调和扩张，得到了Hardy-Sobolev迹不等式.本文考虑有界区域，研究Hardy-Sobolev迹不等式中的边界中曲率对基础区域的影响.证明了当Hardy势的奇点处的中曲率为负时极小元的存在性。
Remarks on a Sobolev-Hardy inequality
计算了一个广义Hardy-Sobolev不等式的最优常数，并利用两个对称化的乘积给出了某些最优函数对称性的初等证明.这个不等式是由天体物理学中的一个非线性椭圆方程引起的。
An optimal Hardy-Morrey inequality
本文通过增加一个最优加权Hoelder半范数，改进了$p>n$情形下的Hardy不等式.为了实现这一点，我们首先获得局部改善。我们还得到了$p>n$的Sobolev不等式和Hardy不等式的一个改进，后者具有最佳常数。
On existence of minimizers for the Hardy-Sobolev-Maz'ya inequality
证明了在$R^{m+n}\setminus\R^n$中，对于$m=1$和$n>2$，或者对于$m>2$和$n>0$，Hardy-Sobolev-Maz'ya不等式的极小解的存在性.
Hardy-type and Heisenberg's inequality in Morrey spaces
利用拉普拉斯算子虚幂的Morrey模估计证明了Morrey空间上拉普拉斯算子分数幂的一个插值不等式。然后证明了一个Hardy型不等式，并将其与插值不等式一起得到了Morrey空间中的一个Heisenberg型不等式.
Finsler Hardy-Kato's inequality
在Finsler上下文中，我们证明了半空间上的trace-Hardy不等式，即所谓的Kato不等式的一个改进版本。所得到的不等式推广了\cite{AFV}在欧氏上下文中得到的不等式.并讨论了开锥上同类不等式的有效性。
Extensions of Hardy inequality
本文利用极大函数理论证明了一类尖锐的Hardy不等式。我们的结果改进和推广了G.Hardy \cite{Ha04}，T.Cazenave \cite {Ca 03}，J. Y.Chemin \cite {Ch06}和T.Tao \cite {TT 06}。
The effect of curvature in fractional Hardy--Sobolev inequality with the Spectral Dirichlet Laplacian
证明了具有边界奇异性的分数阶Hardy-Sobolev不等式中最佳常数的可达性。主要假设是原点处边界的平均曲率。
On the Hardy-Poincaré inequality with boundary singularities
设$Ø$是$\R^N$中的光滑有界域，其中有$N\ge 1$ .本文研究了权函数在$Ø$边界奇异的Hardy-Poincaré不等式.特别地，我们给出了极小元存在的充分和必要条件.
Sharp Hardy-Leray inequality for three-dimensional solenoidal fields with axisymmetric swirl
本文证明了三维螺线管的Hardy-Leray不等式（即，无发散）具有最佳常数的场。为了得到最佳常数，我们只对涡流分量施加轴对称条件。这部分地补充了O. Costin和V. Maz'ya \cite{Costin-Mazya}关于轴对称无发散场的尖锐Hardy-Leray不等式。
Asymptotic behavior of extremal functions to an inequality involving Hardy potential and critical Sobolev exponent
本文研究了一类含Hardy势和临界Sobolev指数的不等式的径向极值函数的渐近性态。基于原点和无穷远处的渐近性态，我们将推出两个最佳常数之间的严格不等式。最后，作为这个严格不等式的应用，我们考虑了一类具有Hardy势和临界Sobolev指数的拟线性Brezis-Nirenberg型问题非平凡解的存在性。
Complete classification and nondegeneracy of minimizers for the fractional Hardy-Sobolev inequality, and applications
研究了与分数阶Hardy-Sobolev不等式有关的线性和非线性方程.我们证明了基本方程基态解的非退化性，并研究了一些扰动方程解的存在性和定性性质，包括解的对称性。
The second best constant for the Hardy-Sobolev inequality on manifolds
研究了黎曼流形上Hardy-Sobolev不等式中的次佳常数.更确切地说，我们感兴趣的是这个不等式的极值函数的存在性。Djadli-Druet [5]用Sobolev不等式解决了这个问题。在这里，我们建立了相应的奇异情况下的结果。此外，我们进行了爆破分析的解决方案Hardy-Sobolev方程的最小化类型。这就产生了有关黎曼函数不等式中第二个最佳常数的值的信息。
The fractional Hardy inequality with a remainder term
我们计算了区间上某些幂函数的区域分数拉普拉斯算子。作为应用，我们证明了具有最优常数的区间上的分数阶拉普拉斯算子的带附加项的Hardy不等式。结果，我们得到了一般域上的具有最佳常数和额外低阶项的分数阶Hardy不等式。Loss和C.斯隆[arXiv：0907.3054v1 [math.AP]]
A curl-free improvement of the Rellich-Hardy inequality with weight
我们考虑$\mathbb{R}^N$上无旋向量场的Rellich-Hardy不等式（具有径向幂权重）中的最佳常数，该常数最初由Tertikas-Zographopoulos \cite{Tertikas-Z}在无约束场中发现。这个不等式被认为是Hardy-Leray不等式和Rellich-Leray不等式之间的中间不等式。在无旋度条件下，计算了不等式中新的显式最佳常数，并证明了该常数的不可达性。本文是\cite{CF_MAAN,CF_Re}的续篇。
Critical Hardy inequality on the half-space via the harmonic transplantation
利用调和移植证明了半空间上的一个临界Hardy不等式。同时给出了半空间上的次临界Hardy不等式的一个改进，它收敛于临界Hardy不等式。讨论了Sobolev型不等式.
Sharp Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities on compact CR manifold
设$M$是CR紧无边界流形，CR Yamabe不变量$\mathcal{Y}(M)$为正.本文研究了如下一类尖锐的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式：\begin{equation*} \Bigl| \int_M\int_M [G_ξ^θ(η)]^{\frac{Q-α}{Q-2}} f(ξ) g(η) dV_θ(ξ) dV_θ(η) \Bigr| \leq \mathcal{Y}_α(M) \|f\|_{L^{\frac{2Q}{Q+α}}(M)} \|g\|_{L^{\frac{2Q}{Q+α}}(M)}, \end{equation*}其中$G_ξ^θ(η)$是CR共形Laplacian的Green函数，$\mathcal{L_θ}=b_nΔ_b+R$，$\mathcal{Y}_α(M)$是尖锐常数，$Δ_b$是Sublaplacian，$R$是Tanaka-Webster曲率标量.对于对角情形$f=g$，证明了$\mathcal{Y}_α(M)\geq \mathcal{Y}_α(\mathbb{S}^{2n+1})$（$\mathbb{C}^{n+1}$的单位复球面）和$\mathcal{Y}_α(M)$可以由$\mathcal{Y}_α(M)> \mathcal{Y}_α(\mathbb{S}^{2n+1})$得到。特别是，如果$α=2$，以前的极值问…
The best constant in a fractional Hardy inequality
证明了半空间上分式拉普拉斯算子的一个最优Hardy不等式。
New weighted Hardy's inequalities with application to non-existence of global solutions
本文证明了关于$1<p<+\infty$和维数$d\ge1$的一个加权Hardy不等式.如果是$p>d$，那么我们可以从加权Hardy不等式推导出一个Poincaré不等式。利用Mitidieri \cite{MR1769903}首先提出的向量场方法证明了加权Hardy不等式。用同样的方法，我们证明了对于$1<p<+\infty$和$d\ge1$，加权Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式成立.作为加权Hardy不等式的应用，我们证明了一个p-Kolmogorov抛物型方程解的不存在性.
Localisation for the torsion function and the strong Hardy inequality
在Dirichlet Laplacian算子满足强Hardy不等式的假设下，得到了挠函数的效率的双边界，它与到边界函数的距离的平方有关.在此假设下得到了挠函数的局部化性质。并对一个实例进行了详细分析。
Sobolev and Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities: duality and fast diffusion
在欧几里得空间中，Sobolev不等式和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式可以通过对偶联系起来.在本文中，我们研究如何联系这些不等式使用一个快速扩散方程的流在$d\ge3$维。主要结果是Sobolev不等式在$d\ge5$时的一个改进，它涉及到对偶Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的各项.在$d=2$维上，Onofri不等式起着Sobolev不等式的作用，并且可以通过一个超快扩散方程与它的对偶不等式Hardy-Littlewood-Sobolev不等式联系起来.
On the integral systems related to Hardy-Littlewood-Sobolev inequality
证明了一类尖锐的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的极大化子都是光滑的。更一般地说，我们证明了所有的非负检验函数是光滑的，径向上的一些点和严格减少的径向方向。特别是，这解决了所有的情况下，由以前的作品开放的陈，李和欧对相应的积分系统。
Sharp nonexistence results for a linear elliptic inequality involving Hardy and Leray potentials
本文研究了一类含有平方反比势和对数权的线性椭圆型方程的非负分布上解。我们证明了尖锐的不存在结果。
Self-improvement of pointwise Hardy inequality
证明了一个逐点$p$ -Hardy不等式的自改进性.证明依赖于极大函数技巧和不等式的曲线特征。
Weighted Hardy inequality with higher dimensional singularity on the boundary
设$Ω$是$\mahbb R^N$中具有$N\ge 3$的光滑有界区域，$Σ_k$是$δΩ$中维数为$1\le k\le N-2$的闭光滑子流形.本文研究了$Σ_k$上权函数奇异的加权Hardy不等式.特别地，我们给出了极小元存在的充分和必要条件.
A Hardy-Littlewood-Sobolev type inequality for variable exponents and applications to quasilinear Choquard equations involving variable exponent
在这项工作中，我们证明了一个版本的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的可变指数。然后利用变分方法证明了一类含$p(x)$ -Laplacian算子的Choquard方程解的存在性。
Hardy's inequality for functions vanishing on a part of the boundary
我们发展了一个几何框架的Hardy不等式的有界域上的功能消失时，只在一个封闭的部分的边界。
A Hardy-Moser-Trudinger inequality
本文得到了平面上单位圆盘$B$上的一个不等式，同时改进了经典的Moser-Trudinger不等式和经典的Hardy不等式。也就是说，存在一个常数$C_0>0$，使得\[ \int_B e^{\frac {4πu^2}{H(u)}} dx \le C_0 < \infty, \quad \forall\; u\in C^\infty_0(B),\]，其中$$H(u) := \int_B |\n u|^2 dx - \int_B \frac {u^2}{(1-|x|^2)^2} dx.$$这个不等式是最近被深入研究的高维Hardy-Sobolev-Maz'ya不等式的一个二维类似.我们还证明了上确界是在一个合适的函数空间中得到的，这类似于Carleson-Chang关于Moser-Trudinger不等式的著名结果.
A Fractional Hardy-Sobolev-Maz'ya Inequality on the Upper Halfspace
证明了几个Sobolev不等式，并利用它们建立了上半空间上的一个分式Hardy-Sobolev- Maz'ya不等式.
Sharp Hardy-Littlewood-Sobolev inequality on the upper half space
关于经典的尖锐Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的推广，至少有两个方向：（1）在一般流形上推广尖锐不等式;（2）对负指数$λ=n-α$（即对$α>n$）推广尖锐不等式.本文通过在上半空间（共形等价于球）上建立尖锐的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，证明了第一方向扩张的可能性.得到了极值函数的存在性，并在一定的指数范围内，利用移动球方法对极值函数进行了分类。
Improved Hardy inequality with logarithmic term
本文证明了球内带双奇异核和对数项的改进哈代不等式，并由此给出有界域上p-拉普拉斯算子狄利克雷问题第一特征值的下界估计。
On the Hessian Hardy-Sobolev Inequality and Related Variational Problems
本文通过Hessian泛函的下降梯度流证明了Hessian积分的Hardy-Sobolev不等式，将其应用于相关变分问题解的存在性与正则性研究，扩展了Hessian方程的变分理论。
Generalized logarithmic Hardy-Littlewood-Sobolev inequality
本文研究了二维欧几里得空间中存在对数增长外势时的对数Hardy-Littlewood-Sobolev不等式.与势的耦合引入了一个新的参数，有两个区域。吸引机制反映了标准的对数Hardy-Littlewood-Sobolev不等式。第二个政权对应于一个反向不等式，与相反的符号的卷积项，这使我们能够绑定的漂移扩散泊松系统的自由能从下面。我们的方法是基于E. Carlen，J. Carrillo和M.损失，以及一个非线性扩散方程。
Reversed Hardy-Littlewood-Sobolev inequality on Heisenberg group $\mathbb{H}^n$ and CR sphere $\mathbb{S}^{2n+1}$
本文主要研究Heisenberg群$\mathbb{H}^n$和CR球$\mathbb{S}^{2n+1}$上的逆Hardy-Littlewood-Sobolev（HLS）不等式.首先，我们建立了一个大致反向的HLS不等式，并给出了sharp常数的一个明确的下界。然后，利用次临界方法和一些紧性技巧证明了具有锐常数的极值函数的存在性。我们的方法不需要重排，可以用来研究经典的HLS不等式和其它类似的不等式。
Weighted Hardy inequality on Riemannian manifolds
设$(M,g)$是维数为$N\geq 3$的光滑紧致黎曼流形，$Σ$是维数为$1 \leq k \leq N-2. $的闭子流形，本文在Brezis-Marcus-Shafrir的框架下研究了$Σ$上权函数奇异的Hardy不等式极小解的存在性和不存在性.特别地，我们给出了极小元存在的充要条件.
Optimal non-homogeneous improvements for the series expansion of Hardy's inequality
在距离取自$\mathbb{R}^n$和$1<p\neq n$中有界区域内点的特殊情况下，考虑\cite{BFT2}的$L^p$-Hardy不等式的级数展开.对于$p<n$，我们通过增加一个最优加权的临界Sobolev范数作为余项来改进它，推广了\cite{FT}的$p=2$结果，解决了\cite{BFT1}中的公开问题.对于$p>n$，我们通过添加最优加权Hölder不等式作为剩余项来改进它，将\cite{Ps}的Hardy-Morrey不等式扩展到级数情况。
Weighted fractional Hardy-Sobolev and Hardy-Sobolev-Maz'ya inequalities with singularities on flat submanifold
本文研究了带权重的分数Hardy-Sobolev和Hardy-Sobolev-Maz'ya不等式，探讨了奇点在平坦子流形上的应用，并证明了相关不等式在特定条件下的不成立性。
On the best possible remaining term in the Hardy Inequality
本文给出了$Ω$上的径向对称势$V$成为改进的Hardy不等式的一个可容许候选的充要条件，该不等式为：\begin{equation}\label{gen-hardy.0} \hbox{$\int_Ω|\nabla u |^{2}dx - (\frac{n-2}{2})^{2} \int_Ω\frac{|u|^{2}}{|x|^{2}}dx\geq c\int_Ω V(|x|)|u|^{2}dx$ \quad for all $u \in H^{1}_{0}(Ω)$.} \end{equation}
Improvements and generalizations of two Hardy type inequalities and their applications to the Rellich type inequalities
利用散度定理改进和推广了经典Hardy不等式和几何Hardy不等式。特别地，我们改进的Hardy型不等式导出了两个具有最佳常数的Hardy型不等式。此外，利用改进的Hardy型不等式改进了两个Rellich型不等式.
An Extended Discrete Hardy-Littlewood-Sobolev Inequality
Hardy-Littlewood-Sobolev（HLS）不等式在“临界”情况下失败：μ=n。然而，对于离散HLS，通过将不等式限制在有限区域上，我们可以得到一个具有对数校正的HLS不等式的有限形式.研究了不等式中的最佳常数及其相应的最优解.首先，我们得到了最佳常数的一个精确估计。然后，对于优化器，我们证明了唯一性和对称性。这是通过证明相应的欧拉-拉格朗日方程具有唯一的非平凡非负临界点来实现的。利用离散形式的最大值原理，证明了该优化器的单调性。
Improved Poincaré-Hardy inequalities on certain subspaces of the Sobolev space
在双曲空间上的索伯列夫空间的适当子空间中，利用Bessel对证明了Poincaré-Hardy不等式的一个改进形式.因此，我们得到了一个新的Hardy型不等式，它具有一个改进的常数（比通常的Hardy常数）.在此基础上，我们在双曲空间上得到了一个新的改进的Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式.
Fractional Hardy inequality with singularity on submanifold
本文研究了子流形上分数Hardy不等式，考虑了距离边界倒数作为权函数，并在临界情况下提供了最优对数修正。
The Hardy and Caffarelli-Kohn-Nirenberg Inequalities Revisited
本文重新讨论了一些重要的不等式。首先，作为动机，我们给出了另一个证明的Hardy不等式应用方便向量场介绍Mitidieri，见[6]。然后，我们研究了Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式的一个特例。最后，我们研究了Rellic不等式。
Sharp Hardy-Leray inequality for axisymmetric divergence-free fields
我们证明了经典的$n$维Hardy-Leray不等式中的sharp常数在轴对称无发散场下是可以改进的，并找到了它的最优值.对于没有轴对称假设的$n=2$也得到了相同的结果。
The Best Constant, the Nonexistence of Extremal Functions and Related Results for an Improved Hardy-Sobolev Inequality
给出了一个改进的Hardy-Sobolev不等式的最佳常数和极值函数的存在性。证明了在适当的变换下，该不等式等价于$\mathbb{R}^N$中的Sobolev不等式.我们还讨论了相关函数空间的连通性，从而得到了一些Caffarelli-Kohn- Nirenberg不等式。我们的出发点是Bliss不等式极小元的存在性和Hardy不等式在原点的间接依赖性。
Planar loops with prescribed curvature via Hardy's inequality
本文研究具预定曲率的平面闭曲线存在性，提出基于变分法的方法，利用Hardy型不等式及相关函数空间进行证明。
On a variant of Gagliardo-Nirenberg inequality deduced from Hardy
作为加权Hardy型不等式的一个结果，在Orlicz空间中得到了加权Gagliardo-Nirenberg插值不等式的新的变形.我们考虑的权重不需要加倍。
A logarithmic Hardy inequality
本文证明了一个新的不等式，它改进了经典的Hardy不等式，使得关于平方反比权计算的超二次增长的非线性积分量受能量控制.这个不等式不同于标准的对数Sobolev不等式的意义上说，该措施既不是勒贝格的措施，也不是一个概率测度。所有项都是尺度不变的。经过Emden-Fowler变换，该不等式可改写为圆柱上的对数Sobolev型最优不等式.在径向情况下，建立了锐常数的显式表达式以及极小化器。然而，当不施加对称性时，在某些参数范围内，径向函数之间不能实现尖锐常数。
On Bilinear Hardy Inequality and Corresponding Geometric Mean Inequality
本文的主要目的是给出双线性Hardy不等式在$1< q, p_1, p_2<\infty$与$q \geq \max(p_1,p_2)$情形下的几种尺度的等价条件.
Boundary fractional Hardy's inequality in dimension one: The critical case
本文证明一维临界情形 $sp=1$ 的分数阶边界 Hardy 不等式，确立其最优性，并给出收敛到常值函数的光滑函数序列示例。
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