Standard Bases for Linear Codes over Prime Fields
Jean Jacques Ferdinand Randriamiarampanahy, Harinaivo Andriatahiny, Toussaint Joseph Rabeherimanana
已知线性码可以由二项式理想表示。本文给出了素域上线性码情形下多元多项式环的局部化理想的标准基。
It is known that a linear code can be represented by a binomial ideal. In this paper, we give standard bases for the ideals in a localization of the multivariate polynomial ring in the case of linear codes over prime fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Cyclic Codes from Two-Prime Generalized Cyclotomic Sequences of Order 6
循环码在数据存储系统和通信系统中有着广泛的应用。利用6阶二素Whiteman广义分圆序列，构造了有限域GF}（q）上的几类循环码，并给出了它们的生成多项式.计算了一些循环码的最小距离，并给出了一些循环码的最小距离的下界。
Cyclic codes from the second class two-prime Whiteman's generalized cyclotomic sequence with order 6
设$n_1=ef+1$和$n_2=ef'+1$是两个不同的正整数奇素数$e,\ f,\ f'.$本文利用$e=6$阶的二素Whiteman广义分圆序列构造了$\mathrm{GF}(q)$上几类长度为$n_1n_2$的循环码.得到了这些循环码的最小距离的下界。
On $[[n,n-4,3]]_{q}$ Quantum MDS Codes for odd prime power $q$
对于每个奇素数幂$q$，设$4 \leq n\leq q^{2}+1$。利用有限域理论构造了$GF(q^{2})$环上对偶距离为3的厄米自正交$[n,2,n-1]$码.从而得到了$4 \leq n\leq q^{2}+1$的$[[n,n-4,3]]_{q}$量子MDS码。
Identification Codes via Prime Numbers
本文提出基于无噪信道素数生成的识别码构造方法，通过引入概率素数生成算法将密钥生成降至多项式时间，推导了type II上界改进，并提出基于哈希函数的广义识别编码方法。
Two weight $\mathbb{Z}_{p^k}$-codes, $p$ odd prime
证明了不存在$p$为奇数且$k\geqslant 2$的对偶汉明距离至少为4的正则齐次二权$\mathbb{Z}_{p^k}$码.证明依赖于建立在对偶码陪集上的强正则图的存在条件。
Weight Distribution of Repeated-Root Cyclic Codes with Prime Power Lengths
本文通过多项式推导将素数幂长度的重根循环码转化为单式等价码，利用MDS码经典结果确定其重量分布，并应用于构造任意素数p的p-重量循环码。
Cyclotomic Constructions of Cyclic Codes with Length Being the Product of Two Primes
循环码是一类有趣的线性码，由于其高效的编码和解码算法，在通信和存储系统中有着广泛的应用。他们已经研究了几十年，并取得了很大的进展。本文提出并分析了三种类型的二阶广义割圆和三类长度为$n_1n_2$，维数为$(n_1n_2+1)/2$的循环码，其中$n_1$和$n_2$是两个不同的素数.也证明了它们的最小似奇权的界。这三种构造在某些情况下产生最好的循环码。
Construction D$^\prime$ Lattices from Quasi-Cyclic Low-Density Parity-Check Codes
最近，Branco da Silva和Silva描述了构造D $^\prime$格的有效编码和解码算法。利用他们的算法，我们提出了一种基于二进制准循环低密度奇偶检验（QC-LPDC）码和单奇偶检验乘积码的构造D $^\prime$格。由平衡距离规则设计的底层代码以平衡的方式对所构造的晶格的平方最小距离做出贡献，这导致高晶格编码增益。基于IEEE 802.16e的QC-LDPC码的建议格被证明在功率无约束的加性高斯白噪声信道上提供有竞争力的误码率性能。
Cyclic codes from the first class two-prime Whiteman's generalized cyclotomic sequence with order 6
二阶和四阶的二元Whiteman割圆序列具有许多良好的随机性。本文计算了$d=6$阶第一类二素Whiteman广义分圆序列（WGCS-I）的自相关值和线性复杂度。结果表明，当$(n_1-1)(n_2-1)/36$为偶数或奇数时，该序列的自相关值为四值或五值，其中$n_1$和$n_2$是两个不同的奇素数，且它们的线性复杂度相当好.利用6阶双素WGCS-I构造了$\mathrm{GF}(q)$上几类长度为$n_1n_2$的循环码.我们还得到了这些循环码的最小距离的下界。
On the Structure of the Binary LCD Codes having an Automorphism of Odd Prime Order
本文的目的是研究具有奇素数阶自同构的二元LCD码的结构和性质，并给出一种构造方法。
Conflict-Avoiding Codes of Prime Lengths and Cyclotomic Numbers
完全解决了构造最优的偶数码长和汉明重量$3$的冲突避免码的问题。相反，它仍然是开放的奇数长度。原来素数长度是需要构造的基本情况。本文研究了素数长度的避免冲突码，并将其与所谓的分圆数联系起来。通过具有一些非零分圆数，用于构造最优冲突避免码的众所周知的算法将对某些素数长度起作用。因此，我们能够回答的最佳冲突避免代码的一个新的类的素数长度的大小。
Classification of Binary Self-Dual [48,24,10] Codes with an Automorphism of Odd Prime Order
本文的目的是完成具有奇素数阶自同构的二元自对偶[48，24，10]码的分类。证明了若存在一个自对偶码[48，24，10]，其自同构为p-（c，f）型，且p为奇素数，则p=3，c=16，f=0.通过只考虑3-（16，0）型自同构，证明了具有奇素数阶自同构的不等价自对偶[48，24，10]码正好有264个，等价地，不等价立方自对偶[48，24，10]码正好有264个.
How to Compute Modulo Prime-Power Sums
研究了分布式信源编码中模素幂和的计算问题以及多址信道（MAC）中的模素幂和计算问题。我们建立在群码，并提出了一类新的代码称为准群码（QGC）。QGC是组码的子集。这些代码在组添加下未关闭。我们研究了QGC的一些性质，并给出了一个填充和覆盖界。接下来，我们使用这些界限来推导分布式信源编码的可实现速率以及MAC上的计算。我们表明，严格的改进，以前已知的计划，可以得到使用QGC的。
Repairing Reed-Solomon Codes over Prime Fields via Exponential Sums
本文提出两种素数域上低码率 Reed-Solomon 码的修复方案，通过指数和的新联系实现恒定比特下载修复，并首次证明小 k 的 Shamir 秘密共享不具有泄漏弹性。
A Direct Construction of Optimal Symmetrical Z-Complementary Code Sets of Prime Power Lengths
本文利用多变量函数首次直接构造出大集合规模、素数幂长度的最优对称Z互补码集，该码集兼具前后端零相关区宽度，可用于宽带广义空间调制系统最优训练序列开发，且涵盖现有相关构造作为特例。
Lower Rate Bounds for Hermitian-Lifted Codes for Odd Prime Characteristic
本文将特征 2 域上 Hermitian-lifted 局部可恢复码的码率下界结果推广到任意奇素数特征，证明 q=p^l 时其码率具有依赖于 p 的正常数下界。
A Direct Construction of Complete Complementary Code with Zero Correlation Zone property for Prime-Power Length
本文提出了一种直接构造完全互补码（CCC）和零相关区（ZCZ）码集的新方法，称之为完全互补ZCZ（CC-ZCZ）码集。代码集是通过使用多变量函数构造的。所提出的构造还提供了具有新长度的Golay-ZCZ码，即，素数幂长度根据\emph{Tang-Fan-Matsufuzi}界，所提出的Golay-ZCZ码分别对于二进制和非二进制情况是最优的和渐进最优的。此外，所提出的直接构造提供了长度为$p^k$的新的ZCZ序列，其中$k$是整数$\geq 2$。建立了CC-ZCZ码集与一阶广义Reed-Muller（GRM）码之间的关系，证明了两者具有相同的汉明距离。我们还统计了一阶GRM码中CC-ZCZ码集的个数。列序列峰均包络功率比（PMEPR）的建议CC-ZCZ结构推导和现有的作品相比。本文还推导了Golay-ZCZ序列和ZCZ序列的构造，并与已有的工作进行了比较。拟议的建设概括了许多现有的工作。
Succinct Representation of Codes with Applications to Testing
受性质测试中的问题的启发，我们搜索具有“单局部轨道”性质的线性纠错码：即，它们由单个局部约束及其在代码的对称群下的平移来指定。我们证明了每个“稀疏”二进制码的对偶，其坐标由F_{2^n}的元素索引，对于素数n，并且其对称群包括F_{2^n}的非奇异仿射变换群，具有单局部轨道性质。（如果代码在其块长度中包含多项式多个码字，则该代码被称为“稀疏”。）特别地，这类包括双BCH码，对于双BCH码，对于BCH码）简单碱基是未知的。我们的结果给出了第一个短（O（n）位，而不是自然的exp（n）位）描述的BCH码的低重量的基础。对“单局部轨道”性质的兴趣来自Kaufman和Sudan（STOC 2008）的最新结果，该结果表明在仿射对称群下具有单局部轨道性质的码是局部可测试的。当结合我们的主要结果，这表明，所有的稀疏仿射不变码的坐标F_{2^n}素数n是局部可测的。如果，除了n是素数，如果2^n-1也是素数（即，2^n-1是梅森素数），则得到每个稀疏循环码也有一个局部轨道。特别地，这意味着Mersenne素数长度的BCH码由单个低权重码字及其循环移位生成。
A New Invariant for Prime Alternating Knots From Error-Correcting Codes
本文利用Alexander-Briggs码定义了一个新不变量，可区分素交错结，并展示了其在某些多项式不变量失效时的区分能力。
Reliable and Secure Multishot Network Coding using Linearized Reed-Solomon Codes
多点网络编码被认为是在最坏情况下的对抗设置，其中具有无限计算资源的无所不知的对手可能会在多达$t$链路中注入错误的数据包，删除多达$ρ$数据包，并窃听多达$μ$链路，所有这些都贯穿线性编码网络的$\ell$镜头。假设不知道潜在的线性网络代码（特别是，网络拓扑结构和潜在的线性代码可能是随机的，并随时间变化），编码方案实现零错误通信和完美的保密性的基础上得到的线性Reed-Solomon码。该方案实现了用于相干通信的$ \ell n^\prime - 2t - ρ- μ$分组的最大可能秘密消息大小，其中$ n^\prime $是对于任何分组长度$ m \geq n^\prime $（最大可能范围）的源处的传出链路的数目。通过提升这种结构，非相干通信的编码方案获得的信息速率接近实际情况下的最佳。所需的字段大小为$ q^m $，其中$ q > \ell $，即$ q^m \approx \ell^{n^\prime} $，总是小于为$ \ell $激发定制的加比杜林代码的字段大小，该加比杜林代码至少为$ 2^{\ell n^\prime} $。提供了一种用于线性化Reed-Solomon码的Welch-Berlekamp和秩解码算法，其在总长度$n = \ell n^\prime $上具有二次复杂度，并且其可以适于不仅处理错误，而且处理擦除、窃听观测和非相干通信。结合所获得的字段大小，给定…
On the Weight Distribution of the Extended Quadratic Residue Code of Prime 137
利用单偶码的Gleason定理，给出了素数p = 8m + 1的形式自对偶偶二元扩展二次剩余码的Hamming重量计数函数.利用这一定理，一旦已知汉明重量为j A_j（0 <= j <= 2m）的码字的数目，就完全确定了扩展二次剩余的汉明重量分布。对应的扩展二次剩余码的汉明重量分布未知的最小素数是137。本文指出，当p=137时，A_2m = A_34可不需穷举码字计数而得到。在计算了Gleason定理所要求的Aj的余数并利用它们的同余独立地验证了它们之后，导出了素数为137的二元增广二次剩余码的Hamming重量分布。
On the bounds and achievability about the ODPC of $\mathcal{GRM}(2,m)^*$ over prime field for increasing message length
研究了线性分组码的最佳距离分布，以增加或减少消息长度，同时保持最小距离尽可能大，特别是Golay码和二阶Reed-Muller码等。循环码具有更有效的编码和译码算法。本文研究了应用于同步信道中OFDM调制功率控制的删余广义二阶Reed-Muller码$\mathcal{GRM}(2,m)^*$关于循环子码链的最佳距离分布等问题，并按字典逆序考虑了两种标准：用于增加消息长度。给出了ODPC的四个下界和上界，其中下界在一定意义下几乎达到相应的上界。本文讨论的是非二元素域。
Two-weight codes over the integers modulo a prime power
设$p$为素数。证明了长度为$p^2-1$、维数为$2$的不可约循环码在整数模$p^h$上具有两个非零汉明重量.该构造使用特征$p^h$和阶数$p^{2h}.$的伽罗瓦环。当校验多项式是本原时，代码满足（Shiromoto，Storme）（2012）的Griesmer界。通过打孔构造了一些投影码。长度为$p+1$的那些满足的类单重界（Shiromoto，2000）。一个强正则图的无限族被构造为这些投射码的子图的陪集图。所有这些图的一个共同的覆盖，为固定的$p$，通过考虑这些循环码的Hensel提升的$p$ -进数。
On extremal self-dual codes of length 120
本文证明了能整除二元自对偶双偶[120，60，24]码自同构群阶数的素数只有2，3，5，7，19，23和29。进一步证明了素数阶自同构$p \geq 5$具有唯一的圈结构。
Adaptive Linear Programming Decoding of Nonbinary Linear Codes Over Prime Fields
在这项工作中，我们考虑自适应线性规划（ALP）解码的线性码的有限域$\mathbb{F}_p$的大小$p$其中$p$是一个素数。特别是，我们提供了一个一般的建设有效的不等式的码字多面体的所谓的恒定重量嵌入的一个单一的奇偶校验（SPC）码在任何素数字段。该构造基于根据几个规则组装以形成不等式的左侧的构建块的类。在几乎双重对称的有效类的情况下，我们证明了所得到的不等式都是面定义的，而我们猜想这是真的，当且仅当类是有效的和对称的。对于$p=3$，只有一个有效的对称类，我们证明了所得到的不等式与所谓的单纯形约束一起给出了一个完整的和无冗余的描述嵌入SPC码的码字多面体。对于$p>5$，我们表明，有额外的方面以外的建议建设。我们使用这些不等式开发一个有效的（放松）ALP解码器一般（非SPC）的线性码在素域。其中的关键部分是基于动态规划原理的高效分离算法。此外，我们构造了一个解码器的线性码在任意字段$\mathbb{F}_q$与$q=p^m$和$m>1$的因子图表示，减少到几个实例的情况下$m=1$，这导致，在一般情况下，在放松的原始解码多面体。最后，我们提出了一个有效的切割生成算法来搜索冗余的奇偶校验，以进一步提高性能的最大似然解码短到中等块长度。数值实验证实，我们的新的解码器是非常有效的静态LP解码器相比，各种字段大小，校验节点度，和块长度。
Simultaneous Rational Number Codes: Decoding Beyond Half the Minimum Distance with Multiplicities and Bad Primes
本文扩展了同时有理数编码的解码方法，提出带重数的解码算法并统一处理坏素数，通过严格概率分析提升了有理数编码的纠错能力。
The Generalized Reed-Muller codes and the radical powers of a modular algebra
首先，给出了二元域或任意素域上的Reed-Muller码的Berman和Charpin特征的一个新的证明。这些码被认为是模代数的根的幂。第二，用同样的方法研究了非素域上的广义Reed-Muller码。
How to Compute Modulo Prime-Power Sums ?
介绍了一类新的结构码-准群码（QGC）. QGC是组码的子集。与组码不同，QGC在组添加下不关闭。可以选择QGC的参数，使得$\mathcal{C}+\mathcal{C}$的大小等于$|\mathcal{C}|$和$|\mathcal{C}|^2$之间的任何数。我们分析了一类特定的QGC的性能。这类QGC是通过将单字母分布分配给群码中码字的索引来构造的。然后，QGC被定义为一组码字，其索引是在对应于这些单字母分布的典型集合。这类QGC的渐近性能极限的特点是使用单字母信息量。相应的覆盖和包装界推导。它表明，点对点信道容量和最佳率失真函数是可以实现的使用QGC。基于QGC的编码策略介绍了三个基本的多终端问题：Körner-Marton问题的模素幂和，计算多址信道（MAC），MAC与分布式状态。对于每个问题，一个单字母可实现的速率区域推导。通过实例表明，该编码策略是对以往基于非结构码、线性码和分组码的编码策略的改进。
On Generalized Expanded Blaum-Roth Codes
扩展Blaum-Roth（EBR）码由$n\times n$阵列组成，使得对于$2\leq r<n$的斜率线$i$、$0\leq i\leq r-1$以及垂直线具有偶奇偶性。这些代码是关于列的MDS，即，当且仅当$n$是素数时，它们可以恢复任何$r$擦除的列。最近，EBR码的一个推广，称为广义扩展Blaum-Roth（GEBR）码，被提出。GEBR码由$pτ\times (k+r)$阵列组成，其中$p$是素数，$τ\geq 1$是素数，使得斜率线$i$、$0\leq i\leq r-1$具有偶数奇偶性，并且阵列中的每一列在被视为多项式时是$1+x^τ$的倍数。特别地，当$p$是奇素数，2是$GF(p)$和$τ= p^j$，$j\geq 0$中的本原数时，由$pτ\times (p-1)τ$阵列组成的GEBR码是MDS.我们进一步推广了这个结果，证明了由$pτ\times pτ$阵列组成的GEBR码是MDS当且仅当$τ= p^j$，其中$0\leq j$和$p$是任意奇素数.
Low-Rank Parity-Check Codes over the Ring of Integers Modulo a Prime Power
定义并分析了有限链环$\mathbb{Z}_{p^r}$的扩张环上的低秩奇偶检验（LRPC）码，其中$p$是素数，$r$是正整数. LRPC码最初是由Gaborit等人提出的。（2013）在有限域上的加密应用。对有限环的适应受到Kamche等人（2019）最近一篇论文的启发，该论文在有限原理理想环上构造了Gabidulin码，并将其应用于空时码和网络编码。我们给出了一种基于简单线性代数运算的译码算法。此外，我们推导出解码器的故障概率的上限。上界对于秩等于自由秩的错误是有效的。
Probabilistic Shaping and Non-Binary Codes
我们推广概率幅度整形（PAS）与二进制码的情况下，定义在素有限域上的非二进制码。首先，我们通过分时引入概率整形，其中整形仅适用于信息符号。然后，我们设计了循环正交幅度调制（CQAM），允许直接概括PAS素有限域与全成形。
The Probability of Primeness for Specially Structured Polynomial Matrices over Finite Fields with Applications to Linear Systems and Convolutional Codes
计算了有限域上具有一定结构的随机多项式矩阵分别是右素数或左素数的概率。特别地，我们给出了n个非奇异多项式矩阵互左互质的概率的一个渐近公式。这些结果被用来估计可达和可观测的线性系的数量以及非灾难性的卷积码的数量。此外，我们能够获得一个渐近公式的概率，并联线性系是可达的。
On the Bias of Reed-Muller Codes over Odd Prime Fields
我们研究了奇素域上随机有界次数多项式的偏差，证明了当概率指数接近1时，这种多项式的偏差指数小。这也产生一个指数尾上界的重量分布的里德-穆勒码在奇素数领域。这些结果推广了Ben-Eliezer，Hod和Lovett在$\mathbb{F}_2$上证明的类似结果.证明奇素域上Reed-Muller码的生成矩阵的子矩阵的秩的一个新的精确极值性质是我们界的关键。这个极值性质是Keevash和Sudakov对于$\mathbb{F}_2$的极值性质的一个实质性的推广。我们的指数尾界的偏见，可以用来推导指数下界的时间有界学习的有界度多项式从他们的评价奇素数领域。
All binary linear codes that are invariant under $\PSL_2(n)$
射影特殊线性群$\PSL_2(n)$在集合$\{0,1, \cdots, n-1, \infty\}$上对所有素数$n$是$2$ -传递的，对$n \equiv 3 \pmod{4}$是$3$ -齐次的.扩展类奇二次剩余码在$\PSL_2(n)$下是不变的。因此，扩展的二次剩余码保持了素数$n \equiv 1 \pmod{4}$的$2$ -设计的无限族，素数$n \equiv 3 \pmod{4}$的$3$ -设计的无限族.为了用$t \in \{2, 3\}$构造更多的$t$ -设计，需要寻找在$\PSL_2(n)$作用下不变的有限域上的其它扩展循环码.本文的目的是证明扩展二次剩余二元码是唯一在$\PSL_2(n)$下不变的非平凡扩展二元循环码。
Proximity Gaps Conjecture Fails Near Capacity over Prime Fields
研究证明在接近容量率时，特定Reed-Solomon码的接近性间隙失效，其失效半径为O(1/log n)。
Optimal Non-Binary Single-Track Gray Code
研究非二进制单轨道格雷码，证明在有限域F_p（p = 3和p = 5）上存在特定长度和码字数量的此类码，对于更大素数p及非素数字母表大小m也有存在此类码的迹象。
Leakage-Resilient Secret Sharing with Constant Share Size
我们考虑了基于AG码的斜坡秘密共享方案的抗泄漏性，扩展了Benhamouda等人在素域上的线性门限秘密共享方案的抗泄漏性。由于素域上没有任何明确有效的AG码构造，我们考虑了素域上的AG码的构造，并借助于级联方法和域扩展。扩展Benhamouda等人的傅立叶分析，素域上的级联代数几何码确实产生了一些不错的抗泄漏秘密共享方案。一个自然和好奇的问题是，扩展域上的AG码是否比基于级联AG码的构造产生更好的泄漏弹性秘密共享方案。与使用级联方法在素域上的构造相比，这样的构造提供了若干优点。首先，对于固定的隐私参数t，扩展域上的AG码给出了具有较小重构的秘密共享方案。其次，级联AG码不具有强多重性，因此它们不适用于安全MPC方案。在合理的假设下，证明了扩域上的AG码确实具有较强的抗泄漏能力。这三个优点极大地激发了对扩展域上AG码秘密共享方案的研究。本文的主要贡献有两个：1、得到了具有常数份额大小和参与者个数无界的抗泄漏秘密共享方案。与Shamir秘密方案一样，我们的方案也具有多重性，因此也适用于MPC. 2、通过复杂的傅立叶分析，分析了扩展域上的码的秘密共享方案的抗泄漏性。这是它自己的理论利益独立的应用程序的秘密共享计划代数几何码在扩展领域。
An approach to RAID-6 based on cyclic groups of a prime order
随着存储数据的磁盘阵列的大小不断增长，保护数据免受双磁盘故障的影响变得至关重要。一种流行的保护方法是通过具有两个奇偶校验字的Reed-Solomon（RS）码。在本文中，我们构造了线性分组码的两个擦除保护的替代例子。我们的结构是基于一个抽象的概念锥。混凝土锥构造通过矩阵表示的循环群的素数阶。特别地，这种构造产生EVENODD码。在我们对这些代码的分析中，出现了关于素数的有趣条件。最后，我们分析了相应系统在通用处理器上的汇编实现，并与标准DP-RAID系统的写和恢复速度进行了比较。
On the Finite Length Scaling of Ternary Polar Codes
研究了极化码在三进制字母表上的极化过程。最近已经表明，具有素数字母表大小的极化码的块长度的缩放相对于码率和信道容量之间的间隙的倒数多项式地缩放。然而，除了二进制的情况下，多项式的次数在界是非常大的。在这项工作中，它表明，一个低得多的次数多项式可以计算数值的三元情况。对于素数字母表大小的一般情况，也得到了类似的结果。
Grassmannian Codes as Lifts of Matrix Codes Derived as Images of Linear Block Codes over Finite Fields
设$p$是素数，使得$p \equiv 2$或$3$ mod $5$。在赋Bachoc权的素域$GF(p)$上的$2 \times 2$矩阵的非交换矩阵环上的线性分组码被导出为赋Hamming度量的Galois域$GF(p^2)$上的线性分组码的等距像.当被视为秩度量码时，这类矩阵码满足Singleton界，因此是最大秩距离码，然后将其提升以形成一类特殊的子空间码，格拉斯曼码，满足反码界。这些所谓的反码最优格拉斯曼码以某种方式与完全图相关联。给出了这些最大秩距离码和反码最优格拉斯曼码的新例子。
Perfect codes over non-prime power alphabets: an approach based on Diophantine equations
本文利用广义拉马努金-纳格尔方程和计算数论方法，证明172个新非素数幂字母表上不存在完美2错误纠正码，并证明任意固定字母表大小上此类码至多有限个。
On extremal self-dual ternary codes of length 48
所有长度为48的具有素数阶$p\geq 5$自同构的极值三进制码都等价于两种已知码之一，即Pless码或扩展二次剩余码。
Cyclic triorthogonal codes in prime dimension
本文研究素数维数下的循环三正交码，利用谱支撑和集条件进行穷举搜索，并证明三偶性与经典三正交性等价，找到优于现有码的短码及无限码族。
Weight Distributions of Hamming Codes (II)
在前一篇文章中，我们导出了当（m，q-1）=1时[n=（q^m-1）/（q-1）]汉明码H（m，q）的权分布的递推公式.这里q是一个素数幂。这里我们注意到，这个公式实际上对任何正整数m和任何素数幂q都成立，而没有限制（m，q-1）=1。
Linear code-based vector quantization for independent random variables
在本文中，我们分析了率失真函数R（D）可实现的线性码在GF（q），其中q是一个素数。
Generalized Reed-Muller codes over Galois rings
最近，Bhaintwal和Wasan研究了素数幂整数剩余环上的广义Reed-Muller码。本文将这类码推广到Galois环上的广义Reed-Muller码。
Skew cyclic codes over $\mathbb{F}_{p}+u\mathbb{F}_{p}$
本文研究了环$R=\mathbb{F}_{p}+u\mathbb{F}_{p}$上任意长度的斜循环码，其中$p$是奇素数，$% u^{2}=0$ .我们刻画了所有长度为$n$的斜循环码为$R_{n}=R[x;θ]/\langle x^{n}-1\rangle $的左$% R[x;θ]$ -子模.我们发现所有这些代码的生成多项式，并描述其最小生成集。此外，给出了环$R$上的斜循环码的编译码算法。最后，基于本文所发展的理论，我们给出了具有不同奇素数$p.$的$F_{p}$上具有好参数的码的例子。实际上，本文的例子25是一类新的准扭码。我们提供的其他示例是最优代码的示例。
A class of cyclic codes whose dual have five zeros
本文给出了一类环$\mathbb{F}_{p}$上的循环码，其中$p$是奇素数，其码元有五个零点.此外，还确定了这些循环码的重量分布。
A new construction of nonlinear codes via algebraic function fields
在编码理论中，构造具有良好参数的码是最重要和最基本的问题之一。虽然已经产生了许多好的代码，但它们中的大多数都是在大小等于素数幂的字母表上定义的。本文利用代数函数域给出了$(q+1)$元非线性码的一种新的显式构造，其中$q$是素数幂.我们的代码构造的有理函数的代数函数域的所有合理的地方的评价。与代数几何码相比，主要区别在于我们允许有理函数在极点处求值。通过对Riemann-Roch空间并上的有理函数求值，得到了一类字母表$\mathbb{F}_{q}\cup \{\infty\}$上的非线性码.结果表明，我们的码具有更好的参数比MDS码或良好的代数几何码通过代码字母扩展和限制。
Classification of Self-Dual Constacyclic Codes of Prime Power Length $p^s$ Over $\frac{\mathbb{F}_{p^m}[u]}{\left\langle u^3\right\rangle} $
本文研究有限环上素数幂长度自对偶常循环码的存在条件，完成了 $p=2$ 时长度 $2^s$ 自对偶循环码的分类与计数，并修正改进了前人结果。
Codes correcting restricted errors
本文研究了$(B-1)$维线性码的最大可能长度$B$，它能纠正来自受限集$\mathcal{A}\subseteq \mathbb{F}_q^*$的最多达$t$的错误.这样的代码可以应用于多级闪存。此外，在$q=p$是一个素数的情况下，错误是有限的一个常数，我们表明，往往是原始的$\ell$ th根的单位，其中$\ell$是一个素因子的$p-1$，定义良好的这样的代码。
Repeated-root constacyclic codes of length $3lp^{s}$ and their dual codes
设$p\neq3$为任意素数，$l\neq3$为任意奇素数，且其与$gcd(p,l)=1$ .将$F_{q}^{*}=\langleξ\rangle$分解为子群$\langleξ^{3lp^{s}}\rangle$上$gcd(q-1,3lp^{s})$陪集的互不相交的并，其中$ξ$是本原$(q-1)$的单位根.利用分解方法将有限域$F_{q}$上长度为$3lp^{s}$的重根常循环码划分为若干等价类，其中$q=p^{m}$，$s$和$m$均为正整数.根据等价类，我们明确地确定了$F_{q}$上所有长度为$3lp^{s}$的重根常循环码及其对偶码的生成多项式。在$F_{q}$上的长度为$3lp^{s}$的自对偶循环（非循环）码仅当$p=2$。并给出了$F_{2^{m}}$上长度为$3l2^{s}$的自对偶循环（非循环）码及其计数.
On self-dual and LCD double circulant and double negacirculant codes over $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$
研究了半局部环$R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q,\, u^2=u,$上$2n$为奇素数方幂且$-1$为$\mathbb{F}_q.$中的正方形时$2n$为长的二重循环码.研究了$2n$为偶数且$q$为奇素数方幂时$R$上$2n$为长的二重循环码.给出了给定长度$2n$的自对偶码和LCD码的精确计数。利用保持对偶的Gray映射，构造了长度为$\mathbb{F}_q$上$4n$的自对偶码和LCD码.使用随机编码和Artin猜想，这些码的相对距离有界如下。计算了中等长度的例子的参数。几个这样的代码是最佳的。
On Binomial Ideals associated to Linear Codes
最近，它表明，一个二进制线性码可以关联到一个二项式理想作为一个复曲面理想和一个非素理想的总和。从那时起，已经提供了两种不同的推广，这符合二元情况。在本文中，我们建立了这两种方法之间的一些联系。特别是，我们表明，相应的代码理想相关的消除。最后，利用Gröbner基讨论了素域上线性码的一种新的启发式译码方法.
Constacyclic Codes over $F_p+vF_p$
本文研究了环$F_p+vF_p$上的常循环码，其中$p$是奇素数，且$v^2=v$ .刻画了环$F_p+vF_p$上所有常循环码的多项式生成元，并确定了它们的对偶码。
On self-dual negacirculant codes of index two and four
本文研究了当$n=2p,$与$p\equiv 3~({\rm mod}~4)$和$p$是素数时，$x^n+1$在$\mathbb{F}_q, $上的一种特殊分解，其中$q$是素数幂$\equiv 3~({\rm mod}~4)$.给定这样一个$q$，存在无穷多个这样的$p$，它们通过算术级数中的Artin猜想承认$q$为原根.这个数论猜想已知在GRH下成立。我们研究了双重（resp。本文给出了有限域$n$上的（4）-双循环码，包括自对偶子类的精确计数，以及它所含码的相对距离的一个修正的Varshamov-Gilbert界.
The dual codes of two families of BCH codes
本文通过研究两类BCH码的对偶码参数，构造了无限族MDS码和几乎MDS码，解决了2022年提出的猜想，并证明了相关码及其对偶码承载无限族3-设计，同时提供了最佳参数的二元、三元和四元码。
New descriptions of the weighted Reed-Muller codes and the homogeneous Reed-Muller codes
给出了模代数中素域上的加权Reed-Muller码的一个刻划。对于二进制情形，给出了在同一环境空间中的齐次Reed-Muller码的一种描述。一个解码程序使用Landrock-Manz方法开发。
Lattice Codes Achieve the Capacity of Common Message Gaussian Broadcast Channels with Coded Side Information
格具有优雅的数学性质，以前已经在文献中使用，以表明结构化代码可以在各种通信场景中是有效的，包括编码的加性高斯白噪声（AWGN）信道，脏纸信道，Wyner-Ziv编码，编码的中继网络等。我们考虑单发射机多接收机高斯信道族，其中源向所有接收机发送一组公共消息（多播场景），并且每个接收机具有“编码边信息”，即，信息的线性组合形式的先验信息。该信道模型的动机是应用到多终端网络中，其中节点可以从先前的信号跳或通过正交信道访问消息的编码版本。该信道的容量是已知的，并且根据Tuncel（2006）的工作得出，其基于随机编码参数。在本文中，按照Erez和Zamir的方法，我们设计了这个家庭的通道时，源消息的符号从一个有限域'FP'的素数大小的格码。我们的编码方案利用在相同的素数域'FP'上设计的构造A格，并且对于可用作边信息的线性组合的每一个可能的集合，在解码器处使用代数分仓来去除信道码并获得良好的格子子码。我们的编码方案的可达速率是基础素域的大小'p'的函数，并且当'p'趋于无穷大时接近容量。
A Class of Reducible Cyclic Codes and Their Weight Distribution
本文给出了GF（p）上一类可约循环码，其中p是奇素数，且其码元有四个零点。此外，还确定了这些循环码的重量分布。
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