Cyclic Codes from Cyclotomic Sequences of Order Four
循环码是线性码的一个有趣的子类，并且由于其高效的编码和解码算法而被用于消费电子、数据传输技术、广播系统和计算机应用中。本文利用三个四阶分圆序列构造了$\gf(q)$上的几类素数长度的循环码。在一定的条件下，最小重量的下界。得到的一些码是最优或几乎最优的。总的来说，本文构造的循环码是很好的。本文得到的一些循环码与几乎差集和差集有着密切的关系。作为副产品，计算这些（几乎）差集的$p$秩。
2012-07-11 cs.DM cs.IT math.IT
Explicit Representatives and Sizes of Cyclotomic Cosets and their Application to Cyclic Codes over Finite Fields
该研究显式确定了一般情形下模n的q-分圆陪集的代表元与大小，引入2进分圆系并刻画其结构，改进了有限域上多项式因式分解公式，实现了有限域循环码的分类及自对偶循环码的确定与计数。
2025-05-17 cs.IT math.IT math.NT
Conflict-Avoiding Codes of Prime Lengths and Cyclotomic Numbers
完全解决了构造最优的偶数码长和汉明重量$3$的冲突避免码的问题。相反，它仍然是开放的奇数长度。原来素数长度是需要构造的基本情况。本文研究了素数长度的避免冲突码，并将其与所谓的分圆数联系起来。通过具有一些非零分圆数，用于构造最优冲突避免码的众所周知的算法将对某些素数长度起作用。因此，我们能够回答的最佳冲突避免代码的一个新的类的素数长度的大小。
2023-02-03 cs.IT math.IT math.NT
On the Euclidean duals of the cyclic codes generated via cyclotomic polynomials
Indian Institute of Technology Delhi（印度理工学院德里分校）
本文研究了通过循环多项式生成的循环码的欧几里得对偶码结构，确定了其最小距离，并验证了关于对偶码最小距离的猜想。
2026-04-07 cs.IT math.IT
Prime Factor Cyclotomic Fourier Transforms with Reduced Complexity over Finite Fields
有限域上的离散傅里叶变换在纠错编码中有着广泛的应用。因此，降低DFT的计算复杂性具有重要意义，尤其是对于长DFT，因为越来越长的差错控制码被选择用于数字通信和存储系统。由于DFT涉及有限域上的乘法和加法，并且乘法比加法复杂得多，最近提出的分圆快速傅里叶变换（CFFT）由于其低乘法复杂度而很有前途。不幸的是，它们具有非常高的加法复杂性。诸如公共子表达式消除（CSE）之类的技术可以用于降低CFFT的加性复杂度，但是它们对于长DFT的有效性受到它们的复杂度的限制。在本文中，我们提出了素因子分圆傅立叶变换（PFCFTs），它使用CFFT作为子DFT通过素因子算法。当DFT的长度是素数时，我们的PFCFTs减少到CFFTs。当长度具有互质因子时，由于子DFT具有短得多的长度，这允许我们使用CSE来显著降低其加性复杂度。与以前提出的快速傅立叶变换相比，我们的PFCFTs实现了降低的整体复杂性时，DFT的长度至少为255，并改善显着增加的长度增长。这种方法还使我们能够提出具有非常长长度的高效DFT（例如，4095点），这是文献中第一个具有这种长度的高效DFT。最后，我们的PFCFTs也有利于硬件实现，由于其规则的结构。
2010-07-07 cs.IT math.IT
Characterizations and Constructions of Linear Intersection Pairs of Cyclic Codes over Finite Fields
本文聚焦有限域上循环码的线性交集对，以分圆陪集性质为关键工具，基于生成多项式给出了固定相交维度或子码的循环码刻画与构造，并提供了良好参数的数值示例。
2024-01-04 cs.IT math.IT
A theorem on the quantum evaluation of Weight Enumerators for a certain class of Cyclic Codes with a note on Cyclotomic cosets
本说明是一篇关于Potts配分函数的论文的精简版，我们只专注于我们方法的线性编码方面。它是为那些对编码理论感兴趣，但不太了解所涉及的数学以及量子计算如何加速编码理论中一个非常重要的量的计算的人提供的资源。本文给出了一类有限循环码的权枚举多项式的量子计算定理。获得精确评估的复杂度是$O(k^{2s}(\log q)^{2})$，其中$s$是确定所讨论的循环码的类的参数，$q$是在其上定义码的有限域的特征，并且$k$是码的维数。我们还提供了一个概述分圆陪集和讨论的应用程序，包括它们如何可以用来加快计算的重量枚举多项式（这是相关的Potts分区函数）。给出了从列表$\{0,1,2,...,N-1\}$中返回陪集首和每个陪集大小的算法，其时间复杂度为软O（N）。该算法使用标准技术，但我们将其作为学生的资源。注意分圆陪集并不能提高权重枚举数计算的渐近复杂度。
2008-03-16 cs.IT math.IT quant-ph
Binary sequences with low correlation via cyclotomic function fields
由于低相关性二元序列在通信中的广泛应用，文献中已经提出了各种构造这种序列的方法。然而，大多数已知的通过有限域的构造利用$\F_{2^n}$的乘法循环群。在这个社区中经常忽略的是，$\F_{2^n}$上有理函数域的所有$2^n+1$有理位置（包括“无穷远位置”）在$2^n+1$阶自同构下形成循环结构。在本文中，我们利用这种循环结构提供了一个明确的建设家庭的二元序列的长度$2^n+1$通过有限域$\F_{2^n}$。每个序列族的大小为$2^n-1$，其相关性的上界为$\lfloor 2^{(n+2)/2}\rfloor$。我们的序列可以显式构造，并具有竞争参数。特别地，与偶数$n$的长度为$2^n-1$的Gold序列相比，我们具有更大的长度和更小的相关性，尽管我们的序列的家族大小略小。
2021-07-25 cs.IT math.IT
Binary sequences with a low correlation via cyclotomic function fields with odd characteristics
具有低相关性的序列在通信、密码学和压缩感知中具有非常重要的应用。在文献中，人们已经做了很多努力来构造各种长度的好序列，其中二元序列引起了人们的极大关注。因此，已经提出了各种良好的二进制序列的构造。然而，大多数已知的构造利用有限域$\mathbb{F}_{p^n}$的乘法循环群结构，用于素数$p$和正整数$n$。事实上，所有的$p^n+1$有理位置，包括在$\mathbb{F}_{p^n}$上的有理函数域的无穷远的位置，在一个阶为$p^n+1$的自同构下形成一个循环结构。本文利用这种循环结构，对任意奇素数$p$，通过$\mathbb{F}_{p^n}$上的分圆函数域，给出了长度为$p^n+1$的低相关二元序列的显式构造.每个二元序列族的大小为$p^n-2$，其相关性的上界为$4+\lfloor 2\cdot p^{n/2}\rfloor$。据我们所知，这是第一次建设的二进制序列具有低相关的长度$p^n+1$为奇素数$p$。此外，我们的序列可以显式地构造，并具有竞争参数。
2022-10-23 cs.IT math.IT
Composite Cyclotomic Fourier Transforms with Reduced Complexities
有限域上的离散傅里叶变换在数字通信和存储系统中有着广泛的应用。因此，降低DFT的计算复杂性具有重要意义。最近提出的分圆快速傅里叶变换（CFFT）是有前途的，由于其低乘法复杂度。不幸的是，CFFT存在两个问题：（1）它们依赖于有效的短循环卷积算法，这还没有被彻底研究，以及（2）它们在直接实现时具有非常高的加性复杂度。在本文中，我们解决这两个问题。本文的主要贡献之一是高效的双线性11点循环卷积算法，它允许我们在GF $(2^{11})$上构造CFFT。本文的另一个主要贡献是，我们提出了复合分圆傅立叶变换（CCFTs）。与以前提出的快速傅立叶变换相比，我们的CCFT实现了较低的整体复杂度，为中等到长的长度，并改善显着增加的长度增长。据我们所知，我们的2047点和4095点CCFT也是第一个如此长度的高效DFT。最后，由于其规则和模块化结构，我们的CCFT也有利于硬件实现。
2010-12-13 cs.IT math.IT
GF(2^m) Low-Density Parity-Check Codes Derived from Cyclotomic Cosets
基于分圆陪集、幂等元和Mattson-Solomon多项式的思想，提出了一种构造GF（2^m）（其中m>0）循环低密度奇偶检验码的新方法.该构造方法产生用于定义低密度奇偶检验码的奇偶检验矩阵的对偶码幂等元。这种构造方法的一个有趣的特征是能够通过添加更多的幂等元来增加码维，从而稳定地降低奇偶检验矩阵的稀疏性。我们表明，构造的代码可以实现性能非常接近球包装约束的二进制传输。
2005-07-23 cs.IT math.IT
Determination of the Autocorrelation Distribution and 2-Adic Complexity of Generalized Cyclotomic Binary Sequences of Order 2 with Period pq
周期为$n=pq$的广义分圆二元序列$S=S(a, b, c)$具有良好的自相关特性，其中$(a, b, c)\in \{0, 1\}^3$和$p, q$是不同的奇素数.对于某些情况，序列$S$具有理想或最佳自相关。本文利用群环语言和群环$R=\mathbb{Z}[Γ]$中二次高斯和的一种形式，统一地确定了所有$(a, b, c)\in \{0, 1\}^3$序列$S=S(a, b, c)$的自相关分布和2-adic复杂度，其中$Γ$是$n$阶循环群.
2021-05-23 cs.IT math.IT
Reducible Cyclic Codes Constructed as the Direct Sum of Two Semiprimitive Cyclic Codes
本文给出了一族可约循环码，它由两个不同的半本原双权不可约循环码的直和构成。这类可约循环码推广了B. Wang，{ \em等} \cite{once}。此外，尽管有什么规定，我们表明，至少在这里研究的代码，它仍然是可能的，通过分圆数在一个非常简单的方式来计算其重量分布的频率。
2015-08-07 cs.IT math.IT
Two classes of reducible cyclic codes with large minimum symbol-pair distances
本文基于有限域分圆数和高斯周期理论，研究两类可约循环码在符号对度量下的参数，确定了其符号对重量分布，并证明在特定条件下最小符号对距离为最小汉明距离的两倍，建立了一类MDS符号对码。
2023-09-08 cs.IT math.IT
On Euclidean and Hermitian Self-Dual Cyclic Codes over $\mathbb{F}_{2^r}$
循环码和自对偶码是编码理论中一类重要的码。Jia，Ling和Xing \cite{Jia}以及Kai和Zhu \cite{Kai}证明了长度为$n$ over $\mathbb{F}_q$的欧氏自对偶循环码存在的充要条件是$n$是偶数且$q=2^r$，其中$r$是任意正整数.对于$n$和$q$，总是存在一个生成多项式为$x^{\frac{n}{2}}+1$的$[n, \frac{n}{2}]$自对偶循环码，称为\textit{trivial self-dual cyclic code}。本文利用$μ_{-1}$对$\mathbb{Z}_{\bar{n}}$的非平凡分裂$(Z, X_0, X_1)$的存在性，证明了$\mathbb{F}_{2^r}$上长度为$n=2^ν\cdot \bar{n}$的非平凡自对偶循环码的存在性，其中$\bar{n}$是奇数，其中$Z, X_0,X_1$是$2^r$ -分圆陪集mod $\bar{n}.$的并集。根据$X_0$（或$X_1$）中的$2^r$ -分圆陪集的数目，每个$n$和$r$在$\mathbb{F}_{2^r}$上的对偶码。我们还期待在埃尔米特自对偶循环码，并显示类似于那些欧几里德自对偶循环码的属性。也就是说，基于$μ_{-2^\ell}$对$\mathbb{Z}_{\bar{n}}$的非平凡分裂$(Z, X_0, X_1)$的存在性，…
2016-03-11 cs.IT math.IT math.NT
Quantum codes derived from cyclic codes
本文提出了一种新的具有良好参数的非二进制量子码的构造方法。这些代码是通过应用Calderbank-Shor-Steane（CSS）的建设。为了做到这一点，我们证明了存在的（经典）循环码的定义集只包括一个分圆陪集包含至少两个连续的整数。
2017-04-29 cs.IT math.IT quant-ph
On period polynomials of degree $2^m$ and weight distributions of certain irreducible cyclic codes
明确地确定了特征为$p\equiv 3$或$5\pmod{8}$的有限域的$2^m$、$m\ge 4$阶约化分圆周期的值.这些评价适用于获得相应的减少周期多项式的显式分解。作为另一个应用，本文描述了某些不可约循环码的权重分布。
2018-01-01 cs.IT math.IT math.NT
On cyclotomic cosets and code constructions
本文研究了$q$ -元模$n = q^{m} - 1$分圆陪集的新性质，其中$q \geq 3$是素数幂.基于这些性质，可以计算出一些经典循环码族的维数和设计距离的界。作为应用，在这项工作中，新的家庭的非二进制Calderbank-Shor-Steane（CSS）量子码以及新的家庭的卷积码的构造。这些新的CSS代码的参数比文献中可用的。这里构造的卷积码的自由距离大于文献中可用的。
2015-11-12 cs.IT math.CO math.IT
