Cyclotomic FFT of Length 2047 Based on a Novel 11-point Cyclic Convolution
Meghanad D. Wagh, Ning Chen, Zhiyuan Yan
本文提出了一种基于交替傅里叶变换的11点循环卷积算法。利用所提出的双线性形式，我们构造了一个长度为2047的分圆FFT。
In this manuscript, we propose a novel 11-point cyclic convolution algorithm based on alternate Fourier transform. With the proposed bilinear form, we construct a length-2047 cyclotomic FFT.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Reduced-Complexity Reed--Solomon Decoders Based on Cyclotomic FFTs
在本文中，我们降低了计算复杂性的部分和对偶部分分圆FFT（CFFT），这是离散傅立叶变换的频谱和时间分量的约束，基于他们的属性，以及一个共同的子表达式消除算法。我们的部分CFFT实现较小的计算复杂性比以前提出的部分CFFT。利用我们的CFFT变换和时域里德-所罗门解码器，我们实现了显着的复杂性降低。
Cyclotomic FFTs with Reduced Additive Complexities Based on a Novel Common Subexpression Elimination Algorithm
在本文中，我们首先提出了一种新的公共子表达式消除（CSE）算法的矩阵向量乘法特征2域。相对于以前提出的CSE算法，它通常侧重于复杂性的节省，由于递归的子表达式，我们的CSE算法实现了两种类型的复杂性降低，差分储蓄和递归储蓄，利用特征2字段的取消属性。使用我们的CSE算法，我们减少了分圆快速傅里叶变换（CFFT）的加法复杂度。使用乘法和加法的数量的加权和作为度量，我们的CFFT实现了比以前提出的CFFT和其他FFT更小的总复杂度，在许多情况下需要更少的乘法和更少的加法。
Cyclic Codes from Two-Prime Generalized Cyclotomic Sequences of Order 6
循环码在数据存储系统和通信系统中有着广泛的应用。利用6阶二素Whiteman广义分圆序列，构造了有限域GF}（q）上的几类循环码，并给出了它们的生成多项式.计算了一些循环码的最小距离，并给出了一些循环码的最小距离的下界。
Cyclic codes from the second class two-prime Whiteman's generalized cyclotomic sequence with order 6
设$n_1=ef+1$和$n_2=ef'+1$是两个不同的正整数奇素数$e,\ f,\ f'.$本文利用$e=6$阶的二素Whiteman广义分圆序列构造了$\mathrm{GF}(q)$上几类长度为$n_1n_2$的循环码.得到了这些循环码的最小距离的下界。
Non-RS type cyclic MDS codes over finite fields via cyclotomic field reduction
本文通过圆周域约简方法构造了非RS型有限域上的循环MDS码，简化了构造过程并提高了参数灵活性。
Cyclotomic Constructions of Cyclic Codes with Length Being the Product of Two Primes
循环码是一类有趣的线性码，由于其高效的编码和解码算法，在通信和存储系统中有着广泛的应用。他们已经研究了几十年，并取得了很大的进展。本文提出并分析了三种类型的二阶广义割圆和三类长度为$n_1n_2$，维数为$(n_1n_2+1)/2$的循环码，其中$n_1$和$n_2$是两个不同的素数.也证明了它们的最小似奇权的界。这三种构造在某些情况下产生最好的循环码。
Cyclic codes from the first class two-prime Whiteman's generalized cyclotomic sequence with order 6
二阶和四阶的二元Whiteman割圆序列具有许多良好的随机性。本文计算了$d=6$阶第一类二素Whiteman广义分圆序列（WGCS-I）的自相关值和线性复杂度。结果表明，当$(n_1-1)(n_2-1)/36$为偶数或奇数时，该序列的自相关值为四值或五值，其中$n_1$和$n_2$是两个不同的奇素数，且它们的线性复杂度相当好.利用6阶双素WGCS-I构造了$\mathrm{GF}(q)$上几类长度为$n_1n_2$的循环码.我们还得到了这些循环码的最小距离的下界。
Autocorrelation values and Linear complexity of generalized cyclotomic sequence of order four, and construction of cyclic codes
设$n_1$和$n_2$是两个不同的素数，其中有$\mathrm{gcd}(n_1-1,n_2-1)=4$。本文计算了$4$阶广义分圆序列的自相关值。我们的结果表明，该序列可以有很好的自相关特性。确定了$\mathrm{GF}(q)$上广义分圆序列的线性复杂度和极小多项式，其中$q=p^m$和$p$是奇素数.我们的结果表明，该序列具有较大的线性复杂度。因此，该序列在密码学、编码理论等领域有着广泛的应用。我们利用这个序列的顺序$4$构造几类循环码在$\mathrm{GF}(q)$长度为$n_1n_2$。我们还得到了这些循环码的最小距离的下界。
Cyclic Codes from Cyclotomic Sequences of Order Four
循环码是线性码的一个有趣的子类，并且由于其高效的编码和解码算法而被用于消费电子、数据传输技术、广播系统和计算机应用中。本文利用三个四阶分圆序列构造了$\gf(q)$上的几类素数长度的循环码。在一定的条件下，最小重量的下界。得到的一些码是最优或几乎最优的。总的来说，本文构造的循环码是很好的。本文得到的一些循环码与几乎差集和差集有着密切的关系。作为副产品，计算这些（几乎）差集的$p$秩。
Explicit Representatives and Sizes of Cyclotomic Cosets and their Application to Cyclic Codes over Finite Fields
该研究显式确定了一般情形下模n的q-分圆陪集的代表元与大小，引入2进分圆系并刻画其结构，改进了有限域上多项式因式分解公式，实现了有限域循环码的分类及自对偶循环码的确定与计数。
On the Euclidean duals of the cyclic codes generated via cyclotomic polynomials
本文研究了通过循环多项式生成的循环码的欧几里得对偶码结构，确定了其最小距离，并验证了关于对偶码最小距离的猜想。
Characterizations and Constructions of Linear Intersection Pairs of Cyclic Codes over Finite Fields
本文聚焦有限域上循环码的线性交集对，以分圆陪集性质为关键工具，基于生成多项式给出了固定相交维度或子码的循环码刻画与构造，并提供了良好参数的数值示例。
A theorem on the quantum evaluation of Weight Enumerators for a certain class of Cyclic Codes with a note on Cyclotomic cosets
本说明是一篇关于Potts配分函数的论文的精简版，我们只专注于我们方法的线性编码方面。它是为那些对编码理论感兴趣，但不太了解所涉及的数学以及量子计算如何加速编码理论中一个非常重要的量的计算的人提供的资源。本文给出了一类有限循环码的权枚举多项式的量子计算定理。获得精确评估的复杂度是$O(k^{2s}(\log q)^{2})$，其中$s$是确定所讨论的循环码的类的参数，$q$是在其上定义码的有限域的特征，并且$k$是码的维数。我们还提供了一个概述分圆陪集和讨论的应用程序，包括它们如何可以用来加快计算的重量枚举多项式（这是相关的Potts分区函数）。给出了从列表$\{0,1,2,...,N-1\}$中返回陪集首和每个陪集大小的算法，其时间复杂度为软O（N）。该算法使用标准技术，但我们将其作为学生的资源。注意分圆陪集并不能提高权重枚举数计算的渐近复杂度。
Binary sequences with low correlation via cyclotomic function fields
由于低相关性二元序列在通信中的广泛应用，文献中已经提出了各种构造这种序列的方法。然而，大多数已知的通过有限域的构造利用$\F_{2^n}$的乘法循环群。在这个社区中经常忽略的是，$\F_{2^n}$上有理函数域的所有$2^n+1$有理位置（包括“无穷远位置”）在$2^n+1$阶自同构下形成循环结构。在本文中，我们利用这种循环结构提供了一个明确的建设家庭的二元序列的长度$2^n+1$通过有限域$\F_{2^n}$。每个序列族的大小为$2^n-1$，其相关性的上界为$\lfloor 2^{(n+2)/2}\rfloor$。我们的序列可以显式构造，并具有竞争参数。特别地，与偶数$n$的长度为$2^n-1$的Gold序列相比，我们具有更大的长度和更小的相关性，尽管我们的序列的家族大小略小。
Binary sequences with a low correlation via cyclotomic function fields with odd characteristics
具有低相关性的序列在通信、密码学和压缩感知中具有非常重要的应用。在文献中，人们已经做了很多努力来构造各种长度的好序列，其中二元序列引起了人们的极大关注。因此，已经提出了各种良好的二进制序列的构造。然而，大多数已知的构造利用有限域$\mathbb{F}_{p^n}$的乘法循环群结构，用于素数$p$和正整数$n$。事实上，所有的$p^n+1$有理位置，包括在$\mathbb{F}_{p^n}$上的有理函数域的无穷远的位置，在一个阶为$p^n+1$的自同构下形成一个循环结构。本文利用这种循环结构，对任意奇素数$p$，通过$\mathbb{F}_{p^n}$上的分圆函数域，给出了长度为$p^n+1$的低相关二元序列的显式构造.每个二元序列族的大小为$p^n-2$，其相关性的上界为$4+\lfloor 2\cdot p^{n/2}\rfloor$。据我们所知，这是第一次建设的二进制序列具有低相关的长度$p^n+1$为奇素数$p$。此外，我们的序列可以显式地构造，并具有竞争参数。
Composite Cyclotomic Fourier Transforms with Reduced Complexities
有限域上的离散傅里叶变换在数字通信和存储系统中有着广泛的应用。因此，降低DFT的计算复杂性具有重要意义。最近提出的分圆快速傅里叶变换（CFFT）是有前途的，由于其低乘法复杂度。不幸的是，CFFT存在两个问题：（1）它们依赖于有效的短循环卷积算法，这还没有被彻底研究，以及（2）它们在直接实现时具有非常高的加性复杂度。在本文中，我们解决这两个问题。本文的主要贡献之一是高效的双线性11点循环卷积算法，它允许我们在GF $(2^{11})$上构造CFFT。本文的另一个主要贡献是，我们提出了复合分圆傅立叶变换（CCFTs）。与以前提出的快速傅立叶变换相比，我们的CCFT实现了较低的整体复杂度，为中等到长的长度，并改善显着增加的长度增长。据我们所知，我们的2047点和4095点CCFT也是第一个如此长度的高效DFT。最后，由于其规则和模块化结构，我们的CCFT也有利于硬件实现。
Cyclic Codes of Length 7_p^s over F_p^m + uF_p^m : Characterization, Duals, and Applications to Quantum and LCD Codes
本文在环 F_p^m + uF_p^m 上刻画长度为 7p^s 的循环码，通过直和分解和生成元分类计算基数与对偶码，并用于构造量子稳定子码和 LCD 码。
On cyclic codes of length $2^e$ over finite fields
丁存生教授给出了长度为两个素数乘积的循环码的分圆构造。本文研究了长度为$n=2^e$和维数为$k=2^{e-1}$的循环码。很显然，丁的建筑不是在这个地方举行的。本文描述了两种新的二阶广义割圆，它们不同于丁的割圆。此外，我们还研究了两类长度为$n$和维数为$k$的循环码。我们得到了这些循环码的计数。更重要的是，我们构造的所有码都是最好的循环码之一。此外，我们还研究了长度为$n$的循环码在$\mathbb{F}_q$上的壳。我们得到了$\ell=\dim({\rm Hull}(C))$的值域。我们构造并枚举了长度为$n$且具有给定维数的壳的循环码。
On period polynomials of degree $2^m$ and weight distributions of certain irreducible cyclic codes
明确地确定了特征为$p\equiv 3$或$5\pmod{8}$的有限域的$2^m$、$m\ge 4$阶约化分圆周期的值.这些评价适用于获得相应的减少周期多项式的显式分解。作为另一个应用，本文描述了某些不可约循环码的权重分布。
A New Algorithm for Equivalence of Cyclic Codes and Its Applications
由于理论和实际的原因，循环码是编码理论中最重要的码族之一。尽管他们的突出和深入的研究，循环码超过半个世纪，仍然有开放的问题有关的循环码。在这项工作中，我们使用最近的结果的等价循环码创建一个更有效的算法划分循环码的等价的基础上分圆陪集。然后，该算法实现进行计算机搜索的循环码和准循环（QC）码具有良好的参数。我们还将这些结果推广到重复根的情况。我们已经发现了几个新的线性码，循环或QC作为新方法的应用，以及更理想的构造线性码最好的参数。加上通过标准构造得到的新码，我们总共找到了14个新的线性码。
On the Lattice of Cyclic Linear Codes Over Finite Chain Rings
设$\texttt{R}$是交换有限链环的不变量$(q,s).$本文利用$q$ -模$\ell,$的分圆陪集给出了任意自由循环$\texttt{R}$ -长度为$\ell,$的线性码的迹表示.研究了循环$\texttt{R}$ -长度为$\ell,$的线性码的格$\left(\texttt{Cy}(\texttt{R},\ell), +, \cap\right)$.建立了长度为$\ell,$的循环$\texttt{R}$ -线性码的汉明距离的一个下界.当$q$为偶数时，构造了一类MDS和自正交$\texttt{R}$ -线性循环码.
Is FFT Fast Enough for Beyond-5G Communications?
在本文中，我们研究的吞吐量限制的{\color{black}快速傅立叶变换（FFT）}算法的{\color{black}正交频分复用（OFDM）}波形的计算复杂度的影响。基于频谱计算{ \color{\corcorrecao}复杂度}（SC）分析，{ \color{\corcorrecao}我们验证了$N$点FFT的复杂度比OFDM符号中的比特数增长得更快。}因此，我们表明，FFT无效的OFDM吞吐量$N$，除非$N$点离散傅立叶变换（DFT）的问题验证为$Ω(N)$，这仍然是一个“迷人的”在理论计算机科学的开放问题。此外，因为FFT要求$N$是2的幂$2^i$（$i>0$），所以频谱加宽导致$i$（即$O(2^ii)$）的指数复杂度。为了克服这些限制，{ \color{\corcorrecao}}我们考虑矢量OFDM（V-OFDM）的替代频率-时间变换公式，其中$N$点FFT被$N/L$（$L$ $>$ $0$）更小的{ \color{\corcorrecao} $L$ -点} FFT代替以减轻OFDM的循环前缀开销。在此基础上，我们用简单的DFT算法代替FFT，以释放V-OFDM参数，使其不再作为2的幂增长，并受益于灵活的数字学（例如，$L=3$，$N=156$）。此外，通过将$L$设置为$Θ(1)$，所得到的解决方案可以在$N$上线性运行（而不是在$i$上指数运行），同时随着…
On Permutation Groups of Cyclic Codes over Finite Fields
本文通过两种矩阵表示，将长码长和特殊生成多项式的循环码与素数码长的循环码关联，确定了有限域上长度为hp、r^m p^n和pq且具有特殊生成多项式的循环码的置换群，首次给出了生成多项式为x^{pq}-1的因子但不是x^p-1或x^q-1因子的循环码的置换群。
BCH and LCD cyclic codes of length $n=λ(q^m+1)$ over finite fields
研究了长度为$n=λ(q^m+1)$的BCH和LCD循环码，确定了余类领导者的条件，并提高了最小距离下界，证明了BCH码的对偶性质，且推导了LCD循环码的枚举。
A new family of binary sequences with a low correlation via elliptic curves
本文利用椭圆曲线有理点的循环群结构，设计了一族长度为 $2^n+1+t$ 且具有低相关性和大线性复杂度的新二元序列，为序列构造提供了新方法。
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