长度 7_p^s 的循环码在 F_p^m + uF_p^m 上的刻画、对偶码及其在量子码和 LCD 码中的应用
Cyclic Codes of Length 7_p^s over F_p^m + uF_p^m : Characterization, Duals, and Applications to Quantum and LCD Codes
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- Visva-Bharati University（维斯瓦-巴拉蒂大学）
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中文总结 AI 辅助
本文在环 F_p^m + uF_p^m 上刻画长度为 7p^s 的循环码，通过直和分解和生成元分类计算基数与对偶码，并用于构造量子稳定子码和 LCD 码。
中文摘要 AI 辅助
设 $R_2 = \mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m}$（其中 $u^2 = 0$），这里 $p$ 是奇素数且 $m, s \in \mathbb{N}$。对于 $p \equiv 3, 5 \pmod 7$ 且 $\gcd(m, 6) = 1$ 的情形，分圆多项式 $\Phi_7(x)$ 在 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上不可约。这一性质使得 $R_2$ 上任意长度为 $7p^s$ 的循环码 $C$ 具有直和分解 $C = C_1 \oplus C_2$，其中 $C_1$ 的长度为 $p^s$，而 $C_2$ 是长度为 $6p^s$ 的 $7$-分圆码。我们将 $7$-分圆码划分为四种互不相交的基于生成元的类型，并利用剩余子码和挠子码计算其精确基数。此外，我们确定了欧几里得对偶码 $C^\perp$ 的显式生成元。作为这些分类码的操作性应用，我们通过 CSS 框架构造了新的量子稳定子码族，并为具有互补对偶的线性码（LCD 码）建立了参数准则。
英文摘要
Let $R_2 = \mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m}$ ($u^2 = 0$), where $p$ is an odd prime and $m, s \in \mathbb{N}$. For $p \equiv 3, 5 \pmod 7$ with $\gcd(m, 6) = 1$, the cyclotomic polynomial $Φ_7(x)$ is irreducible over $\mathbb{F}_{p^m}$. This yields a direct sum decomposition $C = C_1 \oplus C_2$ for any cyclic code $C$ of length $7p^s$ over $R_2$, where $C_1$ has length $p^s$ and $C_2$ is a $7$-cyclotomic code of length $6p^s$. We classify $7$-cyclotomic codes into four disjoint generator-based types and calculate exact cardinalities using residue and torsion subcodes. Furthermore, explicit generators for the Euclidean dual codes $C^\perp$ are determined. As operational applications of these classified codes, we construct new families of quantum stabilizer codes via the CSS framework and establish parameter criteria for linear codes with complementary duals (LCD codes).
